Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 2 – Segundo Trimestre Ecuaciones Igualdad Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x − 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 · (x + 1)

2x + 1 = 2x + 2

1≠2.

2x + 2 = 2x + 2

2=2

Cierta 2x + 2 = 2 · (x + 1)

Identidad Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. 2x + 2 = 2 · (x + 1)

2x + 2 = 2x + 2

2=2

Ecuación Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. x+1=2

x=1

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. 2x − 3 = 3x + 2

x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2 − 10 −3 = −15 + 2

−13 = −13 Tipos de ecuaciones según su grado

5x + 3 = 2x +1

Ecuación de primer grado.

5x + 3 = 2x 2 + x

Ecuación de segundo grado.

5x 3 + 3 = 2x +x 2

Ecuación de tercer grado.

5x 3 + 3 = 2x 4 +1

Ecuación de cuarto grado.

En nuestro curso desarrollaremos las ecuaciones de segundo grado. Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx + c = 0 con a ≠ 0. Resolución de ecuaciones de segundo grado Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

Ejemplo de aplicación

Si es a 0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

b 2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble.

b 2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales.

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

Construcción de la ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:

Siendo: S = x1 + x2 P = x1 · x2 Ejemplo: Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: 3 y −2. S=3−2=1 P = 3 · (−2) = −6

Escribimos la ecuación de 2° grado a partir de los datos obtenidos : x 2 − x − 6 = 0 Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:


mayor que

2x − 1 > 7

≥

mayor o igual que

2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón. Podemos expresar la solución de la inecuación mediante: 1. Una representación gráfica. 2. Un intervalo. 2x − 1 < 7 2x < 8

x 7

x≤4

2x > 8

x>4

(4, ∞) 2x − 1 ≥ 7 2x ≥ 8

x≥4

[4, ∞)

Función afín. Ecuación explícita de la recta

A la función polinómica de primer grado f x   ax  b , siendo a y b números reales, se la denomina función afín. Los coeficientes principal e independiente de la función reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente. Ecuación explícita de la recta: y  a x  b  ordenada al origen 

Pendiente La representación gráfica de una función afín es una recta. 

La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente y  y la variación de la variable independiente x  de cualquier punto de la misma. y  y1 y a 2  x2  x1 x



La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje y. f 0  b

El valor de la pendiente determina que una función afín sea creciente, constante o decreciente.

A las funciones afines que pasan por el origen de coordenadas 0;0 , se las denomina funciones lineales.

Representación gráfica de una función afín dada en forma explícita.

Para graficar una función afín se debe marcar la ordenada al origen b  y, a partir de ella, representar

el par de valores que forman la pendiente a  pensada como una fracción.

Perpendicularidad y paralelismo entre rectas.

Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales

M : y  a1x  b1  P : y  a2 x  b2  M // P  a1  a2

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas. S : y  a1 x  b1  N : y  a2 x  b2  S  N  a1  

1 a2

Ejemplos: a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2;1 y es paralela a y  5x  1 . x2 a5   y 1 y  ax  b  1  5  2  b  1  10  b  b  9 y  5x  9

b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto  1;3 y es perpendicular a y  2 x  4 . 1 x  1   y3 a 2 y  ax  b  3  y

1 1 7   1  b  3    b  b  2 2 2

1 7 x 2 2

Ecuación segmentaria de la recta Toda ecuación de la forma

x y   1 representa una recta en m n

forma segmentaria. Los denominadores m y n representan a la abscisa y a la ordenada el origen, respectivamente.

Dada la recta y  3x  2 , para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria se produce de la siguiente manera: y  3x  2  3x  y  2

3x  y 2 3x y x y    1  1 2 2 2 2 2 2 3

Para representar gráficamente una función afín en forma segmentaria se determinan sobre los ejes las intersecciones con la recta y luego se traza la misma.

Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma

Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente a  y un punto perteneciente a la

misma x1; y1  .

y  y1  ax  x1  La ecuación explicita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto 1;3 es:

y  3  2x  1  y  3  2 x  2  y  2 x  2  3  y  2 x  1

Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma

Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ella x1; y1  y

x2 ; y2 

y  y1 

y2  y1 x  x1  x2  x1

La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos 2;1 y 5;3 es:

     2; 1  y  5 ; 3  x y     1 1   x2 y2  y 1  y

3 1  x  2  y  1  2  x  2  y  1  2 x  4  52 3 3 3

2 4 2 1 x  1  y  x  3 3 3 3