El grupo fundamental Ernesto Lupercio∗, Jacob Mostovoy† y Miguel Xicot´encatl‡. October 5, 2010

El invariante m´ as b´ asico de un espacio topol´ogico es la cardinalidad del conjunto de sus componentes conexas. Este invariante tiene varias generalizaciones. En estas notas explicaremos como definir y calcular la m´ as importante de ellas: el grupo fundamental. Adem´as de los espacios topol´ ogicos nos interesar´an funciones continuas entre ellos; es decir, estudiaremos los espacios como categor´ıa. (Las definiciones y construcciones b´ asicas de categor´ıas se encuentran en el Ap´endice.) En el ´ambito categ´orico los invariantes de los espacios topol´ogicos son funtores de la categor´ıa Top de espacios topol´ogicos (o su versi´ on con punto base Top∗ ) a la categoria de conjuntos Sets, o a la categoria de grupos Gps, etc´etera.

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Definiciones b´ asicas

Sea X un espacio topol´ ogico. El conjunto de las componentes conexas de X se denota π0 X. Ejercicio 1.1. Demuestra que π0 es un funtor de la categor´ıa Top a la categoria Sets. Un camino en X es una funci´ on continua γ : I → X, donde I es el intervalo [0, 1]. Sean γ y γ ′ dos caminos con γ(0) = γ ′ (0) = x0 y γ(1) = γ ′ (1) = x1 . Se dice que γ y γ ′ son homot´ opicos si existe una funci´ on (que se llama homotop´ıa) Γ : I × I → X tal que Γ |I×{0} = γ, Γ |I×{1} = γ ′ y tal que Γ (0, t) = x0 y Γ (1, t) = x1 para todo t ∈ I.

Ejercicio 1.2. Demuestra que el declarar γ ∼ γ ′ si y solo si γ y γ ′ son homot´ opicos da una relaci´ on de equivalencia sobre los caminos que comienzan en x0 y terminan en x1 . Denotaremos el conjunto de clases de homotop´ıa de caminos de x0 a x1 por C(x0 , x1 ). La clase del camino γ se denota por [γ]. Sea γ un camino en X con γ(0) = x0 y γ(1) = x1 y γ ′ un camino con γ(0) = x1 y γ(1) = x2 . El producto de γ y γ ′ es el camino en X definido como γ(2t) para 0 ≤ t < 1/2, ′ γγ (t) = γ(2t − 1) para 1/2 ≤ t ≤ 1. En otras palabras, el producto de dos caminos se obtiene recorriendo un camino despu´es del otro, con doble velocidad. El producto de caminos no tiene buenas propiedades: por ejemplo, no es asociativo. Sin embargo, la situaci´ on se mejora si pasamos a las clases de homotop´ıa de caminos. ∗

Departamento de Matem´ aticas, [email protected] † Departamento de Matem´ aticas, [email protected] ‡ Departamento de Matem´ aticas, [email protected]

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Ejercicio 1.3. Demuestra que el producto de caminos da una multiplicaci´ on bien definida

para todos x0 , x1 , x2 ∈ X.

C(x0 , x1 ) × C(x1 , x2 ) → C(x0 , x2 )

Ejercicio 1.4. Demuestra que el producto de clases de caminos es asociativo: ([γ][γ ′ ])[γ ′′ ] = [γ]([γ ′ ][γ ′′ ]) siempre y cuando los productos tienen sentido. Ejercicio 1.5. Sea 1x el camino constante cuyo valor en todo punto de I es x ∈ X. Demuestra que [1x0 ][γ] = [γ] = [γ][1x1 ] para todo [γ] ∈ C(x0 , x1 ). Estas propiedades del producto de caminos permiten definir la categor´ıa Π1 X cuyos objetos son los puntos de X y cuyos morfismos (flechas) son clases de homotop´ıa de caminos: HomΠ1 X (x0 , x1 ) = C(x0 , x1 ). La composici´ on de flechas se define como el producto de las clases de homotopia de caminos. Todas las flechas de Π1 X son invertibles: Ejercicio 1.6. Para [γ] ∈ C(x0 , x1 ) sea [γ]−1 ∈ C(x0 , x1 ) la clase de homotopia del camino γ(−t). Demuestra que [γ]−1 es una clase bien definida y que [γ][γ]−1 = 1x0

y

[γ]−1 [γ] = 1x1 .

La categor´ıa Π1 X se llama el grupoide fundamental de X. Para cada x0 ∈ X las flechas de x0 a x0 en el grupoide fundamental Π1 X forman un grupo. Este grupo se llama el grupo fundamental de X respecto a x0 y se denota por π1 (X, x0 ). No es otra cosa que el conjunto C(x0 , x0 ) con el producto de clases de caminos. Ejercicio 1.7. Demuestra que Π1 es un funtor de la categor´ıa Top a la categoria de grupoides, y que π1 es un funtor de la categor´ıa Top∗ a la categoria de grupos. Ejercicio 1.8. Sea Ω(X, x0 ) el conjunto de todos los caminos de x0 a x0 en X. Demuestra que, con la topolog´ıa apropiada sobre Ω(X, x0 ), π1 (X, x0 ) = π0 Ω(X, x0 ) como conjuntos. Por construcci´on, el grupo fundamental de X respecto a x0 depende del punto x0 . Sin embargo, la clase de isomorfismo de π1 (X, x0 ) solo depende de la componente conexa a la que pertenece x0 : Teorema 1.1. Si los puntos x0 , x1 ∈ X pertenecen a la misma componente conexa, entonces π1 (X, x0 ) is isomorfo a π1 (X, x1 ). Demostraci´ on. Sea γ un camino de x0 a x1 . Es f´acil ver que la funci´on [c] → [γ][c][γ]−1

da un isomorfismo de π1 (X, x1 ) a π1 (X, x0 ).

