LICEO SALVADOREÑO HOJA DE EJERCICIOS

MATEMÁTICA PRIMER AÑO DE BACHILLERATO

Determinar por extensión si es posible, en caso de no serlo muestre gráficamente los conjuntos solicitados: A = { x / x ∈ N, 3 < 2x – 1 8 } E = { (x, y ) ∈ RxR / x > y ∧ y > - x +2 } F = { y ∈ Z / -5 < y < 5 } ¿Cuáles de los conjuntos mostrados eran solo conjuntos y cuáles eran relaciones? ¿Qué detalles son importantes notar para diferenciar fácilmente un conjunto de otro? Relaciones definidas en los reales, en este caso hacemos notar que trabajamos en el conjunto más grande que tenemos: los reales. Aquí todas las relaciones se definen en R 2, es decir RxR, podemos tener gráficas de puntos, líneas (rectas o curvas) o áreas, esto según se establece la relación con ecuaciones, sistemas de ecuaciones o desigualdades (incluso sistemas de desigualdades). Para graficar cualquiera de las opciones, siempre tabularemos las igualdades (no importa que sea lo que nos piden) luego se analiza, si el ejercicio es una igualdad solo unimos los puntos por una línea o si es una desigualdad se identifica la zona que la cumple y se sombrea toda el área respectiva. Funciones Cuando una relación cumple las condiciones: a) Todo elemento del Conjunto de partida participa. b) Todo el que participa en el dominio tiene solamente una imagen. Diremos que la relación es una función. Ejemplos de funciones graficadas. En todas puede notarse que si trazan rectas verticales, solamente tocaran una sola vez a la gráfica, esto nos indica que es una función.

La primer gráfica de la derecha (1) es una relación únicamente, si trazamos las rectas verticales se corta en más de un punto la gráfica, para que se vuelva relación se hace un proceso algebraico de tal forma que ahora ya se considera una función (2), dicho proceso se conoce como restricción del rango. Ver proceso explicado en clase. Graficar tabulando cada una de las siguientes relaciones, una vez graficadas determine si son funciones o solamente relaciones: a) R1 = { (x,y ) ∈ NxN / y = -3x +4 } b) R2 = { (x,y ) ∈ Z x N / y ≥ x2 + 3 } c) R3 = { (x,y ) ∈ Z2 / y < x , x + 3y ≤ -2 } d) R4 = { (x,y ) ∈ R2 / y = x3 – 2x2 + 4} e) R5 = { (x,y ) ∈ R x N / y > 4x – 5} f) R6 = { (x,y ) ∈ NxN / y < 9 , x + 3y ≥ 9 }

g) R7: y = 6x + 3. h) R8: y = -3x2 – 2x + 4. i) R9: y = x2 – 120 x -200. j) R10 : y > x2 + 4x + 4 , y ≤ 2x + 9. Determine los bosquejos en función de las características de cada función vistas y analizadas en las clases de cada una de las siguientes ecuaciones: a) y = -6 b) y = 3x c) y = 2x + 5 d) y = - 6x – 10 e) y = -2x +21 f) y = 3x2 – 10 g) y = 4 – 6x + 3x2 h) y = 5x – x2 i) y = 2x3 – 25x2 – 12 j) y = √2 + 𝑥 + 3 k) y = −√4𝑥 − 12 - 10

l) y = √−3𝑥 − 15

Dominio y rango de las funciones (en general) Para determinar un dominio ha de despejarse la variable dependiente (en la mayoría de los casos “y”) de tal forma que podemos analizar la formula que contiene únicamente la variable independiente (generalmente “x”). El análisis lo haremos siempre mediante las restricciones. El rango para ser analizado se debe despejar la variable independiente (x) para poder analizar la variable dependiente “y”. Función lineal (generalidades) Ecuación de la forma: f(x) = a x + b , donde a ∧ b son constantes. La gráfica tiene la forma de una línea recta. “a” se reconoce como la pendiente de la recta y representa el número de unidades que sube o baja la ordenada por cada unidad avanzada en la abscisa. Si este valor es positivo la función es creciente, es decir se dibujará la recta subiendo hacia la derecha, en caso de ser negativo se dirá que la función es decreciente, dibujándose la recta hacia abajo (siempre el dibujo se hace hacia la derecha). Cuando la pendiente es cero, la recta ni sube ni baja, se mantiene constante, por tal razón será llamada función constante, y es dibujada como una recta horizontal. “b” es conocido como el lugar de corte con el eje de las ordenadas, también llamado intercepto con el eje de las ordenadas, la función lineal pasa por el punto (0, b) siempre. El dominio y el rango en la función lineal siempre son los reales, única excepción es la función constante en la cual, el dominio siempre son los reales pero el rango es un único valor: “b”.

