APUNTE TEORICOTEORICO-PRACTICO: PRACTICO: LÍMITES DE FUNCIONES FUNCIONES UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 1 Carreras: Lic. en Economía Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 1ero Año: 2016

Introducción a los límites Consideremos la siguiente función cuyo Dominio es el conjunto de todos los números reales, excepto el 3. Es decir: Dom = R − {3}.

− x + 7 si x < 3 f ( x) =  2 x − 2 si x > 3 Tomemos el punto de abcisa 3. Sea entonces x0 = 3. Vamos a acercarnos a este valor por derecha e izquierda, es decir, tomando valores mayores que 3 y menores que 3. De cada valor que tomamos, hallamos su imagen. Obtenemos las siguientes tablas: x 2,8 2,9 2,99 2,999 2,9999

f(x) 4,2 4,1 4,01 4,001 4,0001

x 3,2 3,1 3,01 3,001 3,0001

f(x) 4,4 4,2 4,02 4,002 4,0002

Vemos que si nos acercamos por la derecha o por la izquierda a x0 = 3 las imágenes se acercan a un único valor que es el 4. Cuanto más nos acerquemos en el eje X al 3, más nos acercaremos en el eje Y al 4. Si esto se cumple siempre, concluimos que el valor 4 es el límite de la función dada en el punto x0 = 3. Es decir, L = 4. (Compara los valores de la tabla con el gráfico de la función) Se dice entonces que existe el límite de la función f(x) en el punto x0 = 3 y es L = 4. Daremos entonces una primera definición de límite de una función en un punto de la siguiente manera: El límite de una función f(x) en el punto x0 es el valor L al cual se acercan las imágenes (los valores de y) cuando las preimágenes (los valores de x) se acercan (por derecha y por izquierda) al valor de x0. Observemos que no nos interesa qué sucede en el punto x0 = 3, es decir, no importa si existe o no su imagen (es decir, si existe f(3) ), y en caso de que existiera tampoco importa cuál es. Para analizar la existencia o no del límite sólo nos importa lo que sucede en las cercanías del punto x0 = 3. Por lo tanto, si las imágenes de los valores cercanos a x0 se acercan cada vez más a un único valor L cuánto más cerca estén los valores x del valor x0, entonces L es el límite de la función f(x) cuando los valores de x se acercan a x0.

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1

lim

Esto se escribe así:

f ( x) = L

x → x0

Y se lee: “ el límite de la función f(x) cuando x tiene a x0 es L”. A continuación se muestra la gráfica de la función que analizamos: y

y = -x+7; -5.000000 1

si

x≠0

0 si

x=0

Ejercicio Nro. 2 Analiza cada función del ejercicio anterior en los siguientes puntos: a) x0 = 0 ; b) x0 = 2 ; c) x0 = 1 ; d) x0 = 5 ; e) x0 = 1 ; f) x0 = 0 . En cada caso, debes armar las tablas con valores menores y mayores que x0. Debes concluir si existe el límite de la función en el punto analizado o no.

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2

Definición rigurosa del límite De lo visto recién podemos concluir que la definición informal de límites dice que: Si f(x) se acerca arbitrariamente a un único número L cuando x tiende a x0 por los dos lados, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L, y se escribe: lim

x → x0

f ( x) = L

Esta definición es informal, ya que debemos dar un significado preciso a las dos frases siguientes:

“f(x) se acerca arbitrariamente a un único número L”

y

“x tiende a x0”

Es decir, debemos escribirlas de manera simbólica utilizando un lenguaje matemático riguroso. El primero en hacer esto fue Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Su definición es la que actualmente se utiliza. Antes de enunciar la definición de Cauchy debemos conocer algunos conceptos que se utilizarán en la misma.

Conceptos previos (I) Valor absoluto de un número El valor absoluto de un número real a se define como:

 a si a ≥ 0 a = − a si a < 0

De esta manera, por ejemplo, 7 = 7 y − 2 = −(−2) = 2 . Las propiedades principales que verifica el valor absoluto son: 1. a ≥ 0, ∀a ∈ R. 2. a = 0 ⇔ a = 0. 3. a ⋅ b = a ⋅ b , ∀a, b ∈ R. 4. a + b ≥ a + b , ∀a, b ∈ R. (esta propiedad se llama Desigualdad Triangular) Otras propiedades del valor absoluto: 5. − a = a , ∀a ∈ R. 6. a − b = 0 ⇔ a = b, ∀a, b ∈ R. 7. a − b = b − a , ∀a, b ∈ R. 8.

