JUNIO 2007 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico. TIEMPO MÁXIMO: Una hora y media. CALIFICACIÓN: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.

OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:  x − 2y + z = 0  3x + 2 y − 2z = 3 2 x + 2 y + az = 8  a) Discutir el sistema para los distintos valores de a. b) Resolver el sistema para a = 4. Solución. a) El sistema está caracterizado por las matices: 1 − 2 1  1 − 2 1 0     * A =  3 2 − 2 A =  3 2 − 2 3 2 2 2 2 a  a 8    A ⊂ A * ⇒ rg A ≤ rg A * ≤ 3

n=3

Si el determinante de A es distinto de cero, rg A = 3 = rg A* = n = 3, el sistema será compatible determinado, pudiendo calcular la solución por el método de Cramer, por lo tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 1 −2 1 14 7 a=− =− A = 3 2 − 2 = 8a + 14 A = 0 : 8a + 14 = 0 8 4 2 2 a Discusión. i)

ii)

7 ; |A| ≠ 0, rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado, La solución se 4 puede obtener mediante el método de Cramer. 1  1 − 2   1 −1 7 − 2  |A| = 0, rg A < 3. = 5 ≠ 0 ; rg A = 2. Sí a = − ; A =  3 2 3 2 4  2 2 − 7 4   1 − 2 1 0     1 −1 , uno es el A* =  3 2 − 2 3  rg A* ≥ 2. Los menores orlados al menor 3 2  2 2 − 7 4 8  

Sí a ≠ −

1 −2 0 determinante de la matriz de coeficientes, que es cero y es otro es 3 2 3 = 46 ≠ 0 2 2 8

rg A* = 3. rg A ≠ rg A*, sistema incompatible.

 x − 2y + z = 0 a =4  b) Para a = 4: 3x + 2 y − 2z = 3 Sistema compatible determinado. A = 8 ⋅ 4 + 14 = 46 2 x + 2 y + 4 z = 8 

x=

Ax A

=

0 −2 1 3 2 −2 8 2 4 46

=

Ay 46 = 1: y = = 46 A

1 0 1 3 3 −2 2 8 4 46

=

Az 46 = 1: z = = 46 A

1 −2 0 3 2 3 2 2 8 46

=

46 =1 46

Ejercicio 2. (Puntuación máxima 3 puntos)

Dada la función real de variable real definida por f (x ) =

(x − 3)2 x +3

a) Determinar las asíntotas de la función b) Calcular sus máximos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento. Solución. a) Asíntotas verticales. Se buscan entre los puntos excluidos del dominio de la función, debiendo

cumplir la condición de que el límite en esos puntos sea infinito. D = {x ∈ R / x + 3 ≠ 0}  : D[f (x )] = R − {3} x + 3 = 0 : x = −3  Lím

x → −3

(x − 3)2 x+3

=

(− 3 − 3)2 −3+3

=

36 ∉ R ⇒ En x = −3 existe una asuntota vertical. Tendencias laterales: 0  (x − 3)2 = (− 3 − 3)2 = 36 = −∞  Lím−  x →−3 x + 3 − 3− + 3 0 −  2 2  Lím (x − 3) = (− 3 − 3) = 36 = +∞ x →−3+ x + 3 − 3+ + 3 0 + 

Asíntota horizontal. La condición de asíntota horizontal es que el límite de la función cuando la variable tiende a infinito sea finito. Lím

x → ±∞

(x − 3)2 x +3

x2 x 2 − 6x + 9 ≈ Lím = Lím x = ±∞ x +3 x → ±∞ x →±∞ x x → ±∞

= Lím

La función no tiene asuntota horizontal. Asíntota oblicua. Tiene la forma: y = mx + n, donde:  (x − 3)2  2 2 2 m = Lím f (x ) = Lím x + 3 = Lím (x − 3) = Lím x − 6x + 9 ≈ Lím x = 1  x x → ±∞ x x →±∞ x → ±∞ x 2 + 3x x →±∞ x 2 + 3x x → ±∞ x 2    x 2 − 6x + 9  − 9x + 9 − 9x − x  = Lím ≈ Lím = −9  n = Lím (f (x ) − mx ) = Lím    x+3 x → ±∞ x →±∞ x → ±∞ x    x →±∞ x + 3 Asíntota oblicua: y = x − 9 Toda función racional en la que el polinomio del numerador sea de un grado mayor que el polinomio del denominador tendrá asíntota oblicua, y otra forma de calcular la asíntota es por división

