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LIMITES 1. Halla el límite de las siguientes sucesiones: 1 - 2n n+ 3 1+ n n- 2 a) a n = b) a n = c) a n = d) a n = n n -1 1 - 2n n+ 4 3 + 8n 3n + 5 6n - 1 e) a n = f) a n = g) a n = h) 2n + 5 12n + 1 3n + 3 3 - 2n an = n- 2 Sol: a) -2; b) 1; c) -1/2; d) 1; e) 4; f) 1/4; g) 2; h) -2 2. Halla los siguientes límites cuando n tiende a infinito: n 4 a) a n =   b) a n = 0,5 n c) a n = 2 n+1  3  e) a n = n 2

f) a n =

d) a n = 3 n -1 n

1 g) a n =    3 

3 n2

h) a n = n

1 2

1

 1 n i) a n =    3  Sol: a) 4; b) 0; c) 4; d) 4; e) 0; f) 0; g) 0; h) 1; i) 1 3. Halla los límites siguientes: lim lim n2 - 2n + 1 n+ 3 - n - 3 a) b) n→∞ 2 n→∞ n- 3 lim n - 4 lim 3 n2 + 5 d) e) n → ∞ n +2 n → ∞ 6 n2 - 2 Sol: a) 0; b) 4; c) 0; d) 1; e) 1/2; f) 1 4. Halla los límites siguientes: lim (n + 1) (n - 2) lim (n + 1 )2 a) b) - (n - 3) n→∞ (n - 1 )2 n→∞ n d)

lim n→∞

n2 +1 -

n2

e)

lim n→∞

3 n -

n +1

lim 3n + 2 n → ∞ n2 - 1 lim (n - 2 )2 f) n → ∞ n2 + 1 c)

c) f)

lim n - 2 n n→∞ n

lim n→∞

1/n

4n + 5 2n - 3

- n 2+3

lim  3 n 2 + 1  lim n -2  2n - 5 n 2n  g)   h)  n → ∞  n + 1  n→∞  2n + 1  Sol: a) 1; b) 5; c) 1; d) 0; e) -4; f) 4; g) 0; h) e-6 5. Calcula los siguientes límites: 2 n -1

lim  n + 1  n+1 a)   n → ∞  n+ 3 

lim  3n + 4 4n+7 b)   n → ∞  3n - 2 

lim  n - 2 2n+1 c)   n → ∞  n +3 

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lim d) n→∞

 n2 + 2  2  n -1

lim g) n→∞

   

  

2 n +1 2 n -2

n+ 2 3

2 n +n

lim lim  2n + 2  n -2 e) f)   n→∞ n → ∞  2n - 1 

n

   

lim h) n→∞

n

lim i) n→∞

4n + 1 4n

n+1 n

 n2 + 2n - 1  2  n - 20n

2n

 n -1  

3 n2 - 2n + 1 3 n2 - 1

2 n +5

n +2 lim n -21 4 n 2 + 1 lim  lim  3n + 1  n 3n + 4  n j) k) l)  1+ 2    n→∞ n (4n + 3) n→∞  n → ∞  3n - 4  n -1  Sol: a) e-2; b) e8; c) e-10; d) 1; e) e3/2; f) 1; g) 1; h) 1; i) 1; j) e-3/4; k) e5/3; l) e3

6. Calcula los siguientes límites: lim 2 x2 - 3x + 1 lim x 2 - 2x lim a) b) c) 2 x→2 2x + 5 x → 3 3- x x →1 2 lim 2x - 3 lim x - x + 1 lim d) - 4x e) f) x → 3 3x x → 1 3x + 1 x →0 2 2 lim x + 1 h) lim 3 x - 2x + 1 g) x2 - 3x + 2 - 2 x→3 x → -1 x2 - 3x - 1 x -1 Sol: a) 1/3; b) -1/2; c) -2; d) -35/3; e) 1/4; f) 1; g) 3/4; h) 2 7. Calcula los siguientes límites: x lim  x2 - 1  lim a)  2  b) x → ∞  x +2  x→∞ lim d) x→∞

 3 x 2 - 2x  2  3 x +1

 x +1   x -1  Sol: a) 1; b) 1/e; c) lim g) n→∞

15x

  

lim e) x→∞

x -2

 lim  h)  n→∞  e-3; d) e-10; e) 1; f)

