Escuela Publica Experimental Desconcentrada Nº 3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 2º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº2 – El conjunto de los números Racionales

Conjunto de Números Racionales. “El

conjunto de los números racionales está formado por: el conjunto de los números enteros (-2, -1, 0, 1, 2,……) y los números fraccionarios y se representan con una Q.”

Números Racionales Se llama número racional a todo aquel que puede ser expresado como un cociente entre dos números enteros. 4 — 2 2

1 —  0,5 2

15  —  5 3

Los números racionales pueden expresarse mediante una fracción o una expresión decimal.

Fracciones: Una fracción es un cociente entre dos números enteros.

4

Numerador: Indica cuantas de esas partes debemos considerar

—

6

Denominador: Indica la cantidad de partes iguales en la que se divide el entero

Las fracciones se clasifican en: Propias: El numerador es menor que el denominador y representan un número menor que 1. Ejemplo:

3 — ; 5

Impropias: El numerador es mayor o igual que el denominador y representan un número mayor o igual que 1. Ejemplo:

7 —; 4

6 —1 6

Una fracción impropia se puede expresar mediante un número mixto. Ejemplo:

7 3 — = 7: 4 = 1 — 4 4

7 3

4 1 Numerador

Denominador Entero

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Aparentes: El numerador es múltiplo del denominador, y representan a números enteros. Ejemplo:

3 —=1 3

8 —=2 4

Pasaje de Fracción a Número Decimal Si se efectúa el cociente (división), entre el numerador y el denominador de la fracción, el resultado de la división es la expresión decimal de la fracción. Ejemplo:

4 — = 0,4 10

14 — = 3,5 4

40 10 0 0,4

14 4 20 3,5 0

Si ese resultado es exacto, la llamamos expresión decimal LIMITADA ó FINITA. Si no es exacto, la llamamos expresión decimal PERIÓDICA ó INFINITA. Ejemplo: 2  — = 0,666……=0, 6 3

11  — = 1,8333…..=1,8 3 6

20

3

11

6

20 20 20

0,666….

50 20 20

1,833

Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad Ejemplo: 1 — = 2

=

2 — = 4

3 — = 6

=

Para obtener fracciones equivalentes, se debe multiplicar o dividir el numerador y el denominador de la fracción por un mismo numero distinto de cero.

Ejemplo:

2 —= 3

2. 5

10 =

3. 5

15

5 — = 6

5. 7

35 =

6.7

42

Cuando se multiplica, se está amplificando la fracción

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Ejemplo:

20 20: 5 —= 50 50: 5

4 = 10

4 — = 10

4: 2 = 10: 2

2 — 5

Cuando se divide, se esta simplificando la fracción

Cuando una fracción no puede simplificarse, se llama fracción irreducible.

Simplificación de Fracciones: Para simplificar fracciones dividimos al numerador y al denominador por el mismo número.

Ejemplo:

18 —= 12

18: 6

3 =

12: 6

2

15 15: 5 —= 10 10: 5

3 = 2

4 — = 10

8 — = 24

4: 2 10 : 2

2 = — 5

8: 8 = 24: 8

1 — 3

Números Decimales: Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal.

0 ,35 Parte entera

Parte decimal

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Clasificación de los Números Decimales: 1 Exactos: Tienen un número finito. Ejemplo: — = 0,5 finito (exacto) de cifras decimales 2 Números Decimales Periódicos puros: Todas las cifras decimales se repiten. Ejem: 1  — = 0, 3

Periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que se repiten

3

Periódicos mixtos: Hay cifras en la parte decimal que no se repiten. Ejem: 7  — = 1,6666 =1,1 6 6

Pasaje de Número Decimal a Fracción: a) Si la expresión decimal es finita, el numerador de la fracción es el número decimal sin la coma y el denominador es la unidad seguida de cero, tantos ceros como cifras decimales tenga.

Ejemplo:

12  1,2 = — 10

4 0,4 = — 10

345 3,45 = — 100

b) Si la expresión decimal es periódica pura, el numerador de la fracción es el número decimal sin la coma menos la parte entera y el denominador tantos 9 como cifras decimales periódicas tenga.

 Ejemplo: 1, 9 =

19  1

18 =

9

 3, 2 = -

 1, 2 =

12  1

9

32 - 3

= 9

9 135  1

29 1, 35 =

=9

11

9

134 =

99

99

c) Si la expresión decimal es periódica mixta, el numerador de la fracción es el número decimal sin coma, menos la parte entera y decimal no periódica y el denominador está formado por tantos 9 como parte periódica tenga y tantos 0 como parte decimal no periódica.