polinómica, siendo el cociente de la división igualado a y su expresión.

b) El estudio de la monotonía y los extremos relativos se puede hacer simultáneamente

estudiando el signo y los ceros de la primera derivada. Monotonía. •

En los intervalos en los que la 1ª derivada sea positiva, la función será creciente.

•

En los intervalos en los que la 1ª derivada sea negativa, la función será decreciente.

Extremos relativos (Máximos y mínimos locales). f ′ x − > 0 o • Si f ′(x o ) = 0 :   : (x o , f (x o )) Existe un máximo + ′ f x  o < 0  •

Si f ′(x o

( (  ) = 0 : f ′(x f ′(x

− o + o

) ) ) < 0 : (x ) > 0

o,f

(x o )) Existe un mínimo

Derivada: f ′(x ) =

2(x − 3) ⋅ (x + 3) − (x − 3)2 ⋅1

(x + 3)

2

=

(x − 3)⋅ [2(x + 3) − (x − 3)] = (x − 3)(x + 9) (x + 3)2 (x + 3)2

Ceros y polos de la 1ª derivada:   x =3 Ceros : (x − 3)(x + 9) = 0 :   x = −9 Polos : (x + 3)2 = 0 : x = −3 

•

( )

f (− 9 ) =

•

( )

En x = −9, se cumplen las condiciones de máximo local: f ′ − 9 − > 0 : f ′(− 9) = 0 : f ′ − 9 + < 0

(− 9 − 3)2

= −24 ⇒ (− 9,−24 ) Máximo local

−9+3

( )

( )

En x = 3, se cumplen las condiciones de mínimo local: f ′ 3 − < 0 : f ′(3) = 0 : f ′ 3 + > 0 f (3) =

(3 − 3)

2

•

3+3 Creciente sí x ∈ (−∞, − 9) ∪ (3, + ∞ )

•

Decreciente sí x ∈ (−9, − 3) ∪ (−3, 3)

= 0 ⇒ (3,0) Mínimo local

Ejercicio 3. (Puntuación máxima 2 puntos) Según cierto estudio, el 40% de lo hogares europeos tienen contratado el acceso a Internet, el 33% tiene contratada la televisión por cable, y el 20% dispone de ambos servicios. Se selecciona un hogar europeo al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de solo tenga contratada la televisión por cable? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? Solución. A ≡ Tiene acceso a internet. B ≡ Tiene televisión por cable. Datos: p(A) = 0’40 ; p(B) = 0’33 ; p(A∩B) = 0’20 a) Solo televisión por cable ≡ No tiene acceso a internet Y tiene TV por cable. p A ∩ B = p(B) − p(A ∩ B) = 0'33 − 0'20 = 0'13

(

)

b) No tiene acceso a internet Y no tiene TV por cable. p A∩B = p A ∪ B = 1 − p(A ∪ B) = 1 − [p(A ) + p(B) − p(A ∩ B)] =

(

)MORGAN (

)

= 1 − [0'40 + 0'33 − 0'20] = 0'57

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 35 años y desviación típica de 5 años. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha isla. Sea x la media muestral de la edad de casamiento. a) ¿Cuáles son la media y la varianza de x ? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la muestra esté comprendida entre 36 y 37 años? Solución. a) x ≡ Edad de matrimonio de los hombres de Isla Barataria. Variable continua que sigue una distribución normal caracterizada por su media (µ) y su desviación típica(σ). x : N(µ, σ) = N (35, 5)

