Distribución “t” y tamaño de la muestra

Parámetros poblacionales

μ Media Poblacional

π Proporción Poblacional

Parámetros poblacionales Estimación Puntual

μ

Media Muestral

X̄ i

Media Poblacional

¿Como se distribuye la “media muestral” y la “proporción muestral”?

π

Estimación Puntual

Proporción Poblacional

pi Proporción muestral

Parámetros poblacionales 1er Pregunta Estimación Puntual

μ

Media Muestral

¿Conozco

X̄ i

¿La distribución original de la variables (Xi)?

ó NO Conozco?

Media Poblacional

En el caso de la proporción muestral siempre necesitamos del Teorema Central del Límite para que se distribuya normalmente.

π

Estimación Puntual

Proporción Poblacional

pi

TCL

Proporción muestral

pi ~

̂ N( μ=Π

̂ ; σ=

√

[ Π.(1−Π)] ) n

Uso Z para el cáclulo de probabilidades!

Parámetros poblacionales

Estimación Puntual

μ

X̄ i

Media Media Poblacional Muestral

̂ NO Conozco TCL (σ) μ̂̄x =μ ; σ̂ x = ~ N( ) ̄ X ̄ i la distribución √n original de Xi i

Uso Z para el cáclulo de probabilidades!

Parámetros poblacionales

2da Pregunta 1er Pregunta Estimación Puntual

μ

X̄ i

Media Media Poblacional Muestral

Conozco la distribución original de Xi X i~ N( μ ; σ )

¿Conozco

¿el desvío poblacional? ó ̂ (σ) σ̂̄x = NO Conozco? √n

Parámetros poblacionales

2da Pregunta 1er Pregunta Estimación Puntual

μ

X̄ i

Media Media Poblacional Muestral

Conozco la distribución original de Xi X i~ N( μ ; σ )

Conozco el desvío ̂ (σ) poblacional σ̂̄x = √n

̂ (σ) ) X̄ i ~ N( μ̂̄x =μ ; σ̂̄x = √n i

Uso Z para el cáclulo de probabilidades!

Parámetros poblacionales 2da Pregunta

1er Pregunta Estimación Puntual

μ

X̄ i

Media Media Poblacional Muestral

Conozco la distribución original de Xi X i~ N( μ ; σ )

NO Conozco el desvío poblacional σ=?

σ

Estimación Puntual

S

(Ŝ ) X̄ i ~ N( μ̂x̄ =μ ; σ̂̄x = √ n ) i

Uso t para el cáclulo de probabilidades!

Parámetros poblacionales 2da Pregunta

1er Pregunta Estimación Puntual

μ

X̄ i

Media Media Poblacional Muestral

Conozco la distribución original de Xi X i~ N( μ ; σ )

NO Conozco el desvío poblacional σ=?

σ

Estimación Puntual

S

(Ŝ ) X̄ i ~ N( μ̂x̄ =μ ; σ̂̄x = √ n ) i

Al mismo tiempo que estoy infiriendo sobre la media poblacional hago una estimación sobre el desvío poblacional. Dos estimaciones a la vez. Pierdo un grado de libertad

Uso t para el cáclulo de probabilidades!

Parámetros poblacionales 1er Pregunta Distribución de Xi

μ

Estimación Puntual

Conozco

Media NO Conozco Muestral

NO Conozco

π

i

Uso t para el cáclulo de probabilidades!

TCL

̂ (σ) ) X̄ i ~ N( μ̂x̄ =μ ; σ̂̄x = √n i

Uso Z para el cáclulo de probabilidades!

Estimación Puntual

Proporción Poblacional

̂ (σ) ) Conozco X̄ i ~ N( μ̂̄x =μ ; σ̂̄x = √n (Ŝ ) X̄ i ~ N( μ̂x̄ =μ ; σ̂̄x = √ n ) i

X̄ i

Media Poblacional

Uso Z para el cáclulo d probabilidades!

