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CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS “Los números enteros están formados por: los números naturales (o enteros positivos y el cero) y los números negativos. El cero no tiene signo, no es ni positivo ni negativo.”

Características 1)- El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos, negativos y el cero. 2)- No tienen decimal. 3)- El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Z. 4)- El cero en el conjunto de los números enteros se considera neutro. 5)- Los números enteros se representan en la recta numérica, donde los enteros negativos se encuentran a la izquierda del cero, y los enteros positivos a la derecha del cero. 6)- Todos lo menores que cero se escriben con un signo negativo y son menores que un número positivo. 7)- Todo aquel número positivo que este más alejado del cero será mayor. 8)- Todo aquel número negativo que este más cerca del cero será mayor. 9)- Los números enteros no pueden dividirse a menos que la división sea exacta.

Representación en la recta

Valor Absoluto y Opuesto de un Número El valor absoluto de un número es igual a la distancia que existe entre ese número y el cero. Dos números enteros son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto. Los números 4 y -4 son opuestos.

4  4 4 4

-4

0

Página 1

4

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OPERACIONES: Suma y Resta Para sumar y resta números enteros hay que tener en cuenta las siguientes reglas: 1)- Si los números tienen el mismo signo, se suman y el resultado queda con el signo que tienen. Ejemplos:

12  5  17

2  8  10

3  6  9

2  3  5

2)- Si los números tienen distinto signo, se restan y el resultado queda con el mismo signo que tiene el número mayor. Ejemplos:

12  2  10

5  9  4

4  1  3

7  15  8

Multiplicación y División

Para multiplicar y dividir números enteros hay que tener en cuenta la regla de los signos:

REGLA DE LOS SIGNOS

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Ejemplos:

 4    6   24  5   7   35  7    3  21  8   9   72

SIGNOS IGUALES RESULTADO POSITIVO

 21   3  7  72    9   8

SIGNOS DISTINOTS RESULTADO NEGATIVO

 45   5  9  8   2   4

Ejercicios Combinados y Supresión de Paréntesis En un ejercicio se pueden combinar varias operaciones. Hay que tener en cuenta los siguientes pasos para poder resolverlo. 1)- Separar en términos, (las sumas + y las restas – separan los términos). 2)- Primero se eliminan los paréntesis, después los corchetes y por último las llaves. 3)- Si tenemos un signo (+) delante de un paréntesis, corchetes o llaves, los números que estén dentro del mismo no cambian de signo. Si tenemos un signo (-) delante de un paréntesis, corchetes o llaves, los números que estén dentro del mismo si cambian de signo. 4)- Resolver el ejercicio teniendo en cuenta la jerarquía de operaciones:

a)- Efectuar las operaciones entre paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. b)- Calcular las potencias y raíces. c)- Efectuar los productos y cocientes. d)- Realizar las sumas y restas.

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Ejemplos:

a)-

b)

 5  3  2  6  4    4  2  3  6    5  6  6  4    2  3  6    5  1  4    1  6    6  4    5    2    5   10

c)-

12  3  18   12  6  8   36  18   2  8   36  18   6   36  3  33

d)-

  6  4  17  16    3  5 

2   12  36   6  8  5    3  6 

6  4  1  3  5 

2   4   1  6 

6  4  17   4  4    3  5 

2   24  6   3   3  6 

6  4  17  16  3  5 

2   4  1  6 

6  4  1  3  5 

2  3  6 

6  4 1 3  5 

66 0

 6  4  3  1  5   13  6  7

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CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES “Los números racionales están formados por: un cociente entre dos números enteros a / b, donde a se llama numerador y b se llama denominador distinto de 0 (cero). Se representan la letra Q.”

Fracciones Equivalentes y Simplificación de Fracciones Las fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad; es decir, si hacemos la división de las fracciones, (dividimos el numerador con el denominador), obtenemos el mismo valor.

1 2 4    0,5 2 4 8 Una de las formas de encontrar fracciones equivalentes es realizando la simplificación. Para simplificar fracciones hay que dividir al numerador y al denominador por el mismo valor. Ejemplos: a)-

6 63 2 3   15 15  3 5

Las fracciones

6 15

y

2 5

son equivalentes

b)-

25 25  5 5 5   40 40  5 8

Las fracciones

25 40

y

5 8

son equivalentes

“Una fracción es reducible cuando se puede seguir simplificando; por lo tanto, podemos seguir buscando fracciones equivalentes. Una fracción es irreducible cuando no se puede seguir simplificando más”.

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Representación de Fracciones en la Recta Numérica

Para representar fracciones en la recta numérica debemos dividir a la unidad tantas veces como indica el valor del denominador y luego se corre y se marca sobre la recta el valor que indica el numerador.

Para representar varias fracciones, se deben buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, para poder dividir a la unidad en partes iguales. Ejemplo: a)- Representar en la recta numérica las siguientes fracciones:

14 14  2 7 2  8 82 4

20 12  4 3 4   16 16  4 4

3/4

0

14 20 y 8 16

7/4

1

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Fracciones Propias e Impropias

Una fracción es propia cuando el denominador es mayor que el numerador. La división da un valor menor que 1.

1 3 7 10 ; ; ; 3 5 9 17 Una fracción es impropia cuando el numerador es mayor que el denominador. La división da un valor mayor que 1.

4 7 16 12 ; ; ; 3 2 5 8 Expresiones Decimales Exactas

Una expresión decimal es exacta cuando al dividir, (en una fracción), el numerador con el denominador, obtenemos como resultado un número decimal que tiene un número finito de cifras decimales.

Para pasar un número decimal exacto a una fracción debemos seguir los siguientes pasos: 1)- Se hace la línea fraccionaria. 2)- En el numerador se escribe el número decimal sin la coma. 3)- En el denominador se pone un 1 seguido de tantos ceros, como decimales tenga el número detrás de la coma.

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Ejemplos: a)-

6,32 

632 100

b)-

3,5 

35 10

c)-

7,128 

7128 1000

OPERACIONES:

Suma y Resta Para sumar y restar fracciones se deben tener dar dos casos:

Suma y Resta de Fracciones de Igual Denominador: Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores.

Ejemplos: a)-

12 9 12  9 21    6 6 6 6

b)-

5 2 52 3    19 19 19 19

Suma y Resta de Fracciones de Distinto Denominador: Si las fracciones tienen distinto denominador, se debe buscar el mínimo común múltiplo (mcm) y se resuelve de la siguiente manera:

(x)

Ejemplos:

(x)

12 6 24  6 30    7 14 14 14

a)-

8 9 40  27 13    3 5 15 15

b)-

(%)

(%)

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Multiplicación Para multiplicar fracciones se hace en forma directa ( ); es decir, se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador. Se tiene que tener en cuenta la regla de los signos.

Ejemplos:

a)-

35  5  7          18  6  3

b)-

72  8  9          21  3  7 

División Para dividir fracciones se hace en forma cruzada ( ); es decir, se multiplica el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción, y luego el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción. Se tiene que tener en cuenta la regla de los signos.

Ejemplos:

% a)-

%

24  2  1           8  8   12 

b)-

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20  10   9           36  4   2