LIMITES 1. Halla el límite de las siguientes sucesiones: 1 - 2n n+ 3 1+ n n- 2 a) a n = b) a n = c) a n = d) a n = n n -1 1 - 2n n+ 4 3 + 8n 3n + 5 6n - 1 e) a n = f) a n = g) a n = h) 2n + 5 12n + 1 3n + 3 3 - 2n an = n- 2 Sol: a) -2; b) 1; c) -1/2; d) 1; e) 4; f) 1/4; g) 2; h) -2 2. Halla los siguientes límites cuando n tiende a infinito: n 4 a) a n = b) a n = 0,5 n c) a n = 2 n+1 3 e) a n = n 2
f) a n =
d) a n = 3 n -1 n
1 g) a n = 3
3 n2
h) a n = n
1 2
1
1 n i) a n = 3 Sol: a) 4; b) 0; c) 4; d) 4; e) 0; f) 0; g) 0; h) 1; i) 1 3. Halla los límites siguientes: lim lim n2 - 2n + 1 n+ 3 - n - 3 a) b) n→∞ 2 n→∞ n- 3 lim n - 4 lim 3 n2 + 5 d) e) n → ∞ n +2 n → ∞ 6 n2 - 2 Sol: a) 0; b) 4; c) 0; d) 1; e) 1/2; f) 1 4. Halla los límites siguientes: lim (n + 1) (n - 2) lim (n + 1 )2 a) b) - (n - 3) n→∞ (n - 1 )2 n→∞ n d)
lim n→∞
n2 +1 -
n2
e)
lim n→∞
3 n -
n +1
lim 3n + 2 n → ∞ n2 - 1 lim (n - 2 )2 f) n → ∞ n2 + 1 c)
c) f)
lim n - 2 n n→∞ n
lim n→∞
1/n
4n + 5 2n - 3
- n 2+3
lim 3 n 2 + 1 lim n -2 2n - 5 n 2n g) h) n → ∞ n + 1 n→∞ 2n + 1 Sol: a) 1; b) 5; c) 1; d) 0; e) -4; f) 4; g) 0; h) e-6 5. Calcula los siguientes límites: 2 n -1
n +2 lim n -21 4 n 2 + 1 lim lim 3n + 1 n 3n + 4 n j) k) l) 1+ 2 n→∞ n (4n + 3) n→∞ n → ∞ 3n - 4 n -1 Sol: a) e-2; b) e8; c) e-10; d) 1; e) e3/2; f) 1; g) 1; h) 1; i) 1; j) e-3/4; k) e5/3; l) e3
6. Calcula los siguientes límites: lim 2 x2 - 3x + 1 lim x 2 - 2x lim a) b) c) 2 x→2 2x + 5 x → 3 3- x x →1 2 lim 2x - 3 lim x - x + 1 lim d) - 4x e) f) x → 3 3x x → 1 3x + 1 x →0 2 2 lim x + 1 h) lim 3 x - 2x + 1 g) x2 - 3x + 2 - 2 x→3 x → -1 x2 - 3x - 1 x -1 Sol: a) 1/3; b) -1/2; c) -2; d) -35/3; e) 1/4; f) 1; g) 3/4; h) 2 7. Calcula los siguientes límites: x lim x2 - 1 lim a) 2 b) x → ∞ x +2 x→∞ lim d) x→∞
3 x 2 - 2x 2 3 x +1
x +1 x -1 Sol: a) 1; b) 1/e; c) lim g) n→∞
15x
lim e) x→∞
x -2
lim h) n→∞ e-3; d) e-10; e) 1; f)
8. Calcula los límites: lim lim a) x 2 + 2 - x 2 - 3x b) x→∞ x→∞ Sol: a) 3/2; b) 0; c) 0
x2 - x 2 x -2 x2 + 2 2 x - 3x
2x - 4 x 2 3x - 2 x3 - 2x + 1 3x + 1
x+1
c)
lim x - 2 x+1 x → ∞ x +1
1
x
lim f) n→∞
2 x +1 2 x -x
x
3
2x x2 1- 2 x -1 e ; g) e; h) 1
x+2 -
x -1
c)
lim 1 1 x → ∞ x +1 x - 2
9. Calcula el valor de los límites cuando n tiende a infinito de las siguientes expresiones: 2 1 2 -n a) n3-n2+2n-1 b) n 2 n - 4 + - 2 c) n-2n2 d) n n-2 n n 2 2 3 +n +2 3 2+ 2 e) n2-2n+1 f) n2 g) n 2 h) n3 3 n - 3n n -1 n -1 Sol: a) 4; b) 4, c) -4; d) 4; e) 4; f) 3; g) 1/3; h)0
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10. Calcula el valor de los límites cuando n tiende a infinito de las siguientes expresiones: 4 -n a) n4 b) n - n + 1 c) 3 n2 - n2 d) n 2 + 1 - n2 + 2 2 n +3 n2 3n n - n -1 e) 3 f) n - n2 + 1 g) 2n - n + 1 h) n- n-2 n +2 n- n n - n2 + n i) j) n+1 - n n - n2 +1 Sol: a) 1/2; b) 0; c) 4; d) 0; e) 0; f) 0; g) 4; h) 1; i) -1; j) 4 11. Calcula el valor de los límites de las siguientes funciones si n tiende a infinito: 4 n2 + 1 - 2n 2 n +1 a) n 2 + 1 - n b) c) d) 2 2 4 n - n2 +1 n +2 -n n - n -n 2
n -1 f) n +1 n +n - n Sol: a) 0; b) 1/4; c) -4; d) 4; e) e)
12. Calcula el valor de los límites de las siguientes funciones si n tiende a infinito: n 2 +1
n a) n +3
n +1
n +5 b) n-3 2
c)
n
2n + 3 2n
+4 d) n 2 n -n 2
2
n 2 n2 +n
n 3
