El trabajo matemático : un tema crucial Hacia el modelo de los ETM Trabajo matemático completo y coherente Perspectivas
Desarrollar un trabajo matemático completo y coherente según el modelo de los Espacios de Trabajo Matemático Alain Kuzniak Laboratoire de Didactique André Revuz Université Paris Diderot France
Alain Kuzniak
Trabajo Matemático y Espacio de Trabajo Matemático
El trabajo matemático : un tema crucial Hacia el modelo de los ETM Trabajo matemático completo y coherente Perspectivas
El trabajo matemático como tema crucial en didáctica de las matemáticas Hacia el modelo de los Espacios de Trabajo Matemático : el modelo de los ETM y su diagrama Trabajo matemático completo y coherente Una tarea en probabilidad ¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas Perspectivas
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Desarrollo de la enseñanza de las matemáticas e investigación en didáctica de las matemáticas En un contexto específico y en movimiento 1. Una tensión entre un enfoque utilitario dominante y una visión idealista 2. Utilizar nuevas herramientas tecnológicas que cambien los métodos de descubrimiento y de prueba 3. Hacia una nueva “alfabetización matemática” revisitando las relaciones con la Verdad y la Prueba entre los ciudadanos
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Origen y finalidad de nuestros investigaciones
Elaborar un marco teórico 1. Para estudiar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la escolaridad obligatoria y también en la formación de los profesores inicialmente en geometría. 2. Permitir comparar la enseñanza de las matemáticas en diferentes instituciones o países. 3. Centrado en el “trabajo matemático” visto como central.
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El trabajo matemático visto como un tema crucial de estudio Qué son las matemáticas ? Ideas de Freudenthal What is mathematics ? Of course you know that mathematics is an activity because you are active mathematicians. It is an activity of solving problems, of looking for problems, but it is also an activity of organizing a subject matter. ESM 3 - 1971
La concepción recusiva de Thurston Las matemáticas incluyen los números enteros y la geometría de las figuras y de los sólidos Las matemáticas son lo que los matemáticos estudian Los matemáticos son esos ser humanos que profundizan el entendimiento humano de las matemáticas. Alain Kuzniak
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Trabajo, actividad y enseñanza de las matemáticas Trabajo y actividad : Habermas 1968 I
Por trabajo o actividad racional relacionada con un fin, oigo o una actividad instrumental, o una elección racional, o bien una combinación de ambos. Esto incluye modos de acción basados en la elección racional de medios eficientes, es decir, formas de acción instrumental y estratégica
I
Habermas distinguía entre dos modos de acción, el trabajo y la interacción, que corresponden a intereses duraderos de la especie humana. La segunda se refiere a formas de acción comunicativa en las que los actores coordinan sus comportamientos sobre la base de normas consensuales. Alain Kuzniak
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Actividad matemática y enseñanza de matemáticas Freudenthal ESM 3 1971 Una gran parte de la actividad matemática es la organización. Nos gusta ofrecer los resultados de nuestra actividad matemática en una forma bien organizada donde ningún rasgo traiciona la actividad por la que fueron creados. Esta objetivación es un hábito de los matemáticos desde los tiempos más antiguos. Es una buena costumbre, y es una mala. El resultado de nuestra actividad en un sistema rígido, porque esto es objetivo, porque es racional, y porque es hermoso, y esto que enseñamos.
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Contextos and fases del trabajo matemático Work context : Reichenbach 1. En un contexto de descubrimiento : intuición, experimentación.. 2. En un contexto de justificación : probar, demostrar 3. En un contexto de comunicación : comprender, explicar, presentar...
Fases del trabajo : Giaquinto 1. Hacer el descubrimiento 2. Presentar los resultados 3. Familiarizarse con los resultados Alain Kuzniak
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Espacio de Trabajo Matemático Un espacio de trabajo matemático (ETM) es un espacio organizado para favorecer el funcionamiento del trabajo matemático (en un contexto educativo). Basado sobre la articulación de dos niveles fundamentales : I
Un nivel epistemologico relativo a la organización matematica y a la manera de pensar la tarea
I
Un nivel cognitivo relativo a la actividad de un individuo y a su manera de hacer la actividad
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El nivel epistemologico En el caso de la geometría I
Un conjunto de signos, objetos concretos y tangibles ;
I
un conjunto de artefactos como herramientas de dibujo o software ;
I
un sistema teórico de referencia basado en definiciones y propiedades.