Para muestras de tamaño n = 100 las medias maestrales siguen una distribución normal con las siguientes características:   σ  5   = N(35, 0'5)  = N 35, x : N µ,    n 100    Varianza: σ 2 = 0'5 2 = 0'25  36 − 35  = 36 : z = = 2'00  0 ' 5 b) p(36 < x < 37 ) =   = p(2'00 < z < 4'00 ) = 37 − 35 x = 37 : z = = 4'00 0'5   p(z < 4'00 ) − p(z ≤ 2) = φ(4'00 ) − φ(2'00 ) = 1 − 0'9772 = 0'0228 N (35, 0'5 ) x

p(36 < x < 37 ) = 2'28% Nota: Los valores por encima del mayor valor de la variable tipificada en la tabla se toman como 1. φ(4’00) = 1.

OPCIÓN B Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y uno de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable de tipo B, 1000 euros. Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo. Solución. Variables: x ≡ Número de centenas de metro de cable tipo A y ≡ Número de centenas de metro de cable tipo B

Datos: Para 100 metros de cada tipo de cable COBRE TITANIO 10 2 TIPO A 15 1 TIPO B MÁXIMOS 195 kg 20 kg OPERATIVOS

ALUMINIO 1 1

BENEFICIO 1500 1000

14 kg

Función objetivo: F(x, y) = 1500x + 1000y Restricciones: 10x + 15y ≤ 195 2x + y ≤ 20 x + y ≤ 14 x ≥ 0; y ≥ 0 Región factible:

Las restricciones x ≥ 0, y ≥ 0, sitúan la región factible en el primer cuadrante. Si se toma (0, 0) 10 ⋅ 0 + 15 ⋅ 0 ≤ 195   como referencia, las tres inecuaciones restantes se cumplen  2 ⋅ 0 + 0 ≤ 20  , por lo que la región   0 + 0 ≤ 14   factible queda delimitada por los vértices A, B, C, D y E de la figura.

Vértices:

-

A = (0, 13) 10 x + 15 y = 195 x =3 B: Solución :  ⇒ B = (3, 11)  x + y = 14  y = 11 2 x + y = 20 x = 6 C: Solución :  ⇒ B = (6, 8)  x + y = 14 y = 8 D = (10, 0) E = (0, 0)

Optimación: Vértice A B C D E

x 0 3 6 10 0

y 13 11 8 0 0

F(x, y) = 1500x + 1000y 13 000 15 500 17 000 15 000 0

El máximo beneficio cumpliendo las restricciones propuestas es de 17000 €, obteniéndose con una producción de 600 m de cable tipo A y 800 m de cable tipo B Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Representar gráficamente la región acotada limitada por las gráficas de las funciones 5 1 1 f (x ) = x 2 , g(x ) = (5x + 20 ) , h (x ) = (− 5x + 20 ) 4 2 2 y obtener su área. Solución. 5 f (x ) = x 2 Parábola con vértice en (0, 0) 4 OX(y = 0) : (− 4, 0 ) 1 g(x ) = (5x + 20 ) Recta. Cortes con los ejes:  2 OY(x = 0) : (0, 10)  OX(y = 0) : (4, 0 ) 1 h (x ) = (− 5x + 20 ) Recta. Cortes con los ejes:  2 OY(x = 0) : (0, 10)

Puntos de corte de f(x) y g(x). 5 2   y= 4x 5 1 ; x 2 = (5x + 20 )  1 4 2  y = (5x + 20 ) 2  x = −2 5x 2 − 10x − 40 = 0 :  x=4 Puntos de corte de f(x) y h(x). 5  y = x2  5 1 4 ; x 2 = (− 5x + 20 )  1 2  y = (− 5x + 20 ) 4 2  x = −4 5x 2 + 10 x − 40 = 0 :  x=2

El área delimitada por la tres funciones tiene la forma que indica la figuraÁrea =

