Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Introducci´on al An´alisis no est´andar Alexandre Miquel . DE .

R

U

D

- G I C A LO

E Q U I P O

Problema

E L A

24 de junio de 2015, Centro de Matem´atica

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Los infinitesimales de Leibniz

Conclusi´ on

(1/2)

Cuando introdujo el c´alculo infinitesimal, Leibniz defini´ o las nociones de continuidad y de derivabilidad utilizando infinitesimales dx, dy , etc. Continuidad de f en x: f (x + dx) ' f (x) Derivabilidad de f en x: f (x + dx) − f (x) df ' (x) dx dx (donde x ' y significa: x − y es infinitesimal)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

´ justificaba la existencia de los infinitesimales utilizando enteros El infinitamente grandes, m´as grandes que todos los ‘enteros usuales’: dx = 1/N

donde N > n

(∀n ∈ N usual)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Los infinitesimales de Leibniz

Conclusi´ on

(2/2)

Durante siglos (y todav´ıa hoy), los matem´aticos, f´ısicos y ingenieros utilizaron los infinitesimales de Leibniz para hacer c´alculos correctos Desgraciadamente, los infinitesimales de Leibniz no ten´ıan fundamentos l´ogicos s´ olidos, y pod´ıan llevar paradojas: ¿Qu´e es un entero infinitamente grande? ¿Cu´al es el m´as peque˜ no entero infinitamente grande? Cuando establecieron las fundaciones modernas del An´alisis, los matem´aticos del siglo 19 renunciaron a los infinitesimales, remplaz´andolos por el m´etodo dicho de “ε/δ”: f : [a, b] → R continua en el punto x si: (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ [a, b])(|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε) [Cantor, Dedekind, Cauchy, Bolzano, Weierstrass]

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

An´alisis no est´andar (de Robinson a Nelson) En los a˜ nos 1960, Robinson descubri´ o un m´etodo para introducir n´ umeros infinitesimales en an´alisis, con fundamentos l´ ogicos s´ olidos: Introducci´ on de elementos no est´andar ⇒ An´alisis no est´andar Construcci´ on muy general, basada sobre la noci´ on de hiper-extensi´ on (o ultrapotencia)

Abraham Robinson (1918–1974)

En 1977, Nelson aplic´ o el m´etodo de Robinson a toda la teor´ıa de conjuntos IST: Internal Set Theory Extiende la teor´ıa de conjuntos ZFC con: Edward Nelson (1932–2014)

elementos no est´ andar axiomas espec´ıficos para describirlos

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Plan

1

El problema de los infinitesimales

2

Un primer ensayo de construcci´ on

3

Filtros y ultrafiltros

4

Construcci´ on del conjunto ∗ R de los hiperreales

5

An´alisis no est´andar

6

Un esbozo de teor´ıa de modelos

7

Conclusi´ on

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Plan

1

El problema de los infinitesimales

2

Un primer ensayo de construcci´ on

3

Filtros y ultrafiltros

4

Construcci´ on del conjunto ∗ R de los hiperreales

5

An´alisis no est´andar

6

Un esbozo de teor´ıa de modelos

7

Conclusi´ on

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Objetivo

Objetivo: Construir un conjunto ∗ R de n´ umeros hiperreales tal que: 1

2

3

∗

R contiene todos los reales est´andar:

R ⊂ ∗R

Las operaciones de cuerpo (+, −, ×, /) y el orden total (≤) de R se extienden a ∗ R, manteniendo sus propiedades ∗

R contiene n´ umeros infinitamente grandes y infinitesimales

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Idea de la construcci´on

Idea: Definir los hiperreales a partir de las sucesiones de reales usuales: Cada n´ umero real est´andar x ∈ R ser´a representado por la sucesi´on constante cst(x) ∈ RN definida por cst(x)i = x (∀i ∈ N) Los hiperreales infinitesimales ser´an representados por las sucesiones (ui )i∈N no nulas que convergen hacia 0: limi→∞ ui = 0, ui 6= 0 Los hiperreales infinitamente grandes ser´an representados por las sucesiones (ui )i∈N que tienden hacia ∞: limi→∞ ui = ∞ Adem´as, vamos a identificar las sucesiones que coinciden a partir de alg´ un ´ındice (para ignorar su comportamiento en los primeros t´erminos)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Primer ensayo de construcci´on Idea: Definir los hiperreales a partir de las sucesiones de reales usuales, identificando las sucesiones que coinciden a partir de alg´ un ´ındice Formalmente: 1

2

Se escribe RN el conjunto de todas las sucesiones de n´ umeros reales Se define la relaci´ on binaria (ui )i∈N ∼ (vi )i∈N sobre RN por: (ui )i∈N ∼ (vi )i∈N

⇔

(∃i0 ∈ N)(∀i ≥ i0 ) ui = vi

Proposici´ on: ∼ es una relaci´ on de equivalencia sobre RN 3

Se define: ∗

R := RN /∼

(cociente de RN por la relaci´ on ∼)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Transferencia del orden

Conclusi´ on

(1/2)

Deseamos transferir el orden usual de R al conjunto ∗ R Para todas sucesiones u = (ui )i∈N , v = (vi )i∈N se escribe: u≤v

⇔

(∃i0 ∈ N)(∀i ≥ i0 ) ui ≤ vi

Esta relaci´ on ≤ sobre RN es compatible con la equivalencia ∼. Entonces, induce una relaci´ on binaria ≤ sobre ∗ R := RN /∼: [u] ≤ [v ]