2da Pregunta Desvío Pob

pi

TCL

Proporción muestral

pi ~

̂ N( μ=Π

̂ ; σ=

√

[ Π.(1−Π)] ) n

Uso Z para el cáclulo de probabilidades!

U5 y 6 – Ej 1: En un famoso Hotel Barilochense se esta evaluando la posibilidad de ofrecer un servicio de Treking guiado por los refugios más importantes de los alrededores. Sin embargo se desea saber si los huéspedes estarían dispuestos a pagar un monto lo suficientemente alto como para cubrir los costos de un guía y los seguros que la actividad implica. El gerente desea estimar con un 90% de confiabilidad entre que valores se encuentra el verdadero valor promedio que desean pagar los huéspedes de su hotel. Para ello tomo una muestra de 40 huéspedes: Media Desv Est

99,70 15,67

U5 y 6 – Ej 1: Primero nos dice:

Confeccione un intervalo de confianza de la media poblacional del 90% suponiendo un desvío estándar de 20 y sabiendo que la variable “Cantidad de dinero que cada huésped está dispuesto a pagar” se distribuye normalmente.

U5 y 6 – Ej 1: Primero nos dice:

Confeccione un intervalo de confianza de la media poblacional del 90% suponiendo un desvío estándar de 20 y sabiendo que la variable “Cantidad de dinero que cada huésped está dispuesto a pagar” se distribuye normalmente. 1er Pregunta Distribución de Xi

μ

Estimación Puntual

Media Poblacional

X̄ i Media Muestral

Conozco

2da Pregunta Desvío Pob Conozco

̂ (σ) ) X̄ i ~ N( μ̂̄x =μ ; σ̂̄x = √n i

Uso Z para el cáclulo de probabilidades!

U5 y 6 – Ej 1: Primero nos dice:

Media Desv Est n

99,70 15,67

40

Confeccione un intervalo de confianza de la media poblacional del 90% suponiendo un desvío estándar de 20 y sabiendo que la variable “Cantidad de dinero que cada huésped está dispuesto a pagar” se distribuye normalmente.

20 ̂ X̄ i ~ N( μ̂̄x =μ ; σ ̄x = √ 40 ) i

X̄ i ~ N( μ̂x̄ =μ ; σ̂̄x =3,16 ) i

μ̂̄x ; σ̂ ̄x =3,16)=0,9 P( x̄i < x ̄ / 0,05 Límite inferior

μ⩾ ̂ ̄x −Z 0,95 . σ̂̄x =99,70−1,645. 3,16=94,5 Límite Superior

μ⩽ ̂ ̄x + Z 0,95 . σ̂̄x =99,70+1,645 . 3,16=104,9

U5 y 6 – Ej 1: Primero nos dice:

Confeccione un intervalo de confianza de la media poblacional del 90% suponiendo un desvío estándar de 20 y sabiendo que la variable “Cantidad de dinero que cada huésped está dispuesto a pagar” se distribuye normalmente.

Con un 90% de Confianza el verdadero valor promedio que los huespedes están dispuestos a pagar por el servicio de treking está contenido en el intervalo (94,5; 104,9)

U5 y 6 – Ej 1: Después nos dice:

A lo largo de este ejercicio supusimos un desvío estándar de 20. Pero en la práctica si no se conoce la media poblacional mucho menos se conocerá el desvío respecto a esa media. Estime nuevamente un intervalo del 90% de confianza para la media poblacional pero ahora sin conocer el desvío estándar de la población.

U5 y 6 – Ej 1: Después nos dice:

Media Desv Est (S) n

99,70 15,67

40

A lo largo de este ejercicio supusimos un desvío estándar de 20. Pero en la práctica si no se conoce la media poblacional mucho menos se conocerá el desvío respecto a esa media. Estime nuevamente un intervalo del 90% de confianza para la media poblacional pero ahora sin conocer el desvío estándar de la población. 1er Pregunta Distribución de Xi

μ

Estimación Puntual

Media Poblacional

Conozco

X̄ i Media NO Conozco Muestral

2da Pregunta Desvío Pob

(Ŝ ) X̄ i ~ N( μ̂x̄ =μ ; σ̂̄x = √ n ) i

Uso t para el cáclulo de probabilidades!