4 1 5 2 5 2 dx +  (5x + 20 ) − x dx 0 2 4    Teniendo en cuenta que el área es simétrica: 4 1 5  Área = 2 ⋅  (5x + 20 ) − x 2 dx = 0 2 4  0

1

∫−4  2 (− 5x + 20) − 4 x

∫

∫

4

4

 1  5x 2  5x 3   5x 2 5x 3   = = 2⋅  + 20 x  − + 20 x −  =  4⋅3   2 2 2 6     0  0 =

5⋅ 42 5 ⋅ 4 3  5 ⋅ 0 2 5 ⋅ 03 + 20 ⋅ 4 − − + 20 ⋅ 0 −  2 2 6 6 

 200 2 = u  3 

Ejercicio 3. (Puntuación máxima 2 puntos) Los pianistas de Isla Sordina se forman en tres conservatorios, C1, C2 y C3, que forman al 40%, 35% y 25% de los pianistas, respectivamente. Los porcentajes de pianistas virtuosos que producen estos conservatorios son del 5%, 3% y 4%, respectivamente. Se selecciona un pianista al azar. a) Calcular la probabilidad de que sea virtuoso. b) El pianista resulta ser virtuoso. Calcular la probabilidad de que se halla formado en el primer conservatorio (C1). Solución. C1 ≡ Conservatorio I Sucesos: C2 ≡ Conservatorio II C3 ≡ Conservatorio III V ≡ Virtuoso Datos: p(C I ) = 0'40 p(C II ) = 0'35 p(C III ) = 0'25

p V  = 0'05  CI   = 0'03 p V   C II  p V  = 0'04  CI 

a) p(V ) = p[(C I ∩ V ) ∪ (C II ∩ V ) ∪ (C III ∩ V )] = 144444424444443 S. INCOMPATIBLES

= p(C I ∩ V ) + p(C II ∩ V ) + p(C III ∩ V )

=

S. Dependientes

 + p(C ) ⋅ p V  = p(C I ) ⋅ p V  + p(C II ) ⋅ p V   C = III III   CI   C II   = 0'40 ⋅ 0'05 + 0'35 ⋅ 0'03 + 0'25 ⋅ 0'04 = 0'0405 p(V ) = 4'05%

p(C I ∩ V ) = b) p C I  = V   P(V )

p(C I ) ⋅ p V   C I  0'40 ⋅ 0'05 = = 0'494 p(V ) 0'0405 C p I  = 49'4%  V

Ejercicio 4. (Puntuación máxima.: 2 puntos) La duración de las rosas conservadas en agua en un jarrón es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal con una desviación típica de 10 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 rosas y se obtienen las siguientes duraciones (en horas):

57, 49, 70, 40, 45, 44, 49, 32, 55, 45 Hallar el intervalo de confianza al 95% para la duración media de las rosas. Solución. x ≡ Duración en horas de las rosas. Variable continua que sigue una distribución normal. x: N(µ, σ) σ = 10 h Se pide calcular un intervalo de confianza para la media poblacional a partir de la media de una muestra de tamaño n = 10 57 + 49 + 70 + 40 + 45 + 44 + 49 + 32 + 55 + 45 xo = = 48'6 h 10 Para muestras de tamaño 10, las medias de las muestras siguen también una distribución normal.  10   σ    = N µ, x : N µ,    n 10    Nivel de confianza = 95%: 1 − α = 0’95: α = 0’05  0'05   α −1 Z α = φ −1 1 −  = φ −1 1 −  = φ (0'9750) = 1'96 2 2 2     Intervalo de confianza a partir de la media poblacional a partir de una media muestral con un nivel de confianza del 95% es:  σ σ    x o − Zα ⋅ , x o + Zα ⋅   2 2 n n  Sustituyendo por lo valores:  10 10   48'6 − 1'96 ⋅  = (42'4, 54'8) , 48'6 + 1'96 ⋅   10 10   Con una probabilidad del 95% se puede asegurar que la duración media de las rosas está comprendida entre (42'4, 54'8) horas.