2

❧ En particular, en el caso cuando X es arco-conexo, la clase de isomorfismo de π1 (X, x0 ) no depende de x0 y se denota simplemente como π1 X. Si X es arco-conexo y π1 X es el grupo trivial se dice que X es simplemente conexo. Hemos visto que π1 es un funtor Top∗ → Gps. En particular, esto significa que a cada funci´ on continua f entre dos espacios con punto base le corresponde un homomorfismo f∗ de sus grupos fundamentales, y que a la funci´ on identidad le corresponde el homomorfismo identidad. Hay una condici´ on que asegura que dos funciones de un espacio al otro inducen el mismo homomorfismo de grupos fundamentales. Definici´ on 1.2. Sean X e Y dos espacios topol´ogicos. Dos funciones entre f0 , f1 : X → Y son homot´ opicas si existe una funci´ on (homotop´ıa) F : X × I → Y con F|X×{0} = f0 y F|X×{1} = f1 . Si X y Y son espacios con puntos base x0 y y0 , y f0 , f1 preservan el punto base, se dice que son homot´ opicas si existe una homotop´ıa F con la propiedad adicional de que F(x0 , t) = y0 para todo t ∈ I. Ejercicio 1.9. Demuestra que dos funciones homot´ opicas de (X, x0 ) a (Y, y0 ) inducen el mismo homomorfismo π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ).

Definici´ on 1.3. Dos espacios X e Y se llaman homot´ opicamente equivalentes si existen f : X → Y y g : Y → X con la propiedad de que fg es homot´ opica a la identidad en Y y gf - a la identidad en X.

Ejercicio 1.10. Demuestra que dos espacios homot´ opicamente equivalentes tienen grupos fundamentales isomorfos. En particular, un espacio se llama contractible si es homot´ opicamente equivalente un punto. Como corolario, π1 de un espacio contractible es trivial. Ejercicio 1.11. Demuestra que Rn es contractible para todo n.

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Recubrimientos y el grupo fundamental

Definici´ on 2.1. Una funci´ on continua p : Y → X se llama recubrimiento de X si cada punto x ∈ X tiene una vecindad U tal que p−1 (U) ≃ S × U donde S es un conjunto discreto y la restricci´on de p a cada componente conexa de p−1 (U) es un homeomorfismo. El espacio Y se llama el espacio cubriente de X. Ejercicio 2.1. Demuestra que si X es arco-conexo, los conjuntos p−1 (x) tienen la misma cardinalidad para todo x ∈ X. En lo que sigue, solo consideraremos recubrimientos de espacios arco-conexos. En este caso se puede hablar del n´ umero de hojas del recubrimiento: este n´ umero se define como la cardinalidad de p−1 (x) para x ∈ X. Ejemplo 2.1. La funci´ on z → zm del c´ırculo unitario en C a ´el mismo es un recubrimiento de m hojas. Ejemplo 2.2. La funci´ on t → e2πit de la recta real al c´ırculo unitario en C es un recubrimiento de un n´ umero infinito de hojas. 3

Una propiedad importante de los recubrimientos es la propiedad de levantamiento de caminos: Teorema 2.2. Sea p : Y → X un recubrimiento, γ un camino en X y y0 ∈ Y un punto con ˜ en Y tal que γ ˜ (0) = y0 y p(˜ p(y0 ) = γ(0). Existe un u ´nico camino γ γ(t)) = γ(t) para todo t ∈ I. ˜ es un levantamiento de γ. El camino γ Demostraci´ on. Para cada t ∈ I escojamos una vecindad Ut de γ(t) en X del tipo mencionado en la definici´on de un recubrimiento, y tomemos un intervalo abierto It ⊂ I cuya imagen bajo γ est´ a contenida en Ut . Por la compacidad de I se pueden escoger un conjunto finito de los It que cubren todo I. (Esto es la consecuencia del Lema de Lebesgue; este argumento se usar´a en la demostraci´on del Teorema de Van Kampen.) Se puede suponer que ninguno de estos intervalos est´ a contenido por completo en alg´ un otro de los intervalos; como consecuencia, los intervalos est´ an ordenados por su extremo inferior. Ahora, la restricci´on de γ a cada It se puede levantar a Y. Levantando estas restricciones consecutivamente, obtenemos el levantamiento de todo γ a Y. Es f´acil ver que en cada paso el levantamiento es u ´nico. ❧ Corolario 2.3 (Propiedad de levantamiento de homotop´ıas). Sea p : Y → X un recubrimiento, Z un espacio, f : Z → Y y f : Z × I → X funciones con la propiedad pf = F|Z×{0} . Existe una u ´nica funci´ on ˜ F : Z × I → Y tal que p˜F = F. ˜F(z, t) se define como el levantamiento del camino F|z×I con ˜F(z, 0) = f(z).

De hecho, existe una propiedad de levantamiento m´ as general: Teorema 2.4 (Propiedad de levantamiento de funciones). Sea p : Y → X un recubrimiento, f : Z → X una funci´ on, y z0 ∈ Z y y0 ∈ Y puntos con la propiedad f(z0 ) = p(y0 ). Existe una ˜ funci´ on f : Z → Y con f(z0 ) = y0 y pf˜ = f si f∗ π1 (Z, z0 ) est´ a contenido en p∗ π1 (Y, y0 ).