⇔

(∃i0 ∈ N)(∀i ≥ i0 ) ui ≤ vi

Proposici´ on: La relaci´ on [u] ≤ [v ] es un orden parcial sobre ∗ R Problema: El orden [u] ≤ [v ] sobre ∗ R no es total: ui = i mod 2

para todo i ∈ N

(sucesi´ on alternando 0 y 1)

vi = 1/2

para todo i ∈ N

(sucesi´ on constante igual a 1/2)

Tenemos

[u] 6≤ [v ]

y

[v ] 6≤ [u]

([u], [v ] no comparables)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Transferencia del orden

Conclusi´ on

(2/2)

Sin embargo, ya tenemos los infinitamente grandes/peque˜ nos deseados Recordatorio: Cada n´ umero real est´andar x ∈ R es representado por el elemento ∗x ∈ ∗ R definido por: ∗x = [cst(x)] Proposici´ on (Existencia de n´ umeros infinitamente grandes) Sea ω = [u], con u = (ui )i∈N definida por ui = i (∀i ∈ N). Entonces ω ∈ ∗ R es m´as grande que todos los reales est´andar: (∀x ∈ R) ω > ∗x

Proposici´ on (Existencia de n´ umeros infinitesimales) Sea ε = [v ], con v = (vi )i∈N definida(†) por vi = 1/i (∀i ≥ 1). Entonces ε ∈ ∗ R es m´as peque˜ no que todos los reales est´andar > 0: ε > ∗0 ∧ (∀n ∈ N) (n ≥ 1 ⇒ ε < ∗(1/n))

(†) Se puede tomar v0 cualquiera, no cambia nada a trav´ es del cociente

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Transferencia de la estructura de cuerpo Deseamos transferir la estructura de cuerpo de R al conjunto ∗ R Se definen las operaciones (+) y (×) en RN por: (ui )i∈N + (vi )i∈N (ui )i∈N × (vi )i∈N

= (ui + vi )i∈N = (ui × vi )i∈N

Las operaciones (+), (×) : RN × RN → RN son compatibles con ∼. Entonces, inducen operaciones (+), (×) : ∗ R × ∗ R → ∗ R a trav´es del cociente: [u] + [v ] = [u + v ], [u] × [v ] = [u × v ] Proposici´ on (Estructura de anillo) (∗ R, +, ∗0, ×, ∗1) es un anillo (conmutativo)... pero no es un cuerpo Contra-ejemplo: ui = i mod 2 ∀i ∈ N Tenemos u 6∼ cst(0), luego:

(sucesi´ on alternando 0 y 1)

[u] 6= ∗0

No existe ning´ un v ∈ RN tal que u × v ∼ cst(1):

[u] no es invertible

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Un fracaso parcial El ensayo de construcci´ on es un fracaso: Se pierde la propiedad de orden total Se pierde la estructura de cuerpo

Pero es un fracaso parcial: Se mantiene la existencia de un orden Se mantiene la estructura de anillo Aparecen los n´ umeros infinitamente grandes/peque˜ nos deseados

Raz´ on del fracaso: Existen sucesiones “vacilantes”, por ej.: No es comparable con ∗1/2,

ui = i mod 2

(∀i ∈ N)

no es ni nula ni invertible

La equivalencia ∼ no hace bastantes identificaciones: tenemos que elegir una equivalencia que hace m´ as identificaciones

Hilo conductor:

resolver el caso de las sucesiones vacilantes

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Plan

1

El problema de los infinitesimales

2

Un primer ensayo de construcci´ on

3

Filtros y ultrafiltros

4

Construcci´ on del conjunto ∗ R de los hiperreales

5

An´alisis no est´andar

6

Un esbozo de teor´ıa de modelos

7

Conclusi´ on

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Observaci´on En el primer ensayo de construcci´ on, identificamos las sucesiones que representaban el mismo n´ umero hiperreal utilizando la equivalencia: (ui )i∈N ∼ (vi )i∈N

⇔ (∃i0 ∈ N)(∀i ≥ i0 ) ui = vi

⇔

⇔ Notaci´ on:

Ic = N − I

{i ∈ N : ui 6= vi } finito

{i ∈ N : ui = vi }c finito

(complementario de I en N)

Definici´ on (Filtro de Fr´echet) 1 2

Un subconjunto I ⊆ N es cofinito si I c (= N − I ) es finito

El conjunto Fr´echet = {I ⊆ N : I cofinito} formado por todos los subconjuntos I ⊆ N cofinitos se llama el filtro de Fr´echet

La equivalencia del primer ensayo de construcci´ on se reformula as´ı: (ui )i∈N ∼ (vi )i∈N

⇔

{i ∈ N : ui = vi } ∈ Fr´echet | {z } | {z }

´ındices de coincidencia

partes cofinitas de N

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Filtros Definici´ on (Filtro) Un conjunto de partes F ⊂ P(N) es un filtro si: (F1) (F2) (F3) (F4)

N∈F

(contiene la parte llena)

I ∈F ∧ I ⊆J⊆N ⇒ J∈F

I ∈ F ∧ J ∈ F ⇒ (I ∩ J) ∈ F

(cerrado por encima) (estable por intersecci´ on binaria)

