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TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: DETERMINANTES ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. – AÑO: 2010

1) Hallar los determinantes de las siguientes matrices de orden 2:

1 0  1 / 2 ; B= A=  9 − 3 1

− 3 / 4 − 5 2 1 ; C= ; D=   7/2  − 6 15  0

0 1

2) Hallar los determinantes de las siguientes matrices de orden 3, mediante la regla de Sarrus:

  0 10 0  − 2 3 0 3 1 0 7  6 2        A = 2 1 2 ; B = − 3 1 5  ; C = − 2 − 1 − 3 ; D = − 1 − 1 7  1  3 − 1 1  0 4 − 1 − 2  − 4 6  1 2  2  3) Hallar los determinantes del ejercicio anterior mediante desarrollo de cofactores por: a) la primer fila. b) la primer columna. c) la tercer columna.

4) Hallar los determinantes de las siguientes matrices de orden 4 por desarrollo de cofactores por una fila o columna a elección:

 8  0 A= − 1  − 2

1 2 4 3 5 −2  2 1    1 1 0 1 10 1 1 1   ; B= ; C= − 8 − 12 − 20 8 2 0 3 0     1 1 2 1 3  − 9 1 3

7 2 − 3 0 1 1  1 1 0  1 1 6 

5) Recordando que “el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal”, hallar los determinantes de las siguientes matrices:

 5  0 A= − 3  − 8

1 1 0 0 0  0 1 − 1 0 2   4 0 0    ; B = 0 1 2 ; C = 0 0   0 7 0    0 0 18   0 0 1 9 − 1 0 0

2 −1 4  1 1 4  1 − 3 4  2 0 − 1    2 0 1  ; D = 4 − 2 − 2 ; E = 5 4 8   3 0 1  2 3 − 1 0 2 0 0 0 3 

6) Si el determinante de una matriz A de orden 4 es 5, calcular cuánto vale el determinante si: a) b) c) d) e)

Intercambio la fila 2 con la fila 4. Intercambio la fila 1 con la fila 3 y la columna 3 con la columna 4. Multiplico a la columna 2 por el número -2. La tercer fila está formada por ceros. Multiplico la primer fila por 5 y la sumo a la cuarta fila.

f) ¿Cuánto vale A −1 ? g) ¿Cuánto vale AT ?

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7) Los determinantes de las siguientes matrices son todos nulos. Explicar en cada caso por qué:

5  5 9 0 1 1 1  3 0 0  2 1 4  − 1 4 8 3 0  ; 2 6 2 ; 4 0 0 ; 5 9 10  ; − 9 1  ; 20 2  ; 0 18 10 1 9              0 3 0 5 4 5  5 5 2  3 − 2 6  3 − 12 − 15

8) Usando determinantes, hallar las inversas de las siguientes matrices: Recordar que si A es una matriz inversible entonces A

1 M = 2 0

0 1 3

− 1 1  ; − 1

2 N = 1 1

−1

=

1 T ⋅ ( Adj ( A) ) A

0 3 0  3 − 1 5

Respuestas: 1) a) – 3 b) 5/2 c) 0 d) 1. 2) a) – 32 b) – 21/2 c) – 46 d) 0. 4) a) 41 b) 0 c) 50 5) a) – 140 b) – 18 c) 12 d) 52 e) – 63. 6) a) – 5 b) 5 c) – 10 d) 0 e) 5 f) 1/5 g) 5 7) La primer matriz tiene una columna nula. La segunda matriz tiene dos columnas iguales. La tercer matriz es triangular y en la diagonal principal tiene un cero. O bien la segunda columna es CL (combinación lineal) de la tercer columna (o al revés). La cuarta matriz tiene la tercer columna que es CL de la primer columna. La quinta matriz tiene la tercer fila que es CL de la primer fila. La sexta matriz tiene la primer fila que es CL de la segunda fila. La última matriz tiene la primer fila nula.

8) det( M ) = −10 . La inversa es M

det( N ) = −1 . La inversa es N

−1

−1

4 1  = − 2 10 − 6

3 1 3

3 − 5 0  = − 1 2 0  0 1 − 1

−1  3  = − 1

3 / 10 2 / 5 − 1 / 5 1 / 10  − 3 / 5 3 / 10

− 1 / 10  3 / 10  − 1 / 10

0  − 2

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