ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1) Resolver las siguientes ecuaciones: a) senx = tgx Solución.

senx =

senx cos x

 sen x = 0 sen x ⋅ cos x = sen x : sen x ⋅ cos x − sen x = 0 : sen x ⋅ (cos x − 1) = 0 :  cos x − 1 = 0

Casos:

i) Si senx = 0 ⇒ x = 0; x = π = 180º son soluciones de la ecuación. ii) Si senx ≠ 0 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = 0 es la única solución de la ecuación, que además senx = 0 , luego no puede ser.

 x b) 6 cos 2   + cos x + 1 = 0 2 Solución.

cos x + 1 x 6 cos 2   + cos x + 1 = 6 + cos x + 1 = 0 2 2 3 cos x + 3 + cos x + 1 = 0 4 cos x + 4 = 0 cos x = −1 ⇒ x = π + 2πk = 180º +360º k

c) 2 senx + 2 cos x = 2 Solución.

2senx + 2 cos x = 2 2 2

senx + cos x =

elevando al cuadrado y desarrollando

(senx + cos x )2 = 1

: sen 2 x + cos 2 x + 2senx cos x =

2 teniendo en cuenta que sen2x + cos2x = 1, y despejando

2senx cos x = −

mediante la definición de ángulo doble sen (2x ) = −

teniendo en cuenta los ángulos asociados

1 2

1 2

1 2

implicaría

d) cos(2 x ) = senx Solución.

cos(2x ) = senx por la definición de coseno del ángulo doble cos 2 x − sen 2 x = senx

teniendo en cuenta la ecuación fundamental se despeja el cos2x en función del sen2x 1 − sen 2 x − sen 2 x = senx

(

)

ordenando se obtiene una ecuación de segundo grado en función del sen x 2sen 2 x + senx − 1 = 0 ⇒ senx =

1 − 1 ± 1 + 8 − 1 ± 3  senx = = : 2 4 4 senx = −1

Teniendo en cuenta los ángulos asociados

e) senx − cos x = 0 Solución.

senx − cos x = 0

senx = cos x dividiendo ambos miembros de la igualdad por cos x tgx = 1 Teniendo en cuenta los ángulos asociados

f) cos(2 x ) = 2 sen(2 x ) Solución.

cos(2 x ) = 2sen (2x )

dividiendo toda la ecuación por 2cos(2x) tg (2 x ) =

1 2

g) 2sen 2 x + 3 cos x = 0 Solución. Se transforma en una ecuación de segundo grado en función del cos x 2sen 2 x + 3 cos x = 0

(

)

2 1 − cos 2 x + 3 cos x = 0

2 cos 2 x − 3 cos x − 2 = 0 : cos x =

3 ± 9 + 16 3 ± 5  cos x = 2 −1 : = 4 4 cos x = 2 

cos x = 2 no tiene sentido ya que el coseno está acotado en [−1, 1]

h) senx − 3 cos x = 0 Solución. Se transforma a tg x senx − 3 cos x = 0 ÷cos x senx = 3 cos x  →

senx 3 = cos x cos x

tgx = 3

i) cos(2 x ) + 1 = cos x Solución. Se transforma en una ecuación de segundo grado en función del cos x cos(2x ) + 1 = cos x 2

cos x − sen 2 x + 1 = cos x

(

)

cos 2 x − 1 − cos 2 x + 1 = cos x 2

2 cos x = cos x ; 2 cos 2 x − cos x = 0   x = 0 = 360º k = 2πk cos x = 0 ⇒  3π x= + 2πk = 270º +360º k   cos x ⋅ (2 cos x − 1) = 0 :  2   1 2 cos x − 1 = 0 ⇒ cos x = 2 

j) cos(2 x ) + senx = sen(3 x ) Solución. Aplicando transformaciones de sumas en producto se obtiene una ecuación equivalente. cos(2x ) + senx = sen (3x ) cos(2x ) = sen (3x ) − senx

3x − x  3x + x  cos(2x ) = 2 cos  ⋅ sen 2 2   cos(2x ) = 2 cos 2 x ⋅ sen x cos(2x ) − 2 cos 2 x ⋅ sen x = 0

 cos(2 x ) = 0 cos(2x ) ⋅ (1 − 2sen x ) = 0 :  1 − 2sen x = 0 π cos x = 0 ⇒ x = + πk = 90º +180º k 2

k) 2 cos 2 x + 3 cos x = 2 Solución. 2 cos 2 x + 3 cos x = 2 2 cos 2 x + 3 cos x − 2 = 0

cos x =

[ ] − 3 ± 9 + 16 − 3 ± 5  cos x = −2 ∉ − 1, 1 no tiene sentido 1 : = cos x = 4 4 2 

l) cos 2 x − 3sen 2 x = 0 Solución. cos 2 x − 3sen 2 x = 0 2

÷3 cos x → cos 2 x = 3sen 2 x 

tg 2 x =

m) sen 2 x − 3senx cos x + 2 cos 2 x = 0

3sen 2 x 3 cos 2 x

1 3 ⇒ tgx = ± 3 3

=

cos 2 x 3 cos 2 x

Solución. Se transforma en una ecuación de segundo grado dividiendo todos los términos de la ecuación por cos2x. sen 2 x − 3senx cos x + 2 cos 2 x = 0 sen 2 x cos 2 x