∅∈ /F

(parte vac´ıa prohibida)

Ejemplo (Filtro de Fr´echet) El conjunto

Fr´echet = {I ⊆ N : I cofinito} ⊂ P(N)

es un filtro

Observaciones: Para todo filtro F ⊂ P(N): I ∈ F ∧ J ∈ F ⇒ I ∩ J 6= ∅ I ∈F ∧ I ∩J =∅ ⇒ J ∈ /F

(caso particular: J = I c )

Para todo I ⊆ N: a lo sumo uno de I o I c pertenece a F

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Equivalencia inducida por un filtro Cada filtro F ⊂ P(N) induce una relaci´ on binaria sobre las sucesiones: (ui )i∈N ∼ (vi )i∈N

⇔

{i ∈ N : ui = vi } ∈ |{z} F | {z }

´ındices de coincidencia

filtro

Proposici´ on (Equivalencia) 1 2

∼ es una relaci´ on de equivalencia sobre AN

(A conjunto cualquiera)

∼ nunca identifica dos sucesiones constantes distintas: x 6= y (∈ A) ⇒ cst(x) 6∼F cst(y )

Demostraci´ on: 1. La relaci´ on ∼F es reflexiva por (F1), sim´ etrica (trivial) y transitiva por (F3), (F2) 2. Si x 6= y , entonces {i : csti (x) = csti (y )} = ∅ ∈ / F por (F4)

Observaci´ on: M´ as grande es F, m´ as identificaciones hace la relaci´ on ∼F . Entonces, necesitamos un filtro estrictamente m´ as grande que Fr´echet

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Ultrafiltros Definici´ on (Ultrafiltro) Un ultrafiltro es un filtro U ⊂ P(N) tal que para todo I ⊆ N: I ∈U

o bien

Ic ∈ U

(“o” exclusivo)

Intuici´ on: Para todo I ⊆ N, un ultrafiltro elige exactamente una de las dos partes I o I c , de tal modo que las partes elegidas formen un filtro. Dicho otramente: un ultrafiltro es un filtro maximal (no se puede agrandar)

Proposici´ on (Caracterizaci´ on) Un conjunto U ⊂ P(N) es un ultrafiltro si y s´ olo si para todos I , J ⊆ N: (U¬ )

(U∧ ) (U∨ )

Ic ∈ U

⇔

I ∈ /U

(I ∪ J) ∈ U

⇔

I ∈U ∨ J∈U

(I ∩ J) ∈ U

⇔

I ∈U ∧ J∈U

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Inter´es de la noci´on de ultrafiltro Como todo filtro, un ultrafiltro U ⊂ P(N) induce una relaci´on de equivalencia sobre las sucesiones: (ui )i∈N ∼ (vi )i∈N

⇔

U {i ∈ N : ui = vi } ∈ |{z} {z } |

´ındices de coincidencia

ultrafiltro

Sea (ui )i∈N una sucesi´ on vacilante entre dos valores x1 y x2 : (∀i ∈ N) (ui = x1 ∨ ui = x2 ) Se escribe: I1 = {i ∈ N : ui = x1 }, I2 = {i ∈ N : ui = x2 }. Como I1 ∪ I2 = N ∈ U, tenemos por (U∨ ): o bien I1 ∈ U , de tal modo que o bien I2 ∈ U , de tal modo que

(ui )i∈N ∼ cst(x1 ) (ui )i∈N ∼ cst(x2 )

M´as generalmente: Proposici´ on (Desaparici´ on de las sucesiones vacilantes a trav´es de ∼) Si u ∈ {x1 , . . . , xn }N , entonces:

u ∼ cst(xk )

(para alg´ un k = 1, ..., n)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Existencia de ultrafiltros ¿Existen los ultrafiltros? Ultrafiltros triviales Para todo ´ındice i0 ∈ N (fijado), el conjunto Ui0 = {I ⊆ N : i0 ∈ I } es un ultrafiltro. Tales ultrafiltros se llaman ultrafiltros triviales Los ultrafiltros triviales son los solos ultrafiltros que se pueden construir expl´ıcitamente... pero no tienen ning´ un inter´es Por suerte, el Axioma de la Elecci´ on (AE) permite demostrar lo siguiente: Proposici´ on (Existencia de ultrafiltros no triviales) Para todo filtro F, existe un ultrafiltro U tal que F ⊆ U Idea de la demostraci´ on (no constructiva): Por el lema de Zorn (AE), existe un filtro maximal U ⊇ F. Pero un filtro maximal U es un ultrafiltro.

En lo siguiente, tomaremos un ultrafiltro U ⊇ Fr´echet

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Plan

1

El problema de los infinitesimales

2

Un primer ensayo de construcci´ on

3

Filtros y ultrafiltros

4

Construcci´ on del conjunto ∗ R de los hiperreales

5

An´alisis no est´andar

6

Un esbozo de teor´ıa de modelos

7

Conclusi´ on

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

El ultrafiltro U En lo siguiente, se fija un ultrafiltro U ⊇ Fr´echet

(⊂ P(N))

No se puede construir expl´ıcitamente un tal ultrafiltro (Existencia no constructiva, dada por el Axioma de la Elecci´ on)

Lo que se sabe sobre un tal conjunto U ⊂ P(N): S´ olo contiene partes infinitas I ⊆ N

Contiene todas las partes cofinitas I ⊆ N Es cerrado por encima:

