Esc. Exp. N° 2 “Puertas del Sol” FISICA 5° Año Caudal, ecuación de continuidad y Bernoulli Docente responsable: Fernando Aso DINÁMICA DE FLUIDOS Cuando los fluidos se ponen en movimiento, se comportar de manera muy distinta que cuando están quietos. Los efectos complementarios que el movimiento origina en el fluido permiten explicar el vuelo de las aves y de los aviones, la trayectoria que recorre una pelota al golpearla con “efecto” etc. Flujo y Caudal De la misma manera que para poner un cuerpo en movimiento es necesario realizar un trabajo que le entregue energía, para poner en movimiento un fluido es necesario que exista una diferencia de presión entre sus puntos. En las cañerías de los edificios, la diferencia de presión la establece una bomba (para elevar el agua al tanque) o la diferencia de presión hidrostática (para que descienda a las canillas de cada departamento). En el aparato circulatorio también es una bomba la que provoca esta diferencia: el corazón. La diferencia de presión atmosférica provoca las corrientes de aire o vientos. El volumen de fluido V que pasa por una sección de tubo durante un cierto tiempo es el mismo que pasa por cualquier otra sección. Se llama caudal de corriente (Q) al volumen de fluido por unidad de tiempo que atraviesa una sección de tubo:

Q= La unidad de medida es el

V Δt

[Q ] =

[V ] = m3 [ Δt ] seg

m3 l , aunque también se suele expresar en . seg seg

Si un río tiene un caudal de 1000

m3 , significa que por una sección de este pasan 1000 m3 por seg

cada segundo. El flujo, o movimiento de los fluidos, puede ser: • Estacionario, cuando la velocidad en cada punto por el que pasa el fluido no cambia con el tiempo. • Incompresible, cuando la densidad del fluido es la misma en todos sus puntos. • Viscoso, si la viscosidad es importante en relación con las otras fuerzas que aparezcan. La forma en que se desplaza el fluido da lugar a dos diferentes regímenes laminar o turbulento. El régimen laminar presenta un perfil estratificado de velocidades (como en los ríos). En cambio en el régimen turbulento la velocidades varían en forma aleatoria punto por punto y de un instante a otro (como en los saltos o cataratas). Para simplificar el estudio, se considerará un flujo estacionario e incompresible. En estas condiciones, las partículas de fluido que forman un caudal Q que se mueve con una rapidez v, al cabo de cierto intervalo de tiempo Δt recorren una distancia Δx = v ⋅ Δt . ¿Cuánto fluido atravesó en ese lapso la sección A del tubo que lo condujo? Exactamente un volumen V = A ⋅ Δx . Por lo tanto, se puede expresar el caudal como:

Q=

V A ⋅ Δx A ⋅ v ⋅ Δt = = Δt Δt Δt

Siendo v la rapidez del fluido y A el área de la sección del tubo.

Q = v⋅ A

Esc. Exp. N° 2 “Puertas del Sol” FISICA 5° Año Caudal, ecuación de continuidad y Bernoulli Docente responsable: Fernando Aso Ecuación de continuidad Al mirar la corriente de un río o el agua que corre por el cordón de la calle se puede observar que si el “camino” del agua se hace más angosto, la rapidez de ella aumenta, y disminuye, si se ensancha. Si se toman dos secciones distintas de un tubo por el que pasa un flujo de caudal Q, la rapidez del fluido en cada sección es distinta pero en ambas se cumple que:

Q = v1 ⋅ A1 y Q = v2 ⋅ A2 Como el caudal es constante (no hay pérdidas de fluido a lo largo del tubo ni tampoco se agrega fluido), se puede establecer que:

v1 ⋅ A1 = v2 ⋅ A2 ⇒

A1 v2 = A2 v1

Esta relación inversa entre la sección del tubo y la rapidez del fluido se llama Ecuación de Continuidad y determina que un aumento en la sección del tubo implica una disminución en la rapidez del flujo en la misma proporción. Esta ecuación expresa la Ley de Conservación de la Masa, es decir, que todo el caudal de fluido que entra por una sección es igual al caudal de salida.