Demostraci´ on. La funci´ on f˜ se construye de la siguiente manera. Para z ∈ Z tomemos un camino f γ de z0 a z en Z. Por el teorema anterior, el camino fγ en X se puede levantar a un camino fγ f ˜ f con fγ(0) = y0 . Definamos f(z) como fγ(1). ˜ no depende de γ, tomemos otro camino γ ′ de z0 a z. El Para demostrar que el punto f(z) camino γ ′ γ−1 , donde γ−1 (t) = γ(−t), es cerrado. Su imagen bajo f es homot´ opica a la imagen ′ −1 de un camino cerrado en Y. Levantando esta homotop´ıa, vemos que f(γ γ ) es la imagen de ˜ construido a partir de γ ′ coincide un camino cerrado en Y. De aqu´ı es f´acil concluir que f(z) ˜ construido a partir de γ. con f(z) ❧ Veamos como cambia la imagen de π1 (Y, y0 ) en π1 (X, x0 ) si se cambia el punto base y0 en Y. Proposici´ on 2.5. Sea p : Y → X un recubrimiento y y0 , y1 ∈ p−1 (x0 ). Los subgrupos p∗ π1 (Y, y0 ) y p∗ π1 (Y, y1 ) son conjugados en π1 (X, x0 ). Demostraci´ on. Los grupos π1 (Y, y0 ) y π1 (Y, y1 ) son isomorfos. Si γ es el camino de y0 a y1 en y, el isomorfismo es dado por [c] → [γ][c][γ]−1 , donde [c] ∈ π1 (Y, y1 ). Proyectando γ a X obtenemos un camino cerrado que da un elemento p∗ [γ] ∈ π1 (X, x0 ). Como todos los elementos de p∗ π1 (Y, y0 ) son de la forma p∗ [γ]p∗ [c]p∗ [γ]−1 para [c] ∈ π1 (Y, y1 ), p∗ π1 (Y, y0 ) y p∗ π1 (Y, y1 ) son conjugados. 4

❧ Un recubrimiento p : Y → X se llama normal si la imagen de π1 (Y, y0 ) bajo p∗ en π1 (X, x0 ) es un subgrupo normal. Ejercicio 2.2. Demuestra que un recubrimiento es normal si y solo si ning´ un camino en X es al mismo tiempo la imagen de un camino cerrado y un camino no cerrado. Los recubrimientos de un espacio X forman una categor´ıa. Un morfismo entre dos recubrimientos p : Y → X y p ′ : Y ′ → X es una funci´on f : Y → Y ′ tal que p ′ f = p. El grupo de automorfismos de un recubrimiento p : Y → X actua sobre el conjunto p−1 (x0 ) para x0 ∈ X.

Proposici´ on 2.6. La acci´ on del grupo de automorfismos de un recubrimiento normal p : Y → X en p−1 (x0 ) es libre y transitiva; en particular, este grupo se puede identificar con p−1 (x0 ) como conjunto. La demostraci´on se obtiene aplicando la propiedad de levantamiento de funciones con Z = Y. El objeto inicial en la categor´ıa de recubrimientos del espacio X se llama el recubrimiento universal de X. Por la propiedad de levantamiento de funciones, el recubrimiento de X cuyo espacio cubriente es simplemente conexo es universal. Se puede demostrar la existencia del recubrimiento con π1 Y = {1} para una clase muy amplia de espacios (los que son al mismo tiempo conexos, localmente arco-conexos, y semi-localmente simplemente conexos). Teorema 2.7. π1 X es isomorfo al grupo de automorfismos del recubrimiento universal de X.

Demostraci´ on. Sea p : (Y, y0 ) → (X, x0 ) el recubrimiento universal de X. Representemos una ˜ el levantamiento de γ a Y con clase de caminos cerrados en π1 (X, x0 ) por el camino γ; sea γ ˜ (0) = y0 . Asignaremos a [γ] ∈ π1 (X, x0 ) el automorfismo de p que env´ıa y0 a γ ˜ (1). γ La funci´ on π1 (X, x0 ) → Aut(p) no depende de los representantes particulares de las clases [γ]; el hecho de que los caminos homot´ opicos cuyos levantamientos comienzan en el mismo punto producen el mismo automorfismo de p es consecuencia de la propiedad de levantamiento f1 (1) = h1 (y0 ) y f de homotop´ıas. Es f´acil ver que esta funci´on es un homomorfismo: si γ γ2 (1) = f1 h1 (f f1 (1) = h1 (f h2 (y0 ) con h1 , h2 ∈ Aut(p), tenemos γ ] γ2 ) y γ γ2 (1)) = h1 h2 (y0 ). 1 γ2 = γ Este homomorfismo es, claramente, suprayectivo. Su n´ ucleo es trivial pues si alg´ un elemento [γ] ∈ π1 (X, x0 ) define un automorfismo trivial, esto implica que γ se levanta a un camino cerrado en Y. Pero como Y es simplemente conexo, esto implica que [γ] = 1. Esto implica que π1 (X, x0 ) es isomorfo a Aut(p). ❧ El u ´ltimo teorema nos da una herramienta potente para calcular grupos fundamentales. Ejemplo 2.3. El grupo de automorfismos del recubrimiento del c´ırculo S1 por R (ver Ejemplo 2.2) consiste de las traslaciones de R de la forma x → x + n donde n es un entero. Como consecuencia, tenemos π1 S1 = Z. Ejemplo 2.4. Sea G un grupo que actua propiamente discontinuamente en un espacio simplemente conexo X. Se puede ver que X → X/G es un recubrimiento, y por lo tanto π1 (X/G) ≃ G.

Por el momento, el u ´nico ejemplo que tenemos de los espacios simplemente conexos es el espacio euclidiano. 5

Ejemplo 2.5. Sea G el grupo de transformaciones afines de R2 generado por (x, y) → (x, y + 1) y (x, y) → (x + 1, −y). La acci´ on de G en R2 es propiamente discontinua; el cociente K no es otra cosa que la botella de Klein. Ejercicio 2.3. Calcular el grupo fundamental para el toro de dimensi´ on n.