I ∈ U, I ⊆ J ⊆ N ⇒ J ∈ U

Es estable por intersecci´ on binaria:

I ∈ U , J ∈ U ⇒ (I ∩ J) ∈ U

Para todo I ⊆ N, exactamente uno de I o I c pertenece a U

Por ejemplo: {n ∈ N : n par} ∈ U o {n ∈ N : n impar} ∈ U

(exclusivo)

{n ∈ N : n primo} ∈ U o {n ∈ N : n no primo} ∈ U

(exclusivo)

Si {n ∈ N : n primo} ∈ U, entonces {n ∈ N : n par} ∈ /U

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Hiper-extensi´on de un conjunto

Conclusi´ on

(1/2)

Dado un conjunto A cualquiera, se considera la relaci´ on de equivalencia sobre AN definida por: (ui )i∈N ∼ (vi )i∈N

⇔

U {i ∈ N : ui = vi } ∈ |{z} {z } |

ultrafiltro

´ındices de coincidencia

Definici´ on (Hiper-extensi´ on de A) La hiper-extensi´ on de A es el conjunto ∗A definido por: Si los elementos de A se llaman cosas, los elementos de

∗A

∗

A := AN /∼

se llamar´ an hiper-cosas

Cada x ∈ A es representado en ∗A por la clase ∗x = [cst(x)]. La funci´ on ∗ : A → ∗A es inyectiva:

Los elementos de ∗A de la forma ∗x son los elementos est´ andar Los otros elementos de ∗A son los elementos no est´ andar

En lo siguiente, se identifica ∗x con x, considerando que A ⊆ ∗A

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Hiper-extensi´on de un conjunto

Conclusi´ on

(2/2)

Proposici´ on Si A es finito, entonces ∗A = A Demostraci´ on.

Ya vimos que

(ning´ un elemento no est´ andar)

u ∈ {x1 , . . . , xn }N ⇒ (∃k = 1, .., n) u ∼ cst(xk )

Proposici´ on Si A es infinito, entonces ∗A tiene elementos no est´andar Demostraci´ on. Si A es infinito, existe una sucesi´ on u = (ui )i∈N ∈ AN inyectiva. Para todo x ∈ A, tenemos #{i ∈ N : ui = x} ≤ 1, entonces {i ∈ N : ui = x} ∈ / U. Luego u 6∼ cst(x), es decir: [u] 6= ∗x.

Ejemplo: Sea ∗ R (= RN /∼) el conjunto de los n´ umeros hiperreales. Este conjunto contiene elementos no est´andar: ∗ R − R 6= ∅

Lo mismo para ∗ N (hipernaturales), ∗ Z (hiperenteros), ∗ Q (hiperracionales), ∗ C (hipercomplejos)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Transferencia del orden Para todas sucesiones u = (ui )i∈N , v = (vi )i∈N ∈ RN se escribe: [u] ≤ [v ] Obs:

⇔

{i ∈ N : ui ≤ vi } ∈ U

Esta definici´ on s´ olo depende de las clases de u y de v (ejercicio)

Proposici´ on (Orden total en ∗ R) La relaci´ on [u] ≤ [v ] es un orden total sobre ∗ R Demostraci´ on. La relaci´ on [u] ≤ [v ] es obviamente un orden. Para demostrar que es total, consideremos dos sucesiones u = (ui )i∈N , v = (vi )i∈N ∈ RN . Escribamos

I = {i ∈ N : ui ≤ vi },

J = {i ∈ N : ui ≥ vi }

Como el orden ≤R es total en R, tenemos:

I ∪ J = N (∈ U )

Como U es un ultrafiltro, tenemos por (U∨ ): o bien I ∈ U , de tal modo que: [u] ≤ [v ] o bien J ∈ U , de tal modo que: [v ] ≤ [u]

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Transferencia de la estructura de cuerpo Para todas sucesiones u = (ui )i∈N , v = (vi )i∈N ∈ RN se escribe:   [u] + [v ] = (ui + vi )i∈N   [u] × [v ] = (ui × vi )i∈N Obs:

Esta definici´ on s´ olo depende de las clases de u y de v (ejercicio)

Proposici´ on (Estructura de cuerpo totalmente ordenado) (∗ R, +, 0, ×, 1) es un cuerpo totalmente ordenado Demostraci´ on. (∗ R, +, 0, ×, 1) es obviamente un anillo conmutativo. Para demostrar que es un cuerpo, consideremos u = (ui )i∈N ∈ RN tal que [u] 6= 0. Como u 6∼ cst(0), tenemos que

I = {i ∈ N : ui = 0} ∈ /U

Como U es un ultrafiltro, tenemos que Escribamos vi = 1/ui para todo i ∈ I c Tenemos

{i ∈ N : ui vi = 1} =

Ic

∈ U,

I c = {i ∈ N : ui 6= 0} ∈ U (vi cualquiera para i ∈ I , no importa)

luego:

[u] × [v ] = [cst(1)]

(Compatibilidad de la estructura de cuerpo con el orden total: ejercicio)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Otras propiedades de ∗ R Vimos que ∗ R es un cuerpo totalmente ordenado, que extiende R Teorema (∗ R no es arquimediano) ∗

R no es arquimediano: existe ω ∈ ∗ R tal que

Demostraci´ on.

