1

CAPITULO 1

L´ımites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hern´andez Sabor´ıo

Instituto Tecnol´ ogico de Costa Rica Escuela de Matem´ atica

··· Revista digital Matem´ atica, educaci´ on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

2 Cr´ editos

Edici´ on y composici´ on final: Gr´ aficos:

´ Rosario Alvarez, 1984. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´ on, Marianela Abarca, Lisseth Angulo y Walter Mora. Evelyn Ag¨ uero. Walter Mora, Marieth Villalobos, Evelyn Ag¨ uero.

Comentarios y correcciones:

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Primera edici´ on impresa: Edici´ on LaTeX:

Contenido 1.1

1.2

L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Idea intuitiva de l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Generalizaci´on del concepto de l´ımite . . . . . . . . . . . 1.1.3 Formalizaci´on de la idea intuitiva de l´ımite . . . . . . . . 1.1.4 Definici´on de l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Definici´on de l´ımites laterales o unilaterales . . . . . . . . 1.1.7 Teoremas fundamentales sobre l´ımites . . . . . . . . . . . 1.1.8 Otros aspectos sobre l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.9 L´ımites que involucran funciones trigonom´etricas . . . . . 1.1.10 L´ımites infinitos y l´ımites al infinito . . . . . . . . . . . . 1.1.11 Teoremas sobre l´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.12 L´ımites que involucran la funci´on exponencial y la funci´on Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Definici´on de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Discontinuidades evitables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Continuidad en un intervalo [a,b] . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Definici´on de continuidad utilizando ² y δ . . . . . . . . . 1.2.6 Teoremas sobre continuidad de funciones . . . . . . . . . 1.2.7 Algunas propiedades de las funciones continuas . . . . . . 1.2.8 Continuidad y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.9 Propiedades de las funciones inversas . . . . . . . . . . . . 1.2.10 Valores m´aximos y m´ınimos para funciones continuas . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 4 7 9 10 14 15 19 27 32 39 49 65 70 70 72 74 76 78 79 81 85 88 91

4

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

1.1 1.1.1

L´ımites Idea intuitiva de l´ımite

En este cap´ıtulo vamos a presentar la idea formal de l´ımite como una operaci´on aplicada a una funci´on en un punto. Se establecer´an tambi´en algunos teoremas sobre l´ımites de sumas, productos y cocientes de funciones. Iniciaremos nuestro estudio con la idea intuitiva de l´ımite. La presentaci´on de los ejemplos siguientes pretenden dar una idea del significado del l´ımite de una funci´on en un punto.

Ejemplo 1 Consideramos la funci´on definida por f (x) = x2 − 1 con dominio en R. La representaci´on gr´afica es la siguiente:

Figura 1.1:

Nos interesa observar el comportamiento de la funci´on f para valores de x cercanos a 2 pero no iguales a 2. Veamos las tablas siguientes: Tabla a: x 1,25 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999

Tabla b: 2

f (x) = x − 1 0,5625 1,25 2,0625 2,61 2,9601 2,996 2,9996 2,99996

x 2,75 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001

f (x) = x2 − 1 6,5625 5,25 4,0625 3,41 3,0401 3,004 3,0004 3,00004

Idea intuitiva de l´ımite

5

Puede observarse de ambas tablas que, conforme x se aproxima m´as a 2, f (x) toma, cada vez, valores m´as pr´oximos a 3. En otras palabras, al restringir el dominio de la funci´on a valores cada vez “m´as cercanos a 2”, el conjunto de im´agenes o sea, los valores que toma la funci´on, se “acercan cada vez m´as a tres”. En este caso se dice que cuando x tiende a 2, que se simboliza x → 2, entonces f (x) → 3, o sea f (x) tiende a 3. Utilizando la notaci´on de l´ımites escribimos lim f (x) = 3, que se lee: el l´ımite de f (x), cuando x tiende a 2, x→2

es igual a 3.

Ejemplo 2 Nos interesa calcular el ´area de regi´on limitada por la par´abola con ecuaci´on y = x2 , el eje X y la recta de ecuaci´on x = 1. La representaci´on gr´afica de esta regi´on es la siguiente:

Figura 1.2: f (x) = x2

Dividimos el intervalo [0, 1] en partes iguales se˜ naladas por los valores: 0,

n−1 1 2 3 , , , ..., ,1 n n n n

formando sobre cada una de las partes, un rect´angulo cuyo lado vertical izquierdo toca a la par´abola en un 1 punto, y cuya base mide en cada caso. Luego, el ´area de cada uno de estos rect´angulos podemos expresarla n como sigue: 1 1 A1 = 0 · , A 2 = n n

µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 1 1 2 1 3 1 n−1 , A3 = , A4 = , ..., An = n n n n n n n

As´ı, la suma Sn de todas la ´areas de los rect´angulos est´a dada por la siguiente igualdad:

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Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 1 1 2 1 n−1 + + ... + n n n n n 1 + 22 + 32 + ... + (n − 1)2 de donde Sn = n3 1 Como 12 + 22 + 32 + ... + (n − 1)2 = n(n − 1)(2n − 1), cuya prueba est´a al final del cap´ıtulo, entonces: 6 Sn =

1 1 ·0+ n n

Sn =

n(n − 1)(2n − 1) 6n3

µ ¶ 1 1 1 − de donde Sn = + 3 6n2 2n 1 1 1 entonces Sn = + rn Tomando rn = 2 − 6n 2n 3 Observemos que si a “n” se le asignan valores positivos cada vez m´as grandes, entonces rn se aproxima a cero. Si en la figura 2 se aumenta el n´ umero n de divisiones del intervalo, entonces crece el n´ umero de rect´angulos y la suma Sn de las ´areas de ellos se aproxima al ´area de la figura curvil´ınea. Como rn se aproxima a cero cuando n crece 1 n´ umero , y as´ı el ´area de la regi´on tiende a 3

1 indefinidamente, puede decirse que Sn = + rn se aproxima al 3 1 . 3

La expresi´on “n toma valores positivos cada vez mayores” puede sustituirse por n → +∞, (n tiende a m´as 1 1 infinito) y como Sn → , (Sn tiende a cuando n → +∞) , entonces, volviendo a utilizar la notaci´on de 3 3 l´ımites escribimos: µ ¶ 1 1 lim Sn = lim + rn = n→+∞ n→+∞ 3 3 que se lee: el l´ımite de Sn , cuando n tiende a m´as infinito, es

1 . 3

Es importante se˜ nalar que al estudiar el l´ımite de una funci´on, no se menciona el valor que toma la funci´on exactamente en el punto. As´ı, en el ejemplo 1, no importa cu´al es el valor de f (2), sino el valor de f (x) cuando x tiende a 2. Esto se debe a que el concepto de l´ımite de una funci´on en un punto es independiente del valor que toma la funci´on en este. Puede suceder que en dicho punto la funci´on no est´e definida y a´ un as´ı exista el l´ımite. El siguiente ejemplo presenta esta situaci´on.

Ejemplo 3 Sea f la funci´on definida por la ecuaci´on f (x) = La representaci´on gr´afica de f es:

2x2 − 3x − 2 para toda x ∈ R, x 6= 2. x−2

Generalizaci´on del concepto de l´ımite

Figura 1.3: f (x) =

7

2x2 − 3x − 2 , x 6= 2 x−2

De la gr´afica puede observarse que, aunque la funci´on f no est´a definida para x = 2, cuando x toma valores muy cercanos a 2 la funci´on se aproxima a 5, lo que escribimos como: lim f (x) = 5

x→2

1.1.2

Generalizaci´ on del concepto de l´ımite

Sea f una funci´on definida para valores reales en los alrededores de un n´ umero b, aunque no necesariamente en b mismo, como se representa gr´aficamente a continuaci´on:

Figura 1.4: lim f (x) = L, f (b) = L x→b

Se observa que cuando x → b entonces f (x) → L lo que se escribe como: lim f (x) = L

x→b

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Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Recordemos que al calcular lim f (x) no importa que la funci´on f est´e o no definida en b; lo que interesa es que x→b

f est´e definida en las proximidades de b. Consideremos la siguiente representaci´on gr´afica de una funci´on f cualquiera para la que f (b) = P :

Figura 1.5: lim f (x) = L, f (b) 6= L x→b

Observe que aunque f (b) 6= L, para valores de x pr´oximos a b se tiene que f (x) → L, por lo que puede escribirse siempre lim f (x) = L x→b

Observe ahora la siguiente representaci´on gr´afica de una funci´on f .

Figura 1.6: lim f (x) no existe x→b

En este caso, cuando x tiende a b por la derecha, que se escribe x → b+ , la funci´on tiende a R, pero cuando x tiende a b por la izquierda, (denotado x → b− ) los valores de f (x) tienden a T. As´ı, la funci´on f no tiende a un mismo valor cuando x → b, por lo que se dice que no existe lim f (x). x→b

Consideremos ahora la funci´on definida por f (x) =

1 con c > 0. x−c

Formalizaci´on de la idea intuitiva de l´ımite

Figura 1.7: f (x) =

9

1 , con c > 0 x−c

Observe que cuando x → c+ , entonces f (x) tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, (es decir, f (x) → +∞), y que cuando x → c− , f (x) toma valores negativos cada vez menores, (f (x) → −∞). As´ı, f (x) no tiende a ning´ un n´ umero real fijo y se dice que lim f (x) no existe. x→c

1.1.3

Formalizaci´ on de la idea intuitiva de l´ımite

En el ejemplo 1 se analiz´o el comportamiento de la funci´on f con ecuaci´on f (x) = x2 −1 en las proximidades de 2. Expresamos como lim f (x) = 3, el hecho de que para acercar los valores de la funci´on tanto como se quisiera x→2

a 3, era suficiente acercar adecuadamente x al valor 2, (x 6= 2). De otra forma, puede decirse que |f (x) − 3| es tan peque˜ no como se quiera, siempre que |x − 2| sea suficientemente peque˜ no, aunque no igual a cero. Utilizaremos las letras griegas ε (epsilon) y δ (delta) para escribir en forma m´as precisa lo anterior. ε y δ son n´ umeros reales positivos que indican qu´e tan peque˜ no queremos hacer el valor absoluto de la diferencia entre f (x) y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre x y 2 respectivamente. Se dice entonces que |f (x) − 3| ser´ a menor que ε, siempre que |x − 2| sea menor que δ y |x − 2| 6= 0. Luego, si para cada ε > 0 puede encontrarse un δ > 0 tal que |f (x) − 3| < ε si 0 < |x − 2| < δ, entonces se dice que lim f (x) = 3 x→2

Observe que se establece la condici´on 0 < |x − 2|, ya que u ´nicamente nos interesa saber como es f (x) para valores de x cercanos a 2, no en 2 mismo, en cuyo caso |x − 2| ser´ıa igual a cero. Gr´aficamente tenemos: Se tiene que, en el eje Y , los valores f (x) est´an entre 3 − ε y 3 + ε, siempre que los valores de x, en el eje de

10

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Figura 1.8: Gr´afica de f (x)

X, se localicen entre 2 − δ y 2 + δ, o sea |f (x) − 3| < ε si 0 < |x − 2| < δ. En general, el valor de ε es escogido arbitrariamente, pero la elecci´on de δ depende de la elecci´on previa de ε. No se requiere que exista un n´ umero δ “apropiado” para todo ε, si no que, para cada ε existe un δ espec´ıfico. Entre m´as peque˜ no sea el valor que se escoja de ε, m´as peque˜ no ser´a el valor del correspondiente δ. Luego, para el ejemplo 1, decimos que lim f (x) = 3, pues para cada ε > 0, existe δ > 0, tal que |f (x) − 3| < ε, siempre que 0 < |x − 2| < δ.

x→2

En general, para una funci´on f cualquiera, el lim f (x) = L significa que “la diferencia entre f (x) y L puede x→b

hacerse tan peque˜ na como se desee, haciendo simplemente que x est´e suficientemente pr´oximo a b, (x 6= b)”.

1.1.4

Definici´ on de l´ımite

´n 1 Definicio Sea f una funci´on definida en una vecindad del punto (b, 0). Se dice que lim f (x) = L, si para cada n´ umero positivo ε, por peque˜ no que este sea, es posible determinar un x→b

n´ umero positivo δ, tal que para todos los valores de x, diferentes de b, que satisfacen la desigualdad |x − b| < δ, se verificar´a la desigualdad |f (x) − b| < ε. Luego, lim f (x) = L si y s´olo si para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que, si 0 < |x−b| < δ, entonces |f (x)−L| < ε. x→b

En forma gr´afica se tiene:

Definici´on de l´ımite

11

_ _

_ _

|

|

|

|

Figura 1.10: existe δ > 0

Figura 1.9: Para cada ε > 0,

_ _

_ _

|

|

|

|

Figura 1.11: tal que, si 0 < |x − b| < δ,

Figura 1.12: entonces |f (x) − L| < ε.