U5 y 6 – Ej 1: Después nos dice:

Media Desv Est (S) n

99,70 15,67

40

A lo largo de este ejercicio supusimos un desvío estándar de 20. Pero en la práctica si no se conoce la media poblacional mucho menos se conocerá el desvío respecto a esa media. Estime nuevamente un intervalo del 90% de confianza para la media poblacional pero ahora sin conocer el desvío estándar de la población. 1er Pregunta Distribución de Xi

μ

Estimación Puntual

Media Poblacional

Conozco

X̄ i Media NO Conozco Muestral

2da Pregunta Desvío Pob

(Ŝ ) X̄ i ~ N( μ̂x̄ =μ ; σ̂̄x = √ n ) i

Uso t para el cáclulo de probabilidades!

U5 y 6 – Ej 1: Después nos dice:

Media Desv Est n

99,70 15,67

40

A lo largo de este ejercicio supusimos un desvío estándar de 20. Pero en la práctica si no se conoce la media poblacional mucho menos se conocerá el desvío respecto a esa media. Estime nuevamente un intervalo del 90% de confianza para la media poblacional pero ahora sin conocer el desvío estándar de la población 15,67 μ̂x̄ =μ ; σ̂ x =2,48 ) ̂ ~ N( μ ̂ =μ σ = ̄ x ~ N( ; ) X x ̄ ̄ ̄ i X̄ i 40 √ i

i

μ̂̄x ; σ̂ ̄x =2,48)=0,9 P( x̄i < x ̄ / 0,05 Límite inferior

μ⩾ ̂ ̄x −t 0,95 . σ̂̄x Límite Superior

μ⩽ ̂ ̄x +t 0,95 . σ̂̄x

Para intervalos de confianza siempre prueba a dos colas

U5 y 6 – Ej 1: Después nos dice:

Media Desv Est n

99,70 15,67

40

A lo largo de este ejercicio supusimos un desvío estándar de 20. Pero en la práctica si no se conoce la media poblacional mucho menos se conocerá el desvío respecto a esa media. Estime nuevamente un intervalo del 90% de confianza para la media poblacional pero ahora sin conocer el desvío estándar de la población 15,67 μ̂x̄ =μ ; σ̂ x =2,48 ) ̂ ~ N( μ ̂ =μ σ = ̄ x ~ N( ; ) X x ̄ ̄ ̄ i X̄ i 40 √ i

i

μ̂̄x ; σ̂ ̄x =2,48)=0,9 P( x̄i < x ̄ / 0,05 Límite inferior

μ⩾ ̂ ̄x −t 0,95 . σ̂̄x =99,70−1,684 . 2,48=95,52 Límite Superior

μ⩽ ̂ ̄x +t 0,95 . σ̂̄x =99,70−1,684 . 2,48=103,88

U5 y 6 – Ej 1: Después nos dice:

Media Desv Est n

99,70 15,67

40

A lo largo de este ejercicio supusimos un desvío estándar de 20. Pero en la práctica si no se conoce la media poblacional mucho menos se conocerá el desvío respecto a esa media. Estime nuevamente un intervalo del 90% de confianza para la media poblacional pero ahora sin conocer el desvío estándar de la población

Con un 90% de Confianza el verdadero valor promedio que los huespedes están dispuestos a pagar por el servicio de treking está contenido en el intervalo (95,52; 103,88)

U5 y 6 – Ej 1:

Media Desv Est n

99,70 15,67

40

Sin embargo el gerente no está satisfecho con ésto. Le gustaría tener mayor precisión en su estimación de modo que su intervalo se aleje del verdadero valor del parámetro en 2 $ como máximo.

¿Que le aconsejaría al gerente?