8. Calcula los límites: lim lim a) x 2 + 2 - x 2 - 3x b) x→∞ x→∞ Sol: a) 3/2; b) 0; c) 0

 x2 - x  2  x -2  x2 + 2  2  x - 3x

  

2x - 4 x 2 3x - 2 x3 - 2x + 1 3x + 1

x+1

c)

lim  x - 2  x+1   x → ∞  x +1 

1

x  

lim f) n→∞

   

2 x +1 2 x -x

x

   

3

2x  x2   1- 2   x -1  e ; g) e; h) 1

x+2 -

x -1

c)

lim 1 1 x → ∞ x +1 x - 2

9. Calcula el valor de los límites cuando n tiende a infinito de las siguientes expresiones: 2 1 2 -n  a) n3-n2+2n-1 b) n 2  n - 4 + - 2  c) n-2n2 d) n n-2 n n   2 2 3 +n +2 3 2+ 2 e) n2-2n+1 f) n2 g) n 2 h) n3 3 n - 3n n -1 n -1 Sol: a) 4; b) 4, c) -4; d) 4; e) 4; f) 3; g) 1/3; h)0

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10. Calcula el valor de los límites cuando n tiende a infinito de las siguientes expresiones: 4 -n a) n4 b) n - n + 1 c) 3 n2 - n2 d) n 2 + 1 - n2 + 2 2 n +3 n2 3n n - n -1 e) 3 f) n - n2 + 1 g) 2n - n + 1 h) n- n-2 n +2 n- n n - n2 + n i) j) n+1 - n n - n2 +1 Sol: a) 1/2; b) 0; c) 4; d) 0; e) 0; f) 0; g) 4; h) 1; i) -1; j) 4 11. Calcula el valor de los límites de las siguientes funciones si n tiende a infinito: 4 n2 + 1 - 2n 2 n +1 a) n 2 + 1 - n b) c) d) 2 2 4 n - n2 +1 n +2 -n n - n -n 2

n -1 f)   n +1 n +n - n Sol: a) 0; b) 1/4; c) -4; d) 4; e) e)

n

4

2

2

 n +2   g)      n  4; f) e-2; g) e2; h) e2 n+ 2

n n +1

2

 2n + 3  h)    2n - 1 

n n- 1

12. Calcula el valor de los límites de las siguientes funciones si n tiende a infinito: n 2 +1

 n  a)    n +3 

n +1

n +5  b)    n-3  2

c)  

n

2n + 3   2n 

 +4 d)  n 2  n -n 2

2

n 2 n2 +n

n 3

 2n + 1   3n  e)  f)  g) n 2 + 2 - n    2n   3n + 2  i) n - n2 + 3 j) n 2 + 1 - n2 - 3 8 3/2 Sol: a) 0; b) e ; c) e ; d) e; e) 1; f) 0; g) 0; h) e6/5; i) 0; j) 0

  

n2 n+1

2n

 n +1  5 h)    n-2 

13. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta a que tiende la incógnita: lim lim lim x 2 - 1 x2 + 1 2 + 2x a) b) c) x x →1 x → ∞ x2 + 3x x → 1 x- 1 lim x +1 d) x→0 x e)

lim x→2

x- 2 x-2

f)

lim x x → 0 2x + 1

Sol: a) 3; b) 1; c) 2; d) 4; e)

g)

lim x x → 0 2x

h)

lim x→2

x2 - 4 x- 2

2 /4; f) 0; g) 4; h) 2

14. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta a que tiende la incógnita: x

2 lim  x + 2 3 a) (x + 1 ) x   b) x → ∞  x -1  x→0

lim

c)

x lim (2 + x ) x+1 x → -1

d)

x -1 lim x x 2- 1 x →1

ejerciciosyexamenes.com 3

lim lim x-2  x - 1  x -3 e) f) (1+ x )1/x g)   x→3  2  x →0 x → 2 2- x 2x-6 lim lim x- 1 h) (2x - 5 ) x 2- 9 i) x→3 x → 1 x +2 2 Sol: a) e; b) e ; c) 1/e; d) 1; e) e3/2; f) e; g) -4; h) 1; i) 0 lim

15. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta el valor a que tiende la incógnita: 2 x +2x lim a) (2 + x ) x2 -2 x → -1

lim c) n→∞

2 lim b) (x + 1 ) x x→0

3 lim lim  n2 - 1 n + n - 2n n+ 2  d) e)  2+ 2 n → ∞ n - n3 - n2 n→∞ n  Sol: a) 1; b) e2; c) 0; d) -1; e) 1; f) -2/3

n2

  

f)

 n +1  2  3n 2

  

n2 n +1

lim 1 n → ∞ n - n 2 + 3n

16. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta el valor a que tiende la incógnita: x+1

lim x -1  x + 1  x2 - 2x+1 a) b)   x→∞  2  x → 1 x2 - 1 lim lim x - x 3 x -3 d) e) x → 3 x2 - 9 x → 0 x2 + x Sol: a) 1; b) 1/4; c) 0; d) 4; e) 1; f) 2 lim

lim x2 - 1 - x + 2 x → ∞ x2 + 1 x + 3 lim (n + 1) . n2 + n + n2 f) n→∞ n2 + 1 c)

17. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito: a)

n3 - n 2 + 8 3 n3 + 2 n2 + 2n

b)

3 n 2 - 4n - 1 - n 3 + 3 n 2 + n +7

c)

2 n2 - 2 n2 + 3

2n + n3 - 1 n n +1 f) g) 2 3n + 3 n n +4 Sol: a) 1/3; b) 0; c) 2; d) 4; e) 4; f) 0; g) 0; h) 4 % 18. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito: 2n 1000 2 n2 - 3n + 4 - 2n a) 2 b) c) n+ 2 n + 1000 + n n -1 + n e)

2

d) n

- 3n + 5 n2 - 5 n+ 5 n+ 3 2 n2 + n n + 1 n2 + 2n e) n f) g) n 2 + 5 - n n+ 4 2 n -1 2 2 2 i) n + 1 - n - 1 j) n + 3n - n Sol: a) 1; b) 0; c) -7; d) -5; e) -4; f) -4; g) 0; h) 0; i) 0; j) 3/2 19. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito:

3 +n d) n2 n +n

h)

n n 3n + 4

h) n + 4 -

n

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a)

1 - n n+1

b)

1 n - 1 - n+1

c)

1

d) 2 n - 3n

2

n +n - n

n

3  h)   - n3 2  

n

n +1 n +3 +1 e) n +1 f) 2 n g) 2n 3.2 - 4 2 -n 3 +8 Sol: a) -4; b) -4; c) 2; d) -4; e) 1/2; f) 2/3; g) 0; h) 4

2

20. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito:  n +4  b)    n 

3n

1  a)  1 +  3n   n +1  e)    n 

n -3

3n+2 5

3n

1  f)  1 +  n  

4 n2 -1 2n

2n+1

1   d)  1 +  n  

n- 3

1  h)  1 +  n  

1  c)  1 +  n    2 -1 g)  n2  n +n

  

2

n 2

2 n - 2n 3n

3+5n

1

1  1 n  2n + 1   n-3   i)  j)  k)  1 + l)  1 + 2     n   2 + 2n   n    n  12/5 2 1/3 3 5 Sol: a) e; b) e ; c) e ; d) e ; e) e; f) e ; g) 1/e; h) e ; i) 1/e; j) 0; k) e; l) 1 n- 4

21. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito: 2

n

5n

1   2n + 3  a)  2  b)   n    4 + 2n  1   e)  1 +  n  

3n+2 5

 2 -1 f)  n2  n +1

2

n +3 3n

2  c)  2 +  n   n -1

  

n 3-1

n

2n - 3   d)  1 +  5+ n   n

1 g)  1 + + 2n  n   n 2 +1 n

n 1+ n

 2 + 3n h)  n 2  n −3

10 n

  

 -1   +3  n+1 - n - 1  2n - 3  i)  j)  n3  k)  n 2  l)  2n  2n + 3   n +1   n  -5/2 3/5 30 -2 Sol: a) 4; b) e ; c) 4; d) 4; e) e ; f) 1; g) 4; h) e ; i) 1/e; j) e ; k) 1; l) 0 3

2