(∀n ∈ N) (ω > n)

Tomar ω = [u], con ui = i para todo i ∈ N

Observaci´ on: ω es un n´ umero hipernatural no est´ andar: ω ∈ ∗ N − N. M´ as generalmente, se puede demostrar que cada hipernatural no est´ andar N ∈ (∗ N − N) es mayor que todos los naturales est´ andar: (∀n ∈ N) (N > n)

Teorema (∗ R no es completo) ∗

R no es completo: existe un subconjunto X ⊆ ∗ R no vac´ıo que tiene una cota superior, pero que no tiene ning´ un supremo Demostraci´ on. Sea X = N ⊂ ∗ R; una cota superior es ω ∈ ∗ R. Por el absurdo, supongamos que N tiene un supremo x ∈ ∗ R. Como x − 1 < x, existe n ∈ N tal que x − 1 < n. Entonces x = (x − 1) + 1 < n + 1 ∈ N: contradicci´ on

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Transferencia de las funciones usuales Vimos que las operaciones de cuerpo (+, −, ×, /) se extienden a ∗ R, manteniendo la estructura de cuerpo totalmente ordenado M´as generalmente, cada funci´ on f : R → R (funci´on est´andar) se extiende en una funci´ on ∗f : ∗ R → ∗ R, escribiendo:   ∗ f ([u]) = (f (ui ))i∈N (u ∈ RN ) Obs:

Esta definici´ on s´ olo depende de la clase de u

As´ı se definen las funciones ∗exp, ∗ cos, ∗ sen : ∗ R → ∗ R, etc. Esta extensi´ on mantiene todas las propiedades algebraicas usuales ∗exp x

>0

∗exp(−x)

= 1/∗exp x

|∗ cos x|, |∗ sen x| ≤ 1 x + ∗ sen2 x = 1

∗ cos(−x) ∗ sen(−x)

= ∗ cos x = −∗ sen x

∗ cos2

para todos x, y ∈ ∗ R, n ∈ ∗ N

∗exp(x ∗ cos(x ∗ sen(x

+ y ) = ∗exp x ∗exp y

+ nπ) = ∗ cos x + nπ) = ∗ sen x

(etc.)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Plan

1

El problema de los infinitesimales

2

Un primer ensayo de construcci´ on

3

Filtros y ultrafiltros

4

Construcci´ on del conjunto ∗ R de los hiperreales

5

An´alisis no est´andar

6

Un esbozo de teor´ıa de modelos

7

Conclusi´ on

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Estructura de ∗ R

Conclusi´ on

(1/2)

Recordatorio: 1

2

∗

R es un cuerpo totalmente ordenado, que extiende R. No es ni arquimediano, ni completo, pero contiene n´ umeros infinitamente grandes (ω ∈ ∗ N) y infinitesimales (ε = 1/ω)

Cada funci´ on f : R → R se extiende en una funci´ on ∗f : ∗ R → ∗ R (hiper-funci´ on est´andar). Las propiedades algebraicas de f son mantenidas a trav´es de esta extensi´ on En lo siguiente, se escribe f (: ∗ R → ∗ R) la funci´ on extendida antes de ∗f

3

Cada sucesi´ on u ∈ RN tambi´en se extiende en una hiper-sucesi´on ∗ u : ∗ N → ∗ R (hiper-sucesi´ on est´andar). Las propiedades algebraicas de u son mantenidas igualmente En lo siguiente, se escribe u (: ∗ N → ∗ R) la sucesi´ on extendida antes de ∗u

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Estructura de ∗ R

Conclusi´ on

(2/2)

Definici´ on (Clasificaci´ on de los hiperreales) Se dice que un n´ umero x ∈ ∗ R es: limitado

si

ilimitado

si

infinitesimal

si

apreciable

si

1/ω . . . 10

(∀n ∈ N, n ≥ 1) |x| < 1/n

x es limitado y no infinitesimal

apreciable

infinitesimal 0

(∃n ∈ N) |x| ≤ n

(∀n ∈ N) |x| > n

−100

1

10100 . . .

√

ω

ω

limitado

ω2

exp(ω)

...

ilimitado

Observaci´ on: Todos los hiperreales ilimitados son no est´ andar Todos los hiperreales infinitesimales son no est´ andar, salvo 0 Los hiperreales limitados y apreciables pueden ser est´ andar o no est´ andar

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Parte est´andar de un hiperreal limitado Definici´ on (Hiperreales infinitamente cercanos) Dos hiperreales x, y ∈ ∗ R son infinitamente cercanos (notaci´on: x ' y ) cuando su diferencia es infinitesimal: x 'y

⇔

(∀n ∈ N, n ≥ 1) |x − y | < 1/n

Teorema (Parte est´andar de un hiperreal limitado) Todo hiperreal limitado x ∈ ∗ R es infinitamente cercano de un u ´nico n´ umero real est´andar, llamado la parte est´andar de x. Notaci´on: st(x) st(x) ∈ R y Propiedades: st(x + y ) = st(x) + st(y ) st(xy ) = st(x) st(y ) st(1/x) = 1/ st(x)

st(x) ' x

(x, y ∈ ∗ R limitados) (x, y ∈ ∗ R limitados) (x ∈ ∗ R apreciable)

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Reformulaci´on de los conceptos del an´alisis Todos los conceptos del an´alisis se pueden reformular utilizando el languaje del an´alisis no est´andar. Ejemplos: Teorema (Reformulaci´ on de l´ımites) Sea f : R → R (est´andar) y