3

El Teorema de Van Kampen

Teorema 3.1. Sea X = X1 ∪ X2 un espacio topol´ ogico arco-conexo. Suponemos X1 y X2 son abiertos en X y que su interseccion Z = X0 ∩ X1 es arco-conexa. Suponemos que el punto base de los tres espacios es el mismo punto x0 (que por tanto esta en la intersecci´ on de X1 y X2 que llamamos Z. Entonces tenemos que π1 (X) = π1 (X1 ) ∗π1 (Z) π1 (X2 ). El teorema es una consecuencia mas o menos directa del Lema de Lebesgue y no es dif´ıcil. Recordemos (o veamos en el Ap´endice) el siguiente teorema sobre el producto amalgamado de grupos: Teorema 3.2. Consideremos tres grupos A, B, C y dos homomorfismos fA : C → A y fB : C → B. El triple (A ∗C B, pA , pB ) es el producto amalgamado de (C, fA , fB ) si y solo si para cualquier triple (Q, ̟A , ̟B ) con ̟A : A → Q y ̟B : B → Q homomorfismos de grupos tales que pA ◦ fA = pB ◦ fB , entonces existe un homomorfismo ΠQ tal que: QU cl

̟A ΠQ

̟B

A ∗OC B o

pA

pB

Bo

AO fA

fB

C

es decir: • pA ◦ fA = pB ◦ fB , • ̟A = ΠQ ◦ πA , y • ̟B = ΠQ ◦ πB . y en caso de que A ∗C B exista, entonces es u ´nico hasta por isomorfismo natural. Recordemos tambi´en el siguiente teorema (el cual hemos enunciado como ejercicio): Teorema 3.3. El grupo fundamental es un funtor π1 : Top∗ → Gps.

Para una aplicacion continua φ : Y → Z escribiremos

φ∗ = π1 (φ) : π1 (Y) → π1 (Z),

para denotar el homomorfismo inducido.

6

Sea X = X1 ∪ X2 un espacio topol´ogico. Suponemos X1 y X2 son abiertos en el espacio arcoconexo X, y sean i0 : X0 → X, i1 : X1 → X las inclusiones naturales. Asimismo sean j0 : X0 ∩ X1 → X0 y j1 : X0 ∩ X1 → X1 las inclusiones naturales de la intersecci´ on.

Definimos ahora un triple (A, B, C) := (π1 (X), π1 (X0 ), π1 (X1 )) en la categor´ıa de grupos, definiendo pA = (i0 )∗ y pB = (i1 )∗ como los homomorfismos en grupos fundamentales inducidos por las inclusiones. Asimismo sean fA = (j0 )∗ y fB = (j1 )∗ . Demostremos que • pA ◦ fA = pB ◦ fB , • ̟A = ΠQ ◦ πA , y • ̟B = ΠQ ◦ πB . La primera condici´ on es consecuencia de que π1 es funtor. En efecto, como tenemos que pA ◦ fA = (i0 )∗ ◦ (j0 )∗ = (i0 ◦ j0 )∗ y pB ◦ fB = (i1 )∗ ◦ (j1 )∗ = (i1 ◦ j1 )∗ , basta entonces con demostrar que i0 ◦ j0 = i1 ◦ j1 , pero esto es obvio.

Tenemos que definir ΠQ : π1 (X) → Q. Debemos definir ΠQ (γ) ∈ Q para un camino γ : [0, 1] → X representando un elemento de [γ] ∈ A = π1 (X). Es aqu´ı donde usamos el Lema de Lebesgue. Dividimos el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n que denotaremos por J1 , . . . Jn . Denotamos por xi = γ(i/n) Por ejemplo para n = 5 esto se ve as´ı: x0

x1

x2

x3

x4

x0

Notemos que x5 = x0 es el punto base. Por el Lema de Lebesgue podemos escoger n suficientemente grande de modo que nos aseguremos que cada Ji este completamente contenido ya sea en X0 o en X1 , y ning´ un Ji tenga intersecci´ on no vac´ıa con ambos abiertos de X. Hecho esto borramos los xi que no esten en Z = X0 ∩ X1 de la subdivisi´on anterior, y renumeramos si es necesario los xi ∈ Z. Llamamosm ≤ n al numero de xi que quedaron. Unimos cada xi con x0 por un camino completamente contenido en la intersecci´ on Z, lo cual es posible pues Z es arco-conexo. Tenemos la siguiente situaci´ on esquem´ atica: x x3 x4 x x1 PP PPP 2 BBB nn 5 || nnnnn PPP BB | | n PPP BB || nnn PPP B P |n|nnn x0 donde cada segmento [xi , xi+1 ] esta ya sea en X0 o en X1 , y cada segmento [xi , x0 ] esta en Z. Denotamos el camino (reparametrizado) [x0 , xi ] ∪ [xi , xi+1 ] ∪ [xi+1 , x0 ] ∈ π1 (X) por γi para i = 0, . . . , m − 1. Ejercicio 3.1. Demuestre que se tiene la siguiente concatenaci´ on de lazos: γ = γ1 ∗ · · · ∗ γm−1 . en π1 (X). Definimos ̟(γi ) como ̟A (γi ) si γi esta completamente contenido en X0 y como ̟B (γi ) si γi esta completamente contenido en X1 . Si γi esta completamente contenido en Z entonces como C = π1 (Z) y pA ◦ fA = pB ◦ fB entonces ̟A (γi ) = ̟B (γi ), lo cual implica que ̟ esta bien definido. Definimos ΠQ (γ) := ̟(γ1 ) · . . . · ̟(γm−1 ). 7

Ejercicio 3.2. Demuestre que ΠQ esta bien definido y es un homomorfismo. Notemos que ̟A = ΠQ ◦ πA y ̟B = ΠQ ◦ πB son autom´ aticamente ciertos por la definici´on de ΠQ . Esto concluye la demostraci´on del teorema de Van Kampen. Ejercicio 3.3. Demuestra el teorema de Van Kampen para grupoides fundamentales.

