I.S.P.I. Nº 9009 “SAN JUAN BAUTISTA DE LA SALLE” Profesorado de Matemática

UNIDAD 3 SISTEMAS DE COORDENADAS I

Apunte adicional para Coordenadas Polares

Tópicos de Geometría

Prof. Roberto J. Biraghi / Año 2014

I.S.P.I. Nº 9009 “SAN JUAN BAUTISTA DE LA SALLE” Tópicos de Geometría (Prof. Roberto Biraghi / Año 2014)

UNIDAD 3: Apunte adicional para Coordenadas Polares

Estudio de una ecuación en coordenadas polares Al estudiar ecuaciones en coordenadas polares hay que tener en cuenta ciertas precauciones, que no se necesitaban para las coordenadas rectangulares: 





Un punto en un sistema de coordenadas rectangulares tiene un único par de coordenadas, pero un punto en coordenadas polares tiene, como ya vimos, un número infinito de pares de coordenadas.

Puede ocurrir entonces, que un par de coordenadas polares de un punto 𝑃𝑃 de un lugar geométrico puede verificar una ecuación, otro par de coordenadas no la verifica. Por ejemplo, en la ecuación 𝑟𝑟 = 𝜃𝜃, 𝑎𝑎 ≠ 0 (espiral de Arquímedes), el par 𝑃𝑃(𝜋𝜋/4, 𝜋𝜋/4) verifica la ecuación, mientras que el par 𝑃𝑃(−𝜋𝜋/4, 5𝜋𝜋/4) no la verifica.

Además, un lugar geométrico puede estar representado a veces por más de una ecuación polar. Por ejemplo, una circunferencia con centro en el polo y radio 𝑎𝑎, puede estar representada por 𝑟𝑟 = 𝑎𝑎 o 𝑟𝑟 = −𝑎𝑎. Las ecuaciones que representan el mismo lugar geométrico se denominan ecuaciones equivalentes

Para realizar el estudio de lugares geométricos dados en ecuaciones polares, procederemos de manera análoga a lo estudiado para superficies. Para eso, tendremos en cuenta las siguientes etapas: 1) Determinar las intersecciones con el eje polar, el eje perpendicular y el polo 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 Resolver la ecuación dada para 𝑟𝑟, cuando 𝜃𝜃 = 𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑘𝑘 ∈ ℤ. 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 90° 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

𝜋𝜋

Resolver la ecuación dada para 𝑟𝑟, cuando 𝜃𝜃 = (2𝑘𝑘 + 1) 2 , 𝑘𝑘 ∈ ℤ.

Si existe algún valor de 𝜃𝜃 que hace que 𝑟𝑟 = 0, la gráfica pasa por el polo.

2) Determinar las posibles simetrías con respecto al eje polar, al eje perpendicular y al polo Teniendo en cuenta la definición de simetría, las pruebas para averiguar la simetría del lugar geométrico de una ecuación polar estarán determinadas por: Simetría con respecto a…

La ecuación polar no cambia (o se transforma en una ecuación equivalente) cuando…

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

 Se sustituye 𝑃𝑃(𝑟𝑟, 𝜃𝜃) por 𝑃𝑃′(𝑟𝑟, −𝜃𝜃), o  Se sustituye 𝑃𝑃(𝑟𝑟, 𝜃𝜃) por 𝑃𝑃′(−𝑟𝑟, 𝜋𝜋 − 𝜃𝜃)

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UNIDAD 3: Apunte adicional para Coordenadas Polares

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 90°

 Se sustituye 𝑃𝑃(𝑟𝑟, 𝜃𝜃) por 𝑃𝑃′(𝑟𝑟, 𝜋𝜋 − 𝜃𝜃), o  Se sustituye 𝑃𝑃(𝑟𝑟, 𝜃𝜃) por 𝑃𝑃′(−𝑟𝑟, −𝜃𝜃)

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

 Se sustituye 𝑃𝑃(𝑟𝑟, 𝜃𝜃) por 𝑃𝑃′(−𝑟𝑟, 𝜃𝜃), o  Se sustituye 𝑃𝑃(𝑟𝑟, 𝜃𝜃) por 𝑃𝑃′(𝑟𝑟, 𝜋𝜋 + 𝜃𝜃)

3) Determinar la extensión del lugar geométrico Expresando 𝑟𝑟 en función de 𝜃𝜃, es decir 𝑟𝑟 = 𝑓𝑓(𝜃𝜃), obtenemos los siguientes datos:  Si 𝑟𝑟 es finito para todos los valores de 𝜃𝜃, se trata de una curva cerrada. En este caso, conviene determinar los valores entre los que varía 𝑟𝑟, es decir |𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 | y |𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 |, que nos darán una idea de la escala a utilizar en la gráfica.  

Si 𝑟𝑟 se vuelve infinito para algunos valores de 𝜃𝜃, estamos en el caso de una curva abierta.

Si 𝑟𝑟 se hace complejo para ciertos valores de 𝜃𝜃, entonces hay intervalos en los que no hay lugar geométrico (intervalos excluidos).

4) Trazar la gráfica

Los puntos del lugar geométrico pueden trazarse directamente a partir de los valores de las coordenadas obtenidos en una tabla. Para la mayoría de los casos, bastará con tomar valores de 𝜃𝜃 a intervalos de 𝜋𝜋/6 y luego determinar el 𝑟𝑟 = 𝑓𝑓(𝜃𝜃) correspondiente. Una curva continua que pase por esos puntos encontrados será, por lo general, la gráfica buscada. Otra opción es graficar primero 𝑟𝑟 = 𝑓𝑓(𝜃𝜃) en coordenadas rectangulares. Así podremos imaginar que esta gráfica es como una tabla de valores que nos permite leer, de un vistazo, los valores de 𝑟𝑟 que corresponden a valores crecientes de 𝜃𝜃. Con estos datos, se puede realizar la gráfica en coordenadas polares (ver figuras siguientes).

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UNIDAD 3: Apunte adicional para Coordenadas Polares

En todos los casos, es importante comprobar que la gráfica concuerde con los resultados obtenidos en los puntos 1, 2 y 3. 5) Transformar la ecuación polar en rectangular Esta transformación puede efectuarse por medio de las expresiones de transformación que ya se estudiaron: 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 𝑦𝑦 𝑟𝑟 = �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 , tan 𝜃𝜃 = 𝑥𝑥 La forma rectangular puede usarse, además, para comprobar la gráfica.

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