Función cuadrática (generalidades) Ecuación de la forma: f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b, c son constantes. La gráfica tiene la forma de una U, la cual se abre hasta el infinito (positivo o negativo) dependiendo del valor de la constante “a”, si es positivo diremos que se abre hacia arriba, en caso de ser negativo la curva se abre hacia abajo. Las curvas de este tipo de función son conocidas como parábolas, dichas parábolas poseen un vértice el cual es de suma importancia saber identificar fácilmente para trazar el bosquejo. V (h, k) es la forma en que representaremos el vértice de cualquier función que lo posea. Para determinar el vértice en una función cuadrática debemos: a) Escribir la ecuación en la forma f(x) = a x2 + b x + c. b) Calcular el valor de h = -b/2a, y para determinar el valor de k vamos a sustituir h en la función. Un bosquejo lo determinamos conociendo la ubicación del vértice y la tendencia de la función (si abre hacia arriba o hacia abajo). Cuando la función abre hacia abajo, su tendencia es crecientedecreciente, caso inverso abre hacia arriba. Para realizar un gráfico en estas funciones lo más importante es conocer la ubicación de la abscisa del vértice (h) ya que se deben tomar unos tres valores antes de tal número y tres valores después para que la gráfica sea simétrica. El dominio en esta función son siempre los reales, al determinar el vértice y ver la tendencia de la función podemos dar por respuesta el rango de la misma sin necesidad de despejar.

Ejercicios: Determinar el bosquejo, el dominio y rango de las siguientes funciones, calcule los puntos de corte con los ejes “X” y “Y” si es que los tiene. 1- f(x) = x 2- f(x) = x + 6 3- f(x) = x – 10 4- f(x) = 3x + 6 5- f(x) = -2x – 3 2𝑥−6 6- f(x) = 2 7- f(x) =

−6𝑥−9 −3 −2𝑥−6 2

8- f(x) = +¼ 2 9- G(x) = 3x + 2x – 10 10- G(x) = x2 - 2x 11- G(x) = -2x2 – 10 12- G(x) = x2 + 6x -4 Resolver: Si una sandía pesa 3kg y otra pesa 6kg nos cobrarán el doble por la segunda. Pero, si la primera tiene un diámetro de 15 cm y la otra lo tiene de 30 cm, ¿el precio de la segunda será el doble que el de la primera? Explique su razonamiento.

Construir la ecuación que describe la función marcada en las gráficas.

Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) (-3, 5) y (2, 6) b) (0, 5) y (2, 4) c) (-3, 0) y (0, 6) d) (4, 10) y (2, 10) Determine la ecuación de la recta que pasa por (3, 4 ) y tiene una inclinación de 45°.

Función cúbica (generalidades) Son funciones que tienen la forma f(x) = ax3 + bx2 + c x + d , donde a, b, c y d son constantes conocidas, las tendencias de dichas funciones son crecientes o decrecientes, según el signo del término cúbico, si es positivo son crecientes, negativo decrecientes. Su dominio y su rango son siempre los reales.

Función cúbica creciente.

Función cúbica decreciente.

Función Raíz cuadrada (generalidades). La raíz cuadrada permite definir una función real sobre los números no negativos, para cada número real x esta función se define como el único número no negativo y que elevado al cuadrado es igual a x. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado. La función raíz cuadrada de x se expresa equivalente de las siguientes maneras:

Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número entero sea un cuadrado perfecto, como por ejemplo:

ya que: El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un número irracional se atribuye a los pitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponían de medios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico por lo que no parecen existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser expresada como cociente de dos números enteros. Propiedades generales

Gráfica de la ecuación La relación se encuentra graficada en la figura de la derecha, como puede verse no es función ya que se ha colocado el doble signo del despeje de la variable “y”. El dominio de dicha relación saldrá del análisis de la restricción respectiva, el rango son los reales (tal como puede analizarse la expresión inicial). Para convertirla en función es necesario realizar un recorte en la grafica y tal recorte puede verse al tomar solamente uno de los signos del radical, tal como se muestra a continuación: La función raíz cuadrada basta con que en la grafica mostrada quitemos la parte inferior de la curva para tener ya una función, sin embargo esto hace que el rango de la función cambie a causa del corte realizado. Propiedades que pueden ser útiles:

   

La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado. Contrariamente a la creencia popular,

no necesariamente es igual a

se mantiene sólo para los números no negativos número positivo, y entonces números reales (véase valor absoluto). 