(un )n∈N ∈ RN (est´andar)

f es continua en un punto x ∈ R (est´andar) si y s´ olo si: (∀ε ' 0) f (x + ε) ' f (x)

f es continua sobre R si y s´ olo si: (∀x, y limitados)(x ' y ⇒ f (x) ' f (y )) f es uniformamente continua sobre R si y s´ olo si: (∀x, y ∈ ∗ R)(x ' y ⇒ f (x) ' f (y )) (un )n∈N converge hacia ` ∈ R (est´andar) si y s´ olo si: (∀ω ilimitado) uω ' `

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Derivabilidad

Teorema (Reformulaci´ on de la derivabilidad) Una funci´ on f : R → R (est´andar) es derivable en un punto x ∈ R (est´ andar) si y s´ olo si existe ` ∈ R (est´andar) tal que f (x + ε) − f (x) ' ` ε En este caso, tenemos:

f 0 (x) = `

Ejemplo: f (x) = x 2 .

Para todos x ∈ R, ε ' 0, ε 6= 0:

(∀ε ' 0, ε 6= 0)

f (x + ε) − f (x) (x + ε)2 − x 2 2xε + ε2 = = = 2x + ε ' 2x ε ε ε Entonces:

f 0 (x) = 2x.

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Plan

1

El problema de los infinitesimales

2

Un primer ensayo de construcci´ on

3

Filtros y ultrafiltros

4

Construcci´ on del conjunto ∗ R de los hiperreales

5

An´alisis no est´andar

6

Un esbozo de teor´ıa de modelos

7

Conclusi´ on

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Generalidad de la construcci´on

Conclusi´ on

(1/3)

La noci´ on de hiper-extensi´ on es muy general: La hiper-extensi´ on ∗A se puede definir para todo conjunto A: 1

Los elementos de

A (⊆ ∗A)

2

Los elementos de

∗

son los elementos est´ andar

A − A (⊆ ∗A)

son los elementos no est´ andar

Obs.: La extensi´ on es trivial si y s´ olo si A es finito:

∗A

=A

Cada funci´ on f : Ak → B (con k argumentos) una funci´ on ∗f : (∗A)k → ∗ B Cada relaci´ on R ⊆ Ak (con k argumentos) una relaci´ on ∗R ⊆ (∗A)k

se extiende en

se extiende en

Adem´as: las propiedades de las funciones y de las relaciones se mantienen a trav´es de la extensi´ on f 7→ ∗f , R 7→ ∗R

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Generalidad de la construcci´on

Conclusi´ on

(2/3)

Cada relaci´ on binaria R ⊆ A × A (sobre A) se extiende en una relaci´ on binaria ∗R ⊆ ∗A × ∗A (sobre ∗A) Proposici´ on (Extensi´ on de las propiedades algebraicas) Si la relaci´ on binaria R ⊆ A × A es reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica, transitiva, un orden parcial, un orden total, un ret´ıculo, ... ... entonces lo mismo para la relaci´ on extendida

∗

R ⊆ ∗A × ∗A

Cada operaci´ on binaria  : A × A → A (sobre A) se extiende en una operaci´ on binaria ∗  : ∗A × ∗A → ∗A (sobre ∗A) Proposici´ on (Extensi´ on de las propiedades algebraicas) Si la operaci´ on binaria  : A × A → A es asociativa, conmutativa, distributiva, tiene un elemento neutro, tiene opuestos/inversos... ... entonces lo mismo para la operaci´ on extendida

∗

 : ∗A × ∗A → ∗A

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Generalidad de la construcci´on

Conclusi´ on

(3/3)

En particular: Teorema (Transferencia de las estructuras) 1

Si A es un grupo (resp. un grupo conmutativo, un anillo, un anillo conmutativo, un cuerpo, un cuerpo totalmente ordenado), entonces ∗ A es un grupo (resp. un grupo conmutativo, un anillo, un anillo conmutativo, un cuerpo, un cuerpo totalmente ordenado)

2

Si V es un espacio vectorial (resp. una ´algebra) sobre K , entonces ∗ V es un espacio vectorial (resp. una ´algebra) sobre ∗ K (etc.)

¡Cuidado! Algunas propiedades no se transfieren: la propiedad de Arqu´ımedes (∗ R no es arquimediano) la propiedad de completitud (∗ R no es completo)

Pregunta: ¿De donde viene lo que (casi) todas las propiedades de A se transfieren a su hiper-extensi´ on ∗A?

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Formalizar el lenguaje matem´atico Deseamos demostrar un resultado de la siguiente forma: Para todo conjunto M Para toda “propiedad” φ

(dado con operaciones ... y relaciones R...) (s´ olo utilizando los s´ımbolos ... R...)

Si φ se cumple para (M, , ..., R, ...), entonces φ se cumple para (∗M, ∗, ..., ∗R, ...) Deseamos demostrar una propiedad sobre las propiedades ⇒ considerar las f´ ormulas matem´aticas como objetos matem´aticos Observaci´ on Las expresiones matem´aticas son hechas a partir de varios s´ımbolos: Variables (x, y , z, ...) S´ımbolos de constante (0, 1, π, ...) y de funci´ on (+, ×, exp, ...) S´ımbolos de relaci´ on (=, ≤, ≥, , ...)