3.1

Ejemplos.

Ejemplo 3.1. Consideremos la esfera Sn con n ≥ 2. Sea Dn el disco abierto de dimensi´ on 1, y sea Z la esfera menos los polos norte y sur. Tenemos el siguiente coproducto fibrado, donde todas las flechas son inclusiones: SOn o DO n Dn o

Z

Por el teorema de Van Kampen tenemos que π1 (Sn ) = π1 (Dn ) ∗π1 (Z) π1 (Dn ). Ahora como Dn ≃ {∗} entonces π1 (Dn ) = {0} y de ah´ı: π1 (Sn ) = {0}. Ejemplo 3.2. Consideremos una superficie orientada compacta son frontera de genero dos Σ2 . Consideremos Y el toro T 2 = S1 × S1 con un peque˜ no disco de radio ǫ/2 removido, Y = T 2 − D2ǫ/2 . Sea Z = D2ǫ ∩ Y. Entonces tenemos un coproducto fibrado de inclusiones: ΣO 2 o

YO

Yo

Z

Por lo que π1 (Σ2 ) = π1 (Y) ∗π1 (Z) π1 (Y). Ejercicio 3.4. π1 (Y) = F2 Ejercicio 3.5. π1 (Σ2 ) = ha1 , b1 , a2 , b2 |[a1 , b1 ][a2 , b2 ] = 1i

8

A

Grupos y categor´ıas

Definici´ on A.1. Supongamos que A, B y C han sido dados por generadores y relaciones (dadas por palabras en los generadores): A = ha1 , a2 , . . . , anA |u1 (ai ) = u2 (ai ) = · · · = umA (ai ) = 1i, B = hb1 , b2 , . . . , bnB |v1 (bi ) = v2 (bi ) = · · · = vmB (bi ) = 1i, y C = hc1 , c2 , . . . , cnC |w1 (ci ) = w2 (ci ) = · · · = wmC (ci ) = 1i. Para definir el producto amalgamado necesitamos dos homomorfismos f : C → A y g : C → B. En terminos de los generadores f(ci ) es una palabra en las ai , y g(ci ) es asimismo una palabra en las bi Entonces el producto amalgamado A ∗C B tiene por generadores todos los generadores de A y B, y por relaciones dadas por todas las palabras uj (ai ), vj (bi ), ademas de todas las palabras wj (f(ci )) y wj (g(ci )). Ejemplo A.1. Consideremos el caso en que el grupo C = {1} es el grupo identidad. Entonces A ∗C B es el grupo que tiene por elementos palabras de la forma a1 b1 a2 b2 · · · an bn tal que ai ∈ A y bi ∈ B. Que C = {1} nos dice que debemos identificar la unidad 1A ∈ A y la unidad 1B ∈ B. As´ı se deduce la ley de multiplicaci´ on. Ejercicio A.1. Escribir en detalle la ley de multiplicaci´ on. Ejemplo A.2. Por ejemplo SI A = Z = hai y B = Z = hbi entonces todos los elementos son a no esta de sobra decir que de la forma an1 bm1 an2 bm2 an3 bm3 · · · amk bmk con ni , mi ∈ Z. Quiz´ si n1 = 0 la palabra empieza con un elemento de B, y si mk = 0 la palabra termina con un elemento de A. Un ejemplo de multiplicaci´ on en este grupo es: bbababbabababbb · bbbaababbabbbbbaaa = bbababbabababbbbbbaababbabbbbbaaa. Este grupo se llama F2 el grupo libre en dos generadores: F2 = hai ∗1 hbi. Ejercicio A.2. Definir F1 , F2 , F3 , . . . , etc. Ejercicio A.3. Demostrar que todo grupo finitamente generado G es isomorfo a Fn /NG para alg´ un n ≥ 0 y alg´ un NG subgrupo normal de Fn . Esto implica que todo grupo finitamente generado puede ser dado por generadores y relaciones. Explicar por que esto es cierto. Por cierto, escribe un ejemplo de un grupo que no sea finitamente generado.

A.1

Productos de conjuntos y de grupos.

Consideremos dos conjuntos A y B. Queremos encontrar un conjunto P y dos aplicaciones de conjuntos πA : P → A y πB : P → B que satisface la siguiente propiedad universal:

9

El triple (P, πA , πB ) es universal (final) si para cualquier triple (Q, ̟A , ̟B ) con ̟A : Q → A y ̟B : Q → B existe una u ´nica aplicaci´ on ΠQ : Q → P tal que ̟A = πA ◦ ΠQ y ̟B = πB ◦ ΠQ : Q ̟A

ΠQ



P

̟B

"

/A

 

B

No tenemos idea de si (P, πA , πB ) existe. Pero lo siguiente no es muy dif´ıcil: Ejercicio A.4. Demuestre que si (P, πA , πB ) y (P ′ , πA′ , πB′ ) son ambos universales finales entonces hay una biyecci´ on (isomorfismo) φ : P → P ′ tal que ̟A = πA ◦ φ, ̟B = πB ◦ φ y πA = ̟A ◦ φ−1 , πB = ̟B ◦ φ−1 . Por abuso de terminolog´ıa se dice entonces que el par universal final (P, πA , πB ) es u ´nico (hasta por isomorfismo natural), (si acaso existe). Definici´ on A.2. Definimos A × B como el conjunto de parejas (a, b) con a ∈ A y b ∈ B. Definimos πA : A × B → A como πA (a, b) = a y πB : A × B → B como πB (a, b) = b. Ejercicio A.5. Demuestre que (A × B, πA , πB ) es universal final.