−

3senx cos x cos 2 x

tg 2 x − 3tg x + 2 = 0 : tg x =

+

2 cos 2 x cos 2 x

− (− 3) ±

=0

(− 3)2 − 4 ⋅1⋅ 2 2 ⋅1

=

3 ±1 2

n) tg (2 x ) = −tgx Solución. Se transforma la igualdad en función de sen x y cos x. tg (2 x ) = − tgx

sen (2x ) sen x =− cos(2 x ) cos x 2senx cos x senx =− 2 2 cos x cos x − sen x

2sen x ⋅ cos 2 x = −sen x ⋅ cos 2 x + sen 3 x sen 3 x − 3sen x ⋅ cos 2 x = 0 sen 3 x − 3sen x ⋅ 1 − sen 2 x = 0

(

3

)

4sen x − 3sen x = 0  sen x = 0 : x = 0 = πk = 180º k  3 ± 3 sen x ⋅ 4sen 2 x − 3 = 0 :  4sen 2 x − 3 = 0 : sen x = ± =  4 2

(

)

o) sen 2 x − cos 2 x =

1 2

Solución. Teniendo en cuenta la definición de coseno del ángulo doble, se transforma la expresión 1 sen 2 x − cos 2 x = 2 1 − cos(2x ) = 2 1 cos(2x ) = − 2

p) tgx·sec x = 2 Solución. tgx sec x = 2 senx 1 · = 2 cos x cos x senx = 2 1 − sen 2 x 2sen 2 x + senx − Ecuación de segundo grado en función de sen x  2 senx = = − 1 ± 1 + 8 − 1 ± 3  2 2 senx = : = 2 2 2 2  senx = − 4 =  2 2

2 =0

2 2 −2 2

= − 2 ∉ [− 1, 1] ⇒ No válida

q) cos(2 x ) − cos(6 x ) = sen(5 x ) + sen(3 x ) Solución.

cos(2x ) − cos(6x ) = sen (5x ) + sen (3x )

Aplicando a los dos miembros de la ecuación las transformaciones de sumas en producto se obtiene una expresión equivalente de la que se pueden obtener soluciones.   5x + 3x   5x − 3x   ⋅ cos  = 2sen (4x ) ⋅ cos x  sen (5x ) + sen (3x ) = 2sen 2    2   cos(2 x ) − cos(6 x ) = −2sen 2x + 6 x  ⋅ sen 2 x − 6 x  = −2sen (4 x ) ⋅ sen (− 2 x )   2   2  igualando

−2sen (4 x ) ⋅ sen (−2 x ) = 2sen (4x ) ⋅ cos(x )

Teniendo en cuenta las razones trigonométricas de ángulos opuestos (sen (− α ) = −sen α ) sen (4 x ) ⋅ sen (2x ) = sen (4 x ) ⋅ cos x sen (4 x ) ⋅ sen (2 x ) − sen (4 x ) ⋅ cos x = 0

 sen(4 x ) = 0 sen(4 x ) ⋅ (sen(2 x ) − cos x ) = 0 :  sen (2x ) − cos x = 0 sen (4 x ) = 0 : 4x = 0 = πk = 180º k ⇒ x = 0 = sen (2 x ) − cos x = 0

π k = 45º k 4

2sen x cos x − cos x = 0 π  cos x = 0 : x = 90º +180º k = 2 + πk cos x ⋅ (2sen x − 1) = 0 :  1  2sen x − 1 = 0 : sen x = 2 

r) 2tgx − 3 cot gx − 1 = 0 Solución.

2tg x − 3cotg x − 1 = 0

1 −1 = 0 tg x Multiplicando la igualdad por tg x, se transforma en una ecuación de segundo grado en función de tg x 2tg 2 x − tg x − 3 = 0 2tg x − 3

tg x =

1 ± 1 + 24 4

3   tg x = : 2 tg x = −1

s) 3 cos x = 2 sec x − 5 Solución.

