JUNIO 1998 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min.

OPCIÓN A x + my − z = 2  1ª Se da el sistema  mx + 2z = 4  x+ y+z = 2  a) Hállense los valores de m para los que sea compatible b) Resuélvase, si es posible, para m = 2

2ª Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado (en miles de personas) por la función S(x) = 2x3 − 15x2 + 24x + 26 donde x indica el número de años desde la última remodelación. a) Hállese el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios. b) El 4º año se remodeló de nuevo. Indíquese razonadamente si ésta remodelación tuvo éxito o no.

3ª Se lanza un dado de 6 caras, numeradas del 1 al 6 dos veces consecutivas. a) Calcúlese la probabilidad de que la suma de los resultados sea igual a 4. b) Calcúlese la probabilidad de que en el primer lanzamiento halla salido un 1, sabiendo que la suma es 4.

4ª Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución normal con media µ=100 meses y desviación típica σ = 12 meses. Determínese el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad de 0,98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.

OPCIÓN B 1ª Los estudiantes de cierto curso venden camisetas, gorras y banderines para ayudarse a pagar un viaje. Cada camiseta se vende a 800 pesetas, cada gorra a 120 pesetas y cada banderín a 200 pesetas. Los costes de cada prenda son de 300 pesetas por camiseta, 20 pesetas por gorra y 80 pesetas por banderín. El beneficio neto obtenido es de 67.400 pesetas y el gasto total es de 34.600 pesetas. Sabiendo que se han vendido un total de 270 unidades en conjunto, calcúlese cuantas se han vendido de cada clase.

2ª En un colegio se imparten los cursos 1º, 2º y 3º de ciertas enseñanzas. Los profesores tienen asignado un número de horas de clase, tutorías y guardias a cubrir de acuerdo con la siguiente matriz 1º  20 3 3    M = 2º  18 6 5  . El colegio paga cada hora de clase a 2000 pesetas, cada hora de guardia a 500 pesetas y 3º  22 1 2   2000    cada hora de tutoría a 1000 pesetas, según el vector C =  500  . El colegio dispone de 5 profesores para  1000    primer curso, 4 para segundo y 6 para tercero, representados por el vector P = ( 5 4 6 ) Calcúlense cada uno de los siguientes productos de matrices e interprétense los resultados. a) P·M b) M·C c) P·M·C 3ª Sea la función f(x) = 2x3 + bx2 + ax − 5 a) Hállense los valores de a y b de forma que f(x) tenga un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2. b) Hállese el área de la región limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 0 y x = 3

4º Se ha llevado a cabo un estudio en diferentes países de la Unión Europea del porcentaje de la población que accede a la enseñanza superior. En los países escogidos se han obtenido los valores siguientes (medidos en tanto por ciento): 23,5 35,0 29,5 31,0 23,0 33,5 27,0 28,0 30,5 Se supone que estos porcentajes siguen una distribución normal con desviación típica igual al 5%. Se desea contrastar con un nivel de significación del 5% si los datos anteriores son compatibles con un valor medio del porcentaje de la población que cursa estudios superiores igual al 28%. a) Plantéense en el contraste cuales son la hipótesis nula y la alternativa b) Determínese la región crítica del contraste. c) ¿Es posible aceptar la hipótesis con el nivel de significación indicado?