Definici´ on A.3. Decimos que un triple (P, πA , πB ) universal final es el producto (cartesiano) de A y B. Consideremos dos grupos G y H. Queremos encontrar un grupo P y dos homomorfismos de grupos πG : P → G y πH : P → H que satisface la siguiente propiedad universal: El triple (P, πG , πH ) es universal (final) si para cualquier triple (Q, ̟G , ̟H ) con ̟G : Q → G y ̟H : Q → H homomorfismos de grupos existe un u ´nico homomorfismo ΠQ : Q → P tal que ̟G = πG ◦ ΠQ y ̟H = πH ◦ ΠQ : Q

̟G

ΠQ

 ̟H

P

"

/G

 

H

No tenemos idea de si (P, πG , πH ) existe. Pero lo siguiente no es muy dif´ıcil: Ejercicio A.6. Demuestre que si (P, πG , πH ) y (P ′ , πG′ , πH′ ) son ambos universales finales entonces hay una isomorfismo de grupos φ : P → P ′ tal que ̟G = πG ◦ φ, ̟H = πH ◦ φ y πG = ̟G ◦ φ−1 , πH = ̟H ◦ φ−1 . Por abuso de terminolog´ıa se dice entonces que el par universal final (P, πG , πH ) es u ´nico (hasta por isomorfismo natural), (si acaso existe). Definici´ on A.4. Definimos G × H como el conjunto de parejas (g, h) con g ∈ G y h ∈ H. Definimos la multiplicaci´ on en G × H por medio de la formula: (g, h) · (g ′ , h ′ ) := (gg ′ , hh ′ ). Definimos πG : G × H → G como πG (g, h) = g y πH : G × H → H como πH (g, h) = h. No es dif´ıcil ver que πG y πH son ambos homomorfismos de grupos. 10

A.2

Coproductos de conjuntos y de grupos.

Consideremos dos conjuntos A y B. Queremos encontrar un conjunto P y dos aplicaciones de conjuntos πA : A → P y πB : B → P que satisface la siguiente propiedad universal: El triple (P, πA , πB ) es universal (inicial) si para cualquier triple (Q, ̟A , ̟B ) con ̟A : A → Q y ̟B : B → Q existe una u ´nica aplicaci´ on ΠQ : P → Q tal que ̟A = ΠQ ◦ πA y ̟B = ΠQ ◦ πB : QS _k ̟A

ΠQ

PO o

̟B

πA

A

πB

B No tenemos idea de si (P, πA , πB ) existe. Pero lo siguiente no es muy dif´ıcil: Ejercicio A.7. Demuestre que si (P, πA , πB ) y (P ′ , πA′ , πB′ ) son ambos universales finales entonces hay una biyecci´ on (isomorfismo) φ : P → P ′ tal que ̟A = φ ◦ πA , ̟B = φ ◦ πB y −1 πA = φ ◦ ̟A , πB = φ−1 ◦ ̟B . Por abuso de terminolog´ıa se dice entonces que el par universal final (P, πA , πB ) es u ´nico (hasta por isomorfismo natural), (si acaso existe). Definici´ on A.5. Definimos A ⊎ B como la uni´ on de conjuntos: (A × {0}) ∪ (B × {1}). El conjunto A ⊎ B se llama la uni´ on disjunta de A con B. Definimos πA : A → A ⊎ B como πA (a) = (a, 0) y πB : B → A ⊎ B como πB (b) = (b, 1). Ejercicio A.8. Demuestre que (A ⊎ B, πA , πB ) es universal inicial.

Definici´ on A.6. Decimos que un triple (P, πA , πB ) universal inicial es el coproducto (cocartesiano) de A y B. Consideremos dos grupos G y H. Queremos encontrar un grupo P y homomorfismos πG : P → G y πB : P → H que satisface la siguiente propiedad universal: El triple (P, πG , πH ) es universal (inicial) si para cualquier triple (Q, ̟G , ̟H ) con ̟G : Q → G y ̟H : Q → H existe un u ´nico homomorfismo ΠQ : Q → P tal que ̟G = πG ◦ ΠQ y ̟H = πH ◦ ΠQ : QS k_

̟G ΠQ

̟H

PO o

πG

G

πH

H No tenemos idea de si (P, πG , πH ) existe. Pero lo siguiente no es muy dif´ıcil:

11

Ejercicio A.9. Demuestre que si (P, πG , πH ) y (P ′ , πG′ , πH′ ) son ambos universales finales entonces hay una isomorfismo de grupos φ : P → P ′ tal que ̟G = φ ◦ πG , ̟H = φ ◦ πH y πG = φ−1 ◦ ̟G , πH = φ−1 ◦ ̟H . Por abuso de terminolog´ıa se dice entonces que el par universal final (P, πG , πH ) es u ´nico (hasta por isomorfismo natural), (si acaso existe). Definici´ on A.7. Sean G y H grupos finitamente generados (dados por generadores y relaciones). Definimos G ⊎ H como el producto libre de grupos: G ∗{1} H. El grupo G⊎H se llama la producto libre de G con H. Definimos πG : G → G⊎H como πG (g) = g y πH : H → G ⊎ H como πH (h) = h. De hecho con frecuencia para grupos finitamente generados se escribe: G ∗ H := G ⊎ H. Ejercicio A.10. Demuestre que (G ∗ H, πG , πH ) es universal inicial. Definici´ on A.8. Decimos que un triple (P, πG , πH ) universal inicial es el coproducto (cocartesiano) de G y H. Ejercicio A.11. ¿Ser´ a cierto que G⊎H existe para cualesquiera grupos G y H no necesariamente finitamente generados?