a a = , ∀a, b ∈ R, b ≠ 0. b b

9. a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b, ∀a, b ∈ R. 10. a ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ −b, ∀a, b ∈ R. Ejercicio Nro. 3 Elige distintos números reales y verifica todas las propiedades del valor absoluto. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática I (Lic. en Economía) – UNRN – Año 2016

3

Ejercicio Nro. 4 Utiliza las propiedades de valor absoluto para resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones. En el caso de las inecuaciones, escribe como intervalos las soluciones y represéntalas en la recta real. a) x = 6

b) x − 3 = 8

h) x − 20 < 8

c) − 4 ⋅ x = 12

i) x + 30 < 10

d) x ≤ 2

j) x − 1 ≥ 3

e) x ≥

k) x + 6 >

1 2

f) x − 7 < 1

g) x − 10 ≥ 2

1 3

(II) Distancia entre dos números Consideremos dos números reales a y b distintos. Queremos hallar la distancia entre ambos números. Observemos que pueden suceder dos situaciones: a > b ó a < b. En el primer caso, la distancia entre a y b será: d (a; b) = a − b . En el segundo caso será: d (a; b) = b − a . Vemos que siempre d (a; b) > 0 . Podemos generalizar la definición de distancia, sin importar si a > b ó a < b de la siguiente manera: d (a; b) = a − b Se lee “la distancia entre a y b es el valor absoluto de la diferencia entre a y b”. Observemos que en el caso particular de ser a = b la distancia será d (a; b) = a − b = a − a = 0 . La definición de distancia cumple las siguientes propiedades: 1. d (a; b) ≥ 0, ∀a, b ∈ R. Si a = b entonces d (a; b) = 0. 2. d (a; b) = d (b; a ), ∀a, b ∈ R. 3. d (a; b) + d (b; c) ≥ d (a; c), ∀a, b, c ∈ R. (Desigualdad Triangular) Ejercicio Nro. 5 Elige tres números reales distintos (no todos positivos) y verifica que se cumplen las tres propiedades de distancia. Representa en la recta de los números reales.

(III) Entorno Ahora veremos la definición de entorno, en la cual utilizaremos las nociones de distancia y valor absoluto vistas anteriormente. Dados a ∈ R y un número real ε > 0 , llamamos entorno de centro a y radio ε al conjunto de los números reales cuya distancia al punto a es menor que ε . En símbolos:

E (a; ε ) = {x ∈ R / d (a, x) < ε }

O bien (utilizando valor absoluto):

E (a; ε ) = {x ∈ R / x − a < ε }

Tomando esta última expresión, y aplicando la propiedad 9 de valor absoluto, tenemos que:

x−a 0 , o bien, x − x0 > 0 . (3) Juntando las expresiones (2) y (3) nos queda:

0 < x − x0 < δ . (4)

Ahora ya podemos escribir la definición formal de límite de una función en un punto, utilizando las expresiones (1) y (4), la cual nos queda así:

Sea f una función definida en un entorno de un punto x0 y sea L un número real. La afirmación

lim x → x0

f ( x) = L (el límite de la función f ( x) cuando x tiende a x0 es L ) significa

que:

∀ε > 0, ∃ δ > 0 / si 0 < x − x0 < δ

entonces

f ( x) − L < ε

(5)

Ahora veremos ejemplos que nos ayudarán a comprender mejor esta definición. Ejemplo Nro. 1

Dado

lim (2 x − 5) = 1 x→3

observemos que: f ( x) = 2 x − 5 ; x0 = 3 ; L = 1 .

Escribamos la definición (5) formal de límite para este caso:

∀ε > 0, ∃ δ > 0 /

si 0 < x − 3 < δ

entonces

2x − 5 − 1 < ε .

Supongamos que ε = 0,01 . Tenemos que encontrar el valor de δ apropiado. Entonces: dado ε debemos encontrar el δ tal que si 0 < x − 3 < δ entonces 2 x − 5 − 1 < 0,01 . Como 2 x − 5 − 1 < 0,01 ⇔ 2 x − 6 < 0,01 ⇔ 2( x − 3) < 0,01 ⇔