3 cos x = 2 sec x − 5 2 3 cos x = −5 cos x Multiplicando toda la ecuación por cos x se obtiene una ecuación de segundo grado 3 cos 2 x + 5 cos x − 2 = 0 1 − 5 ± 25 + 24 cos x = cos x = : 3 6  cos x = −2 ∉ [− 1, 1] ⇒ No válida

t) cos(2 x ) = 5 − 6 cos 2 x Solución.

cos(2 x ) = 5 − 6 cos 2 x cos 2 x − sen 2 x = 5 − 6 cos 2 x

(

)

cos 2 x − 1 − cos 2 x = 5 − 6 cos 2 x 8 cos 2 x = 4 cos 2 x =

1 2 ⇒ cos x = ± 2 2

u) cos ecα ⋅ secα ⋅ cos 2 α + tgα = cot gα Solución. cos ec x ⋅ sec x ⋅ cos 2 x + tg x = cotg x 1 1 ⋅ ⋅ cos 2 x + tg x = cotg x sen x cos x cos x + tg x = cotg x sen x cotg x + tg x = cotg x tg x = 0 ⇒ x = 0 = 180º k = πk

v) 2 senx + 1 = cos ecx Solución.

2sen x + 1 = cosec x 1 2sen x + 1 = sen x 2sen 2 x + sen x − 1 = 0 1  sen x = − 1 ± 1 + 8  2 senx = : 4 sen x = −1 ⇒ x = 3π + 2πk = 270º +360º k 2 

w) sec x + tgx = 2 Solución.

sec x + tg x = 2 1 senx + =2 cos x cos x 1 + senx =2 cos x 1 + senx = 2 cos x 1 + 2senx + sen 2 x = 4 cos 2 x

(

1 + 2senx + sen 2 x = 4 1 − sen 2 x

)

5sen 2 x + 2senx − 3 = 0 − 2 ± 4 + 60 senx = 10

x) senx + cos ecx =

6 3  senx = 10 = 5 : senx = −1 ⇒ x = 3π + 2πk = 270º +360º k  4

13 6

Solución.

13 6 1 13 senx + = senx 6 13 sen 2 x − senx + 1 = 0 6 13 169 13 25 13 5 ± −4 ± ± 6 36 6 36 6 6 = 13 ± 5 .Casos : senx = = = 2 2 2 12 18  senx = 12 ⇒ no tiene solución  senx = 2 ⇒ x ≅ 23π = 41º 48´37´´; x ≅ 77π = 138º11´23´´  3 100 100 senx + cos ecx =

y) cos(2 x ) = senx Solución.

cos(2 x ) = senx cos 2 x − sen2 x = senx

(1 − sen x ) − sen x = senx 2

2

2sen 2 x + senx − 1 = 0 −1± 1+ 8 −1± 3 .Casos : = 4 4 1 5π π  senx = 2 ⇒ x = 6 = 30º ; x = 6 = 150º  senx = −1 ⇒ x = 3π = 270º  2 senx =

z) tg 2 x + 3 = 4tgx Solución.

tg 2 x + 3 = 4tgx tg 2 x − 4tgx + 3 = 0 4 ± 16 − 12 4 ± 2 = .Casos : 2 2 7π 2π  tgx = 3 ⇒ x ≅ 5 = 71º33´54´´; x ≅ 5 = 251º33´54´´  tgx = 1 ⇒ x = π = 45º ; x = 5π 225º  4 4

tgx =

aa) cos x − 2 senx·cos x = 0 Solución.

cos x − 2senx·cos x = 0

cos x(1 − 2 senx ) = 0.Casos : 3π π  cos x = 0 ⇒ x = 2 = 90º ; x = 2 = 270º  1 − 2senx = 0 ⇒ senx = 1 ⇒ x = π = 30º ; x = 5π = 150º  2 6 6

bb) cos x + cos(3 x ) = cos(2 x ) Solución.

cos x + cos(3 x ) = cos(2 x )  A+ B  A− B Utilizamos : cos A + cos B = 2 cos  cos   2   2  cos x + cos(3 x ) = cos(2 x ) 2 cos(2 x ) cos(− x ) = cos(2 x ).Casos :

3π π  cos(2 x ) = 0 ⇒ x = 4 = 45º ; x = 4 = 135º  cos(− x ) = 1 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = π = 60º ; x = 5π = 300º  2 2 3 3

cc) 2 cos 2 x + 4sen 2 x = 3 SOLUCIÓN: 2 cos 2 x + 4sen 2 x = 3

(

)

2 1 − sen 2 x + 4sen 2 x = 3 2sen 2 x = 1 1 sen 2 x = 2 senx = ±

2 3π 5π 7π π ⇒ x = = 45º ; x = = 135º ; x = = 225º ; x = = 315º 2 4 4 4 4

dd) sec x + 4 cos x = 5 Solución.

sec x + 4 cos x = 5 1 + 4 cos x = 5 cos x 4 cos 2 x − 5 cos x + 1 = 0 5 ± 25 − 16 5 ± 3 = .Casos : 8 8 cos x = 1 ⇒ x = 0  1 21π − 21π  cos x = 4 ⇒ x ≅ 50 = 75º31´21´´; x ≅ 50 = −75º31´21´´

cos x =