Conectivas (¬, ∨, ∧, ⇒, ...) y cuantificadores (∀, ∃)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Lenguajes del primer orden Definici´ on (Lenguaje del primer orden) Un lenguaje del primer orden es definido por: Un conjunto de s´ımbolos de constante

(notaci´ on: c, d, ...)

Un conjunto de s´ımbolos de funci´ on

(notaci´ on: f , g , ...)

Un conjunto de s´ımbolos de relaci´ on

(notaci´ on: R, S, ...)

cada s´ımbolo de funci´ on o de relaci´ on siendo dado con su aridad k ≥ 1 = cantidad de argumentos a la cual el s´ımbolo tiene que ser aplicado

Cada lenguaje del primer orden define dos tipos de expresiones: Los t´erminos, que representan objetos de la estructura considerada Las f´ ormulas, que representan propiedades de estos objetos Estas expresiones son construidas a partir de: Los s´ımbolos espec´ıficos del lenguaje (constantes, funciones, relaciones) S´ımbolos no espec´ıficos (variables, conectivas, cuantificadores, par´entesis)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Gram´aticas de los t´erminos y de las f´ormulas Dado un lenguaje del primer orden L: Definici´ on (T´erminos de L)

Los t´erminos de L (notaci´on: t, u, ...) son generados por la gram´atica: t, u

::= x | c | f (t1 , . . . , tk )

(x s´ımbolo de variable) (c ∈ L s´ımbolo de constante) (f ∈ L s´ımbolo de funci´ on de aridad k)

Definici´ on (F´ ormulas de L)

Las f´ ormulas de L (notaci´on: φ, ψ, ...) son generadas por la gram´atica: φ, ψ

::= t1 = t2 | R(t1 , . . . , tk ) | ¬φ | φ ⇒ ψ | φ∧ψ | φ∨ψ | ∀x φ | ∃x φ

(R ∈ L s´ımbolo de relaci´ on de aridad k)

(x s´ımbolo de variable)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Ejemplo: lenguaje de los anillos ordenados El lenguaje de los anillos ordenados es definido por: Dos s´ımbolos de constante 0, 1 Dos s´ımbolos de funci´ on +, × de aridad 2 Un s´ımbolo de relaci´ on ≤ de aridad 2

(notaci´ on infija) (notaci´ on infija)

Algunos t´erminos: 0,

1 + z,

x,

(x + y ) × z,

((1 + 1) + 1) × (x × x)

(((((1 + 1) + 1) + 1) + 1) + 1) + 1

Algunas f´ ormulas x = x,

1 ≤ 0,

∃x ¬(x = x),

0 ≤ x,

0 ≤ x ∧ ¬(x = 0)

∀x ∀y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y ),
∃y x = (1 + 1) × y ∨ x = ((1 + 1) × y ) + 1 Observaci´ on: Los t´ erminos pueden contener variables libres Las f´ ormulas pueden contener variables libres o ligadas

(≡ 3x 2 ) (≡ 7)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Teor´ıas del primer orden Definici´ on (Teor´ıa del primer orden) Una teor´ıa del primer orden T es un lenguaje del primer orden L dado con una lista de f´ ormulas cerradas: los axiomas de T Ejemplo: La teor´ıa de los cuerpos totalmente ordenados es definida por: El lenguaje de los anillos ordenados

(cf diapositiva anterior)

La siguiente lista de 16 axiomas: ∀x ∀y (x + y = y + x) ∀x ∀y ∀z ((x + y ) + z = x + (y + z)) ∀x (x + 0 = x) ∀x ∃y (x + y = 0) ¬(0 = 1)

∀x ∀y (x × y = y × x) ∀x ∀y ∀z ((x × y ) × z = x × (y × z)) ∀x (x × 1 = x) ∀x (x = 0 ∨ ∃y (x × y = 1)) ∀x ∀y ∀z ((x + y ) × z = x × z + y × z)

∀x (x ≤ x) ∀x ∀y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y ) ∀x ∀y ∀z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z)

∀x ∀y (x ≤ y ∨ y ≤ x) ∀x ∀y ∀z (x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z) ∀x ∀y ∀z (x ≤ y ∧ 0 ≤ z ⇒ x × z ≤ y × z)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Interpretaci´on de un lenguaje del primer orden

(1/2)

Sea L un lenguaje del primer orden

Definici´ on (Interpretaci´ on de un lenguaje) Una interpretaci´ on M de L es definida por: un conjunto de base M 6= ∅ un elemento JcKM ∈ M

una funci´ on Jf KM : M k → M una relaci´ on JRKM ⊆ M k

(no vac´ıo) para cada s´ımbolo de constante c

para cada s´ımbolo de funci´ on f (aridad k) para cada s´ımbolo de relaci´ on R (aridad k)

Dada una interpretaci´ on M del lenguaje L, se pueden interpretar: cada t´ermino t(x1 , . . . , xn ) (con par´ametros ai ∈ M) en un elemento Jt(a1 , . . . , an )KM

(∈ M)

cada f´ ormula φ(x1 , . . . , xn ) (con par´ametros ai ∈ M) en una proposici´ on M |= φ(a1 , . . . , an ) Definici´ on:

por inducci´ on sobre la estructura de t / de φ

(verdadera o falsa)

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Interpretaci´on de un lenguaje del primer orden

Conclusi´ on

(2/2)

