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Computacidn y Sistemas Vol. 6 No. 4 pp. 284 292 0 2003, CIC IPN. ISSN 1405-5516 Impreso en Mexico

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Control Neuronal por Modelo de Referencia para un Sistema de Estructura Variable Model Reference Neural Control of a Variable Structure System M. Margarita Goire C.', J. Martin FloresA?, Moisbs Bonilla3, Ieroham S. Baruch3 'Facultad de Ingenieria EICctrica,Departamento de Informhtica 3ecretaria de Marina, Armada de Mbico 'Centre de Investigaci6n y Estudios Avanzados Departamento de Control Autombtico E-mails: [email protected],[email protected], [email protected], [email protected] Articulo recibido en Junio IS. 2000 aceptado en ~ b r i 10. l 2003

Resumen

1 Introduccidn

El objetivo de este trabajo es presentar una propuesta de control neuroml por modelo de referencia para un sistema que cambia su estructura interna de un sistema lineal de primer orden a un sistema lineal de segundo orden, aplicando para esta tarea una red neuroml recurrente. Se presentan dos esquemas de control neuronal por modelo de referencia para el sistema antes mencionado. Una de las caracterkticas de la red neuronal que se utiliza es la de tener restricciones en su; pesos, esto garantiza su estabilidad durante el enbenamiento. En el primer esquema se utiliza una red neuronal para la identificacidn del sistema de estructura variable; en el segundo esquema se usan dos redes neuronales con el propdsito de separar ia identificacidn de cada subsistema.

Dentro de 10s sistemas que pueden ser representados por medio de las realizaciones implicitas (E, A, B, C), se encuentran 10s sistemas de estructura variable. La variacion de estructura de estos sistemas puede ser clasificada como discreta (variaci6n entre dos o m h puntos) o continua (variaci6n continua y acotada), esto seg~in(Bonilla y Malabre, 1991). Un ejemplo tipico de variation discreta son 10s sistemas con variacion de orden, siendo Cste el caso de interes en el presente trabajo. La representation de 10s sistemas de estructura variable con realizaciones (E, A, B, C') permite sintetizar leyes de control a partir de la teoria de Sistemas Lineales Implicitos (Bonilla y Malabre, 1991; M. Bonilla y otros, 1993; 2000; Goire y otros, 2000 a y b).

Pslabras Clave: Redes Neuronales, Sistemas de Estructura

Variable, Control por Modelo de Referencia, Control Inteligente, Sistemas Implicitos.

Abstract The objective of this paper is to propose a reference model neural control of a system, which change its interml structure from a linear system of first order to a linear system of second order, applying for this task a recurrent neural network. Two schemes of reference model neural control, for the above mentioned system, are presented. One characteristic feature of the neural network used, is that a feedback weight restriction is applied, which preserved its stabiliiy during the learning. The first control scheme uses one neural network for identification of the variable structure system; the second control scheme uses two neural networks so to separate the identification of each subsystem. Keywords: Neural Networks, Variable Structure Systems, Model

Reference Control, Intelligent Control, Implicit Systems.

En este trabajo se presenta un enfoque neuronal para sintetizar la ley de control de un sistema de estructura variable usando una red neuronal dinimica en donde la tarea de control consiste en seguir un modelo de referencia. El esquema neuronal propuesto consta de dos etapas, una etapa de identificacibn y otra de control. En la Secci6n 2 se presentan algunos antecedentes de sistemas de estructura variable y de un esquema de control implicit0 para el mismo. En la Secci6n 3 se explica la estructura de la red neuronal recurrente utilizada, asi como su ley de ajuste de 10s pesos La Seccion 4 presenta dos esquemas de control por modelo de referencia para el sistema de estructura variable en estudio, con 10s resultados de simulaci6n obtenidos. Finalmente, en la Secci6n 5 damos las conclusiones del trabajo.

M. M. Goire C., J. M. Flores A,, M. Bonilla. I. S. Baruch : Controlno Lineal porModelo de Referenclapara un Sistema de ...

