Estudio completo de una función. f (x ) =

•

{

x

}

Dominio. D[f (x )] = x ∈ R / x + 1 ≠ 0 2

x +1 2

x +1= 0 ; x = ± −1∉R No existen valores que anulen el denominador y por tanto el dominio es R 2

•

Simetría. f (− x ) =

−x

(− x )

+1

2

=−

x x +1 2

= −f (x ) ⇒ Función de simetría impar

La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. •

Puntos de corte con los ejes. OX (y = 0): 0 =

x x +1 2

⇒ x = 0 Corta en (0, 0)

OY: No es necesario estudiarlo, al eje de ordenadas solo lo puede cortar en un punto (0, 0). •

Asíntotas.

Verticales: x = a / a ∉ D y Lím f (x ) =

k 0

x →a

Como el dominio es todo R, no hay asíntotas verticales. Horizontal: y = L / L = Lím f (x ) x →±∞

Lim

x

x → ±∞

x +1 2

1 =0 x →±∞ x

≈ Lim

Asíntota horizontal y = 0 Oblicuas: No hay por existir horizontal. •

Monotonía y extremos relativos. f ′(x ) = f ′(x ) = 0 ;

(

(x

(x

2

−1

(− 1)

f (1) =

2

+1 1

1 +1 2

=− =

)

+1

1 ⇒ Mínimo en 2

)

+1

2

1− x2

Signo de la primera derivada f ′(x ) =

f (− 1) =

)

1 ⋅ x 2 + 1 − x ⋅ 2x

2

2

1− x2

(x

2

)

+1

2

= 0 ; 1 − x 2 = 0 ; x = ±1

1− x2

(x

=

2

)

+1

2

1   − 1, −  2 

1  1 ⇒ Máximo en 1,  2  2

•

Curvatura y puntos de inflexión.

f ′′(x ) =

) ( ) ( ) = (x + 1)⋅ [− 2x ⋅ (x + 1) − (1 − x )⋅ 4x ] =  (x + 1)  (x + 1)     − 2 x ⋅ (x + 1) − (1 − x ) ⋅ 4 x 2 x − 6x = = (x + 1) (x + 1)  x=0 f ′′(x ) = 0 ; 2 x − 6 x = 0 ; 2 x ⋅ (x − 3) = 0 ;  x=± 3

(

2

− 2x ⋅ x 2 + 1 − 1 − x 2 ⋅ 2 ⋅ x 2 + 1 ⋅ 2 x 2

2

2

2 2

2

4

2

2

2

2

3

3

2

3

3

2



Digno de la segunda derivada f ′′(x ) =

(

)

f − 3 =

(− 3 ) = − (− 3 ) + 1 2

2x 3 − 6x

(x

2

)

+1

3

3 0 ; f (0 ) = 2 =0 ; f 4 0 +1

( 3)=

( 3)

3

2

+1

=

3 4

  3  3  La función tiene puntos de inflexión en:  − 3 , − , (0, 0 ) y  3 ,  4  4   