U5 y 6 – Ej 1:

Media Desv Est n

99,70 15,67

40

Sin embargo el gerente no está satisfecho con ésto. Le gustaría tener mayor precisión en su estimación de modo que su intervalo se aleje del verdadero valor del parámetro en 2 $ como máximo.

¿Que le aconsejaría al gerente? Que tome una nueva muestra calculando previamente el n

U5 y 6 – Ej 1:

Media Desv Est n

99,70 15,67

40

Sin embargo el gerente no está satisfecho con ésto. Le gustaría tener mayor precisión en su estimación de modo que su intervalo se aleje del verdadero valor del parámetro en 2 $ como máximo. El gerente quiere:

Confianza= 90% Precisión = 2 $ = ( ̄x −μ) ¿Que tamaño tendrá que tener la muestra para cumplir con los requisitos del gerente?

U5 y 6 – Ej 1:

Media Desv Est n

99,70 15,67

40

Sin embargo el gerente no está satisfecho con ésto. Le gustaría tener mayor precisión en su estimación de modo que su intervalo se aleje del verdadero valor del parámetro en 2 $ como máximo. El gerente quiere:

Confianza= 90% Precisión = 2 $ = ( ̄x −μ) ¿Que tamaño tendrá que tener la muestra para cumplir con los requisitos del gerente? Usamos la estandarización z o t pero ahora “n” es nuestra incógnita Con Z

̄ −μ) (X Z 0,95= σ √(n)

(σ . Z 0,95 ) 2 n=[ ] ( ̄x −μ)

2

(20.1,645) n=[ ] (2)

Media Desv Est n

U5 y 6 – Ej 1:

99,70 15,67

40

Sin embargo el gerente no está satisfecho con ésto. Le gustaría tener mayor precisión en su estimación de modo que su intervalo se aleje del verdadero valor del parámetro en 2 $ como máximo. El gerente quiere:

Confianza= 90% Precisión = 2 $ = ( ̄x −μ) ¿Que tamaño tendrá que tener la muestra para cumplir con los requisitos del gerente? Usamos la estandarización z o t pero ahora “n” es nuestra incógnita Con Z

̄ −μ) (X Z 0,95= σ √ (n)

2

(σ . Z 0,95) n=[ ] ( ̄x −μ)

~

n=270,6=271

Para asegurarse una confianza del 90% y una presición de hasta 2$ deberá tomar una muestra de 271 datos

U5 y 6 – Ej 1:

Media Desv Est n

99,70 15,67

40

Sin embargo el gerente no está satisfecho con ésto. Le gustaría tener mayor precisión en su estimación de modo que su intervalo se aleje del verdadero valor del parámetro en 2 $ como máximo. El gerente quiere:

Confianza= 90% Precisión = 2 $ = ( ̄x −μ) ¿Que tamaño tendrá que tener la muestra para cumplir con los requisitos del gerente? Usamos la estandarización z o t pero ahora “n” es nuestra incógnita Con t

̄ −μ) (X t (0,95 y 39gl )= S √(n)

2

S.t 0,95 n=[ ] ( ̄x −μ)

(15,67.1 ,684) n=[ ] (2)

2

U5 y 6 – Ej 1:

Media Desv Est n

99,70 15,67

40

Sin embargo el gerente no está satisfecho con ésto. Le gustaría tener mayor precisión en su estimación de modo que su intervalo se aleje del verdadero valor del parámetro en 2 $ como máximo. El gerente quiere:

Confianza= 90% Precisión = 2 $ = ( ̄x −μ) ¿Que tamaño tendrá que tener la muestra para cumplir con los requisitos del gerente? Usamos la estandarización z o t pero ahora “n” es nuestra incógnita Con t

̄ −μ) (X t (0,95 y 39gl )= S √(n)

2

S.t 0,95 n=[ ] ( ̄x −μ)

~

n=174,08=175

Para asegurarse una confianza del 90% y una presición de hasta 2$ deberá tomar una muestra de 175 datos.