2 ⋅ x − 3 < 0,01

⇔

x−3
0, ∃ δ > 0 / si 0 < x − x0 < δ entonces x → x0

f ( x) − L < ε

Aplicada esta definición a este ejemplo, nos queda: lim (2 x − 5) = 1 x→3

⇔

∀ε > 0, ∃ δ > 0 /

si 0 < x − 3 < δ

Como (2 x − 5) − 1 < ε ⇔ 2 x − 6 < ε ⇔ 2( x − 3) < ε ⇔

2⋅ x −3 < ε

⇔

x−3
0 /

si

x ∈ ( x0 − δ ; x0 ) entonces

f ( x) − L < ε

b) Límite lateral derecho Si f(x) se acerca arbitrariamente a un único número L cuando x tiende a x0 por la derecha (es decir, con valores mayores que x0), decimos que L es el límite lateral derecho de f(x) cuando x tiende a x0 por la derecha, y se escribe: lim f ( x) = L x → x0+ Por lo tanto, la definición (5) nos queda así:

∀ε > 0, ∃ δ > 0 /

si

x ∈ ( x0 ; x0 + δ ) entonces

f ( x) − L < ε

Teorema de la existencia del límite Sea una función f , y x0 y L valores reales. lim lim lim Entonces el f (x) existe y es L si y sólo si f ( x) = L y f ( x) = L . + x → x0 x → x0 x → x0+ Es decir, el límite de una función en un punto existe si y solamente si sus límites laterales existen y son iguales. Ejercicio Nro. 12 En base al gráfico responde:

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Ejercicio Nro. 13 Graficar en cada caso una función f con dominio R tal que: a)

lim f(x)=1 x→4

b)

lim f(x)=0 x → −1

d) Cumpla con a) y b) a la vez.

lim x→2

+

f(x)= – 3

y

lim x → 2−

f(x)=5

e) Cumpla con a) y b) a la vez, y que f(4)=0 y f(–1)=3

lim lim f(x)=1/2 y f(x) no exista x →1 x→3 f(5)=3 f)

c)

g)

lim x→5

f(x)= –1 −

y

lim x → 5+

f(x) = 2 y

Cálculo analítico de límites Propiedades de los límites 1) El límite de una constante es la constante, es decir: 2)

lim x → x0 lim

lim x → x0

k =k

x = x0

x n = x0n x → x0 lim lim 4) Si f ( x) = L y k ∈ R entonces [k ⋅ f ( x)] = k ⋅ L x → x0 x → x0 lim lim lim 5) Si f ( x) = L1 y g ( x) = L2 entonces [ f ( x) ± g ( x)] = L1 ± L2 x → x0 x → x0 x → x0 lim lim lim 6) Si f ( x) = L1 y g ( x) = L2 entonces [ f ( x) ⋅ g ( x)] = L1 ⋅ L2 x → x0 x → x0 x → x0 lim lim lim 7) Si f ( x) = L1 y g ( x) = L2 entonces [ f ( x) / g ( x)] = L1 / L2 ( L2 ≠ 0 ) x → x0 x → x0 x → x0 lim lim 8) Si f ( x) = L entonces [ f ( x)]n = Ln (n ∈ N ) x → x0 x → x0 lim n 9) Si n ∈ N entonces x = n x0 es válido ∀x0 ∈ R si n es impar, y ∀x0 ∈ R + si n es par. x → x0 lim lim 10) Si f y g son funciones tales que g ( x) = L y f ( x) = f (L ) entonces x → x0 x→L lim f ( g ( x) ) = f (L) x → x0 3)

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Ejercicio Nro. 14 Resolver utilizando propiedades, aplicando sustitución directa: lim (x 2 − x + 2) a) x →1

b)

lim x →1

2x3 − x + 8

 x2 − 4  ln + 1 c) lim x→2 x  

Ejercicio Nro. 15 Calcular los siguientes límites usando límites laterales. Luego, graficar las funciones.  20 − x si x > −5  x 2 + 5 si x ≤ 3 lim f ( x) lim f ( x) a) donde f ( x) =  b) donde f ( x) =  x→3 x → −5 4 x + 2 si x > 3 − x si x < −5

Ejercicio Nro. 16

x3  Si f ( x ) =  x 1 − x 

si x ≤ −1 si - 1 < x < 1 hallar los siguientes límites y luego graficar la función: si x ≥ 1