2 Sistemas de Estructura Variable Por medio de las realizaciones implicitas rectangulares (E, A, B, C) representadas por:

en donde las variables: x(t) E X, u(t) E U, y(t) E Y y las aplicaciones: E:X+X, A:X+X, B:U+X y CX+Y son operadores lineales de dimensiones apropiadas, en donde 10s subespacios son tales que: D i m { a 2 Dim{*, y es posible representar el comportamiento y controlar sistemas de estructura variable. En (Bonilla y Malabre, 1991) se mostr6 que gracias al grado de libertad existente por la diferencia en las dimensiones del espacio de estados: (Dim{XJl Dim{*), hace posible tomar en cuenta la variacibn de estructura en una forrna implicita. En (M. Bonilla y otros, 1994) se obtuvieron las condiciones geomdtricas con las cuales es posible disefiar una estrategia de control "robusto" en el sentido de que aun si la estructura intema esth sujeta a variaciones, la salida del sistema controlado tiene un comportamiento h i c o , (consultar: F. L. Lewis, 1992 y 1991 para mayores detalles sobre descripciones implicitas). Considere el sistema de estructura variable descrito mediante la realizaci6n o descripci6n implicita siguiente:

Con esta ley de control la description (2) es:

as[, el grado de libertad se hace no observable, es decir, la variaci6n de estructura ya no es visible a la salida del sistema. El comportamiento del sistema en lazo cerrado aplicando la ley de control mencionada, queda descrito por la siguiente ecuaci6n:

Con las dos restricciones algebraicas: Donde T, es la constante de tiempo del modelo de referencia. Independiente de si la restricci6n (3), o la restricci6n (4), es activada.

Si la restricci6n (3) estd activada, el sistema se comporta como un sistema de primer orden:

Si la restricci6n (4) estd activada, el sistema se cornporta como un sistema de seaundo orden:

Dado que la estrategia de control (7, 8) esth basada en acciones derivativas ideales, en (M. Bonilla y otros, 1993) se propone un controlador propio, que aproxima a1 no propio. Por ejemplo, con la siguiente aproximaci6n propia del controladoi(7) y (8), se pueden describir en la forma: (1 1> xT(q = [xT(t) ~ 4 1 u ( t )= ...

[ En (M. Bonilla y otros, 1993) se aplica la metodologia dada en (M. Bonilla y otros, 1994). para sintetizar un controlador lineal para tal descripci6n implicita, obtenidndose la ley de control siguiente:

(

I

)

( t i )-($;)I

.(t)+

...

M. M. Goire C., J. M. Flores A., M. Bonilla, I. S. Baruch : Controlno Llneal porModelo de Referencia para un Sisterna de

a4(t)+ r4(t)= [I 1 - lk($ DespuCs de algunas operaciones matematicas, se obtiene el siguiente sistema en lazo cerrado:

...

En (I. S. Baruch, J. M. Flores y otros, 2002), se propone una arquitectura de red neuronal recurrente entrenable (RNRE),se consideran algunas propiedades de esta red como controlabilidad, obsewabilidad y estabilidad del algoritmo Backpropagation de su aprendizaje, comprobado por un teorema y un lema, y se muestran 10s resultados de su aplicacion para la identificacibn y control de un motor CD en tiempo real. En el articulo de I. S. Baruch, J. M. Flores y otros, 2001, se utilizan 10s estados estimados por una red neuronal para generar una retroalimentacion que estabiliza el sistema. Esta red neuronal esta dividida en dos capas, en la primera, se tiene una capa de retroalimentaci6n (oculta), y la capa de salida esti formada por una suma ponderada. Las ecuaciones que describen a esta red neuronal son las siguientes:

Donde se han realizado 10s siguientes cambios de variables:

y@) = S O [ ~ z ( k ) i J = block-diag (JiJ; lJiil < 1 Donde: u(k) es la entrada a la red; x(k) es el vector de El comportamiento entrada - salida del sistema en lazo cerrado (14) tiende a (10) cuando & + 0 . La estabilidad del sistema en lazo cerrado se estudia en (M. Bonilla y otros, 1993). La estrategia de control desarrollada en (M. Bonilla y otros, 1993, 1994) usa la variable descriptora x(t). En (M. Goire y otros, 2000 a y b) se sintetiza un reconstructor de esta variable descriptora, utilizando un detector de estructura neuronal, que determina cual estructura interna e s d activada y en (Bonilla y otros, 2000) se utiliz6 un esquema de control adaptable. La idea central de este trabajo es dar otra altemativa de control de un sistema de estructura variable utilizando redes neuronales, de manera que la variaci6n de estructura no sea visible a la salida del sistema. Como la planta es continua y la red neuronal usada, es discreta, entonces las seaales que se usan como entradas a la red tienen que ser discretizados y la salida del controlador neuronal tiene que ser retenida.