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El nivel cognitivo I
Un proceso de visualización relativo a la representación del espacio y al soporte material ;
I
un proceso de construcción que depende de los instrumentos utilizados y consfiguraciones geométricas en juego ;
I
un proceso discursivo que produce argumentaciones y pruebas.
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Como organizar cada level ? Como articular los dos niveles ?
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Varias geneses Ambos niveles, cognitivo y epistemológico, tienen que ser articulados con el fin de garantizar un trabajo geométrico. Este proceso supone algunas transformaciones que es posible identificar a través de tres fundamental génesis relacionados con nuestro diagrama : Una génesis instrumental que hace funcional les artefactos en el proceso constructivo que contribuye al trabajo matemático ; I Una génesis semiótica basada particularmente en los registros de representación semiótica, que proporciona un sentido a los objetos del ETM y les confiere su estatus de objetos matemáticos operatorios ; I Una génesis discursiva de la prueba que utiliza las propiedades en el referencial teórico para ponerlas al servicio del razonamiento matemático y de una validación no exclusivamente icónica, gráfica o instrumentada. I
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Una visión general sobre el Espacio de Trabajo Geométrico
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Del Espacio de Trabajo Geométrico al Espacio de Trabajo Matemático
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Explorar y desarrollar el trabajo matemático Circulación entre los planos verticales del modelo [Sem-Dis], [Ins-Dis], [Sem-Ins.
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Una tarea en probabilidad ¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas
Trabajo matemático completo El trabajo matemático es completo cuando existen : 1. Una relación genuina entre los planos epistemológico y cognitivo. Este aspecto significa que los estudiantes son capaces de seleccionar las herramientas útiles para hacer frente a un problema y luego utilizarlos adecuadamente como instrumentos para resolver la tarea dada.
2. Una articulación de una rica diversidad entre los diferentes genesis y planos verticales del modelo. Este aspecto significa que se tienen en cuenta varias dimensiones del trabajo relacionadas con herramientas, técnicas y propiedades. Este punto refleja cómo los diferentes contextos de trabajo están involucrados durante la actividad de Alain Kuzniak Trabajo Matemático y Espacio de Trabajo Matemático los estudiantes.
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Una tarea en probabilidad ¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas
Una tarea en probabilidad
La longitud de un segmento En un segmento S, se toman dos puntos A y B al azar. Se considera el evento : La longitud del segmento [AB] es estrictamente superior a la mitad del segmento S. ¿Cuál es la probabilidad de este evento ? (French Curriculum Grade 9, 2008, p.7)
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Una tarea en probabilidad ¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas
Análisis a priori en dos etapas 1. Análisis del trabajo matemático con sus diferentes dimensiones y génesis I
Estudio de la circulación del trabajo validación dentro los planes verticales [Sem-Ins], [Sem-Dis] y [Ins-Dis] del ETMProba ;
I
Dimensión (semiótica, instrumental, discursiva) privilegiada ;
I
Cambio de dominio implicado en la tarea :
I
Rol respectivo de los profesores y estudiantes en la perspectiva del trabajo matemático
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Análisis a priori en dos etapas 2. Análisis de la coherencia matemática y de la validez en probabilidad del razonamiento I
La experiencia al azar
I
El modelo real con sus hipotesis
I
Los diferentes tipos de modelos probabilísticos (analíticos o numéricos)
I
Los tratamientos dans le modelos
I
El uso de un lenguaje específico
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Análisis matemático de la implementación sugerido en el Curriculum Fase 1. Exploración y descubrimiento del valor de la probabilidad del evento D. I
Esta fase se divide en tres etapas. Comienza con la construcción de un modelo numérico que luego se implementa en una computadora para calcular la frecuencia de ocurrencias de D. La probabilidad de D es estimada usando la ley de grandes números. El resultado estimado es 0.25.
I
El trabajo matemático esperado es guiado por la génesis instrumental con el uso de la hoja de cálculo, comenzando en el plano [Sem-Ins] y terminando en el plano [Ins-Dis] Alain Kuzniak
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Fase 2. Validación teórica de la probabilidad estimada I
La validación se basa en una figura geométrica (un cuadrado) que da el valor exacto 1/4
I
Estudio algebraico de la expresión |x-y|>1/2 que da la area El trabajo matemático se encuentra principalmente en el plano [Sem-Dis] para asegurar esta validación teórica basada en el cuadrado geométrico como una herramienta semiótica y en técnicas algebraicas.
I
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Un trabajo completo, pero ¿estan las tareas propuestas ajustadas a los alumnos ? Podemos concluir que el trabajo es posible y potencialmente completo a lo largo de la sesión.