i ) f (1) ii ) lim− f ( x) iii) lim f ( x) iv) lim f ( x) x→ 1

x → 1+

x →1

v) f (−1) vi) lim− f ( x) vii) lim f ( x) viii) lim f ( x) x → −1

x → −1+

x →−1

Límites indeterminados No siempre es posible resolver un límite por sustitución directa, ya que en algunos casos, al sustituir x en la función por el valor al que tiende, queda lo que llamamos una “indeterminación”. Por ejemplo, si debemos calcular: lim f ( x) x 2 − 4 x−2 x→2 2 x − 4 22 − 4 0 Vemos que si reemplazamos x por 2, se llega a = = x−2 2−2 0 La expresión 0/0 es una de las siete indeterminaciones existentes. No significa que el límite no exista, sino que debemos buscar otra manera de resolverlo. En este caso, debemos previamente factorizar la función, aplicando diferencia de cuadrados. Entonces: lim f ( x) x 2 − 4 lim f ( x) ( x − 2)( x + 2) lim f ( x) = = ( x + 2) = 4 x−2 x→2 x−2 x→2 x→2 Luego, el límite existe y es 4. Ejercicio Nro. 17 Resolver: lim lim x 2 − 36 x 4 − 16 a) b) x →6 x−6 x → 2 x2 − 4 lim lim 1+ x − 1− x x2 + x − 6 e) f) 2 x x → 2 x − 3x + 2 x→0

(3 + x) 2 − 9 c) x x→0 lim x −1 g) 2 x → 1 x − 2x + 1 lim

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x −2 x→4 x−4 lim x 3 − 1 h) x → 1 x −1 d)

lim

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Límites de funciones trigonométricas Sea x0 un número real perteneciente al dominio de la función trigonométrica considerada. Entonces: lim lim lim sen( x) = sen( x0 ) ; cos( x) = cos( x0 ) ; tg ( x) = tg ( x0 ) x → x0 x → x0 x → x0 lim lim lim ctg ( x) = ctg ( x0 ) ; sec( x) = sec( x0 ) ; cos ec( x) = cos ec( x0 ) x → x0 x → x0 x → x0 Ejercicio Nro. 18 Resolver: lim a) tg (x) = x→0

b)

lim (x ⋅ cos x ) = x →π

c)

lim lim  πx   πx  sen 2 ( x) = d) sen  + cos  = x→0 x →1  2  2

Límites infinitos Observemos la gráfica de la función x racional f ( x) = 2 , cuyo dominio es x −1 Dom = R − {1;−1} lim x Vamos a hallar el usando 2 x → 1 x −1 los límites laterales. Tomamos valores por derecha y por izquierda cada vez más próximos a 1, obteniendo las siguientes tablas:

x 0,1 0,5 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 0,999999

f(x) -0,10 -0,67 -4,74 -49,75 -499,75 -4999,75 -49999,75 -499999,75

x 1,5 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 1,000001 1,0000001

f(x) 1,20 5,24 50,25 500,25 5000,25 50000,25 500000,25 5000000,25

Vemos que a medida que nos acercamos por izquierda al 1, la función decrece cada vez más, es decir, tiende a − ∞ , y a medida que nos acercamos por derecha al 1, la función crece cada vez más, es decir, tiende a + ∞ . Se dice entonces que los límites laterales de la función cuando x → 1 son infinitos. Por lo tanto escribimos que:

lim

x =−∞ y − x → 1 x −1 2

lim

x =+∞ x → 1 x −1 +

2

Aclaración: si el límite de una función cuando x → x0 da infinito entonces significa que NO EXISTE EL LIMITE de la función en ese punto. Para que el límite exista debe ser un valor FINITO. Apunte Prof. Mabel Chrestia – Matemática I (Lic. en Economía) – UNRN – Año 2016

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Ejercicio Nro. 19 Utilizando una planilla de cálculo para armar las tablas de valores, y un graficador de funciones, confirma que los siguientes límites son infinitos: lim x 2 + 1 b) x→0 x

lim x−4 a) x → −1 x + 1

lim x 2 −1 c) 2 x → 2 x −4

Límites en el infinito (o límites para x tendiendo a infinito) Vamos a calcular ahora límites para los cuales x en vez de tender a un número finito, tiende a ± ∞ . Veamos las siguientes gráficas de ciertas funciones:

a)

b)

c)

d)

lim lim f (x) y f (x) . Es decir, veremos dónde se acerca la x → +∞ x → −∞ función cuando x tiende a ± ∞ . En a) vemos que cuando x crece o decrece indefinidamente la función se acerca al 3. Es decir, lim lim lim lim f ( x) = 3 y f ( x) = 3 . En b) vemos que f ( x) = 0 y f ( x) = 0 . x → +∞ x → −∞ x → +∞ x → −∞ Para cada caso hallaremos

Completa: lim En c) f (x) = x → +∞ En d)

lim f (x) = x → +∞

y

lim f (x) = x → −∞

y

lim f (x) = x → −∞

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lim k donde k ∈ R y n ∈ N . Veamos las gráficas de esta x → ∞ xn familia de funciones. Sea k = 1 y n = 1,2,3,4,... Vamos a analizar el siguiente límite:

