´N ACTIVIDADES DE AMPLIACIO

Los vectores en el plano 1.

Expresa el vector u ⫽ 2i ⫺ 3j como suma de un vector que tenga la misma direccio´n que a (3, 1) y de otro que sea perpendicular a este ´ultimo.

2.

Considera el rombo ABCD de la figura.

D

a) ¿Puedes escribir los vectores AC y DB que determinan las diagonales, en funcio´n de los vectores que determinan los lados DA y AB?

l A

C

b) Ayuda ´ndote del apartado anterior, intenta calcular el producto escalar de los vectores AC y DB. c) ¿Que´ interpretacio´n geome´trica puedes dar? Recuerda que las medidas de los lados de un rombo son todas iguales.

B

3.

Podemos considerar los lados de un tria´ngulo como tres vectores cuya suma es el vector nulo. Con esta idea, y con la ayuda del producto escalar, intenta obtener otra demostracio´n del teorema del coseno.

4.

Dos puntos A y C son diametralmente opuestos en una cierta circunferencia, tal y como muestra la figura. Consideramos otro punto B distinto de los anteriores, pero que tambie´n pertenece a la circunferencia. Demuestra que el a´ngulo ABC es un ´angulo recto.

5.

B

A

C O

Consideramos el tria ´ngulo ABC de la figura en el que se han dibujado dos de sus alturas AP y BQ.

A Q

a) Escribe el vector CH en funcio´n de los vectores CB y BH.

H

b) Escribe el vector BA en funcio´n de los vectores CA y CB. c) Calcula el producto escalar CH · BA.

B

C

P

d) Interpreta geome´tricamente el resultado obtenido en el apartado anterior.

6.

Dibuja un trapecio del cual so´lo conoces las medidas de sus bases y las de sus dos diagonales.

7.

Trata de dibujar un paralelogramo cuyos ve´rtices este´n situados en cada uno de los lados del cuadrado ABCD de la figura y uno de cuyos lados tenga la misma longitud y la misma direccio´n que el vector de extremos M y N.

B

A

N M D

8.

Los pueblos A y B esta´n situados a ambos lados del rı´o limitado por las rectas paralelas r y s, tal y como muestra la figura. Los ayuntamientos de ambas localidades quieren construir un puente que atraviese el rı´o y que cumpla las condiciones siguientes: i) El puente debe ser perpendicular a las rectas r y s. ii) El camino que va de A a B, atravesando el puente, debe ser mı´nimo. Indica el lugar exacto donde se ha de realizar la construccio´n.

C A

r

s B

SOLUCIONES 1.

Un vector perpendicular a a es b ⫽ (⫺1, 3).

6.

u ⫽ 2i ⫺ 3j ⫽ (2, ⫺3) ␭(3, 1) ⫹ ␮(⫺1, 3) ⫽ (3␭ ⫺ ␮, ␭ ⫹ 3␮) 3 11 3␭ ⫺ ␮ ⫽ 2 ␭⫽ ,␮⫽⫺ ␭ ⫹ 3␮ ⫽ ⫺3 10 10

Consideremos el problema resuelto tal y como se ve en la figura. A

D A

D

冦

Por tanto: u ⫽

2.

3 11 a ⫺ b 10 10

B'

Observamos que al trasladar la diagonal DB segu´n ´ngulo AB⬘C que el vector DA se puede formar el tria tiene por lados las dos diagonales conocidas y la suma de las dos bases. Por tanto, para construir el trapecio dibujamos primero el tria ´ngulo B⬘AC y posteriormente dibujamos el segmento paralelo al B⬘A y que tiene por extremo el punto B. El otro extremo sera´ el ve´rtice D del trapecio.

a) DB ⫽ DA ⫹ AB AC ⫽ AB ⫹ BC ⫽ AB ⫺ DA b) AC · DB ⫽ (AB ⫺ DA) · (DA ⫹ AB) ⫽ ⫽ AB · DA ⫹ AB · AB ⫺ DA · DA ⫺ DA · AB ⫽ ⫽ W ABW2 ⫺ W DAW2 ⫽ l2 ⫺ l2 ⫽ 0 c) Las diagonales de un rombo son siempre perpendiculares.

3.

C

B

7.

A

P

A c B

b

a

C

D

a⫹b ⫹c⫽0 a ⫽ ⫺(b ⫹ c) a · a ⫽ (b ⫹ c) · (b ⫹ c) ⫽ b · b ⫹ b · c ⫹ c · b ⫹ c · c a2 ⫽ b2 ⫹ c2 ⫹ 2b · c ⫽ b2 ⫹ c2 ⫹ 2bc · cos(180⬚ ⫺ A) a2 ⫽ b2 ⫹ c2 ⫺ 2bc cos A

4.

AB ⫽ AO ⫹ OB OB ⫹ BC ⫽ OC BC ⫽ OC ⫺ OB ⫽ AO ⫺ OB AB · BC ⫽ (AO ⫹ OB) · (AO ⫺ OB) ⫽ ⫽ AO · AO ⫺ OB · OB ⫽ ⫽ r2 cos 0⬚ ⫺ r2 cos 0⬚ ⫽ r2 ⫺ r2 ⫽ 0

Q C

R

Trazamos el cuadrado auxiliar que se obtiene al trasladar el dado segu ´n el vector guı´a MN. Los dos cuadrados se cortan en los puntos P y Q. Los puntos R y S se obtienen como los homo´logos de P y Q respecto de la traslacio´n de vector guı´a NM ⫽ ⫺MN. Los puntos P, S, R y Q son los ve´rtices del paralelogramo buscado.

Sea r el radio de la circunferencia.

Por tanto: AB ⬜ BC

B

S

8.

A

r

ABC r ⫽ 90⬚

P u A'

5.

a) CH ⫽ CB ⫹ BH b) BA ⫽ CA ⫺ CB c) CH · BA ⫽ (CB ⫹ BH) · (CA ⫺ CB) ⫽ ⫽ CB · CA ⫺ CB · CB ⫹ BH · CA ⫺ BH · CB ⫽ ⫽ CB · CA ⫺ CB · CB ⫺ BH · CB ⫽ ⫽ CB (CA ⫺ CB ⫺ BH) ⫽ CB (CA ⫺ CH) ⫽ ⫽ CB · HA ⫽ 0 d) Los vectores CH y BA son perpendiculares y el segmento CH estara ´ contenido en la tercera altura del tria ´ngulo. Por ello, se deduce que las tres alturas de un tria ´ngulo son concurrentes en el punto H.

s Q B

Consideramos el vector u perpendicular a r y s y cuyo origen esta ´ en r y extremo en s. Se calcula el punto A⬘ homo´logo de A en la traslacio´n de vector guı´a u. La interseccio´n de la recta que pasa por A⬘ y B con s es el punto Q. El punto P es el homo´logo de Q en la traslacio´n de vector guı´a ⫺u. El lugar buscado para la ubicacio´n del puente es el correspondiente al segmento PQ. El camino A P Q B es mı´nimo, ya que los puntos B, Q y A⬘ esta ´n alineados.