HIDRÁULICA I CIV – 229 LABORATORIO 2016

ESTABILIDAD DE UN CUERPO FLOTANTE

1.-

OBJETIVO Estudiar la estabilidad de un cuerpo flotante, sobre una superficie líquida, sometiéndolo a fuerzas extremas y viendo las variaciones en su metacentro y centro de gravedad.

2.-

MATERIAL Y EQUIPO UTILIZADO El equipo utilizado es el siguiente: (Foto 1) 2.1

Pontón Metálico FOTO 1

CORDÓN DE AMARRE

PESO AJUSTABLE

PESO MONTADO

ESCALA EN GRADOS

PLOMADA OSCILANTE

PONTÓN METÁLICO

RECIPIENTE METÁLICO

Disposición del Pontón Flotante

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3.-

FUNDAMENTO TEORICO El peso de un cuerpo flotante actúa verticalmente a través de su centro de gravedad G, siendo contrarrestado por una fuerza de flotación (empuje) opuesta a través del centro de flotación B, constituido por el centro de gravedad del líquido desplazado por el pontón (Figura 1). Antes del desplazamiento angular

G

B

(Figura 1) Considérese para los fines de investigación de la estabilidad del sistema un desplazamiento angular δθ desde la posición de equilibrio. El centro de gravedad del líquido desplazado cambia, de “B”, a “B1”. La línea de acción vertical de la fuerza de flotación “B1 – G1” que intercepta la extensión de la línea “B-G” se conoce como Metacentro “M” (Figura 2). Después del desplazamiento angular M

δθ

G1 A1 A

B1

δx

G B B

F F1

x

(Figura 2)

Tanto en “G” como en “B” se presentan fuerzas de igual magnitud, pero de sentidos opuestos. Estas fuerzas ejercen una cupla en la masa del pontón.

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2

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o

Si la altura de “M” se encuentra sobre la de “G”, entonces la cupla actúa restableciendo, para una nueva posición, el equilibrio en el pontón. Esto es conocido como Equilibrio Estable.

o

Si la altura de “M” se encuentra por debajo de la de “G”, entonces se incrementa el desplazamiento angular del pontón, pudiéndose llegar al vuelco de la estructura. Esto se conoce como Equilibrio Inestable.

o

Para el caso en que la altura de “M” sea igual a la altura de “G”, se está presenciando una situación de Estabilidad o Equilibrio Neutro. Vista en Planta del Pontón :

FOTO 2

δs D

EJE “X”

L

La altura metacéntrica “G-M” puede ser establecida experimentalmente mediante el uso del elemento de ajuste “m” (también conocido como peso de ajuste) para así obtener la menor distancia δx1 de la posición central. Si se considera el peso de toda la estructura flotante “W”, el movimiento del centro de gravedad del conjunto en dirección paralela a la base del pontón es: m ⋅ δx1 W

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Si el movimiento provoca un incremento angular δθ, un nuevo equilibrio podrá ser conseguido mediante el establecimiento de una nueva posición de centro de gravedad del conjunto “G1”: GG1 =

m ⋅ δx1 W

[1]

Considérese también que “G – G1 “ puede ser expresado como :

GG1 = GM ⋅ δθ Igualando [1] y [2] : GM =

[2]

m δx1 ⋅ W δθ

[3]

Al límite, para distancias horizontales y ángulos pequeños : GM ≈

m ∆x1 m x1 ⋅ ≈ ⋅ W ∆θ W θ

[4]

Conocidos los pesos de “m” y “W”, y mediante la obtención de pares x1, θ, se puede determinar la altura metacéntrica. Otra forma de determinar BM: Preliminarmente, se requiere estimar el volumen y la masa del líquido desplazado por el pontón. El momento de restitución sobre “B”, debido al cambio del centro de flotación desde el punto “B” hasta el punto “B1”, produce por un lado, un incremento en la capacidad de flotación, representado por “A-A1-C”, y por otro, una reducción en la capacidad de flotación “F-F1-C”. De la figura 2, un elemento de área δs, asociado a una altura x δθ, producirá un volumen: x ⋅ δs ⋅ δθ

[5]

Supóngase que ρ es la densidad del medio líquido. El peso del líquido desplazado será: Pdesplazado = ρ ⋅ g ⋅ x ⋅ δ s ⋅ δθ = γ ⋅ x ⋅ δ s ⋅ δθ

[6]

El momento de esta fuerza elemental de flotación alrededor del punto B será: dM = γ ⋅ x 2 ⋅ δs ⋅ δθ

[7]

M = γ ⋅ δθ ⋅ ∫ x ⋅ δs = γ ⋅ δθ ⋅ Ixx

[8]

2

donde :

Ixx = segundo momento de inercia alrededor del eje X-X.

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Por otro lado, el momento de restitución total alrededor de B, estará dado por la fuerza de flotabilidad total, multiplicada por el brazo de palanca “B – B1”.

M = γ ⋅ V ⋅ BB1 donde :

V =

[9]

volumen del líquido desplazado por el pontón

Igualando [8] y [9]:

γ ⋅ V ⋅ BB1 = γ ⋅ δθ ⋅ Ixx

[10]

Al igual que en la expresión [2] ( GG1 = GM ⋅ δθ ), por analogía:

BB1 = BM ⋅ δϑ

[11]

Reemplazando [11] en [10] y reduciendo: BM =

Ixx V

[12]

La expresión [12] depende del líquido desplazado y del momento de inercia. Para el caso de un pontón rectangular, éste se calcula de la siguiente forma: Ixx = ∫ x ⋅ ds = 2

4.-

D/2

2 ∫ x ⋅ L ⋅ dx =

−D / 2

L ⋅ D3 12

[13]