Tambi´en el lim f (x) = L puede interpretarse de la forma siguiente: como de la desigualdad |x − b| < δ se x→b

deduce que |f (x) − L| < ε, entonces todos los puntos en la gr´afica de la funci´on con ecuaci´on y = f (x), que corresponden a los puntos x que se localizan a una distancia no mayor que δ del punto b, se encontrar´an dentro de una franja de ancho 2ε, limitada por las rectas y = L − ε, y = L + ε, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1.13: Gr´afica de f (x) Puede decirse entonces que la definici´on de l´ımite dada anteriormente , establece que los valores de la funci´on f se aproximan a un l´ımite L, conforme x se aproxima a un n´ umero b, si el valor absoluto de la diferencia entre f (x) y L se puede hacer tan peque˜ na como se quiera tomando x suficientemente cercana a “b”, pero no igual a “b”. Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la definici´on de l´ımite:

Ejemplo 1

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Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Probar que lim (2x − 1) = 3 x→2

Soluci´ on: Debe probarse que, dado ε > 0, existe δ > 0 , tal que |(2x − 1) − 3| < ε siempre que 0 < |x − 2| < δ. Vamos a establecer una relaci´on entre |(2x − 1) − 3| y |x − 2|. Como |(2x − 1) − 3| = |2x − 1 − 3| = |2x − 4| = |2(x − 2)| = |2||x − 2| o sea |(2x − 1) − 3| = 2|x − 2|. Entonces, para hacer |(2x − 1) − 3| menor que ε, es suficiente que |x − 2| < Luego, dado ε > 0, existe δ > 0, (δ =

ε ε , por lo que puede tomarse δ = . 2 2

ε ) tal que si 0 < |x − 2| < δ entonces |(2x − 1) − 3| < ε. 2

Ejemplo 2

Probar que lim (4x − 1) = 11 x→3

Soluci´ on: Dada ε > 0, debe encontrarse δ > 0 tal que |(4x − 1) − 11| < ε siempre que 0 < |x − 3| < δ. Como |(4x − 1) − 11| = |4x − 1 − 11| = |4x − 12| = |4(x − 3)| = 4|x − 3| entonces para que |(4x − 1) − 11| sea ε ε menor que ε es suficiente que |x − 3| < por lo que podemos tomar δ = . 4 4 ε Luego, dado ε > 0, existe δ > 0, (δ = ) tal que |(4x − 1) − 11| < ε siempre que 0 < |x − 3| < δ. 4 Ejemplo 3 Probar que lim (x2 + 2x) = 3 x→1

Soluci´ on: Debe encontrarse δ en t´erminos de ε, (ε > 0 dada), tal que |x2 +2x−3| sea menor que ² cuando 0 < |x−1| < δ. Se tiene que x2 + 2x − 3 = |(x − 1)(x + 3)| = |x − 1| · |x + 3| Como lo que nos interesa es el l´ımite cuando x tiende a 1, vamos a considerar los valores de x que est´en cerca de 1, pero que sean diferentes de 1. As´ı, tomamos |x − 1| < 1 de donde −1 < x − 1 < 1 y por tanto 0 < x < 2. Vamos a determinar un n´ umero r para el que |x + 3| < r cuando |x − 1| < 1. De la desigualdad 0 < x < 2 se obtiene que 3 < x + 3 < 5 por lo que |x + 3| < 5 y puede tomarse r = 5. Luego |x − 1| · |x − 3| < 5 · |x − 1| cuando |x − 1| < 1 Adem´as 5|x − 1| es menor que ε si |x − 1|
0 existe δ > 0 tal que si 0 < x − a < δ entonces x→a

|f (x) − L| < ε · L es el l´ımite por la derecha de f (x) en “a”.

16

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Figura 1.18: lim+ f (x) = L x→a

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de x−a, pues x−a es mayor que cero ya que x > a. b) Definici´ on de l´ımite por la izquierda

Figura 1.19: lim− f (x) = L x→a

´n 2 Definicio Se dice que lim− f (x) = R si y s´olo si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < a − x < δ entonces x→a

|f (x) − R| < ε. R es el l´ımite por la izquierda de f (x) en “a”.

Note que la expresi´on a − x es mayor que cero, pues x → a− por lo que x < a.

En adelante, determinaremos los l´ımites laterales a partir de la representaci´on gr´afica de una funci´on cuya ecuaci´on es dada.

Definici´on de l´ımites laterales o unilaterales

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Ejemplo 1 Determinar los l´ımites, en los puntos de discontinuidad, de la funci´on f definida por: ½ x+2 si x ≥ 1 f (x) = −x2 − 1 si x < 1 Primero hagamos la gr´afica de la funci´on:

Figura 1.20: Gr´afica de f (x)

El punto de discontinuidad se presenta cuando x = 1 Luego: lim f (x) = 3 y lim f (x) = −2 x→1+

x→1−

Observe que el l´ımite por la derecha (3), es diferente al l´ımite por la izquierda (2).

Ejercicios ½ 1. Represente la funci´on h definida por h(x) =

x − 1 si x + 1 si

x0

y determine los l´ımites laterales en el punto de discontinuidad.

Es posible demostrar que para que exista lim f (x) es necesario y suficiente que los l´ımites laterales existan y x→a sean iguales. Es decir, lim f (x) = L si y s´olo si lim+ f (x) = L y lim− f (x) = L x→a

x→a

x→a

Por consiguiente, si lim+ f (x) es diferente de lim− f (x) se dice que lim f (x) no existe. x→a

x→a

x→a

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Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones Ejemplo 2

Representemos gr´aficamente la funci´on definida por:

 2 x3

Determine si existen cada uno de los l´ımites siguientes:

Teoremas fundamentales sobre l´ımites

19

a. lim g(x) x→−2

b. lim g(x) x→1

c. lim g(x) x→3

d. lim g(x) x→4

e. lim g(x) x→0

Figura 1.22: Gr´afica de g(x)

1.1.7

Teoremas fundamentales sobre l´ımites

En los apartados anteriores hemos determinado el l´ımite de una funci´on en un punto, utilizando para ello la representaci´on gr´afica de la funci´on. Sin embargo, se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas b´asicos para determinar el l´ımite de una funci´on en un punto.

Teorema 1(Sobre la unicidad del l´ımite) Sea f una funci´on definida en un intervalo I ⊂ R tal que a ∈ I. Si lim f (x) = L y lim f (x) = M entonces L = M . x→a

x→a

O sea, el valor del l´ımite de una funci´on en un punto es u ´nico. Prueba: Al final del cap´ıtulo

Teorema 2 Si m y b son n´ umeros reales entonces lim (mx + b) = ma + b x→a

Prueba: Al final del cap´ıtulo

Ejemplo 1 1. lim (3x + 5) = 3 · 2 + 5 = 11 x→2

2. lim (−4x + 2) = −4 · 3 + 2 = −10 x→3

20

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Ejercicios Determine cada uno de los siguientes l´ımites: 1. lim (5x − 2) x→−3

µ 2. lim √

x→ 2

2 x+1 3

¶

Como consecuencia del teorema anterior se tiene que: a. lim x = a, con m = 1, b = 0 en f (x) = mx + b x→a

b. lim b = b, con m = 0 en f (x) = mx + b x→a

Ejemplo 2 1. lim x = 5 x→5

µ ¶ 7 7 = x→1 2 2

2. lim

3. lim √ x=

√

2

x→ 2

4. lim −1 x→

√

3=

√

3

5

Teorema 3 Si lim f (x) = L y k es un n´ umero real entonces se cumple que lim [k · f (x)] = k lim f (x) = k · L x→a

x→a

Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 3 1. lim 3(2x + 5) = 3 lim (2x + 5) = 3(2 · 2 + 5) = 27 x→2

x→2

3 3 1 (3x) = lim (x) = x→−1 5 x→−1 5 5

2. lim

lim (x) =

x→−1

3 −3 (−1) = 5 5

x→a

Teoremas fundamentales sobre l´ımites

21

Ejercicios Determine cada uno de los l´ımites siguientes: 5 (2x − 1) x→ 2 4 µ ¶ 1 2. lim 3 3x + x→r 5

1. lim √

Teorema 4 Si f (x) =

√

x con x ≥ 0 entonces lim

x→a

√

x=

√

a, con a ≥ 0.

Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 4 1. lim

√

x→5

x=

√

5

√

2. lim1 3 y = 3 lim1 y→ 2

y→ 2

√

r y=3

√ 1 3 2 = 2 2

Ejercicios Determine los l´ımites indicados: √ 1. lim 4 x x→4

√ 2. lim 5 x x→2

Teorema 5 Si f y g son dos funciones para las que lim f (x) = L y lim g(x) = M entonces se cumple que: x→a

x→a

lim [f (x) + g(x)] = lim g(x) + lim f (x) = L + M

x→a

x→a

x→a

Este teorema lo que nos dice es que el l´ımite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los l´ımites de cada una de las funciones. Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 5

22

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones 1. lim (2x + x→3

√

x) = lim 2x + lim x→3

x→3

√

x=2·3+

√

3=6+

√

3

√ √ √ 2. lim (5 + 3 x) = lim 5 + lim 3 x = 5 + 3 2 x→2

x→2

x→2

Ejercicios Determine los l´ımites siguientes: √ 1. lim (5 x + 2) x→5

2. lim5 (2x + 7) x→ 3

El teorema anterior puede extenderse a un n´ umero cualquiera finito de funciones.

Teorema 6 Si f y g son dos funciones para las que lim f (x) = L y lim g(x) = M entonces se cumple que lim [f (x) · g(x)] = L · M x→a

x→a

x→a

Es decir, el l´ımite del producto de dos funciones es igual al producto de los l´ımites de cada una de las funciones. Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Ejemplos: √ √ √ 1. lim x x = lim x · lim x = 2 2 x→2

x→2

x→2

2. lim x2 = lim x · x = lim x · lim x = (−1) · (−1) = 1 x→−1

x→−1

x→−1

x→−1

√ √ √ √ 3. lim 2 x(5x + 2) = lim 2 x · lim (5x + 2) = 2 2 · (5 · 2 + 2) = 24 2 x→2

x→2

x→2

Ejercicios Determine el valor de cada uno de los l´ımites siguientes: √ 1. lim x2 x x→4

2. lim x3 x→5

Teoremas fundamentales sobre l´ımites

23

El teorema anterior puede extenderse a un n´ umero cualquiera finito de funciones. Corolario Si f (x) = xn entonces lim xn = an , con n ∈ N. x→a

n

Observe que x = x · x · x...x (n factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que: lim xn

x→a

= = =

lim [x · x · x...x]

x→a

lim x · lim (x · x · x...x)

x→a

x→a

lim x · lim x · lim (x · x · x...x)

x→a

x→a

x→a

... lim x · lim x... lim x x→a x→a x→a | {z } n factores

= =

a · a · a...a (n factores)

=

an

µ ¶5 2 1. lim2 x = 3 x→ 3 5

2. lim 2x8 = 2 lim 2x8 = 2(−1)8 = 2 x→−1

x→−1

En particular, el l´ımite h de la en´ inesima potencia de f (x) es igual a la en´esima potencia del l´ımite de f (x). Es n decir lim [f (x)] = lim f (x) . x→a

x→a

Ejemplo 6 1. lim (3x + 5)6 = x→2

h lim (3x + 5)

x→2

· 2. lim (x2 + 3x)5 = x→−1

i6

= [3 · 2 + 5]6 = 116

¸5 lim (x2 + 3x) = [(−1)2 + 3(−1)]5 = (−2)5 = −32

x→−1

Teorema 7 Si f y g son dos funciones para las cuales lim f (x) = L y lim g(x) = M entonces se tiene que: x→a

limx→a f (x) L f (x) = = siempre que M 6= 0 lim x→a g(x) limx→a g(x) M

x→a

24

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Prueba: Se har´a posteriormente utilizando para ello un resultado sobre continuidad de funciones y el siguiente teorema.

Teorema 8 1 1 = siempre que a 6= 0 x→a x a lim

Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 7(Teorema 7 y 8) 1 1 = x→5 x 5

1. lim

2. lim

x→−3

1 1 −4 4 1 = lim 4 · = 4 lim =4· = x→−3 x x x→−3 x −3 3

lim 2x + 1 2x + 1 2·2+1 5 √ = x→2 √ = √ = √ (se aplicaron los teoremas 2 y 4) x→2 x lim x 2 2

3. lim

x→2

2x2 + 3 lim x→−3 x3 − 1

lim 2x2 + 3

=

x→−3

(por teorema 7)

lim x3 − 1

x→−3

lim 2x2 + lim 3

= 4.

lim

x→−3

x→−3

lim x − lim 1

x→−3

=

x→−3

3

(por teorema 5)

x→−3

2(−3)2 + 3 (Por teorema 3 y corolario del teorema 6) (−3)3 − 4

−21 −3 = 28 4 √ √ √ x+x−2 3+3−2 = = 3+1 5. lim 2 2 x→3 x − 3x + 1 (3) − 3(3) + 1 =

Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente los teoremas estudiados, sin hacer el desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.

Ejercicios Determine el valor de cada uno de los siguientes l´ımites: 1. lim

x→−1

x2

2x + 3 − 5x + 1

Teoremas fundamentales sobre l´ımites

25

√ 2 x + 4x − 5 2. lim x→9 3x3 − 5

Teorema 9 √ n

Si n ∈ N entonces lim

x→a

x=

√ n

a si:

i. a es cualquier n´ umero positivo. ii. a ≤ 0 y n es impar. Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 8 1. lim

√ 3

x=

2. lim

√ 4

x=

x→5

x→2

3. lim

√ 3

4. lim

√ 6

x→−8

x→64

√ 3 √ 4

x=

x=

5 2

√ 3 √ 6

−8 = −2

64 = 2

Teorema 10 Si lim f (x) = L, entonces lim x→a

p n

x→a

f (x) =

q n

lim f (x) =

x→a

√ n

L si se cumple alguna de las condiciones siguientes:

i. L ≥ 0 y n es cualquier entero positivo (n ∈ R). ii. L ≤ 0 y n es un entero impar positivo.

Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 9 1. lim

√

x→3

2. lim

5x + 3 =

x→−2

lim 5x + 3 =

x→3

p 3

2x2 + 3 =

x→−1

3. lim

q

√ 5

6x + 2 =

q 3

18

lim 2x2 + 3 =

x→−1

q 5

√

lim 6x + 2 =

x→−2

√ 5

p 3

2(−1)2 + 3 =

√ 5 −28 = − 28

√ 3

5

26

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Ejercicios Determine el valor de cada uno de los siguientes l´ımites: r 4

1. lim

x→4

x2 + 1 2

r 2. lim

6

5x2 +

x→−5

5 +4 x

Teorema 11 Si f , g y h son funciones tales que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x de cierto entorno reducido δ1 de b y adem´as lim f (x) = L = lim h(x) entonces se cumple que lim g(x) = L x→b

x→b

x→b

Prueba: Al final del cap´ıtulo.

El teorema anterior nos dice que, si para x pr´oximo a b, la funci´on g est´a comprendida entre dos funciones que tienden a un mismo l´ımite L, entonces g(x) tambi´en tiende a L. Gr´aficamente podemos tener lo siguiente:

Figura 1.23: lim f (x) = lim g(x) = lim h(x) = L x→b

x→b

x→b

Ejemplo 10 Si g es una funci´on tal que −x2 ≤ g(x) ≤ x2 para x 6= 0 y como lim (−x2 ) = 0 y lim x2 = 0 entonces se x→0

tiene que lim g(x) = 0. x→0

Sea ahora g una funci´on tal que 5 + x ≤ g(x) ≤ x2 − 9x + 30 para x 6= 5 Se tiene que lim (5 + x) = 10 y lim (x2 − 9x + 30) = 10 x→5

x→5

x→0

Otros aspectos sobre l´ımites

27

Luego lim g(x) = 10 x→5

Ejercicios Sea f una funci´on tal que −(x − 2)2 ≤ f (x) ≤ 0 para x 6= 2 Calcule lim f (x) x→2

1.1.8

Otros aspectos sobre l´ımites

En algunos l´ımites no es posible aplicar directamente los teoremas sobre l´ımites, especialmente el del l´ımite de 0 un cociente de funciones, ya que se presenta la forma indeterminada . 0 En estos casos se hace necesario realizar primero alg´ un proceso algebraico, para luego determinar el valor del l´ımite. Es indispensable en esta parte tener muy en claro los conceptos sobre factorizaci´on, racionalizaci´on y valor absoluto. Por medio de ejemplos estudiaremos:

a. L´ımites que involucran factorizaciones

Ejemplo 1 2x2 + 2x − 12 x→2 3x2 − 5x − 2 lim

Si evaluamos el numerador se obtiene: 2(2)2 + 2(2) − 12 = 0 y en el denominador: 3(2)2 − 5(2) − 2 = 0 Luego se tiene la expresi´on

0 que no tiene sentido. 0

Como 2 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorizaci´on como sigue: 2x2 + 2x − 12 = (x − 2)(2x + 6), como lim

x→2

3x2 − 5x − 2 = (x − 2)(3x + 1). Luego el l´ımite dado puede escribirse

(x − 2)(2x + 6) 2x + 6 , y simplificando se obtiene: lim que s´ı puede determinarse pues x→2 3x + 1 (x − 2)(3x + 1)

lim 3x + 1 es diferente de cero.

x→2

2x + 6 10 2x2 + 2x − 12 = lim = x→2 3x + 1 x→2 3x2 − 5x − 2 7

Luego: lim

28

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones Ejemplo 2 x3 + (1 − a)x2 − ax x→−1 x2 − x − 2 lim

Evaluando nuevamente numerador y denominador se obtiene: (−1)3 + (1 − a)(−1)2 − a(−1) = −1 + 1 − a + a = 0, (−1)2 − (−1) − 2 = 1 + 1 − 2 = 0. Puede escribirse el l´ımite anterior ya factorizados los polinomios como: lim

x→−1

x(x − a)(x + 1) (x − 2)(x + 1)

=

lim

x→−1

x(x − a) simplificando la expresi´on anterior. x−2

=

−1(−1 − a) −1 − 2

=

−

a+1 Aplicando el teorema 7 de la secci´on anterior. 3

Ejercicios x3 − 27 x→3 3x − x2

(Respuesta: −9)

1. Determinar: lim

b. L´ımites que involucran racionalizaciones

Ejemplo 3 x2 − 4 lim √ √ x→2 2− x Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a racionalizar el denominador de la forma siguiente: Ã lim

x→2

√ √ ! x2 − 4 2+ x √ √ ·√ √ 2− x 2+ x

=

√ √ (x2 − 4)( 2 + x) lim x→2 2−x

=

√ √ (x + 2)(x − 2)( 2 + x) lim x→2 −(x − 2)

=

√ √ lim [−(x + 2)( 2 + x)]

x→2

en este u ´ltimo l´ımite no hay ning´ un problema y aplicando los teoremas respectivos se obtiene como resul√ tado −8 2 .

Otros aspectos sobre l´ımites

29

Ejemplo 4 √ 3 lim

x→3

x2 + 6x − 3 x−3

Recuerde que (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3

0 , procedemos a racionalizar como sigue: 0 p √ √ 3 x2 + 6x − 3 3 (x2 + 6x)2 + 3 3 x2 + 6x + 32 √ lim · p 3 x→3 x−3 (x2 + 6x)2 + 3 3 x2 + 6x + 32 Como vuelve a presentarse la forma

√ ( 3 x2 + 6x)3 − 33 hp i lim √ x→3 (x − 3) 3 (x2 + 6x)2 + 3 3 x2 + 6x + 9

lim

x→3

(x − 3)

lim p 3

(x2

x→3

hp 3

+

(x − 3)(x + 9) i √ (x2 + 6x)2 + 3 3 x2 + 6x + 9 x+9 4 √ = 3 2 + 3 x + 6x + 9 9

6x)2

Ejercicios

1. Determinar lim

x→−1

4−

√

15 − x x2

(Respuesta: 0)

c. L´ımites con valor absoluto ½ Recuerde que |x − a| =

x−a si x ≥ a −(x − a) si x ≤ a

Ejemplo 5 lim

x→2

|x − 2| x2 − 4

0 Como |2 − 2| = |0| = 0 y 22 − 4 = 0 vuelve a obtenerse la forma . Como aparece |x − 2| de acuerdo a 0 la definici´on de valor absoluto se tiene que: ½ |x − 2| =

x−2 si −(x − 2) si

x≥2 x≤2

30

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones As´ı, para valores de x mayores que 2 la expresi´on |x − 2| se puede sustituir por x − 2, y para valores de x mayores que 2 se sustituye por −(x − 2), por lo que se hace necesario calcular los l´ımites cuando x → 2+ y cuando x → 2− , es decir, se deben calcular los l´ımites laterales. Luego: lim

1 |x − 2| x−2 1 = lim = lim = 2 + + x −4 4 x→2 (x + 2)(x − 2) x→2 x + 2

lim−

|x − 2| −(x − 2) −1 −1 = lim− = lim− = x2 − 4 (x + 2)(x − 2) x + 2 4 x→2 x→2

x→2+

x→2

Como los l´ımites laterales son diferentes entonces el lim

x→2

|x − 2| no existe. x2 − 4

Ejemplo 6 lim

x→3

2x − 6 2 − |1 − x|

Vuelve a presentarse la forma ½ |1 − x| =

1−x −(1 − x)

“0” . Analizando el valor absoluto se obtiene que: 0

si x ≤ 1 si x > 1

Como se desea averiguar el l´ımite cuando x → 3 y 3 es mayor que 1, entonces se analiza u ´nicamente el siguiente l´ımite:

lim

x→3

2x − 6 2 − |1 − x|

=

= = = = =

lim

2(x − 3) 2 − [−(1 − x)]

lim

2(x − 3) 2+1−x

lim

2(x − 3) 3−x

lim

2(x − 3) −(x − 3)

x→3

x→3

x→3

x→3

lim −2

x→3

−2

En este caso el l´ımite s´ı existe.

Ejercicios

Otros aspectos sobre l´ımites 1. Determinar el lim

x→−1

|x + 1| 2x2 + 3x + 1

31

(Respuesta: no existe)

d. L´ımites que involucran un cambio de variable

Ejemplo 7 √ 3

lim

y→0

1+y−1 √ 1− 1+y

0 Al evaluar numerador y denominador en y = 0 se obtiene . Aunque en este caso podr´ıa efectuarse una 0 racionalizaci´on, el procedimiento ser´ıa muy largo pues hay que racionalizar tanto el numerador como el denominador. Por tanto, vamos a hacer un cambio de variable en la forma siguiente: Se desea sustituir la expresi´ otra que tenga tanto ra´ız c´ ubica como ra´ız cuadrada. Luego, sea √ √ on 1 + y por 3 1 + y = u6 (observe que 6 u = c3 y u6 = u2 ). Adem´as cuando y → 0 se tiene que u6 → 1 y por tanto u → sustituye y → 0 por u → 1

√ 6

1, es decir, u → 1; en el l´ımite original se

Sustituyendo se tiene que: √ 3

√ 3

lim

y→0

1+y−1 √ 1− 1+y

=

=

lim

u→1

u6 − 1 √ 1 − u6

u2 − 1 u→1 1 − u3 lim

Aunque vuelve a presentarse la forma

“0” , la expresi´on ahora es f´acilmente factorizable. 0

As´ı: u2 − 1 u→1 1 − u3 lim

=

=

Ejemplo 8

lim

(u − 1)(u + 1) (1 − u)(1 + u + u2 )

lim

−(1 − u)(u + 1) (1 − u)(1 + u + u2 )

u→1

u→1

=

−(u + 1) u→1 (1 + u + u2 )

=

−2 3

lim

32

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones √ 5 lim

x→1

3 − 2x − 1 1−x

Nuevamente, evaluando el numerador y el denominador en 1 se obtiene

“0” 0

En este caso vamos a sustituir 3 − 2x por una expresi´on que posea ra´ız quinta. Tomamos entonces √ 5 3 − 2x = u5 pues u5 = u. Cuando x tiende a 1 se tiene que 3−2x tambi´en tiende a 1 y por tanto u5 → 1 y u →

√ 5

1 de donde u → 1.

Sustituyendo se obtiene que: √ 5 lim

x→1

3 − 2x − 1 1−x

√ 5

=

=

= = = =

u5 − 1 5 u→1 1 − 3−u 2 lim

lim

u−1

5 u→1 2−3+u 2

2(u − 1) u→1 u5 − 1 lim lim

u→1

lim

2(u − 1) (u − 1)(u4 + u3 + u2 + u + 1)

u→1 u4

+

u3

2 + u2 + u + 1

2 5

Ejercicios √ 1− 4x−1 √ x→2 1 + 3 1 − x

1. lim

1.1.9

¶ µ 3 Respuesta: 4

L´ımites que involucran funciones trigonom´ etricas

Estudiaremos aqu´ı los l´ımites de las funciones seno y coseno, y algunos l´ımites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.

Teorema 1 lim sen α = 0 y lim cos α = 1 donde α es un ´angulo que se mide en radianes.

α→0

α→0

Prueba: s Recordemos que la medida en radianes de un ´angulo se define por la igualdad siguiente: θ = , donde s el la r longitud del arco interceptado por el ´angulo, sobre una circunferencia de radio r, cuyo centro coincide con el

L´ımites que involucran funciones trigonom´etricas

33

v´ertice del ´angulo, como se muestra en la siguiente figura:

s es la medida del arco AB r es el radio del c´ırculo

Figura 1.24: Circunferencia de radio r

Consideramos ahora un c´ırculo de radio uno y un ´angulo agudo AOP cuya medida en radianes es α:

Figura 1.25: Circunferencia de radio 1

En este caso como r = 1 se tiene que α =

s por lo que α = s. 1

El tri´angulo P QA es rect´angulo y sus catetos P Q y QA miden respectivamente sen α y 1 − cos α (Note que OQ = cos α). Por el teorema de pit´agoras se obtiene que: (sen α)2 + (1 − cos α)2 < (P A)2 Como la longitud de P A es menor que la longitud del arco AP , es decir, es menor que α, se tiene que: (sen α)2 + (1 − cos α)2 < α2

34

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que: sen2 α < (AP )2 y (1 − cos α)2 < (P A)2 y como (AP )2 < α2 entonces: sen2 α < α2 y (1 − cos α)2 < α2 de donde | sen α| < |α| y |1 − cos α| < |α| Si ε es un n´ umero positivo, podemos tomar δ = ε de tal forma que | sen α| < |α| < ε y |1 − cos α| < |α| < ε siempre que 0 < |α| < δ. De otra manera: | sen α − 0| < ε siempre que 0 < |α − 0| < δ por lo que lim sen α = 0, y similarmente, | cos α − 1| < ε siempre que 0 < |α − 0| < δ por lo que lim cos α = 1

α→0

α→0

De esta forma hemos probado los dos l´ımites.

Teorema 2 lim

x→0

sen x =1 x

Prueba: Observe que este l´ımite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados de factorizaci´on, racional“0” izaci´on o cambio de variable, y que al evaluar directamente se obtiene la forma . 0 Consideremos nuevamente un c´ırculo unitario y designemos por x el ´angulo central M OB (siendo en radianes π su medida), con 0 < x < , como se muestra en la figura siguiente: 2

Figura 1.26: Circunferencia de radio 1

L´ımites que involucran funciones trigonom´etricas

35

Puede observarse que: el ´area del 4M OA < el ´area del sector M OA < el ´area del 4COA (1). Adem´as 1 1 sen x OA · M B = · 1 · sen x = . 2 2 2 1 d = 1 ·1·x= x el ´area del sector M OA = OAOM 2 2 2 1 1 tan x el ´area del 4COA = OA AC = · 1 · tan x = 2 2 2 se tiene que: el ´area del 4M OA =

Sustituyendo en (1): x tan x sen x < < de donde sen x < x < tan x 2 2 2 i πh Como x ∈ 0, entonces sen x > 0, por lo que podemos dividir los t´erminos de la desigualdad anterior por 2 sen x, sin alternar el sentido de la desigualdad, obteniendo entonces que: 1
0, (sin importar su magnitud), existe δ > 0 tal que f (x) > N siempre que 0 < |x − c| < δ.