A.3

Productos y coproductos de espacios topologicos.

Ejercicio A.12. Sean X y Y espacios topol´ ogicos. Definir que significa que un triple (P, πX , πY ) con πX : X × Y → X y πX × Y → Y aplicaciones continuas sea un producto cartesiano de X y Y.

Ejercicio A.13. Sean X y Y espacios topol´ ogicos. Definir que significa que un triple (P, πX , πY ) con πX : X → X × Y y πX Y → X × Y aplicaciones continuas sea un coproducto cocartesiano de X y Y. Ejercicio A.14. Demuestre que para espacios topol´ ogicos X y Y el producto cartesiano existe. Ejercicio A.15. Demuestre que para espacios topol´ ogicos X y Y el coproducto cocartesiano existe.

A.4

Categorias.

Definici´ on A.9. Una categor´ıa C consiste de: • Una familia de objetos x, y, z, . . . • Una familia HomC (x, y) de flechas, o morfismos, para cada par de objetos. Por definici´on es lo mismo escribir α ∈ HomC (x, y) que α : x → y.

• Para cada tres objetos x, y, z ∈ C hay una ley de composici´ on

HomC (x, y) × HomC (y, z) → HomC (x, z),

que se escribe as´ı, para cada α : x → y y β : y → z existe su composici´ on β ◦ α : x → z, 12

de modo que se satisfacen los siguientes axiomas: • La ley de composici´ on es asociativa: Cada que alpha : x → y, β : y → z y γ : z → w, entonces: γ ◦ (β ◦ α) = (γ ◦ β) ◦ α. • Para cada x ∈ C existe 1x ∈ Hom(x, x) tal que para cada α : y → x tenemos 1x ◦ α = α,

y para cada β : x → z tenemos

β ◦ 1x = β.

Ejercicio A.16. La categor´ıa de conjuntos Sets se define as´ı: • Objetos: Todos los conjuntos del mundo. • Flechas: HomSets (X, Y) = {α : X → Y} todas las aplicaciones de conjuntos.

Demuestra que Sets es en efecto una categor´ıa.

Ejercicio A.17. La categor´ıa de grupos Gps se define as´ı: • Objetos: Todos los grupos del mundo. • Flechas: HomGps (X, Y) = {α : X → Y} todas los homomorfismos de grupos.

Demuestra que Gps es en efecto una categor´ıa.

Ejercicio A.18. La categor´ıa de espacios vectoriales Vect se define as´ı: • Objetos: Todos los espacios vectoriales del mundo. • Flechas: HomVect (X, Y) = {α : X → Y} todas las aplicaciones lineales.

Demuestra que Vect es en efecto una categor´ıa.

Ejercicio A.19. La categor´ıa de espacios topol´ ogicos Top se define as´ı: • Objetos: Todos los espacios topol´ ogicos del mundo. • Flechas: HomTop (X, Y) = {α : X → Y} todas las aplicaciones continuas.

Demuestra que Top es en efecto una categor´ıa.

Ejercicio A.20. La categor´ıa de espacios topol´ ogicos basados Top∗ se define as´ı: • Objetos: Todos los pares (X,x) de espacios topol´ ogicos X con un punto base x ∈ X. • Flechas: HomTop∗ ((X, x), (Y, y)) = {α : X → Y |α(x) = y} todas las aplicaciones continuas que preservan el punto base. Demuestra que Top es en efecto una categor´ıa. Ejercicio A.21. Sea M un monoide (semigrupo con unidad). Definimos la categor´ıa M as´ı: 13

• Objetos: Un u ´nico objeto ∗. • Flechas: HomM (∗, ∗) = M. Demuestra que M es en efecto una categor´ıa. Ejercicio A.22. Sea G un grupo. definimos la categor´ıa G as´ı: • Objetos: Un u ´nico objeto ∗. • Flechas: HomG (∗, ∗) = G. Demuestra que G es en efecto una categor´ıa. Pensaremos en ∗ como una especie de espacio abstracto y G actuando en el. Demuestra que toda flecha en G tiene inversa. Es decir para cada α existen β y γ flechas de la categor´ıa tales que α ◦ β = 1 y γ ◦ α = 1. Ejercicio A.23. Sea G un grupo que actua en un conjunto X por medio de la aplicaci´ on G×X → X escrita como (g, x) 7→ gx. Definimos la categor´ıa G as´ı: • Objetos: x ∈ X. • Flechas: HomG (x, y) = {(g, x) ∈ G × X|gx = y}. Demuestra que G es en efecto una categor´ıa. Demuestra que toda flecha en G tiene inversa. Definici´ on A.10. Un funtor F : C → B es una aplicaci´ on que asigna objetos de B a objetos de C y flechas de B a flechas de C de modo que F(α ◦C β) = F(α) ◦B F(β) Definici´ on A.11. Un funtor F : C → B se dice trivial si manda todas los objetos de C a un u ´nico objeto b0 de B y todas las flechas de C a 1b0 . Definici´ on A.12. La categor´ıa I intervalo se define as´ı: • Objetos: dos objetos 0 y 1. • Flechas: cuatro flechas 10 , 11 , i : 0 → 1 y i−1 : 1 → 0. 10

90j

i i−1

*

1

y

11

Definici´ on A.13. Dada una categor´ıa C definimos una nueva categor´ıa C × I as´ı: • Objetos: dos objetos (x, 0) y (x, 1) por cada objeto x ∈ C. • Flechas: dos flechas (α, 0) : (x, 0) → (y, 0) y (α, 1) : (x, 1) → (y, 1), tales que (α, 0) ◦ (β, 0) = (α ◦ β, 0),

y (α, 1) ◦ (β, 1) = (α ◦ β, 1). 14

• Flechas: Para cada objeto x ∈ C cuatro flechas 1(x,0) , 1(x,1) , ix : (x, 0) → (x, 1) y i−1 x : (x, 1) → (x, 0). 1(x,0)(x, 0)

(

xi ı−1 x

l

h

,

(x, 1) 1(x,1)

Denotamos por C0 a la subcategor´ıa de objetos (x, 0) y flechas (α, 0), y por C1 a la subcategor´ıa de objetos (x, 1) y flechas (α, 1). Definici´ on A.14. Dos funtores F, G : C → B se dicen ser homot´ opicos F ≃ G si y solo si existe un funtor H : C × I → B. En tal caso H es una homotop´ıa entre F y G.