PROCEDIMIENTO La altura del centro de gravedad del cuerpo flotante puede variarse desplazando verticalmente y moviendo la posición del peso ajustable a lo largo del mástil. Por otra parte, un elemento montante situado sobre una barra paralela a la base puede deslizarse horizontalmente a intervalos regulares. Preliminarmente: Determinación de la altura del centro de gravedad de “y1” para cada una de las correspondientes alturas del elemento ajustable dispuestas para la experiencia

4.1 4.2

Deslizar el elemento montante de manera tal que no incomode en la medición y colocar la plomada sobre la superficie del mástil. Desplazar el elemento de ajuste en forma vertical, hacia la primera posición de medición y asegurar la posición mediante el ajuste del tornillo dispuesto para tal efecto. Generalmente la primera posición corresponde al punto más elevado a medir sobre el pontón

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4.3 4.4

Medir la altura desde la superficie base del flotador al interior del mismo, hasta el centro del elemento montante, en la posición escogida, y registrarlo. Colocar una hoja en blanco pequeña al otro lado de la pared del flotador, sujetándola debidamente. (Foto 3)

FOTO 3

4.5

Rotar el pontón hasta que se encuentre en posición horizontal y colocarlo sobre la mesa con el nivel de burbuja sobresaliendo en la parte superior.

4.6

Mediante el uso de un bolígrafo ó un lápiz, colocarlo debajo de la pared superior del pontón, justo en la región cubierta por el papel, e inmediatamente después proceder a elevar todo el conjunto únicamente con el bolígrafo o lápiz. (Ver Foto 4)

FOTO 4

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4.7

Probar con el bolígrafo hasta conseguir que la burbuja del nivel se sitúe aproximadamente sobre el centro de equilibrio.

4.8

Una vez alcanzado el equilibrio, medir la distancia entre la base al interior del flotador y el punto de aplicación del equilibrio (donde marca el bolígrafo) y registrarlo.

4.9

Repetir la misma operación para otras posiciones del peso de montante. Determinación de los pares posición horizontal: – ángulo de inclinación vertical ( x1 ; θ ) :

4.10

Primeramente medir las dimensiones del pontón: Largo “L”, Ancho “D” y Espesor “E” de la base. (Ver Foto 2)

4.11

Pesar los principales componentes y después al conjunto total: Peso Total “W”, Peso del Elemento Montante “m” y Peso del Elemento de Ajuste “Paj”.

4.12

Estableciendo la posición del elemento de ajuste a la primera posición anotada, situar el elemento montante en posición central, y colocar suavemente el pontón sobre la superficie del agua del recipiente. (Ver Foto 5) Foto 5

4.13 Verificar la correcta posición del pontón, sí, bajo las condiciones antes indicadas se observará una inclinación importante del pontón respecto a la superficie, se deberá compensar la inclinación del mástil mediante el ajuste de los cordones de amarre dispuestos para tal fin. Si persistiera la desviación, usar un peso pequeño y colocarlo sobre la base del flotador hasta encontrar el lugar adecuado para compensar el error. (Ver Foto 6)

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Foto 6

4.14

Desplazar el peso montante en uno y otro sentido a diferentes posiciones horizontales. (Ver Fotos 7 y 8).

Foto 7

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Foto 8

8

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4.15

Registrar los valores asociados (x1, θ). (Ver Foto 9)

FOTO 9

Foto 10

X

θ

4.16

Evitar que alguno de los bordes del flotador toque las paredes del bañador, pues esto distorsionaría la medición. (Ver Foto 10) Foto 10

4.17

Repetir la operación para otras posiciones del elemento de ajuste.

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5.-

CALCULOS Y RESULTADOS

5.1

Determinar el momento de Inercia. Para ello se tienen como datos L y D:

5.2

Calcular el volumen de agua desplazada. Se conoce el peso específico del agua y el peso desplazado por el pontón. W W γ H 2O = => V = V γ H 2O Calcular la altura de inmersión h y su centro de gravedad respectivo: V h= V = L⋅D⋅h => L⋅D El centro de gravedad h es también conocido como el Centro de Carena = h / 2

5.3

5.4

Ixx V

La altura superficie de agua – metacentro CM requiere restar al metacentro el centro de carena: CM = BM −

5.6

L ⋅ D3 12

La distancia entre el centro de carena y el metacentro BM se obtiene en base al momento de inercia Ixx y el volumen desplazado V. BM =

5.5

Ixx =

h 2

Gráfico: representación de CM y BM

Representación de CM y BM Y

y h

C

5.7

CM BM

G

y1

M

B

Se propone una ecuación lineal que relacione “y” con “y1", de la forma:

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 Paj  y = y1 ⋅  + A W  Donde:

y1 = y = Paj= A =

Altura de la posición del elemento ajustable Altura del centro de gravedad del conjunto Peso del elemento ajustable Constante

El único parámetro desconocido es “A”, el cual puede ser obtenido despejándolo de la anterior ecuación: Paj A = y − y1 ⋅ W Medición N° 1 2 3 4 5

y [cm]

y1 [cm]

W [g]

Paj [g]

Ai

La variable “A" representativa corresponderá a la media de los datos: n

A=∑ i =1

5.8

Ai n

Cálculo de la altura del centro de gravedad del pontón sobre la superficie del agua, para cada una de las posiciones del peso ajustable: CG = y − h Medición N°

y [cm]

h [cm]

y-h [cm]

1 2 : : 10

5.9

Determinación de la altura metacéntrica GM para distintas alturas del peso ajustable:  m  dx  m  x GM =   ⋅ ≈  ⋅  W  dθ  W  θ

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• • •

Primeramente, graficar los puntos x vs θ para cada uno de los casos. Aplicar un análisis de regresión lineal de la forma θ = a +b x. Si los datos de las observaciones fueron adecuadamente mensurados, se observará que a