Gr´aficamente se tiene:

Figura 1.30: Gr´afica de f (x)

Esta definici´on nos dice que es posible hacer f (x) tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier n´ umero positivo N ), tomando x suficientemente cerca de c.

Ejemplo 1

42

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Consideremos la representaci´on gr´afica de la funci´on f definida por: f (x) =

1 para x ∈ R − {0} x2

Figura 1.31: f (x) =

Demostremos ahora que lim

x→0

1 , x 6= 0 x2

1 = +∞ x2

1 Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un N > 0 existe δ > 0 tal que 2 > N siempre que 0 < |x − 0| < δ. x r √ 1 1 1 1 Observe que: 2 > N ⇐⇒ x2 < ⇐⇒ x2 < ⇐⇒ |x| < √ . x N N N 1 1 de tal forma que se satisfaga que 2 > N cuando 0 < |x| < δ. Luego, dado N > 0, escogemos δ = √ x N 1 1 Si tomamos, por ejemplo, N = 100 entonces 2 > 100 cuando 0 < |x| < √ , es decir, cuando 0 < |x| < x 100 1 √ . 10

´n 2 Definicio Se dice que f (x) decrece sin l´ımite cuando x tiende a c, que se denota por lim f (x) = −∞, si para todo n´ umero x→c

real N < 0, existe una δ > 0 tal que f (x) < N siempre que0 < |x − c| < δ

Gr´aficamente se tiene que:

L´ımites infinitos y l´ımites al infinito

43

_

Figura 1.32: Gr´afica de f (x) La definici´on anterior afirma que es posible hacer f (x) menor que cualquier n´ umero negativo N , tomando x suficientemente cerca de c.

Ejemplo 2 Consideremos la representaci´on gr´afica de la funci´on f definida por f (x) =

Figura 1.33: f (x) =

Demostremos ahora que f (x) = lim

x→4

−2 para x ∈ R − {4} (x − 4)2

−2 , x 6= 4 (x − 4)2

−2 = −∞ (x − 4)2

Para hacer la prueba debe establecerse que dado un N < 0, existe δ > 0 talque 0 < |x − 4| < δ

−2 < N siempre que (x − 4)2

−2 −2 Observe que < N ⇐⇒ > (x − 4)2 (el sentido de la desigualdad cambia pues N < 0). 2 (x − 4) N r r −2 p −2 2 > (x − 4) ⇐⇒ > |x − 4|. Adem´as N rN −2 Note que s´ı tiene sentido pues N < 0 N

44

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

r r −2 −2 −2 Luego, < N si y solo si |x − 4| < por lo tanto tomamos δ = . 2 (x − 4) N Ã !N r −2 −2 As´ı, dada N < 0, existe δ > 0, δ = tal que < N siempre que 0 < |x − 4| < δ N (x − 4)2 r r −2 1 1 −2 Si por ejemplo, tomamos N = −200 entonces δ = o sea δ = = , por lo que < −200 −200 100 10 (x − 4)2 1 siempre que 0 < |x − 4| < 10 ´n 3 Definicio Se dice que f (x) tiende a +∞ cuando x tiende a c por la derecha, y se escribe lim+ f (x) = +∞, si se cumple x→c

que a cada n´ umero positivo M , (tan grande como se quiera), corresponde otro n´ umero positivo δ, (que depende de M ) tal que f (x) > M siempre que 0 < x − c < δ. Similarmente, se dice que f (x) tiende a +∞ cuando x tiende a c por la izquierda y se escribe lim− f (x) = +∞ x→c

si f (x) > M siempre que 0 < c − x < δ (Observe que c − x es mayor que cero pues x < c ya que x → c− ).

El comportamiento de la funci´on f definida por f (x) = anterior.

1 cuando x → 2, est´a regido por la definici´on x−2

Recuerde la representaci´on gr´afica de esta funci´on hecha anteriormente.

Los s´ımbolos lim+ f (x) = −∞ y lim− f (x) = −∞ se definen an´alogamente, escribiendo f (x) < −M en vez de x→c

x→c

f (x) > M . (note que si M > 0 entonces −M < 0)

Gr´aficamente se tiene:

Figura 1.34: Gr´afica de f (x) En esta representaci´on gr´afica se tiene que tanto al acercarnos a c por la derecha como por la izquierda, los valores de la funci´on son negativos cada vez mayores, (mayores en el valor absoluto), es decir, se tiene que

L´ımites infinitos y l´ımites al infinito

45

f (x) → −∞ cuando x → c− y cuando x → c+ . ´n 4 Definicio Se dice que f (x) → +∞ cuando x → +∞ es decir, lim f (x) = +∞ si para cada n´ umero positivo M existe x→+∞

otro n´ umero positivo k, tal que f (x) > M siempre que x > k.

Podr´ıamos representar gr´aficamente este comportamiento de una funci´on f como sigue:

_

|

Figura 1.35: Gr´afica de f (x) Observe que x0 > k y que f (x0 ) > M Podemos anotar que lim f (x) = +∞ x→+∞

Ejemplo 3 Demostraremos que lim x3 = +∞ x→+∞

Para probar este l´ımite, se debe establecer que dado un M > 0, debe existir k > 0 tal que x3 > M siempre que x > K. √ √ Ahora, como x3 > M si y solo si x > 3 M , entonces, para cualquier n´ umero M > 0, podemos tomar k = 3 M de tal forma que se cumpla que x3 > M cuando x > k.

Por ejemplo, si M = 1000 entonces k = que x sea mayor que 10.

√ 3

1000 = 10. Esto significa que f (x) = x3 es mayor a 1000 siempre

La funci´on f definida por f (x) = x3 , con x ∈ R, tiene como representaci´on gr´afica la siguiente:

46

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Figura 1.36: f (x) = x3

Nota: En forma similar a la definici´on anterior pueden definirse lim f (x) = −∞, lim f (x) = −∞ y lim f (x) = +∞ x→+∞

x→−∞

x→−∞

En las siguientes representaciones gr´aficas vamos a ejemplificar el comportamiento de una funci´on f en el que se evidencien los l´ımites anteriores: a.)

c.)

b.)

Figura 1.37:

lim f (x) = −∞

x→+∞

Figura 1.38:

Ejercicios Determine los l´ımites que se indican usando la gr´afica:

lim f (x) = −∞

x→−∞

Figura 1.39:

lim f (x) = +∞

x→−∞

L´ımites infinitos y l´ımites al infinito

47

1.) a. b. c. d.

lim f (x)

x→+∞

lim f (x)

x→−2+

lim f (x)

x→−2−

lim f (x)

x→−∞

Figura 1.40: Gr´afica de f (x)

2.) a.

lim g(x)

x→−∞

b. lim− g(x) x→1

c. lim+ g(x) x→1

d.

lim g(x)

x→+∞

Figura 1.41: Gr´afica de g(x) 2x x+1

Consideraremos ahora la funci´on f definida por f (x) =

En las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento cuando x → +∞ y cuando x → −∞:

a.

x 2x x+1

b.

x 2x x+1

5

10

15

20

25

100

1000

1,66

1,81

1,87

1,9

1,92

1,98

1,998

-5

-10

-15

-20

-25

-100

-1000

-2,4

-2,22

-2,14

-2,1

-2,08

-2,02

-2,002

En ambas tablas puede observarse que cuando x toma valores positivos o valores negativos cada vez mayores, (mayores en valor absoluto), se tiene que la funci´on f tiende a acercarse a 2, por lo que se puede escribir que: lim

x→+∞

2x 2x = 2 y lim =2 x→−∞ x + 1 x+1

A continuaci´on hacemos la respectiva representaci´on gr´afica de la funci´on f :

48

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Figura 1.42: f (x) =

2x , x 6= −1 x+1

Damos ahora las definiciones para los l´ımites cuyo resultado es una constante cuando x → +∞ y cuando x → −∞. ´n 5 Definicio Sea f una funci´on con dominio K tal que para cualquier n´ umero c existen elementos de K en el intervalo [c, +∞[. El l´ımite de f cuando x tiende a m´as infinito es L, que se representa lim f (x) = L, si para cada ε > 0 existe x→+∞

un n´ umero M tal que |f (x) − L| < ε para toda x ∈ K y x > M .

Ejemplo 4 Probar que lim

x→+∞

x =1 x+2

¯ ¯ ¯ x ¯ Hay que demostrar que para ε > 0 existe M tal que ¯¯ − 1¯¯ < ε si x > M, e ∈ R − {2} x+2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x ¯ ¯ x − x − 2 ¯ ¯ −2 ¯ 2 ¯=¯ ¯= Se tiene que ¯¯ − 1¯¯ = ¯¯ x+2 x + 2 ¯ ¯ x + 2 ¯ |x + 2| Si x > −2 entonces |x + 2| = x + 2 por lo que: ¯ ¯ ¯ x ¯ ¯= 2 ¯ − 1 ¯ x+2 ¯x + 2 ¯ ¯ ¯ ¯ x 2 2 − 1¯¯ < ε si y solo si < ε, o sea, si x > − 2, por lo que Luego, dada ε > 0 se cumple que ¯¯ x+2 ε ¯ x+2 ¯ ¯ x ¯ 2 podemos tomar M = − 2 de tal forma que se verifique que ¯¯ − 1¯¯ < ε siempre que x > M . ε x+2 1 entonces M = 2 por lo que: Por ejemplo, si ε = 2 ¯ ¯ ¯ 1 ¯ x ¯ ¯ ¯ x + 2 − 1¯ < 2 si x > 2 La representaci´on gr´afica de la funci´on es la siguiente:

Teoremas sobre l´ımites infinitos

Figura 1.43: f (x) =

49

x , x 6= −2 x+2

´n 6 Definicio Sea f una funci´on con dominio K tal que para cualquier n´ umero c, existen elementos de K en el intervalo ] − ∞, c]. El l´ımite de f (x) cuando x tiende a menos infinito es L, que se representa lim f (x) = L, si para todo ε > 0 x→−∞

existe un n´ umero M tal que |f (x) − L| < ε para cada x ∈ K y x < M .

Ejercicios Utilizando la definici´on anterior y un proceso similar al desarrollado en el ejemplo inmediato anterior, pruebe que: x =1 x→−∞ x + 2 lim

1.1.11

Teoremas sobre l´ımites infinitos

Teorema 1 Si n es cualquier entero positivo, entonces se cumple que:

1. lim+

1 = +∞ xn

2. lim

1 = +∞ si n es par xn

3. lim −

1 = −∞ si n es impar xn

x→0

x→0−

x→0

Prueba: Al final del cap´ıtulo.

50

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones Ejemplo 1

lim+

x→0

1 = +∞ x

en este caso n = 1

Ejemplo 2 lim

x→0−

1 = −∞ x

con n = 1

Gr´aficamente se tiene que:

Figura 1.44: f (x) =

Ejemplo 3 lim

x→0+

1 = +∞ x5

Ejemplo 4 lim

x→0−

1 = −∞ x7

Ejemplo 5 lim

x→0+

1 = +∞ x6

Ejemplo 6 lim−

x→0

1 = +∞ x4

1 , x 6= 0 x

Teoremas sobre l´ımites infinitos

51

Ejercicios Determine cada uno de los l´ımites siguientes: 1. lim

x→0+

1 x8

2. lim−

2 x3

3. lim −

5 x6

x→0

x→0

Teorema 2 Si c es cualquier n´ umero real, lim f (x) = 0 y lim g(x) = c con c 6= 0, entonces: x→a

x→a

g(x) = +∞ si se tiene que c > 0 y f (x) → 0+ x→a f (x)

1. lim

g(x) = −∞ si se tiene que c > 0 y f (x) → 0− x→a f (x)

2. lim

3. lim

g(x) = −∞ si se tiene que c < 0 y f (x) → 0+ f (x)

4. lim

g(x) = +∞ si se tiene que c < 0 y f (x) → 0− f (x)

x→a

x→a

Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Veamos algunos ejemplos de cada uno de los casos que se mencionan en el teorema anterior.