Definici´ on A.15. Dos categorias C y B se dicen ser homot´ opicamente equivalentes si existen funtores F : C → B y G : B → C tales que F ◦ G ≃ 1B ,

y G ◦ F ≃ 1C . Ejercicio A.24. Demuestre que si tengo una categor´ıa C y defino una nueva categor´ıa B a partir de C simplemente borrando un objeto x ∈ C tal que existe y ∈ C isomorfo a x (es decir tal que existe una α : x → y con inversa α−1 : y → x), entonces C ≃ B.

Definici´ on A.16. Dados dos funtores F, G : C → B se dice que η es una transformaci´on natural η : F → G si para cada objeto x ∈ C nos da una flecha ηx : F(x) → G(x) tal que para cada flecha α : x → y tenemos: ηx

F(x)

/ G(x)

G(α)

F(α)



ηy

F(y)



/ G(y)

Ejercicio A.25. Demuestre que existe una bijecci´ on entre el conjunto de homotop´ıas H entre F y G y el conjunto de transformaciones naturales η : F → G.

A.5

Productos Fibrados

Definici´ on A.17. Sea C una categor´ıa. Sean A, B, C ∈ C objetos y fA : A → C, fB : B → C flechas de C. El triple (P, πA , πB ) con P un objeto de C y πA : P → A, πB : P → B flechas de C un producto fibrado si para cualquier triple (Q, ̟A , ̟B ) con ̟A : Q → A y ̟B : Q → B existe una u ´nica flecha tal que: Q ̟A

ΠQ

 ̟B

P

πA

"

/A

πB

fA

 

B



fB

Usualmente escribimos A ×C B para denotar al producto fibrado cuando este existe. 15

/C

Ejercicio A.26. Supongamos que en la definici´ on anterior C = Sets. Demuestra que A ×C B = {(a, b)|fA (a) = fB (b)}. Demuestra que lo mismo pasa en Top. Ejercicio A.27. Consideremos la categor´ıa Top. Sean B = C = S1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Sea A = M una banda de M¨ obius (cerrada con frontera) cuyo circulo central es C. Sea n entero. n Sea fB (z) = z , y fA la proyecci´ on de la banda en su circulo central. Demuestra que • A ×C B es homeomorfo a la banda M si y solo si n es impar. • A ×C B es homeomorfo a S1 × [0, 1] si y solo si n es par.

A.6

Coproductos fibrados.

Definici´ on A.18. Consideremos una categoria C. Consideremos tres objetos A, B, C y dos flechas fA : C → A y fB : C → B. El triple (P, πA , πB ) es un coproducto fibrado si para cualquier triple (Q, ̟A , ̟B ) con ̟A : A → Q y ̟B : B → Q existe una u ´nica flecha tal que: QS k_

̟A

ΠQ ̟B

PO o

πA

πB

Bo

AO fA

fB

C

Usualmente escribimos A ⊎C B para denotar al coproducto fibrado. Ejercicio A.28. Sean X = X0 ∪ X1 con X0 y X1 abiertos en X. Sea i : X1 ∩ X0 → X la inclusi´ on natural. Demuestre que X es homeomorfo al coproducto fibrado del triple (X0 , X1 , X0 ∩ X1 ), es decir: X = X0 ⊎X0 ∩X1 X1 . ¿Ser´ a esto cierto si X0 no es abierto? Ejercicio A.29. Sea A = B = C el plano complejo. Sea C = C − {0}. Sean fA (z) = z y fB (z) = 1/z. Demuestra que A ⊎C B = S2 . Sugerencia: Usa la proyecciones esteoreogr´ aficas que son homeomorfismos de la esfera menos el polo norte y sur respectivamente, al plano complejo. Ejercicio A.30. Consideremos la categor´ıa Gps de grupos. Sean A, B, C tres grupos finitamente generados y fA : C → A, fB : C → B homomorfismos. Demuestra que A ⊎C B = A ∗C B.

¿Habra un ejemplo de un triple (A, B, C) tal que A ⊎C B no existe?

16

Ejercicio A.31. El grupo modular Γ es el grupo de transformaciones de M¨ obius del semiplano complejo superior {z : ℑ(z) > 0}. Estas transformaciones tienen la forma: z 7→

az + b , cz + d

donde a, b, c, d ∈ Z y ad − bc = 1. La operacion de grupo esta dada por composici´ on de funciones. Estos son todos los automorfismos holomorfos del semiplano superior. Demuestra que este grupo es naturalmente isomorfo al grupo PSL(2, Z) de transformaciones lineales especiales proyectivas enteras, definido como el cociente de el grupo especial lineal entero SL(2, Z) de matrices 2 × 2 enteras de determinante uno, dividido por su centro {I, −I}. Demuestra que el grupo modular esta generado por dos elementos: S : z 7→ −1/z

y Demuestra que S2 = 1 y (ST )3 = 1.

T : z 7→ z + 1

Sea Z/n el grupo c´ıclico de n elementos. Demuestra que ∼ Z/2 ∗ Z/3. Γ=

17