Al modificarse la sección del tubo se modifica la rapidez del fluido. La altura en cada tubo perpendicular indica cómo es la presión del fluido que circula en cada punto. Teorema de Bernouli De la misma manera que la rapidez del un fluido cambia al modificar la sección del tubo, la presión en un punto interior del fluido también cambia cuando se modifica la rapidez del fluido. Midiendo la presión en distintos puntos de un tubo por el que circula un fluido a diferentes velocidades se verifica que esta disminuye cuando aumenta la rapidez del agua. En el año 1738, el científico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) presentó en su obra Hydrodynamica el teorema que luego llevaría su nombre, que establece la relación fundamental de la mecánica de fluidos. Este teorema es una aplicación de Principio de Conservación de la Energía a un flujo estacionario. En un flujo de fluido están presentes tres tipos de energía: energía cinética debida al movimiento del fluido, energía potencial debida a la presión del fluido y energía potencial gravitatoria. La suma de estas tres formas de energía es constante. Expresando en forma matemática y en función de la presión, el Teorema de Bernoulli establece que:

1 ⋅ ρ ⋅ v 2 + ρ ⋅ g ⋅ h + p = cte. 2 donde ρ es la densidad del fluido, v su rapidez en un punto, p la presión en dicho punto, h es la altura con respecto a un nivel de referencia y g la aceleración de la gravedad. 1 El término ⋅ ρ ⋅ v 2 es la presión dinámica debida al movimiento del fluido; p es la presión 2 absoluta del fluido y ρ ⋅ g ⋅ h es la presión hidrostática. La suma de las presiones del flujo estacionario

Esc. Exp. N° 2 “Puertas del Sol” FISICA 5° Año Caudal, ecuación de continuidad y Bernoulli Docente responsable: Fernando Aso de un fluido es siempre constante. Esto significa que un aumento en alguna de las presiones del fluido se acompañará de la correspondiente disminución en las otras. Si se toman dos puntos 1 y 2 del tubo, la expresión queda: 1 1 ⋅ ρ ⋅ v12 + ρ ⋅ g ⋅ h1 + p1 = ⋅ ρ ⋅ v22 + ρ ⋅ g ⋅ h2 + p2 2 2 Esta expresión del Teorema de Bernoulli es válida para un flujo estacionario, incompresible y no viscoso.

Si todo el tubo está al mismo nivel, la altura no cambia ( h1 = h2 ) ; el segundo término de cada miembro de la ecuación se simplifica y, por lo tanto, un aumento en la rapidez del fluido implica una disminución en la presión. Si el fluido está en reposo ( v = 0 ) ; reorganizando los términos se obtiene el Teorema Fundamental de la Hidrostática. De esta manera, el Teorema de Bernoulli es más general y abarca el caso estático particular.

Al modificar la sección del tubo se modifica la rapidez del fluido. La altura en cada tubo perpendicular indica cómo es la presión del fluido que circula en cada punto. Vuelo: la forma de las alas

El vuelo de las aves y de los aviones se explican mediante el Teorema de Bernoulli. En este caso, si se toma el avión o el ave como referencia, el aire se mueve respecto de él. La forma de las alas presenta al flujo un ángulo de ataque, que produce una desviación del aire. De esta manera, una molécula de aire que pase por la por la parte superior del ala debe recorrer una distancia mayor que otra molécula que pase por debajo del ala, pero ambas deben llegar juntas al otro extremo (por que no puede “desaparecer” fluido); por lo tanto, la velocidad del aire por encima del ala es mayor que por debajo. Por el Teorema de Bernoulli, un aumento en la velocidad del aire implica una disminución en la presión del aire de la parte superior del ala. Esta diferencia de presiones produce una fuerza resultante hacia arriba, llamada fuerza ascensional dinámica. Si la fuerza ascensional es mayor que le peso, el avión o

Esc. Exp. N° 2 “Puertas del Sol” FISICA 5° Año Caudal, ecuación de continuidad y Bernoulli Docente responsable: Fernando Aso el pájaro pueden elevarse en el aire. La fuerza ascensional es mayor cuanto mayores son la rapidez y la superficie de las alas. Esta fuerza es la misma que actúa sobre un deslizador acuático o un rotor de helicóptero.