Ejemplo 7 lim

x→2

2x x−2

Observe que si se hiciera la sustituci´on directa se obtiene la forma indeterminada

4 . 0

Como la expresi´on x − 2 puede aproximarse a cero a trav´es de valores positivos o a trav´es de valores negativos, estudiaremos los l´ımites laterales como sigue:

a. lim+ x→2

2x = +∞ x−2

Como x → 2+ , entonces x > 2 por lo que x − 2 > 0 y se dice que x − 2 → 0+ . As´ı, el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a 0+ . Luego, aplicando la parte 1 del teorema se obtiene que lim+ x→2

2x = +∞ x−2

52

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones b. lim− x→2

2x x−2

Como x → 2− , entonces x < 2 por lo que x − 2 < 0 y se tiene que x − 2 → 0− . Como el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a 0− aplicando la parte 2 del teorema anterior se 2x obtiene que lim− = −∞ x→2 x − 2 Como los l´ımites laterales son diferentes decimos que lim

x→2

2x no existe. x−2

Ejemplo 8 3x x→−1 2x + 2 lim

Observe que lim 3x = −3 y que lim (2x + 2) = 0 x→−1

x→−1

Como la expresi´on 2x + 2 puede tender hacia cero a trav´es de valores positivos o a trav´es de valores negativos debemos calcular los l´ımites laterales de la siguiente forma:

a.

lim +

x→−1

3x 2x + 2

Como x → −1+ entonces x > −1 por lo que 2x > −2 y 2x + 2 > 0 de donde 2x + 2 → 0+ . As´ı el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a 0+ , por lo que aplicando la 3x parte 3 del teorema anterior se obtiene que lim + = −∞ x→−1 2x + 2 b.

lim −

x→−1

3x 2x + 2

Como x → −1− entonces x < −1 y 2x < −2 de donde 2x + 2 < 0 y puede decirse que 2x + 2 → 0− . Luego, el numerador tiende a una constante negativa y el denominador tiende a 0− , por lo que aplicando 3x la parte 4 del teorema anterior se obtiene que lim = +∞ x→−1 2x + 2 Como

lim

x→−1+

3x 3x 3x 6= lim entonces lim no existe. x→−1 2x + 2 2x + 2 x→−1− 2x + 2

Ejercicios Calcular cada uno de los l´ımites siguientes: 1. lim

x→−2

2. lim

x→4

1−x 3x + 6

2−x 2 − x2

Teoremas sobre l´ımites infinitos

53

Teorema 3 Sean f y g funciones con dominios D1 y D2 respectivamente y sea “a” un n´ umero tal que todo intervalo abierto que contenga a “a” contiene n´ umeros diferentes de “a” en D1 ∩ D2 . Si lim f (x) = c y lim g(x) = +∞ entonces x→a

x→a

1. lim [f (x) + g(x)] = +∞ x→a

2. lim [f (x) · g(x)] = +∞ si c > 0 x→a

3. lim [f (x) · g(x)] = −∞ si c < 0 x→a

4. lim

x→a

f (x) =0 g(x)

Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 9 µ ¶ 6 lim 5x + x→2 (2x − 4)2 6 = +∞ pues (2x +4)2 → 0+ y en el numerador se tiene una constante (2x − 4)2 positiva, obteni´endose el resultado anterior al aplicar la parte 1 del teorema 2. µ ¶ 6 Luego: lim 5x + = +∞ x→2 (2x − 4)2 En este caso lim 5x = 10 y lim x→2

x→2

Ejemplo 10 lim

x→−3+

2−x x+3

Este l´ımite anterior puede escribirse como Calculamos el

lim +

x→−3

µ lim + (2 − x) ·

x→−3

1 x+3

¶ siendo f (x) = (2 − x) y g(x) =

1 x+3

1 x+3

Como x → −3+ entonces x > −3 y x + 3 > 0; adem´as la constante en el numerador es positiva por lo que 1 aplicando la parte 1 del teorema 2 se tiene que lim + = +∞ x→−3 x + 3 Ahora, el

lim (2 − x) = 5, (5 > 0) y

x→−3+

aplicando la parte 2 del teorema anterior se tiene que ¸ · 1 = +∞ lim (2 − x) · x+3 x→−3+

54

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones Ejemplo 11

lim +

x→−3

2x x+3

Este l´ımite puede escribirse como sabemos que

lim

x→−3+

· lim + 2x ·

x→−3

1 = +∞ y adem´as x+3

1 x+3

¸

lim 2x = −6, (−6 < 0)

x→−3+

por lo que aplicando la parte 3 del teorema anterior concluimos que

lim

x→−3+

2x = −∞ x+3

Ejemplo 12 " # 2x + 3 lim+ 1

x→1

x−1

En este caso se tiene que lim+ (2x + 3) = 5 y

x→1 " # 2x + 3 1 que lim = +∞ (por parte 1 del teorema 2) y del teorema 3 concluimos que lim+ =0 1 x→1 x→1+ x − 1 x−1

Teorema 4 Sean f y g dos funciones y “a” un n´ umero con la propiedad mencionada en el teorema 3. Si lim f (x) = c y lim g(x) = −∞ entonces: x→a

x→a

1. lim [f (x) + g(x)] = −∞ x→a

2. lim [f (x) · g(x)] = −∞ si c > 0 x→a

3. lim [f (x) · g(x)] = +∞ si c < 0 x→a

4. lim

x→a

f (x) =0 g(x)

Prueba: Similar a la del teorema 3.

Ejemplo 13 ¸ · 1 + 4x lim x x→2− 2 − 1 En este caso f (x) = 4x y g(x) = Calculemos lim− x→2

x 2

1 −1

x 2

1 −1

Teoremas sobre l´ımites infinitos Si x → 2− entonces x < 2,

55

x x x 2 y x − 2 > 0 por lo que (x − 2)2 > 0 y x − 2 > 0 o sea (x − 2)2 → 0+ y √ 2 x+1 x − 2 → 0+ . Luego, se tiene que lim = +∞ y lim √ = +∞ (por teorema 2), y concluimos 2 + + x→2 (x − 2) x→2 x−2 de acuerdo al teorema anterior que: ¸ · 2 x+1 lim = +∞ +√ x→2+ (x − 2)2 x−2

Ejercicios Calcule cada uno de los l´ımites siguientes: · ¸ 3x 5 + 1. lim− 2 − 2x x − 1 x→1 · 2. lim− x→1

15x (2 − 2x)(x − 1)

¸

Teorema 6 Si f y g son funciones tales que lim f (x) = −∞ y lim g(x) = −∞ entonces: x→a

x→a

Teoremas sobre l´ımites infinitos

57

1. lim [f (x) + g(x)] = −∞ x→a

2. lim [f (x) · g(x)] = +∞ x→a

Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplo 18 Calculemos: lim −

x→−3

2−x y x+3

lim −

x→−3

2x (x + 3)2

−

Como x → −3 entonces x < −3 por lo que x + 3 < 0 , o sea x + 3 → 0− y (x + 3)2 → 0+ . Luego, se tiene 2−x 2x que lim − = −∞ (por teorema 2 parte 2) y lim − = −∞ (por teorema 2). x→−3 x + 3 x→−3 (x + 3)2 Entonces, utilizando el teorema anterior se tiene que: · lim

x→−3−

¸ 2x 2−x + = −∞ y (x + 3) (x + 3)2

· lim

x→−3−

¸ 2x 2−x · = +∞ x + 3 (x + 3)2

Ejercicios Calcule los l´ımites siguientes: · 1. lim

x→2−

· 2. lim

x→2−

3+x x−5 +√ x−2 2−x 3+x x−5 ·√ x−2 2−x

¸

¸

Teorema 7 Si f y g son funciones tales que lim f (x) = +∞ y lim g(x) = −∞ entonces: x→a

lim [f (x) · g(x)] = −∞

x→a

Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 19 Calculemos: lim+

x→2

3x 1−x y lim+ x − 2 x→2 x − 2

x→a

58

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Como x → 2+ entonces x − 2 → 0+ adem´as 3x → 6 y 1 − x → −1 cuando x → 2+ . Luego, se tiene que: 3x 1−x lim = +∞ y lim+ = −∞ y aplicando el teorema anterior tenemos que: x→2+ x − 2 x→2 x − 2 ¸ · 3x 1−x lim = −∞ · x→2+ x − 2 x − 2

Ejercicios · Calcule lim

x→−1

x−1 2x · x+1 x+1

¸

Nota: Los teoremas del 1 al 7 son v´alidos cuando x → a+ , x → a− , x → +∞ y x → −∞. Teorema 8 Si p > 0 es un n´ umero real, entonces lim

x→+∞

Prueba: Al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 20 lim

x→+∞

1 =0 x5

Ejemplo 21

lim

x→+∞

5 x2

=

5· lim

=

5·0

=

0

Ejemplo 22

x→+∞

1 x2

1 =0 xp

Teoremas sobre l´ımites infinitos µ lim

x→+∞

x+2 x3

¶

µ =

lim

x→+∞

µ =

lim

x→+∞

=

0+0

=

0

x 2 + 3 x3 x

59

¶

1 2 + 3 x2 x

¶

Ejemplo 23

lim

x→+∞

3 x+1

=

lim

x→+∞

3 x(1 + x1 ) µ

=

lim

x→+∞

=

0·

=

0

3 1 · x 1+

¶ 1 x

1 1+0

Ejemplo 24 lim

x→+∞

2 5

x3

=0

Teorema 9 Si p es un n´ umero positivo tal que xp es un n´ umero real para x < 0 , entonces lim

x→−∞

1 =0 xp

Prueba: Similar a la del teorema 8.

Nota: Observe que, como x est´a creciendo a trav´es de valores negativos es necesario que xp sea un n´ umero real, por 1 3 lo que no tienen sentido expresiones como: x 2 o x 4 .

Ejemplo 25 lim

x→−∞

2 =0 x4

Ejemplo 26

60

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones Ã

1

lim

5 + x3

=

2

x3

x→−∞

lim

2

x3

x→−∞

µ =

lim

x→−∞

=

1

5

+

x3

!

2

x3

5 1 √ + √ 3 3 2 x x

¶

0

Ejemplo 27 −2 =0 x→−∞ x5 lim

Ejemplo 28 lim √

x→−∞

4 =0 −x

Note que si x → −∞ entonces −x → +∞ por lo que

√

−x s´ı tiene sentido cuando x → −∞.

Daremos ahora ejemplos de l´ımites cuando x → +∞ y cuando x → −∞. Para calcular lim f (x) y lim f (x) factorizamos la variable de mayor exponente como se evidencia a continuaci´on.

Ejemplo 29 µ 3

2

lim (3x − x + 1)

=

x→+∞

lim x

3

lim x

3

x→+∞

µ = =

Note que

x→+∞

1 1 3− + 3 x x

¶

¶

+∞

1 1 → 0, 3 → 0 y x3 → +∞ cuando x → +∞ x x

Ejemplo 30 3x + 1 x→+∞ 2x − 3 lim

x2 1 3− 3 + 3 x x

=

x(3 + x1 ) x→+∞ x(2 − 3 ) x

=

3+ x→+∞ 2 −

=

3 2

lim

lim

1 x 3 x

x→+∞

x→−∞

Teoremas sobre l´ımites infinitos pues lim

x→+∞

1 =0 y x

lim

x→+∞

−3 =0 x

Ejercicios 5x3 − x2 + 1 x→−∞ 4x3 − 2x + 1 lim

Respuesta:

5 4

Ejemplo 31 2x2 − x + 1 x→+∞ 3x + 5 lim

=

x2 (2 − x1 + x12 ) x→+∞ x(3 + x5 )

=

x(2 − x1 + x12 ) x→+∞ (3 + x5 )

lim

lim

= +∞ 1 1 Recuerde que → 0, y 2 → 0 cuando x → +∞. x x

Ejemplo 32 5x2 + 6x − 1 x→−∞ x3 − x2 + 3x lim

6 x 1 x

1 x2 ) 3 x2 )

=

x2 (5 + x→−∞ x3 (1 −

=

5 + x6 − x12 x→−∞ x(1 − 1 + 33 ) x x

=

0 (por teorema 8)

lim

− +

lim

Observe que al evaluar, el numerador tiende a una constante (5), y el denominador tiende a +∞.

Ejemplo 33

lim [

x→+∞

"s

p

x2

+ 5x + 1 − 2x]

=

x2

lim

x→+∞

" =

lim

x→+∞

" =

lim

x→+∞

√

# ¶ µ 1 5 1 + + 2 − 2x x x

r x2

# 5 1 1 + + 2 − 2x x x

# 5 1 |x| 1 + + 2 − 2x x x r

Como x est´a definida a trav´es de valores positivos entonces |x| = x.

61

62

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

" r =

5 1 x 1 + + 2 − 2x x x

lim

x→+∞

"r =

#

5 1 1+ + 2 −2 x x

lim x

x→+∞

=

#

−∞

Observe que x → +∞ y que la expresi´on dentro del par´entesis tiende a −1.

Ejemplo 34 √ 4 lim

q 3x4

x→−∞

4

2x2

+ +1−1 2x − 1

=

lim

x→−∞

=

lim

x→−∞

x4 (3 +

2 x2

+

1 x4 )

−1

2x − 1 q |x| 4 3 +

2 x2

+

1 x4

−1

2x − 1

Como x crece a trav´es de valores negativos se tiene que |x| = −x.

=

=

=

lim

x→−∞

lim

q −x 4 3 +

+

1 x4

2x − 1 ³ q x − 4 3 + x22 +

−1

1 x4

−

1 x

´

x(2 − x1 )

x→−∞

lim

2 x2

q −4 3+

x→−∞

2 x2

+

2−

1 x

1 x4

−

1 x

√ −43 2

=

Nota: Recuerde

√ n

xn = |x| si n es par.