3 Red Neuronal Recurrente

estados internos; y(k) es la salida de la red; z(k) es una variable auxiliar. Las variables y parametros que definen a la red tienen las siguientes dimensiones:

Considerando que es una red con m entradas, n nodos ocultos, p salidas. La matriz J es diagonal, o diagonal a bloques. Debido a esto, se dice que esta red esta descrita por un modelo can6nico de Jordan, con minimo numero de pesos ajustables, que permite un aprendizaje mas rapido y por esto - ejecutable en tiempo real. El vector $' con dimensi6n n esth formado por fbnciones de activaci6n del tip0 tangente hiperb6lico:

sih (i) = tanh(i) =

1- e"' I + e-*;

3.1 Estructura de la Red Las redes neuronales recurrentes han sido utilizadas en varios trabajos de identificacibn y control de sistemas (A. S. Pomyak, E. N Shnchez y otros, 2001; G. A. Rovithakis, M. A. Christodoulou, 2000; J. A. K. Suykens, L. Vandewalle y otros, 1996). En 10s anteriores, se ha utilizado un enfoque por medio de funciones de Lyapunov, esto hace que las redes converjan m b lentamente y no se estiman 10s estados del sistema identificado usados para el control.

En la teoria de las redes neuronales se destaca el papel de la funci6n de activaci6n no lineal en su poder de representaci6n. pero a1 utilizar una funci6n de la clase tangente hiperbblico en la capa de salida de la red obliga a que se considere la escala de las seiiales. Para evitar este problema, en la capa de la salida se selecciona una funci6n lineal: S o(i) = i (25)

M. M. Goire C., J. M. Flores A., M. Bonilla, I. S. Baruch : Controlno Lineal porModelo de Refemnclapara un Slstema de

3.2

...

Ley de Aprendizaje

La ley de aprendizaje (ajuste) de 10s parhetros de esta red se basa en la conocida regla delta, con valores iniciales equiprobables, escogidos arbitrariamente en un rango de nfimeros pequeiios, donde el peso para el instante siguiente se deriva, usando la recurrencia:

Si durante el ajuste de 10s pesos de la red se presentan oscilaciones, se puede agregar el tknnino de momento, que adiciona un porcentaje de su variacidn del peso en el instante anterior, es decir:

Donde 10s parlmetros q y cr pertenecen a1 interval0 cerrado [0,1]. El ajuste de 10s parkmetros de la red e s t h definidos por las siguientes ecuaciones, (Baruch y otros, 2002):

Donde e(k) es el error de la salida. Los indices anteriores dependen de la estructura de la red utilizada. Condici6n de Estabilidad para 10s Pesos J La condici6n de estabilidad para la red neuronal recurrente se da con la ecuaci6n (20). Para facilitar su implementaci6n se hace la suposicidn que J es una matriz diagonal. Para el caso discreto, la red neuronal serl estable durante su operaci6n, si 10s elementos de la matriz J cumplen que su magnitud es menor a 1, es decir: IJill-4,que corresponde a un circulo con centro en el origen y con radio unitario. Para incorporar la condici6n de estabilidad en las expresiones de actualizacidn de 10s pesos Jn se propone la siguiente modificaci6n a la regla delta:

Aqui la constante E es un ndmero pequeiio y positivo. De esta forma en la red neuronal se propone sustituir el peso Ji, por su valor saturado y asegurar asi que este peso satisface las condiciones de estabilidad. Asi, manteniendo 10s valores propios de la matriz J(J,,), que son polos de la red neuronal recurrente, en el rango estable se asegura la estabilidad de toda la red y su algoritmo de aprendizaje.

4 Control Neuronal por Modelo de Referencia El control de sistemas por modelo de referencia consiste en diseiiar un sistema que modifique el comportarniento natural de la planta con el objetivo que se aproxime a la respuesta que tiene un modelo de referencia establecido. En este esquema de control se supone que el disefiador tiene el suficiente conocimiento del sistema como para definir el comportamiento deseado por medio de un modelo. Uno de 10s primeros trabajos de la aplicaci6n de las redes neuronales para el control por modelo de referencia de sistemas puede consultarse en (K. S. Narendra, K. Parthasarathy, 1990). A continuaci6n se presentan un par de esquemas de control por modelo de referencia para sistemas de estructura variable en tiempo real, en donde la etapa de identificaci6n se realiza por medio de redes neuronales.