2n + 1 3n e) f) g) n 2 + 2 - n 2n 3n + 2 i) n - n2 + 3 j) n 2 + 1 - n2 - 3 8 3/2 Sol: a) 0; b) e ; c) e ; d) e; e) 1; f) 0; g) 0; h) e6/5; i) 0; j) 0
n2 n+1
2n
n +1 5 h) n-2
13. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta a que tiende la incógnita: lim lim lim x 2 - 1 x2 + 1 2 + 2x a) b) c) x x →1 x → ∞ x2 + 3x x → 1 x- 1 lim x +1 d) x→0 x e)
lim x→2
x- 2 x-2
f)
lim x x → 0 2x + 1
Sol: a) 3; b) 1; c) 2; d) 4; e)
g)
lim x x → 0 2x
h)
lim x→2
x2 - 4 x- 2
2 /4; f) 0; g) 4; h) 2
14. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta a que tiende la incógnita: x
2 lim x + 2 3 a) (x + 1 ) x b) x → ∞ x -1 x→0
lim
c)
x lim (2 + x ) x+1 x → -1
d)
x -1 lim x x 2- 1 x →1
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lim lim x-2 x - 1 x -3 e) f) (1+ x )1/x g) x→3 2 x →0 x → 2 2- x 2x-6 lim lim x- 1 h) (2x - 5 ) x 2- 9 i) x→3 x → 1 x +2 2 Sol: a) e; b) e ; c) 1/e; d) 1; e) e3/2; f) e; g) -4; h) 1; i) 0 lim
15. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta el valor a que tiende la incógnita: 2 x +2x lim a) (2 + x ) x2 -2 x → -1
lim c) n→∞
2 lim b) (x + 1 ) x x→0
3 lim lim n2 - 1 n + n - 2n n+ 2 d) e) 2+ 2 n → ∞ n - n3 - n2 n→∞ n Sol: a) 1; b) e2; c) 0; d) -1; e) 1; f) -2/3
n2
f)
n +1 2 3n 2
n2 n +1
lim 1 n → ∞ n - n 2 + 3n
16. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta el valor a que tiende la incógnita: x+1
lim x -1 x + 1 x2 - 2x+1 a) b) x→∞ 2 x → 1 x2 - 1 lim lim x - x 3 x -3 d) e) x → 3 x2 - 9 x → 0 x2 + x Sol: a) 1; b) 1/4; c) 0; d) 4; e) 1; f) 2 lim
lim x2 - 1 - x + 2 x → ∞ x2 + 1 x + 3 lim (n + 1) . n2 + n + n2 f) n→∞ n2 + 1 c)
17. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito: a)
n3 - n 2 + 8 3 n3 + 2 n2 + 2n
b)
3 n 2 - 4n - 1 - n 3 + 3 n 2 + n +7
c)
2 n2 - 2 n2 + 3
2n + n3 - 1 n n +1 f) g) 2 3n + 3 n n +4 Sol: a) 1/3; b) 0; c) 2; d) 4; e) 4; f) 0; g) 0; h) 4 % 18. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito: 2n 1000 2 n2 - 3n + 4 - 2n a) 2 b) c) n+ 2 n + 1000 + n n -1 + n e)
2
d) n
- 3n + 5 n2 - 5 n+ 5 n+ 3 2 n2 + n n + 1 n2 + 2n e) n f) g) n 2 + 5 - n n+ 4 2 n -1 2 2 2 i) n + 1 - n - 1 j) n + 3n - n Sol: a) 1; b) 0; c) -7; d) -5; e) -4; f) -4; g) 0; h) 0; i) 0; j) 3/2 19. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito:
3 +n d) n2 n +n
h)
n n 3n + 4
h) n + 4 -
n
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a)
1 - n n+1
b)
1 n - 1 - n+1
c)
1
d) 2 n - 3n
2
n +n - n
n
3 h) - n3 2
n
n +1 n +3 +1 e) n +1 f) 2 n g) 2n 3.2 - 4 2 -n 3 +8 Sol: a) -4; b) -4; c) 2; d) -4; e) 1/2; f) 2/3; g) 0; h) 4
2
20. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito: n +4 b) n
3n
1 a) 1 + 3n n +1 e) n
n -3
3n+2 5
3n
1 f) 1 + n
4 n2 -1 2n
2n+1
1 d) 1 + n
n- 3
1 h) 1 + n
1 c) 1 + n 2 -1 g) n2 n +n
2
n 2
2 n - 2n 3n
3+5n
1
1 1 n 2n + 1 n-3 i) j) k) 1 + l) 1 + 2 n 2 + 2n n n 12/5 2 1/3 3 5 Sol: a) e; b) e ; c) e ; d) e ; e) e; f) e ; g) 1/e; h) e ; i) 1/e; j) 0; k) e; l) 1 n- 4
21. Resuelve los siguientes límites cuando n tiende a infinito: 2
n
5n
1 2n + 3 a) 2 b) n 4 + 2n 1 e) 1 + n
3n+2 5
2 -1 f) n2 n +1
2
n +3 3n
2 c) 2 + n n -1
n 3-1
n
2n - 3 d) 1 + 5+ n n
1 g) 1 + + 2n n n 2 +1 n
n 1+ n
2 + 3n h) n 2 n −3
10 n
-1 +3 n+1 - n - 1 2n - 3 i) j) n3 k) n 2 l) 2n 2n + 3 n +1 n -5/2 3/5 30 -2 Sol: a) 4; b) e ; c) 4; d) 4; e) e ; f) 1; g) 4; h) e ; i) 1/e; j) e ; k) 1; l) 0 3