Ejercicios √ 3 lim

x→−∞

5x3 + x2 − 1 + 2x 3x2 + 1

(Respuesta: 0)

Teoremas sobre l´ımites infinitos

63

Ejemplo 35

√ 3 x2 + 1 − x lim √ x→+∞ x+2−1

q

x2 (1 + x12 ) − x q x(1 + x2 ) − 1

3

=

lim

x→+∞

2

=

√

Note que

q

1 + x12 − x q 1 x 2 1 + x2 − 1

x3

lim

x→+∞

3

=

q ³ ´ 1 3 1 x √ 1 + − 1 3 x x2 lim ³q ´ x→+∞ √ x 1 + x2 − √1x

=

´ √ ³ 1 q 1 3 x √ 1 + − 1 3 x x2 q lim x→+∞ 1 + x2 − √1x

=

−∞

x → +∞ cuando x → +∞

Ejemplo 36 lim [

p

x→+∞

2x2 + x + 4 −

p

2x2 + 3x − 2]

Observe que:

lim

r

p

2x2 + x + 4 = lim |x|

x→+∞

lim

x→+∞

x→+∞

2+

r 1 4 1 4 + 2 = lim x 2 + + 2 = +∞ x→+∞ x x x x

r 2 2 3 3 2 + − 2 = lim x 2 + − 2 = +∞ x→+∞ x x x x

r

p

2x2 + 3x − 2 = lim |x| x→+∞

Luego se presenta la forma +∞−(+∞) para la que no tenemos ning´ un teorema que nos permita dar el resultado. Cuando se presenta esta situaci´on, primero racionalizamos y luego evaluamos el l´ımite con el proceso que ya conocemos: As´ı tenemos que:

64

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones ³p

lim

2x2

x→+∞

+x+4−

´

p

2x2

+ 3x − 2

=

= =

=

=

=

lim

hp

x→+∞

2x2

+x+4−

p

2x2

i √2x2 + x + 4 + √2x2 + 3x − 2 √ + 3x − 2 · √ 2x2 + x + 4 + 2x2 + 3x − 2

2x2 + x + 4 − (2x2 + 3x − 2) √ lim √ x→+∞ 2x2 + x + 4 + 2x2 + 3x − 2

1 x

6 − 2x q + x42 + x 2 +

3 x

−

2 x2

2+

x( x6 − 2) q + x42 + 2 +

3 x

−

2 x2

−

2 x2

x→+∞

q x 2+

lim

hq

lim

x→+∞

x

6 x

lim q

x→+∞

√

1 x

2+

1 x

+

4 x2

−2 q + 2+

3 x

i

0−2 −2 −1 √ = √ = √ 2+0+0+ 2+0+0 2 2 2

Ejemplo 37 lim (

p

x2 − x −

x→−∞

p 3

x3 + 1)

Observe que: r

p

lim

x2

x→−∞

− x = lim |x| x→−∞

r 1 1 1 − = lim −x 1 − = +∞ y x x→−∞ x

r p 1 3 3 3 lim x + 1 = lim x 1 − 2 = −∞ x→−∞ x→−∞ x

Por lo que en este caso se presenta la forma +∞ − (−∞), o sea, +∞ + ∞ para la que s´ı existe un teorema y concluimos que: lim (

x→−∞

p

x2 − x −

p 3

x3 + 1)= +∞

Ejercicios

√ 1.

lim

x→−∞

√ 3 − x + 5 − 9x √ −4x − 5 − 1

(Respuesta: 2)

L´ımites que involucran la funci´on exponencial y la funci´on logar´ıtmica

1.1.12

65

L´ımites que involucran la funci´ on exponencial y la funci´ on logar´ıtmica

Recordemos primero el comportamiento de la funci´on exponencial y el de la funci´on logar´ıtmica. 1. Funci´on exponencial creciente:

Note que:

lim ax = +∞ y lim ax = 0

x→+∞

x→−∞

Figura 1.45: f (x) = ax , con a > 1

2. Funci´on exponencial decreciente:

Note que:

lim ax = 0 y lim ax = +∞

x→+∞

x→−∞

Figura 1.46: f (x) = ax , con 0 < a < 1

3. Funci´on logar´ıtmica de base e: Tomando en cuenta las representaciones gr´aficas de las funciones exponenciales y logar´ıtmicas, estudiaremos l´ımites que involucran funciones de la forma G(x) = K f (x) con k constante.

Ejemplo 1 lim 32/(2−x)

x→2

En este caso se tiene la funci´on exponencial de base 3. 2 el denominador tiende a cero cuando x → 2, por lo que analizaremos el 2−x comportamiento de esta expresi´on cuando x → 2+ , y cuando x → 2− . Observe que en la expresi´on

66

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Observe que:

lim ln x = +∞ y lim+ ln x = −∞

x→+∞

Adem´as lim+ ln x = 0

x→0

+

y lim− ln x = 0−

x→1

x→1

+

Si x → 1 entonces x > 1 y ln x > ln 1, o sea ln x > 0 y por tanto ln x → 0+ . Si x → 1− entonces x < 1 y ln x < ln 1 por lo que ln x < 0 y ln x → 0− Figura 1.47: f : R+ → R, f (x) = ln x

a. Si x → 2+ entonces x > 2, 2 − x < 0, por lo que −x + 2 → 0− y

2 → −∞ (Teorema 2) 2−x

2 → −∞ cuando x → 2+ entonces 32/(2−x) → 0 pues estamos trabajando con la funci´on 2−x exponencial con base mayor que 1. Como

Luego lim+ 32/(2−x) = 0 x→2

b. Si x → 2− entonces x < 2, 2 − x > 0, por lo que 2 − x → 0+ y

2 → +∞ 2−x

Como el exponente de la funci´on exponencial tiende a m´as infinito entonces: 32/(2−x) → +∞ cuando x → 2− y por tanto lim 32/(2−x) . x→2−

Como los l´ımites laterales son diferentes entonces lim 32/(2−x) no existe. x→2

Ejemplo 2 2x µ ¶ x+1 1 x→−1 4

lim

Tratamos nuevamente con la funci´on exponencial, pero ahora la base es a = (Revise la representaci´on gr´afica de f (x) = ax con 0 < a < 1.)

1 1 con 0 < < 1 4 4

Calculamos los l´ımites laterales nuevamente pues el denominador de la expresi´on x → −1.

2x tiende a cero cuando x+1

µ ¶2x/(x+1) 1 a. lim 4 x→−1+ Si x → −1+ entonces x > −1 y x + 1 > 0 por lo que x + 1 → 0+ y como 2x → −1 se tiene que 2x → −∞ x+1

L´ımites que involucran la funci´on exponencial y la funci´on logar´ıtmica Luego

lim +

x→−1

67

µ ¶2x/(x+1) 1 = +∞ 4

µ ¶2x/(x+1) 1 b. lim − 4 x→−1 Si x → −1− entonces x < −1 y x+1 < 0 por lo que x+1 → 0− y como 2x → −1 entonces

2x → +∞. x+1

µ ¶2x/(x+1) 1 Luego lim − = 0. 4 x→−1 µ ¶2x/(x+1) 1 Como lim − 4 x→−1

µ ¶2x/(x+1) µ ¶2x/(x+1) 1 1 6= lim + entonces lim no existe. x→−1 4 4 x→−1

Ejemplo 3 4x + 1 x→−1 ln(2x + 3) lim

Observe que cuando x → −1 se tiene que 4x + 1 → −3 y 2x + 3 → 1 por lo que ln(2x + 3) → 0. Como el numerador tiende a una constante, y el denominador tiende a cero, es necesario calcular los l´ımites laterales como sigue: a.

lim

x→−1+

4x + 1 ln(2x + 3)

Como x → −1+ entonces x > −1 y 2x > −2 por lo que 2x + 3 > −2 + 3 y por tanto 2x + 3 > 1, de donde ln(2x + 3) > ln 1 y se tiene que ln(2x + 3) → 0+ Luego b.

lim −

x→−1

lim

x→−1+

4x + 1 = −∞ ln(2x + 3)

4x + 1 ln(2x + 3)

Como x → −1− entonces x < −1 y 2x < −2 por lo que 2x + 3 < −2 + 3 y por tanto 2x + 3 < 1, de donde ln(2x + 3) < ln 1 o sea que ln(2x + 3) < 0 y se tiene que ln(2x + 3) → 0− Por tanto:

lim

x→−1−

4x + 1 = +∞ ln(2x + 3)

Luego ln(2x + 3) < ln 1 o sea que ln(2x + 3) < 0 y se tiene que ln(2x + 3) → 0− Por tanto:

lim −

x→−1

4x + 1 = +∞ ln(2x + 3)

Como los l´ımites laterales son diferentes, se concluye que lim

x→−1

Ejercicios lim

x→2

x+2 ln(3 − x)

(Respuesta: no existe)

4x + 1 no existe. ln(2x + 3)

68

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Ejercicios

1. lim

x→1

3 4ln(2x − 1)

(Respuesta: no existe)

Ejemplo 4 lim acsc x

x→π

Se deben analizar dos casos: i. a > 1 ii. 0 < a < 1 Adem´as se debe tomar en cuanta el comportamiento de la funci´on f (x) = sen x en los alrededores de x = π, 1 por lo que el denominador tiende a cero cuando x → π. pues sen π = 0 y csc x = sen x ¤ £ es la siguiente: La representaci´on gr´afica de la funci´on sen x, en el intervalo 0, 3π 2

Figura 1.48: f (x) = sen x

Observe que cuando x → π + se tiene que sen x → 0− y que cuando x → π − entonces sen x → 0+ , por lo que 1 1 lim+ = −∞ y lim− = +∞ x→π sen x x→π sen x Ahora analicemos el l´ımite indicado. i. Cuando a > 1: 1) lim+ acsc x = lim+ a1/ sen x = 0 x→π

x→π

2) lim acsc x = lim a1/ sen x = +∞ x→π −

x→π −

Como los l´ımites laterales son diferentes entonces lim acsc x no existe. x→π

ii. Cuando 0 < a < 1:

L´ımites que involucran la funci´on exponencial y la funci´on logar´ıtmica

69

1) lim+ acsc x = lim+ a1/ sen x = +∞ x→π

x→π

2) lim− acsc x = lim− a1/ sen x = 0 x→π

x→π

Luego, los l´ımites laterales son diferentes por lo que lim acsc x no existe. x→π

Ejemplo 5 lim (ln 3)− tan x

x→ π 2

En este caso la base de la funci´on exponencial es ln 3 y ln 3 > 1. sen x π π y cos x → 0 cuando x → , analicemos la gr´afica de y = cos x cuando x → , analicemos cos x 2 2 π la gr´afica de y = cos x en los alrededores de : 2 Como tan x =

Figura 1.49: f (x) = cos x π+ sen x − sen x entonces cos x → 0− por lo que → −∞ y → +∞, es decir, − tan x → +∞. 2 cos x cos x π− sen x − sen x Si x → entonces cos x → 0+ por lo que → +∞ y → −∞, o sea, − tan x → −∞. 2 cos x cos x Si x →

Luego al calcular los l´ımites laterales se tiene que: lim (ln 3)− tan x = +∞ y lim (ln 3)− tan x = 0 π−

+ x→ π 2

x→ 2

Por lo que limπ (ln 3) x→ 2

− tan x

no existe.

Ejercicios µ ¶cot x 3 x→2π 4

1. lim

(Respuesta: no existe.)

70

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

1.2 1.2.1

Continuidad de funciones Introducci´ on

Cuando empez´o a desarrollarse el c´alculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sent´ıa la necesidad de penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexi´on con distintas clases de problemas f´ısicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier (1758-1830) sobre la Teor´ıa del calor, obligaron a los matem´aticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de funci´on y continuidad. A pesar de que el significado de la palabra “continuo” parece intuitivamente clara a todo el mundo, no es f´acil imaginarse cu´al ser´ıa una buena definici´on de esta idea. Un diccionario popular da la siguiente definici´on de continuidad: Continuidad: Cualidad o condici´on de ser continuo. Continuo: Que tiene continuidad entre las partes. Intentar aprender el significado de continuidad u ´nicamente a partir de estas dos definiciones, es lo mismo que intentar aprender chino con s´olo un diccionario chino. Una definici´on matem´atica satisfactoria de continuidad, expresada enteramente por medio de las propiedades del sistema de los n´ umeros reales, fue formulada por primera vez en 1821 por el matem´atico franc´es Agust´ın-Louis Cauchy (1789-1857) (Apostol, 1977, 156). Antes de dar la definici´on de continuidad de una funci´on en un punto, veremos el comportamiento de algunas funciones que no son continuas. Ejemplo 1   x+1 Sea f la funci´on definida por f (x) =



−x

si x ≥ −2 x < −2

Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

Figura 1.50: Gr´afica de f (x) En este caso la funci´on f est´a definida en −2 pues f (−2) = −1. Sin embargo el lim f (x) no existe ya que x→−2

lim f (x) =

x→−2+

lim (x + 1) = −1 y

x→−2+

lim f (x) =

x→−2−

lim (−x) = 2

x→−2−

Introducci´on

71

por lo que los l´ımites laterales son distintos.

Ejemplo 2 Sea g la funci´on definida por g(x) =

1 para x ∈ R, x 6= 2. Su representaci´on gr´afica es la siguiente: x−2

Figura 1.51: g(x) =

1 , x 6= 2 x−2

Note que la funci´on g no est´a definida en 2 y que adem´as lim g(x) no existe pues lim g(x) = +∞ y lim g(x) = −∞. x→2

x→2+

x→2−

Ejemplo 3 Consideremos ahora la funci´on h definida por:  √ x si x > 1      2 si x = 1 h(x) =      x si x < 1 Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

.

Figura 1.52: Gr´afica de h(x) En este caso, la funci´on h est´a definida en 1 pues h(1) = 2, adem´as lim h(x) existe y es igual a 1, pero x→1

72

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

lim h(x) 6= h(1).

x→1

Puede observarse que las gr´aficas de las funciones f , g y h, presentan “saltos bruscos” o discontinuidades en los puntos en los que no est´a definida la funci´on o en los puntos, en los que a´ un cuando la funci´on est´a definida, el l´ımite de la funci´on en ese punto no existe, o su valor es diferente al que toma la funci´on en ese punto. Luego, debemos establecer condiciones bajo las cuales se sepa con certeza cu´ando una funci´on es continua. De los ejemplos anteriores podemos deducir intuitivamente lo que se establece en la siguiente definici´on.

