Global optimum cut-off grade strategy derivation using optimal control theory J¨ urgen Uhlmann Mellafe(Expositor), Juan Ignacio Guzm´ an Barros Departamento de miner´ıa Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Santiago Contacto: [email protected]

Resumen En esta tesis se determina una pol´ıtica de leyes de corte ´optima global dentro de un espacio de soluciones no acotado por las decisiones tomadas en las etapas de la planificaci´on minera relacionadas, tal como lo hace la teor´ıa tradicional de leyes de corte al optimizar separadamente la ley de corte con la estrategia de producci´on. Elaboramos y empleamos un algoritmo basado en control ´ optimo para derivar matem´aticamente un sistema de ecuaciones Funcional-IntegralDiferencial, el cual determina end´ ogenamente la estrategia de consumo de reservas para una mina a rajo abierto dividida en fases, esto es d´onde (con qu´e secuenciamiento), cu´anto (a qu´e tasa de extracci´ on) y c´ omo (con qu´e ley de corte) extraer desde cada fase. Las consecuencias para la mina son un mayor VPN y una estrategia operacional distinta a la obtenida con la teor´ıa tradicional. En particular, se muestra el valor generado por realizar periodos de traslape entre fases de la manera ´ optima, utilizando leyes de corte y ritmos de extracci´on distintos a los que se utilizan en la operaci´ on individual de las fases, lo que permite adelantar el procesamiento del material de altas leyes y combinarlo de manera de enviar una menor porci´on de lastre desde las fases con mayores leyes. Conclusiones relevantes son que el periodo de transici´on es menos valioso cuando las reservas iniciales de las fases con menores leyes son mucho mayores que las reservas iniciales de las fases con mayores leyes, que hay un nivel intermedio de la proporci´on entre la capacidad mina y la capacidad planta que maximiza el valor de la transici´on de fases, y que a mayor tasa de descuento, el periodo de traslape se adelanta, extiende e intensifica su ritmo de extracci´ on en las fases de mayores leyes.

Detalle Presentaci´ on La concentraci´ on de commodity de inter´es en el mineral, o ley, es una de las principales caracter´ısticas de la calidad en los dep´ ositos minerales. Esta ley es heterog´enea, y por tanto se hace necesario definir el concepto de ley de corte, el cual distingue la concentraci´on m´ınima que justifica econ´omicamente la extracci´ on,

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procesamiento y comercializaci´ on. El material con un contenido sobre la ley de corte es considerado mineral y es procesado para producir un commodity mineral vendible, y el resto del material es acumulado como lastre. La posibilidad de alterar la ley de corte permite adaptar la operaci´on ante condiciones geol´ogicas, t´ecnicas y econ´ omicas cambiantes, lo que impacta significativamente a la operaci´on y econom´ıa de un proyecto minero. Tradicionalmente las leyes de corte han sido escogidas utilizando criterios “marginalistas”, o break-even, los que aseguran que cada unidad procesada cubra sus costos marginales. Aunque esto es correcto desde el punto de vista de la teor´ıa econ´ omica cl´ asica, a una empresa de recursos agotables no le permite alcanzar el m´ aximo valor presente neto del activo minero (Tilton y Guzm´an, 2016). La discordancia con la teor´ıa cl´ asica se origina de la inherente agotabilidad de los recursos minerales y el costo de oportunidad que le impone el valor temporal del dinero. El primero en desarrollar esta idea fue Kenneth Lane (Lane, 1964; 1988), el que bajo una resoluci´ on v´ıa programaci´ on din´ amica, establece que el determinar una estrategia de leyes de corte optimas resulta justamente en un balance entre reducir el costo de oportunidad que impone el posponer ´ material de mejor calidad para tiempos futuros, con el de aumentar el material enviado a botadero. Desde el trabajo precursor de Lane, la optimizaci´on de leyes de corte ha sido tratada por varios autores, y actualmente continua siendo un activo campo de investigaci´on. Estas se han realizado desde perspectivas muy distintas, utilizando otros m´etodos de resoluci´on din´amicos, adaptando el enfoque a una mayor cantidad de situaciones pr´ acticas, mostrando el valor generado en minas reales e incorporando incertidumbre. Sin embargo, se puede apreciar una tendencia natural a asimilarse cada vez m´as a la realidad, incorporando progresivamente las complejidades t´ecnicas, econ´omicas y geol´ogicas encontradas en la pr´actica. No obstante, todos los trabajos realizados hasta la actualidad han optimizado las leyes de cortes como un proceso aislado del resto de la planificaci´ on minera, asumiendo que el resto de las etapas est´an predefinidas y que, de alguna manera, fueron determinadas ´optimamente. Por separado la estrategia de producci´on y la pol´ıtica de leyes de corte son llamadas ´ optimas, pero nada asegura que se acerquen al ´optimo alcanzado por la integraci´ on de ambas etapas. Sus desarrollos dependen totalmente del secuenciamiento de fases y ritmo de extracci´ on utilizados, por lo que el VPN y estrategias ´optimas pueden ser significativamente diferentes dependiendo de las condiciones predeterminadas. Esto limita considerablemente el espacio de soluciones factibles y por tanto su optimalidad. En este trabajo planteamos un sistema que permite derivar una pol´ıtica de leyes de corte que maximiza el VPN de toda la operaci´ on minera, para lo que desarrollamos un modelo din´amico que optimiza end´ ogenamente y de forma conjunta el secuenciamiento, ritmo de producci´on y ley de corte para una mina a rajo abierto divida en fases. Sin embargo, el problema matem´atico planteado de esta manera es complejo, por lo cual dise˜ namos un algoritmo de resoluci´ on basado en control ´optimo, conducente a un sistema de ecuaciones functional-integral-diferencial, el que puede ser resuelto num´ericamente. En la planificaci´ on minera, las herramientas actuales permiten determinar la estrategia de producci´ on y leyes de corte de manera circular. Una estrategia de producci´on individual es asociada a una estrategia de leyes de corte dada. Si el resultado no es satisfactorio, la estrategia de producci´on o la de leyes de corte puede ser alterada, lo que es realizado hasta que el resultado sea econ´omicamente aceptable. Considerando esto, el beneficio de una ley de corte ´ optima global es que para un dise˜ no minero dado existe solo una estrategia de leyes de corte. Los ingenieros de planificaci´on no necesitan probar recursivamente diferentes estrategias, ya que el ´ optimo puede ser obtenido directamente. Utilizando una aplicaci´ on num´erica a una mina de cobre ficticia, mostramos el beneficio de usar este enfoque con respecto a la teor´ıa tradicional de optimizaci´on de leyes de corte. Se alcanz´o un VPN 14,02 % mayor a trav´es un periodo de transici´ on de fases, el que permite adelantar el procesamiento de material con mejores leyes y combinar material entre las fases, de manera de enviar una porci´on de lastre total menor desde las fases con mejores leyes. Complementariamente se extraen reglas operacionales aplicables a minas reales, tales como que el periodo de transici´on es menos valioso cuando las reservas iniciales de las fases con menores leyes son mucho mayores que las reservas iniciales de las fases con mayores leyes, que hay un nivel intermedio de la proporci´ on entre la capacidad mina y la capacidad planta que maximiza el valor de la transici´ on de fases, y que a mayor tasa de descuento, el periodo de traslape se adelanta, extiende e intensifica su ritmo de extracci´ on en las fases de mayores leyes.