Suponga que

y

, pero cuando

. Por lo tanto,

son números reales, y que

. La igualdad ,

para todos los

, y se desea encontrar

error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que

es un

. Un

. Esto es incorrecto,

porque la raíz cuadrada de no es , sino el valor absoluto , una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que 

, o equivalentemente . En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua, o cuando se hacen ciertos cálculos, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado):

y es válida para todos los números no negativos “x” e “y” que no sean ambos cero.

Para determinar el vértice en esta función, hay que encontrar el dominio, el primer valor de este intervalo es “h”, el valor de k se encuentra igual que en la función cuadrática. Determine el bosquejo, el dominio, el rango, las coordenadas del vértice (si lo tiene) y los puntos de corte con los ejes coordenados de las siguientes funciones: 1. f(x) = 2 - 3x

6. f(x) = 2x2 – 4x – 2

2. f(x) = √3 − 6𝑥

7. f(x) = 4√1 − 𝑥 - 3

3. f(x) = √3 − 6𝑥 + 10

8. f(x) = √8𝑥 − 4

4. f(x) = √3 + 6𝑥 5. f(x) = √3 + 6𝑥 + 10

1

9. f(x) = √ − 6𝑥 + 7 2

10. f(x) = 6 + 4x

Función Racional. 𝑔(𝑥)

Definiremos como funciones racionales a las expresiones f(x) = ℎ(𝑥)

Donde las funciones g(x) y h(x) son funciones lineales y abajo en el denominador tenemos a la variable x de tal forma que la función h(x) puede ser cero para algún valor de x. Aplicaremos las restricciones para analizar el dominio y el rango, para esto se calcula (n) el (los) valor(es) de la variable analizada que causan el cero y se eliminan del conjunto solución. Generalmente las gráficas serán hipérbolas, donde se tienen valores que no pueden ser tomados llamados asíntotas (hay verticales y horizontales) hacia los cuales la función debe acercarse pero no tocar. Ejemplos de gráficas: Una función muy simple que tiene como asíntotas los mismos ejes cartesianos.

Una función un poco más compleja. Nótese el cambio en la grafica cuando se agrega el 2 a la ecuación original.

Las figuras mostradas se generan del corte de un plano con una serie de conos colocados en la posición indicada en la fig. de la derecha.

Función Inversa. Llamaremos inversa a la expresión que hace que se inviertan los pares ordenados que son generados por una expresión originalmente. Este es el ejemplo de una función inyectiva (es decir que cada elemento del rango participa una vez)

En la siguiente figura tenemos una función sobreyectiva (es decir que todos los elementos del rango están participando)

Una función que cumple ambas condiciones se llama función biyectiva o función uno a uno.

Para que una inversa sea función, la función original debe ser una función uno a uno, es decir que el retorno debe cumplir las condiciones de función y esto solo puede lograrse cuando todos se relacionan con todos y lo hacen solo una vez. Los conjuntos de partida y de llegada deben tener el mismo número de elementos para que todos puedan participar solo una vez. Para determinar la inversa de una función puede seguirse el siguiente algoritmo: 1- Intercambiar las letras de la función. 2- Despejar la variable dependiente. 3- Escribir la notación de inversa cuando ya se ha despejado la variable.

Función valor absoluto. Es la función que resulta de transformar en positivo todo lo que era negativo. Una forma simple de representar esto es: F(x) = |𝑥| =

x, si x ≥ 0 -x , si x < 0

La forma de la función y su dominio y rango dependerán de la estructura que tenga la función dentro del valor absoluto. Este tipo de función se conoce como función seccionada ya que queda cortada en el valor de “0”. Gráficas:

Pueden notar que aun con un valor absoluto la función puede tomar valores negativos.