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Una tarea en probabilidad ¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas
Del ETM idonéo potencial al ETM idonéo real I
La cuestión es saber si el trabajo previsto no es demasiado difícil para alumnos de Grado 9.
I
De hecho, la situación necesita numerosos cambios de dominios (probabilidad, geometría, álgebra)
I
Uso de varios modelos, generalmente desconocidos en este nivel escolar
I
Uso de herramientas tecnológicas complejas como hojas de cálculo o técnicas algebraicas no convencionales.
La factibilidad de la situación en una clase regular es realmente problemática y nos preguntamos cómo un maestro puede manejarlo en las aulas de 9º grado. Alain Kuzniak
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L’actividad en una clase de Grado 9 Fase 1. Exploración de la experiencia aleatoria real En esta primera fase, los veinte alumnos de la clase han hecho un segmento S, con herramientas, de una longitud de 6 cm.
Fase 2. Transformation of the random experiment and construction of an experimental solution El profesor propone a los alumnos de asimilar la selección aleatoria de dos puntos en un segmento a una tirada de dos dados. En esta fase, se trata de realizar la simulación del experimento aleatorio inicial.
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Fase 3. Validación teórica del valor estimado de la probabilidad I
El profesor dio a los estudiantes una tabla (6 x 6) a completar.
I
Los estudiantes rodearon los 12 casos favorables y calcularon la probabilidad de D usando la fórmula de Laplace.
I
De acuerdo con sus cálculos, el maestro concluyó que la probabilidad de que el evento D sea igual a 1/3 es relativamente cercano al valor estimado.
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Una tarea en probabilidad ¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas
Semejanza de triangulo en el aula Grade 10 [ = EDF [ and Construir un triangulo de tal manera que BAC [ = DEF [ ABC
I I I
[ y DFE [ Que podemos decir sobre ACB Con la regla, comparar los lados de los triangulos ; Que pueden observar ? Completar el texto : Podemons hacer la conjectura que si Alain Kuzniak Trabajo Matemático y Espacio de Trabajo dos triangulos tienen ... entonces sus lados son ... Matemático
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Semejanza de triangulo en el aula Grade 10
I
[ y DFE [ Que podemos decir sobre ACB
I
Con la regla, comparar los lados de los triangulos ; Que pueden observar ?
I
Completar el texto : Podemons hacer la conjectura que si dos triangulos tienen ... entonces sus lados son ...
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Semejanza de triangulo en el aula Con un software [ = EDF [ and Construir un triangulo de tal manera que BAC [ = DEF [ ABC
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El malentendido global o Cuando la mostración es la demostración
I
Docente :
Hemos demonstrado la propiedad ?
I
Alumnos :
Si, lo hicimos una demostración
I
Docente :
No, es demasiado impreciso
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La ruptura entre dos enfoques de la geometría Para el docente I La construcción es simple y no va a causar problemas I Motivar a la entrada en Geometry II con un primer trabajo en Geometría I : para motivar la prueba formal I Un dibujo visto como una figura genérica
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Una ruptura con el ETG personal de los estudiantes Para ellos I Para construir con herramientas es complejo y necesita un largo tiempo I Debido a la diversidad de los resultados, una gran diversidad de propiedades son elaboradas por los alumnos I Una figura particular sin generalización supporte del trabajo
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Malentendido y contrato didáctico I I I I
El trabajo de construcción realizado por los estudiantes es ignorado por el profesor El sofware como fuente de la Verdad La conjetura como base del acuerdo entre todos. Prueba experimental y prueba basada sobre axiomas
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Circulación and planificación Circulación and planificación I
Sólo una tarea no permite describir y construir un ETM
I
La necesidad de articulación y de planificación
I
“Comics” como una herramienta de descripción
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Una tarea en probabilidad ¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas
Trabajo matemático : completud y coherencia 1. El trabajo matemático puede ser considerado completo pero al mismo tiempo es incorrecto al respecto al modelo anterior que no da el mismo resultado. Oposición discreta / continua. Resultados diferentes de un modelo a otro. 2. Cuando hablamos de un trabajo matemático completo. ¿A quién concierne ? El maestro, los alumnos, un alumno de nivel medio y global al que el profesor se dirige curso. 3. ¿Cuál es la referencia para la coherencia ?
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¿Como asegurar la coherencia ?