Vemos que

lim lim lim lim 1 1 1 1 =0 ; =0 ; =0 ; =0 2 3 4 x→∞ x x→∞ x x→∞ x x→∞ x

En general, podemos afirmar que:

lim k =0 n x→∞ x

Ejercicio Nro. 20 Dada la siguiente función, responde basándote en el gráfico: a) El Dominio es….. b) El Conjunto Imagen es …. c) La raíz es…. d) ¿Es una función par o impar? e) ¿Es biyectiva? ¿Por qué? lim f) f (x) = x → +∞ lim g) f (x) = x → −∞

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Límites especiales A la derecha se muestra la gráfica de la senx función f ( x) = cuyo Dominio es x R − {0}. lim senx Puede demostrarse que: =1 x→0 x (Observemos que por sustitución directa este límite tiene una indeterminación 0/0)

Ejercicio Nro. 21 Resolver utilizando el límite anterior: lim lim sen 2 x sen8 x a) b) x→0 x x → 0 sen5 x

c)

lim 1 − cos x x x→0

d)

lim tgx x→0 x

Otro límite especial es el siguiente: lim x→∞

x

 1 1 +  = x 

lim 1 (1 + x ) x = e x→0

(Observemos que por sustitución directa este límite tiene una indeterminación 1∞ ) Ejercicio Nro. 22 Resolver utilizando el límite anterior: lim  1 a) 1 +  x→∞  x

3x

lim  5 b) 1 +  x x→∞

4x

c)

2 lim (1 + 8 x ) x x→0

Ejercicio Nro. 23 Inventa el gráfico de una función que cumpla lo siguiente: y

lim x → −1−

lim f(x) = +∞ , x→2

lim x → −1+

f(x) = +∞

f(x) = –∞. Luego indica el dominio de dicha función.

Límites con indeterminación ∞/∞ Supongamos que queremos calcular el siguiente límite:

lim 3x 2 + 8x − 6 x2 + 2 x → +∞

Por sustitución directa obtenemos la indeterminación ∞/∞. En este caso procedemos de la siguiente manera: primero se divide numerador y denominador por la mayor potencia de x que tenga la función, en este caso, x 2 .

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3x 2 + 8 x − 6 3x 2 8 x 6 + − lim lim 3 x + 8 x − 6 lim x2 x2 x2 x2 = Nos queda: = x2 + 2 x2 + 2 x2 2 x → +∞ x → +∞ x → +∞ + x2 x2 x2 2

lim Simplificamos en cada cociente: = x → +∞

Recordando que:

8 6 − x x2 2 1+ 2 x

3+

lim lim k = 0 nos queda: n x→∞ x x → +∞

Ejercicio Nro. 24 Calcular los siguientes límites: lim 2x3 − 4x + 1 a) 3 2 x → +∞ 9 x + 2 x

b)

8 6 − x x2 = 3 = 3 2 1 1+ 2 x

3+

lim 4 x 2 + 10 x + 1 x+7 x → +∞

c)

lim 6x + 7 x → +∞ x 3 − 1

Límites con indeterminación ∞–∞ Para resolver estos límites debemos multiplicar y dividir por el conjugado de la función dada. Ejercicio Nro. 25 Calcular los siguientes límites: a)

lim x → +∞

( 1+ x − x)

b)

lim x → +∞

(x

2

− 5x − x

)

Ejercicio Nro. 26 Calcular los siguientes límites: a)

lim 5x − 8 x → ∞ 2x 2 − x + 1

lim ( x + 1) 2 e) x → ∞ x2 +1 i)

m)

lim x → −∞ lim

x e−x

sen( x ) x → 0 x 2 + 2x

b)

lim 6x3 + 2 x → ∞ 2x −1

c)

lim 3x 2 + 4 x − 2 4x 2 x→∞

d)

lim 3− x+5 x → 4 4− x x

lim tg ( x − 3) x → 3 3x − 9

f)

j)

n)

x 2 − x − 12 2 x → −3 x + 3 x

lim

x 2 + 4 x − 21 x−3 x→3

lim

lim g) x→∞ k)

x 2 + 2x x

x 2 + 3 x − 10 x2 − 4 x→2

lim

ñ)

6 2  h) 1 −  x → ∞  4x 

lim

l)

x −1 x → 1 x −1

lim

2

lim x 2 − 36 x2 +1 o) 2 3 x → +∞ x + 5 x + 1 x → 6 x 2 − 8 x + 12

lim

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