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Anexo Referencias complementarias [1] Asad, M. W. A. (2007). Optimum cut-off grade policy for open pit mining operations through net present value algorithm considering metal price and cost escalation. Engineering Computations, 24(7), 723-736. [2] Bascetin, A., and Nieto, A. (2014). Determination of a mining cutoff grade strategy based on an iterative factor, in: Proceedings of the SME Annual Meeting. [3] Cairns, R., and Van Quygen, N. (1998). Optimal Exporation and Exploitation of Heterogeneous Mineral Deposits. Journal of Environmental Economics and Management, 164-189. [4] Chiang, A. C. (1992). Elements of Dynamic Optimization. McGraw-Hill, New York: New York. [5] Dagdelen, K. (2001). Open pit optimization: stragegies for improving economics of mining projects through mine planning. International Mining Congress and Exhibition of Turkey (pp. 1-6). Golden Imcet. [6] Gu, X. W., Wang, Q., Chu, D. Z., and Zhang, B. (2010). Dynamic optimization of cutoff grade in underground metal mining. Journal of Central South University of Technology, 17, 492-497. [7] Johnson, P., Evatt, G., Duck, P., and Howell, S. (2010). The Derivation and Impact of an Optimal Cut-Off Grade Regime upon Mine Valuations. Proceedings of the World Congress on Engineering 2010 Vol I. London: WCE. [8] King, B. (2004). Integrated Strategy Optimisation for Complex Operations, AusIMM Orebody Modelling and Strategic Mine Planning, Perth. [9] Krautkraemer, A. (1988).The cut-off grade and theory of extraction. The Canadian Journal of Economics, 146-160. [10] Mackenzie, B. (1987). Mineral Economics: Decision-Making Methods in the Mineral Industry. Australian Mineral Foundation, Adelaide. [11] Minnitt, R. C. A. (2004). Cut-off grade determination for the maximum value of a small Wits-type gold mining operation. Journal-South African Institute of Mining and Metallurgy, 104, 277-284. [12] Osanloo, M., and Ataei, M. (2003). Using equivalent grade factors to find the optimum cut-off grades of multiple metal deposits. Minerals Engineering, 16(8), 771-776. [13] Rendu, J.M. (2014). An Introduction to Cut-off Grade Estimation. Society for Mining, Metallurgy, and Exploration, Inc., Littleton, Colorado. [14] Sagi, J. (2000). The interaction between quality control and production. Innovation and Strategy, Flexibility, Natural Resources and Foreign Investment: New Developments and Applications in Real Options. Ed: L. Trigeorgis. [15] Shinkuma, T. (2000). A generalization of the Cairns -Krautraemer model and optimality of the mining rule. Resource and Energy Economics, 147-160. [16] Thompson, M., and Barr, D. (2014). Cut-off grade: A real options analysis. Resources Policy, 42, 83-92. [17] Tilton, J.E. (2003). On Borrowed Time? Assessing the Threat of Mineral Depletion. Resources for the Future, Washington, DC. [18] Yi, R., and Sturgul, J. (1988). Analysis of Cutoff Grades Using Optimum Control. Proceedings of the Twentieth International Symposium on the Application of Computers and Mathematics in the Mineral Industries. 3, pp. 263 - 269. Johannesburg: SAIMM.

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