Ejemplo:

 3,2 1 =

321 – 32

289 =

90

90

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Representación Fraccionaria de un Número Decimal Para representar en la recta numérica distintas fracciones, se deben buscar fracciones equivalentes, con igual denominador, y luego dividir en partes iguales a la unidad representada en la recta. 3 1 7 Ejemplo: - — ; — ; — 4 2 6 Fracción Equivalente con Igual Denominador

- 3 Ejemplo: — = 4 1 —= 2

3. 3

-9

Indica donde me posiciono en la recta

= 4. 3

12

1. 6

6

Dividimos en 12 partes la unidad

= 2. 6

7 7.2 —= 6 6.2

12 14 = 12

-1

¾

-9/12

0

½

6/12

1 7/6

2

14/12

Operaciones con Fracciones Adición y sustracción de fracciones. La adición o sustracción de fracciones con igual denominador es otra fracción con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma o la resta de los numeradores de las fracciones dadas. Ejercicios: 2 3 a) — + — = 7 7

4 12 c) — + — = 13 13

8 5 b) — - — = 11 11

17 13 d) — - — = 9 9

Escuela Publica Experimental Desconcentrada Nº 3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 2º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº2 – El conjunto de los números Racionales En la adición o sustracción de fracciones con distinto denominador se debe encontrar el m.c.m de los denominadores dados. Luego hallar las fracciones equivalentes a las dadas cuyo denominador sea el m.c.m encontrado. Ejercicios: 3 1 a) — + — = 10 4

3 2 c) — - — = 5 10

7 1 b) — + — = 8 12

4 2 d) — - — = 6 4

Multiplicar Fracciones Se multiplican los numeradores entre si y los denominadores entre si. Antes puedo simplificar cualquier numerador con cualquier denominador. Ejercicios: 2 3 a) — · — = 3 5

6 5 c) — · — = 3 7

3 5 b) — · — = 4 6

4 15 d) — · — = 5 15

División de Fracciones Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda fracción .Una vez transformada la división en multiplicación puedo simplificar.

Potenciación con Exponente Entero Elevar una fracción a un exponente entero es igual a elevar el numerador a ese exponente y también el denominador de la misma.

Ejem.

3 — 5

1 -— 2

3

=

3

3 3 3 32 —·—·—= —= 5 5 5 53

1 1 1 = -— · -— · -— 2 2 2

27 — 125

1 3 1 = - — =- — 2 3 8

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Exponente Negativo Una potencia fraccionaria de exponente negativo es igual a la inversa de la fracción elevada al exponente positivo.

-1 5 — 4

1

-1

4 — 5

=

3 — 2

-4

2 — 3

4

=

3 — 2

4

1 =

2 — 3

-2

3 81 = — = — 24 16

2 — 5

=

2 = — 3 2

5 — 2

2

5 25 = — = — 22 4

Propiedades de la Potencia La potenciación de fracciones cumple con las mismas propiedades que con los números enteros.

Producto de Potencias de Igual Base El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma, cuyo exponente es la suma de los exponentes dados. 2

2 — 3

3

·

2 — 3

2+3

=

3 — 3

5

=

2 — 3

5

=

2 — 35

32 = — 243

Cociente de Potencias de Igual Base El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la resta de los exponentes dados.

4

4 — 3

2

:

4 — 3

4-2

=

4 — 3

=

2

4 — 3

2

=

4 — 32

16 = — 9

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Potencia de otra Potencia La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual al producto de los exponentes dados. 3 2

2 — 3

2

2 — 3

·

·3

6

2 — 3

=

6

=

2 — 36

=

64 — 729

Propiedad Distributiva La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación y la división de fracciones. 2

3 — 2

1 · — 3

2

3 — 6

2

3 — 2

=

2

2

·

1 — 3

=

2

3 1 = — · — = 22 32

32 9 1 — = — · — 62 4 9 9 — = 36

9 — 36

La potenciación no es distributiva con respecto de la suma y la resta de fracciones.

Radicación La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador y a la del denominador de la misma.

25  64

25 64

5 — = 8

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3

 27 = 8

3

 27 3 8

=

-3 — 2

Notación Científica La notación científica nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla aquellas cantidades que son demasiado grandes o demasiado pequeñas y puede definirse como el producto de un número que se encuentra en el intervalo comprendido del 1 al 10, multiplicándose por la potencia de 10. 13900000 = 1,39 x 107

27000 = 2,7 x 104

2350000000 = 2,35 x109

900 = 9 x 102

590000 = 5,9 x 105

exponente positivo Se desplaza la coma hacia la izquierda por eso el exponente es positivo 105

Caso de Números Decimales 0,00034 = 3,4 x 10-4

exponente negativo Se desplaza la coma hacia la derecha por eso el exponente es negativo 10-4

0,00000123 = 1,23 x 10-6 0,00438 = 4,38 x 10-3