En busca de los paradigmas Con la noción de paradigmas, Kuhn ha ampliado la idea de una teoría para incluir a los miembros de una comunidad que comparten una teoría común. Un paradigma es lo que comparten los miembros de una comunidad científica, y una comunidad científica es compuesta de individuos que comparten un paradigma.
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Una tarea en probabilidad ¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas
La noción de paradigma según Kuhn Dos facetas de la noción de paradigma 1. La palabra paradigma, en su aspecto global, designa el conjunto de las creencias, técnicas y valores que comparte un grupo científico. Fija la manera correcta de plantear y de emprender la resolución de un problema. 2. En el segundo sentido, interesando en una perspectiva de enseñanza, Kuhn caracteriza los ejemplos significativos y comunes que se entregan a los estudiantes para que aprendan a reconocer, a aislar y a distinguir las diferentes entidades constitutivas del paradigma global.
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Las tres geometrías elementales
La Geometría I Geometría Natural La geometría sobre los objetos reales y confusión con la realidad La Geometría II G. axiomática natural La geometría como el esquema de la realidad La Geometría III G. axiomática formal Independencia de la geometría y de la realidad.
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Una tarea en probabilidad ¿Como asegurar la coherencia ? En busca de los paradigmas
Paradigmas en otros dominios matemáticos Algunas preguntas de investigación I
En un dominio matemático específico, identificar los paradigmas y / o subparadigmas.
I
Cómo extender la noción de paradigma en otros dominios como Probabilidad y Análisis : Parzysz (Probabilidad) y Montoya y Vivier (Análisis).
I
Extender el significado inicial de paradigmas incluyendo interacciones entre paradigmas
I
En un contexto educativo, identificar tareas y actividades relacionadas que faciliten la construcción del trabajo matemático. Alain Kuzniak
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Trabajo matemático completo y coherente dentro una institución El ETM de referencia, la reorganización esperada La vigilancia epistemologica relacionada con un paradigma particular
El ETM idonéo y la pregunta didactica When the general paradigm is accepted and the reference MWS is built, it remains to teach mathematics to students and for that it’s necessary to organize a suitable MWS to convey the kind of geometry expected by the educational institution. the Didactic vigilance which articulates epistemological and cognitive vigilances depending on the teacher. Relationships with students (individual or global). Alain Kuzniak
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Más allá de la identificación : construcción de un MWS El modelo de ETM y estudio de tareas, ETM4, 2014 I
El modelo de los ETM, concebido como la circulación de espacios entre polos en los planos epistemológico y cognitivo, debería ser una herramienta del análisis (a priori tanto como a posteriori). Una herramienta de interpretación y descripción de tareas.
I
El modelo debe permitir la implementación y la adaptación de las tareas ya construidas pero también debe favorecer la elaboración y “calibración” de nuevas situaciones, o de situaciones que aún deben ser experimentadas.
I
Finalmente, también puede apoyar la observación y dar tener en cuenta los experimentos ya realizados haciendo el examen más fácil, por ejemplo ayudando a la descripción del progreso de los alumnos en su trabajo Alain Kuzniak Trabajo Matemático y Espacio de Trabajo Matemático
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Una necesaria articulación con otros marcos teóricos I
Teniendo en cuenta el modelo MWSS como una estructura adaptativa para desarrollar las actividades matemáticas, debemos pensar en las tareas y actividades que dan sentido a los ETM.
I
Las tareas y las actividades son ciertamente indicativas del trabajo de los maestros y de los alumnos, pero también son necesarias para asegurar el desarrollo de un trabajo matemático de los alumnos bien construido.
I
El diálogo entre el marco ETM y otros marcos teóricos. De hecho, insistimos en que el marco MWS no pretende ser una teoría holística, sino que debe funcionar como una herramienta interactuando fuertemente con otros approximaciones. Alain Kuzniak
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Una breve bibliografía I
Special issue of ZDM-Mathematics Education on Mathematical Working Spaces : Number 48-6 - 2016.
I
Revista Latinoamericana de Investigación En Matemática Educativa, 17.4(I, II). 2014
I
Boletim de Educação Matemática – BOLEMA, 30 (54). 2016
I
Annales de didactique et de sciences cognitives. 2011
I
ETM symposium proceedings (Cyprus, 2009 ; Paris, 2010 ; Montréal ; 2012, Madrid ; 2014)
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Los symposiums Espacio de Trabajo Matemático : ETM
Bienvenido en Valparaíso, ETM6 Deciembre 2018 Responsables : Elizabeth Montoya (PUCV) y Laurent Vivier (Paris-Diderot)
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