1.2.2

Definici´ on de continuidad

´n 1 Definicio Se dice que una funci´on f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. f (c) est´a definida, (o sea, c pertenece al dominio de f ). 2. lim f (x) existe. x→c

3. lim f (x) = f (c). x→c

La funci´on f ser´a discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.

Ejemplo 1 Determinar si la funci´on f definida por f (x) = Primero, f (2) =

3x es continua en x = 2. −x

x2

3·2 = 3 por lo que f est´a definida en 2. 4−2

Calculemos lim f (x): x→2

lim f (x) = lim

x→2

x→2

3·2 3x = = 3 (de aqu´ı lim f (x) existe). x→2 x2 − x 4−2

Como lim f (x) = f (2) entonces f es continua en x = 2. x→2

Note que f no est´a definida ni en x = 1, ni en x = 0 por lo que f es discontinua en esos puntos.

Ejemplo 2 Determine si la funci´on h definida por   |x − 4| si x 6= 4 h(x) =  4 si x = 4 es o no continua en x = 4.

Definici´on de continuidad Se tiene que h(4) = 3 (es decir, 4 pertenece al dominio de h). Adem´as lim |x − 4| = |4 − 4| = 0. x→4

Pero lim h(x) 6= h(4) por lo que h es discontinua en x = 4. x→4

La representaci´on gr´afica de la funci´on es la siguiente:

Figura 1.53: Gr´afica de h(x)

Ejemplo 3

 2 x +x−2   x+2 Sea f la funci´on definida f (x) =   −3

si x 6= −2 si x = −2

Determinar si f es continua en x = −2.

Seg´ un la definici´on de la funci´on f (−2) = −3. x2 + x − 2 (x + 2)(x − 1) = lim = lim (x − 1) = −3. x→−2 x→−2 x→−2 x+2 x+2

Adem´as lim f (x) = lim x→−2

Luego lim f (x) = f (−2) por lo que f es continua en x = −2. x→−2

La representaci´on gr´afica de esta funci´on es la siguiente:

Figura 1.54: Gr´afica de f (x)

73

74

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Ejercicios: 1. Determine si la funci´on f definida por f (x) =

4 es o no continua en x = 0. x2

2. Similarmente para la funci´on h, definida por h(x) =

1.2.3

x2

x2 − 9 , en los puntos x = −1 y x = 3. − 2x − 3

Discontinuidades evitables

Si una funci´on f es discontinua en x = a pero se tiene que lim f (x) existe, entonces sucede que f (a) no existe x→a

o que lim f (x) es diferente de f (a). Ambas situaciones se ilustran a continuaci´on: x→a

Figura 1.55: lim f (x) = L y f (a) no existe

Figura 1.56: lim f (x) = L y f (a) = m (L 6= m)

x→a

x→a

En ambos casos, la discontinuidad de la funci´on puede evitarse predefiniendo la funci´on de tal forma que f (a) sea igual al resultado del lim f (x). x→a

Ejemplo 1   |2 − x| Sea f la funci´on definida por f (x) =



1

si x 6= 2 si x = 2

Determinemos si f es continua en x = 2.

Se tiene que f (2) = 1 y que lim f (x) = lim |2 − x| = |2 − 2| = 0. x→2

x→2

Se observa que lim f (x) existe pero es diferente de f (2). x→2

Luego, si le asignamos a f (2) el valor de 0 (cero), la funci´on es continua. Puede escribirse de nuevo la definici´on de f como sigue:

Discontinuidades evitables   |2 − x| f (x) =



0

si

x 6= 2

si

x=2

75

Ambas situaciones se ilustran a continuaci´on:

Figura 1.57: lim f (x) = 0 y f (2) = 1

Figura 1.58: lim f (x) = 0 = f (2)

x→2

x→2

La discontinuidad ser´a inevitable o esencial si el l´ımite de la funci´on en el punto de discontinuidad no existe. Ejemplo 2  2  x −4 Consideremos la funci´on definida por f (x) :



x

si

x>2

si

x 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ entonces |f (x) − f (c)| < ². Sin embargo, ahora la restricci´on 0 < |x − c| no es necesaria, ya que si toma |x − c| = 0 entonces x = c y f (x) = f (c) por lo que |f (x) − f (c)| = 0 y cero es menor que ε, lo cual cumple con lo que estipula la definici´on de l´ımite. Luego puede decirse que una funci´on f es continua en c si y solo si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si |x − c| < δ entonces |f (x) − f (c)| < ε. Note que si la funci´on f es continua en c, entonces el punto (c, f (c)) est´a en la gr´afica de f y existen puntos de ella tan cercanos como se desee al punto (c, f (c)). Seg´ un la definici´on dada de continuidad, dada una ² > 0 y para cualquier selecci´on de las rectas cuyas ecuaciones son y = f (c) − ², y = f (c) + ², existen rectas con ecuaciones x = c − δ, x = c − δ tales que la parte gr´afica de f que est´a entre las dos u ´ltimas l´ıneas, queda enteramente contenida en el rect´angulo determinado por las cuatro rectas ya mencionadas, como se muestra en la figura siguiente:

Figura 1.61: Gr´afica de f (x)

Teoremas sobre continuidad de funciones

1.2.6

79

Teoremas sobre continuidad de funciones

Teorema 1 Si las funciones f y g son continuas sobre los intervalos U1 y U2 respectivamente y si U = U1 ∪ U2 entonces: a. f + g es continua sobre el intervalo U. b. f − g es continua sobre U. c. f · g es continua sobre U (Producto de dos funciones). d.

f es continua sobre U , excepto para a ∈ U tal que g(a) = 0. g

Demostraci´on: al final del cap´ıtulo.

Teorema 2 La funci´on f definida por f (x) = P (x), donde P (x) es un polinomio real, es continua para todo n´ umero real. (Recuerde que P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... a2 x2 + a1 x + a0 , an 6= 0, n ∈ N, ai ∈ R para i ∈ {0, 1, ..., n}). Demostraci´on: al final del cap´ıtulo.

Seg´ un el teorema, algunos ejemplos de funciones continuas son las siguientes: f (x) = 5x3 − 4x2 − 6x + 1. √ 5 g(x) = 2x4 − x3 + 4x − 6. 3 Ejemplo 1 La funci´on f definida por f (x) =

5x4 − 3x3 + 2x + 1 es continua para todo x ∈ R − {−2, −1, 1}, x3 + 2x2 − x − 2

ya que el polinomio en el denominador se hace cero cuando se eval´ ua en x = −2, x = −1 o x = 1.

Ejemplo 2 La funci´on g definida por g(x) =

2x2 + 7x + 1 es continua para x ∈ R tal que x 6= −3 y x 6= −4. x2 + 7x + 12

Teorema 3 Sean f y g dos funciones tales que f = {(x, u)/u = f (x)} Adem´as lim f (x) = d y g es continua en d. x→c

g = {(u, y)/y = g(u)}

80

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

h i Entonces lim g[f (x)] = g · lim f (x) = g(d) x→c

x→c

Demostraci´on: al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 3 Sean f y g dos funciones tales que: f (x) = x2 + 1, g(x) =

√

x.

Como lim f (x) = lim (x2 + 1) = 5 y g es continua para x = 5 pues x→2

lim

√

5 = g(5), entonces p q √ lim g[f (x)] = lim x2 + 1 = lim (x2 + 1) = 5.

x→5

x=

x→2

√

x→2

x→2

x→2

Teorema 4 Si g es una funci´on continua en c y f es una funci´on continua en g(c), entonces la composici´on de funciones f o g es continua en c. Demostraci´on: al final del cap´ıtulo.

Nota: La continuidad de la composici´on de funciones es v´alida para cualquier n´ umero finito de funciones, siempre y cuando se cumpla que cada funci´on sea continua en su respectivo argumento.

Ejemplo 4 1. Sean f y g dos funciones definidas por las siguientes ecuaciones g(x) = x2 + 2x + 1, f (x) =

√ 4

x.

Note que g es una funci´on polinomial y por lo tanto continua para todo x ∈ R. La funci´on es continua para x ∈ [0, +∞[. Luego la funci´on h = (f og)(x) = f (x2 + 2x + 1) = tales que x2 + 2x + 1 sea mayor o igual que cero.

√ 4

x2 + 2x + 1 ser´a continua para los valores de x

Como x2 +2x+2 = (x+1)2 y (x+1)2 ≥ 0 ∀x ∈ R, entonces la funci´on h ser´a continua para todo valor real. 1 , g(x) = 3x + 1. La funci´on f es continua para x ∈ R − {0}, 2. Consideremos las funciones definidas por √ 3 x y la funci´on g es continua para todo valor real por ser funci´on polinomial. Luego la funci´on h = f o g, dada por h(x) = √ 3 que x 6=

−1 . 3

1 se´a continua siempre 3x + 1 6= 0, es decir, siempre 3x + 1

Algunas propiedades de las funciones continuas µ 3. La funci´on f definida por h(x) = ln

x2 − 4 x+1

¶ es continua siempre que

81

x2 − 4 sea mayor que cero. x+1

Esta u ´ltima condici´on se satisface cuando x ∈] − 2, −1[ ∪ ]2, +∞[.

Teorema 5 La funci´on seno definida por y = sen x es continua sobre todo su dominio, es decir, sobre todo R. Demostraci´on: al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 5 µ ¶ 6 La funci´on f definida por f (x) = sen es continua siempre que x sea diferente de cero, pues en x = 0 se x 6 tiene que no est´a definida. x Teorema 6 La funci´on coseno denotada por y = cos x es continua sobre todo su dominio R. Demostraci´on: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplo 6 √ √ La funci´on h(x) = cos x puede considerarse como la composici´on de las funciones con ecuaciones f (x) = x, g(x) = cos x. Como la funci´on f es continua para x ≥ 0 y la funci´on g es continua para todo x en R, entonces la funci´on h es continua siempre que cos x sea mayor o igual a cero, lo que sucede h π πi cuando x ∈ (2n − 1) , (2n + 1) , n ∈ Z, |n| par. 2 2

1.2.7

Algunas propiedades de las funciones continuas

Daremos ahora algunas propiedades de las funciones continuas sobre un intervalo, cuya interpretaci´on geom´etrica parece hacerlas evidentes. Teorema 1 Sea f una funci´on continua en c tal que f (c) 6= 0. Existe entonces un intervalo ]c − δ, c + δ[ en el que f tiene el mismo signo que f (c). Demostraci´on: al final del cap´ıtulo.

Gr´aficamente se tiene:

82

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Figura 1.62: Gr´afica de f (x)

En este caso f (x) > 0 para x cercano a c, pues f (c) > 0.

Teorema 2(Teorema de Bolzano) Sea f una funci´on continua en cada punto de un intervalo cerrado [a, b], de donde f (a) y f (b) tiene signos opuestos. Entonces existe por lo menos un punto x = c en el intervalo abierto ]a, b[ tal que f (c) = 0. Geom´etricamente puede interpretarse este teorema como sigue:

La gr´afica de la funci´on continua con ecuaci´on y = f (x), que une los puntos P (a, f (a)) y Q(b, f (b)), donde f (a) < 0 y f (b) > 0, (o bien f (a) > 0, f (b) < 0), corta o interseca el eje X en por lo menos un punto, como se representa en las figuras siguientes:

Figura 1.63: Note que f (c) = 0. En este caso f (c1 ) = 0, f (c2 ) = 0 y f (c3 ) = 0.

Algunas propiedades de las funciones continuas

83

Ejemplo 1 Consideremos la funci´on f con ecuaci´on f (x) = x3 − 4 en el intervalo [−1, 2]. Como f (−1) = −5, (−5 < 0), f (2) = 4, (4 > 0), entonces existe por lo menos un x = c en ] − 1, 2[ tal que f (c) = 0. En este caso c =

√ 3

4. Gr´aficamente se tiene:

Figura 1.64: f (x) = x3 − 4.

Ejemplo 2 Consideremos ahora la funci´on con ecuaci´on f (x) = x3 − 2x2 − 4x en el intervalo [−2, 4]. Como f (−2) = −8 y f (4) = 16, entonces existe por lo menos un valor x = c en el intervalo ] − 2, 4[ tal que f (c) = 0. La representaci´on gr´afica de la funci´on es la siguiente:

4

Figura 1.65: f (x) = x3 − 2x2 − 4x.

Note que la funci´on interseca al eje√X en un valor entre √ −2 y −1 en x = 0, y en un valor entre 3 y 4. Resolviendo f (x) = 0 se obtiene que c1 = 1 − 5, c2 = 0, c3 = 1 + 5.

Teorema 3( Teorema del valor intermedio para funciones continuas)

84

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Sea f una funci´on definida y continua en cada punto de un intervalo [a, b]. Si x1 y x2 son dos puntos cualesquiera de [a, b] tales que x1 < x2 y f (x1 ) 6= f (x2 ), entonces la funci´on f toma todos los valores comprendidos entre f (x1 ) y f (x2 ) por lo menos una vez en el intervalo ]x1 , x2 [. Gr´aficamente se tiene lo siguiente:

Figura 1.66: Gr´afica de f (x) En otras palabras, si en los extremos del segmento dado la funci´on toma valores diferentes f (x1 ) = A, f (x2 ) = B, siempre se encontrar´ a un punto x = C, comprendido entre x1 y x2 , tal que f (c) = k, cualquiera que sea el n´ umero k entre los valores A y B.