Inter´ es: La misma f´ ormula φ se puede interpretar de varios modos, cambiando el conjunto de base M o las operaciones y relaciones que interpretan los s´ımbolos del lenguaje L Ejemplo 1: Sea φ ≡ ∃x (x × x = 1 + 1) Tenemos: N 6|= φ, Z 6|= φ, Q 6|= φ, R |= φ Pero, tenemos: N |= φ

si:

se interpretan ambos s´ımbolos +, × por la adici´ on en N se interpretan ambos s´ımbolos +, × por la multiplicaci´ on en N se interpreta el s´ımbolo 1 por 18 ∈ N (interpretaci´on usual para +, ×)

Ejemplo 2: Sea ψ ≡ ∀x ∀y (x < y ⇒ ∃z (x < z ∧ z < y )) Tenemos: N 6|= ψ, Pero:

N |= ψ

si:

Z 6|= ψ, Q |= ψ, R |= ψ

se interpreta el s´ımbolo < por el orden amplio en N se interpreta el s´ımbolo < por la igualdad en N

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Modelos Definici´ on (Modelo de una teor´ıa T del primer orden)

Un modelo de una teor´ıa T es una interpretaci´ on M del lenguaje de T que satisface todos los axiomas de T . Notaci´ on: M |= T Ejemplo: Un modelo de la teor´ıa T definida por los axiomas ∀x (x ≤ x) ∀x ∀y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y ) ∀x ∀y ∀z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z)}

(sobre L = {≤})

es un conjunto M 6= ∅ con una relaci´ on binaria R ⊆ M × M a la vez reflexiva, antisim´etrica y transitiva ⇒ conjunto ordenado

M´as generalmente:

Los modelos de la teor´ıa de grupos... son los grupos Los modelos de la teor´ıa de cuerpos... son los cuerpos La mayor´ıa de las estructuras matem´aticas (pero no todas) se pueden caracterizar como los modelos de una teor´ıa del primer orden dada

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

El teorema de transferencia Teorema (Transferencia sem´antica) Sea L un lenguaje del primer orden. 1

Toda interpretaci´ on M de L sobre un conjunto M se extiende en una interpretaci´ on ∗M de L sobre el conjunto ∗M (hiper-extensi´ on) Cada s´ımbolo de funci´ on f interpretado por fM : M k → M (en M) ser´ a interpretado por la funci´ on ∗fM : (∗M)k → ∗M (en ∗M) Cada s´ımbolo de relaci´ on R interpretado por RM ⊆ M k ser´ a interpretado por la relaci´ on ∗RM ⊆ (∗M)k

2

(en M) (en ∗M)

Adem´as, para toda teor´ıa T del primer orden (sobre L): Si

Demostraci´ on:

M |= T ,

entonces:

∗

M |= T

Uso intensivo de las propiedades del ultrafiltro:

(U¬ ), (U∧ ), (U∨ )

Observaci´ on: Algunas propiedades no se pueden expresar al primer orden (por ej.: completitud de R). Es la raz´ on por la cual no se pueden transferir

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Plan

1

El problema de los infinitesimales

2

Un primer ensayo de construcci´ on

3

Filtros y ultrafiltros

4

Construcci´ on del conjunto ∗ R de los hiperreales

5

An´alisis no est´andar

6

Un esbozo de teor´ıa de modelos

7

Conclusi´ on

Teor´ıa de modelos

Conclusi´ on

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´on

Conclusi´ on

(1/2)

El m´etodo de la hiper-extensi´ on (o ultrapotencia): un m´etodo muy general para a˜ nadir elementos no est´andar a los conjuntos infinitos A˜ nade autom´aticamente n´ umeros infinitamente grandes a N, Z, Q, R, C y n´ umeros infinitesimales a Q, R, C Permite demostrar resultados de an´alisis utilizando infinitesimales (Justificaci´ on a posteriori de las intuiciones de Leibniz)

Basado sobre los ultrafiltros

(y sus propiedades m´ agicas)

M´as generalmente: Se aplica a cualquier conjunto + es functorial: cada operaci´ on / relaci´ on definida sobre los objetos est´ andar se extiende autom´ aticamente a todos los elementos no est´ andar todas las propiedades del primer orden se mantienen

Punto de vista de la l´ ogica: un m´etodo para extender cualquier modelo de una teor´ıa del primer orden en un modelo m´as grande

Problema

Primer ensayo

Filtros

Hiperreales

An´ alisis no est´ andar

Teor´ıa de modelos

Conclusi´on

Conclusi´ on

(2/2)

Observaci´ on de Nelson: La teor´ıa de conjuntos ZFC es una teor´ıa de primer orden Si es consistente, tiene un modelo

(Teorema de completitud de G¨ odel)

Entonces, se puede aplicar el m´etodo a un modelo de ZFC As´ı se obtiene un modelo de una nueva teor´ıa de conjuntos IST = Internal Set Theory (extensi´ on conservativa de ZFC) Supone que todos los conjuntos infinitos (N, Z, Q, R, C, etc.) ya contienen elementos no est´andar (desconocidos en ZFC) Introduce s´ımbolos + axiomas para describirlos. Ejemplo: Principio de transferencia Si una propiedad φ est´ andar (= de ZFC) se cumple para todos los objetos est´ andar del universo, entonces se cumple para todos los objetos del universo

Si IST ` φ (φ est´andar),

entonces

ZFC ` φ

(Conservatividad)