Ejemplo 3 1 Consideremos la funci´on f con ecuaci´on f (x) = definida en el intervalo x es la siguiente:

Figura 1.67: f (x) =

En este caso f

·

¸ 1 , 4 , cuya representaci´on gr´afica 2

1 x

µ ¶ 1 1 1 = 2 y f (4) = (obviamente 2 6= ) 2 4 4

1 Entonces, seg´ un el teorema anterior, siempre se encontrar´a alg´ un valor entre y 4 cuya imagen est´e compren2 1 dida en 2 y . 4 ·¶ µ ¸ 1 ,4 tal que f (1) = 1. Si f (x) = 1 existe x = 1, 1 ∈ 2

Continuidad y funciones 3 Si f (x) = existe x = c, 2

85

µ ¸ ·¶ 1 3 2 c ∈ ,4 tal que f (c) = ; en este caso c = . 2 2 3

Es necesario hacer notar que el Teorema del Valor Intermedio es v´alido u ´nicamente cuando la funci´on es continua en un intervalo dado. En caso de que la funci´on sea discontinua, el teorema no siempre se cumple.

Ejemplo 4 Consideremos la funci´on g en el intervalo [0, 2] definida por la siguiente ecuaci´on:

g(x) =

 2   2x + 1

si

x ∈ [0, 1[

  −x + 3 2

si

x ∈ [1, 2]

La representaci´on gr´afica es la siguiente:

Figura 1.68: Gr´afica de g(x)

Note que la funci´on es discontinua en el intervalo [0, 2], pues en x = 1, el lim g(x) no existe. Se tiene que x→1 1 f (0) = 1 y que f (2) = − . 2 µ ¶ 1 1 Si se toma un valor k entre y 1, < k < 1 , no existe ning´ un valor c entre 0 y 2, tal que f (c) = k, pues la 2 2 1 3 funci´on nunca toma valores entre y 1. Si se trazara una recta con ecuaci´on y = , ´esta nunca intersecar´ıa a 2 4 la curva. De aqu´ı que la condici´on de continuidad en el intervalo es indispensable para que se cumpla el teorema.

1.2.8

Continuidad y funciones

Antes de establecer las relaciones entre las funciones inversas y los teoremas sobre continuidad, daremos las siguientes definiciones.

86

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Definici´ on: (Funci´ on estrictamente creciente o estrictamente decreciente)

Se dice que una funci´on f definida en un intervalo [a, b] es estrictamente creciente, si para cada x1 ∈ [a, b], x2 ∈ [a, b] con x1 < x2 se tiene que f (x1 ) < f (x2 ).




>

Figura 1.70:

Ejemplo 1 La funci´on con ecuaci´on f (x) = x2 − 1 es estrictamente creciente en el intervalo de [0, 2], como se muestra en la gr´afica siguiente: Ejemplo 2 √ La funci´on con ecuaci´on f (x) = − 3 x es decreciente en el intervalo [−8, 1] como se muestra en la figura siguiente:

Continuidad y funciones

87

Figura 1.71: f (x) = x2 − 1

√ Figura 1.72: f (x) = − 3 x

Consideremos ahora la gr´afica de una funci´on f , denotada por y = f (x), que es continua y estrictamente creciente en un intervalo [a, b]: Seg´ un el teorema del Valor Intermedio, si “y” est´a comprendido entre f (a) y f (b), entonces existe por lo menos un x ∈ [a, b] tal que y = f (x). En este caso, como f es una funci´on estrictamente creciente, si y ∈ [f (a), f (b)], existe un u ´nico valor x ∈ [a, b] tal que y = f (x). Podr´ıa establecerse una nueva funci´on g que tomara a “y” como la variable independiente, de tal forma que x sea igual a g(y). Esta nueva funci´on g recibe el nombre de funci´on inversa de la funci´on f y se denota por f −1 .

Definici´ on: (Funci´ on inversa) Sea f una funci´on determinada por {(x, y)/y = f (x)}. Si existe una funci´on f −1 tal que x = f −1 (y) si y solo si y = f (x), entonces f −1 recibe el nombre de funci´on inversa y est´a determinada por {(y, x)/x = f −1 (y)}. El dominio de f −1 es el rango de f y el rango de f −1 es el dominio de f . As´ı: f : [a, b] → [f (a), f (b)], y = f (x). f −1 : [f (a), f (b)] → [a, b], x = f −1 (y).

88

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Figura 1.73: Gr´afica de f (x)

Ejemplo 3 La funci´on f : [0, +∞[→ [1, +∞[, f (x) = x2 + 1 tiene como funci´on inversa, la funci´on definida por: f −1 : [1, +∞[→ [0, +∞[,f −1 (x) =

√

x − 1.

La representaci´on gr´afica de ambas funciones es la siguiente:

Figura 1.74: Gr´afica de f (x) y f −1 (x)

Note que una funci´on y su inversa son sim´etricas respecto a la gr´afica de la funci´on identidad.

1.2.9

Propiedades de las funciones inversas

Teorema 1 Si una funci´on f es continua y estrictamente creciente en un intervalo [a, b], entonces:

Propiedades de las funciones inversas

89

Figura 1.75: Gr´afica de f (x) y f −1 (x)

1. Existe la funci´on inversa f −1 en el intervalo [f (a), f (b)]. 2. f −1 es estrictamente creciente en [f (a), f (b)]. 3. f −1 es continua en [f (a), f (b)]. Demostraci´on: al final del cap´ıtulo.

Ejemplo 1 Sea f la funci´on definida por: f : [1, +∞[→ [0, +∞[, f (x) = x2 − 1. Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

Figura 1.76: Gr´afica de f (x) Se observa que f es continua y estrictamente creciente en [1, +∞[. Luego, seg´ un el teorema existe una funci´on inversa f −1 que tambi´en es continua y estrictamente creciente. Dicha funci´on est´a definida de la manera siguiente: f −1 : [0, +∞[→ [1, +∞[, f −1 (x) =

√

Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

Teorema 2 Si una funci´on f es continua y estrictamente decreciente en un intervalo [a, b] entonces:

x + 1.

90

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Figura 1.77: Gr´afica de f −1 (x)

1. f posee una funci´on inversa denotada f −1 , definida en [f (a), f (b)]. 2. f −1 es decreciente en [f (a), f (b)]. 3. f −1 es continua en [f (a), f (b)].

Ejemplo 2 Consideremos la funci´on f definida como sigue: f :] − ∞, 0] → [0, +∞[, f (x) =

√

−x.

Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

Figura 1.78: f (x) =

√

−x

La funci´on f es continua y estrictamente decreciente por lo que posee funci´on inversa que tambi´en es continua y estrictamente decreciente. Dicha funci´on est´a definida por: f −1 : [0, +∞[→] − ∞, 0], f −1 (x) = −x2 . Su representaci´on gr´afica es la siguiente: Ejercicios: 1. Sea f la funci´on definida por f : [−3, 0] → [−8, 1], f (x) = −(x + 2)3 . Represente gr´aficamente esta funci´on. Si f cumple las condiciones del teorema 1 o del teorema 2, determine f −1 y haga la respectiva representaci´on gr´afica.

Valores m´aximos y m´ınimos para funciones continuas

91

y 2 1 -1

x

Figura 1.79: f −1 (x) = −x2 · 2. Proceda en forma similar a lo enunciado en el punto anterior para f :

· 2x − 1 1 , +∞ → [0, +∞[, f (x) = . 2 x

Nota: Los teoremas 1 y 2 enunciados anteriormente, ser´an de gran utilidad cuando estudiamos las funciones trigonom´etricas inversas y sus derivadas en el pr´oximo cap´ıtulo.

1.2.10

Valores m´ aximos y m´ınimos para funciones continuas

Definici´ on: M´ aximo absoluto y m´ınimo absoluto Sea f una funci´on real de variable real definida en un conjunto U de n´ umeros reales. a. Se dice que la funci´on f posee un m´aximo absoluto en el conjunto U , si existe por lo menos un valor c en U tal que f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ U . El n´ umero f (c) recibe el nombre de m´aximo absoluto en f en U . b. Se dice que f posee un m´ınimo absoluto en U si existe un valor d en U tal que f (d) ≤ f (x) para todo x ∈ U .

Ejemplo 1 Consideremos la funci´on f definida por:

f (x) =

 

x+1

si x < 1



x2 − 6x + 7

si x ≥ 1

en el intervalo [−2, 4]. Su representaci´on gr´afica en este intervalo es la siguiente: Como f (x) ≤ f (1) para todo x ∈ [−2, 4] entonces el m´aximo absoluto de la funci´on es f (1) = 2.

92

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Figura 1.80: Gr´afica de f (x)

Como f (x) ≥ f (3) para todo x ∈ [−2, 4] entonces el m´ınimo absoluto de la funci´on es f (3) = −2.

Ejemplo 2 ¸ Consideremos la funci´on f definida por f : [−4, 0[ →

¸ 1 1 −∞, − , f (x) = . 4 x

Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

Figura 1.81: Gr´afica de f (x)

En este caso f (x) ≤ f (−4) para todo x ∈ [−4, 0[, por lo que f (−4) =

−1 es el m´aximo absoluto de f . 4

Sin embargo, esta funci´on no posee un m´ınimo absoluto. Note que lim− x→0

1 = −∞ x

Teorema de acotaci´ on para funciones continuas Si f es una funci´on continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces f es acotada en [a, b], es decir, existe un n´ umero k ≥ 0 tal que |f (x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b]. Una demostraci´on de este teorema aparece en el libro Calculus de Tom M. Apostol.

Valores m´aximos y m´ınimos para funciones continuas

Ejemplo 3 Sea f una funci´on definida por f : [1, 4] → [1, 2], f (x) =

2 . x

Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

Figura 1.82: f (x) =

2 x

Se observa que f es continua para todo x ∈ [1, 4]. 1 1 Note que ≤ f (x) ≤ 2 lo que puede escribirse como −2 ≤ ≤ f (x) ≤ 2, de donde −2 ≤ f (x) ≤ 2. 2 ¯ ¯2 ¯2¯ ¯ ¯ Luego ¯ ¯ ≤ 2 para x ∈ [1, 4] por lo que f es acotada en [1, 4]. x

Ejemplo 4 · Considere la funci´on definida por: f : [0, 5[ −→

¸ 5 (x − 2)2 − , 2 , f (x) = 2 − 2 2

Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

Figura 1.83: f (x) = 2 −

Se observa que f es continua para todo x ∈ [0, 5].

(x − 2)2 2

93

94

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

−5 −5 5 −5 5 Se tiene que ≤ f (x) ≤ 2 para x ∈ [0, 5], por lo que ≤ f (x) ≤ 2 ≤ de donde ≤ f (x) ≤ y por 2 2 2 2 2 tanto |f (x)| ≤

5 para x ∈ [0, 5]. 2

Luego f es acotada en [0, 5].

Si una funci´on f es acotada en un intervalo cerrado [a, b], entonces el conjunto de todos los valores de f (x) est´a acotado tanto superior como inferiormente. Luego, este conjunto posee un extremo superior y un extremo inferior denotados por sup f e inf f respectivamente. Se escribe entonces: sup f = sup{f (x)/a ≤ x ≤ b} inf f = inf{f (x)/a ≤ x ≤ b} El sup f es el mayor de los f (x) para x ∈ [a, b]. El inf f es el menor de los f (x) para x ∈ [a, b]. Para cualquier funci´on acotada se tiene que inf f ≤ f (x) ≤ sup f para todo x ∈ [a, b]. µ ¶ −5 −5 En el ejemplo inmediato anterior se tiene que el sup f es 2, y que el inf f es ≤ f (x) ≤ 2 . 2 2

Teorema 1( Teorema del m´aximo (m´ınimo) para funciones continuas) Si una funci´on f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces existe puntos c y d en [a, b] tales que f (c) = sup f y f (d) = inf f .

Seg´ un el teorema, podemos decir que si f es continua en [a, b] entonces el sup f es su m´aximo absoluto, y el inf f es su m´ınimo absoluto. Luego, por el teorema del valor medio, los valores que toma f estar´an en el intervalo [inf f, sup f ]. Es indispensable que el intervalo sea cerrado, pues de no serlo, puede ocurrir que aunque una funci´on sea continua en un intervalo abierto, no alcance en ´el ni su valor m´aximo ni su valor m´ınimo. Ejemplo 5 i π πh Sea f la funci´on definida por f : − , → R, 2 2 Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

f (x) = tan x.

Valores m´aximos y m´ınimos para funciones continuas

-1

95

1

Figura 1.84: f (x) = tan x ¸

−π π Observe que aunque f es continua en , 2 2 ni sup f.

· no posee ni m´aximo ni m´ınimo absoluto, o sea no tiene ni inf f

Ejemplo 6 ·

· 1 1 Sea f la funci´on definida por f : ]0, 4] −→ , ∞ , f (x) = 4 x 1 1 En la gr´afica siguiente puede apreciarse que f (x) ≥ para x ∈ ]0, 4], por lo que inf f = . Sin embargo f no 4 4 posee un valor m´aximo absoluto.

Figura 1.85: f (x) =

Ejemplo 7 Sea f la funci´on definida por f : [0, 3] → [0, 4], f (x) = (x − 1)2 .

1 x

96

Cap´ıtulo 1: L´ımites y Continuidad de funciones

Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

Figura 1.86: f (x) = (x − 1)2 En este caso, el intervalo en el que est´a definida la funci´on f s´ı es cerrado. Note que f (3) > f (x) para x ∈ [0, 3] por lo que existe c = 3 en [0, 3] tal que f (3) = sup f . Adem´as f (1) > f (x) para x ∈ [0, 3], por lo que existe d = 1 en [0, 3] tal que f (1) = inf f. Se tiene entonces que sup f es el m´aximo absoluto de la funci´on y el inf f corresponde a su m´ınimo absoluto.