4.1

Esquema con Una Red

El esquema general del control por modelo de referencia para el sistema de estructura variable, (2-4), se muestra en la Figura 1 El esquema de control se divide en tres secciones: una de control, formada por un lazo de retroalimentacidn de la salida y una red neuronal recurrente; una etapa de identificacion, que utiliza otra red neuronal recurrente; y la tercer etapa fonnada por el modelo de referencia. El ultimo suaviza la senal de referencia y define el comportamiento del sistema en lazo cerrado, porque 10s pesos del controlador neuronal se ajustan con el error de control, que es e, = y,,,- y,

6)

J ii = sat[J,(k)) Donde la funci6n Sat (x) que se usa es:

Fig. 1: Esquema de control neuronal por modelo de referencia de un sistema de estructura variable.

M. M. Goire C., J. M. Flores A., M. Bonilla, I. S. Baruch : Controlno Lineal porModelo de Referenda para un Sistema de ...

Durante la operaci6n del sistema de estructura variable su comportamiento dinimico se altema entre 10s siguientes subsistemas:

Desde la representaci6n entrada-salida, el subsistema (3) (subsistema-1) tiene una dinhmica de segundo orden con polos en pI9={0,-1 ); dos ceros a1 infinito, zlB2=a El subsistema (33) (subsistema-2) tiene un par de polos en p,.z=-l y ceros en ~ ~ , ~ = a ,El- lpolo . y cero localizados en I se cancelan, en consecuencia, la d i n h i c a mostrada por este sistema, desde el punto de vista entrada salida, es de un sistema de primer orden. Con el fin de estabilizar el subsistema (33), se agreg6 el lazo de retroalimentaci6n de la salida. El lazo de retroalimentaci6n no altera la localizaci6n de 10s ceros de 10s subsistemas, per0 si la posici6n de sus polos, para estudiar el efecto de este lazo vea las Figuras 2 y 3. En la Figura 2 se observa que al ir aumentado la ganancia de la retroalimentaci6n negativa, 10s polos en lazo abierto en -1 y 0, se mueven sobre el eje real hasta converger en 0.5 y de alli la parte imaginaria se increments sim6tricamente alejibdose perpendicularmente del eje real. Para el segundo subsistema, al aumentar la ganancia del lazo de retroalimentaci6n, s610 uno de sus polos se altera, alejibdose por la izquierda sobre el eje real. Esto era de esperarse pues el otro polo queda fijo a1 cero finito en -1 que lo cancela.

ajustados utilizando el error formado por la diferencia entre la seiial de salida del sistema de estructura variable y la propia salida de la red:

.

Fig. 3: Efecto de la retroalimentacidn de la salida sobre el subsistema 2 (a),primer polo; X segundo polo). ei

=

Y p- Y n

(35)

El que sustituye a e (k) en las ecuaciones (28) y (31). El modelo de referencia que define la respuesta deseada es de primer orden, descrito por:

La red que genera la seiial de control recibe como entrada la salida del modelo de referencia, y,fi el ajuste de 10s pariimetros se determina por el nivel del error de control, e,, definido por la diferencia entre la sefial de referencia y la salida de la red de identificacih, yn: (37) ec = Yref Y , En la Tabla 1, se resumen 10s parametros para las redes neuronales usadas en las simulaciones.

-

Tabla 1: Parhmetros de simulacidn. VALOR

PARAMETROS Fig.2: Efecto de la retroalimentacidnde la salida sobre el subsistema 1(Q, primer polo; X segundo polo). De lo anterior se infiere que la retroalimentacidn de la salida, altera la posicidn de 10s polos no apareados conceros, y que 10s ceros no se ven alterados, pero de ellos depende la direcci6n en la cual 10s polos se mueven. Para 10s esquemas de control por modelo de referencia la ganancia del lazo de retroalimentaci6n que se seleccion6 es de -1.5. De las grhficas anteriores puede determinarse en donde se localizaran 10s polos de ambos subsistemas. Durante la simulaci6n valores menores de -1.5 en 10s esquemas neuronales, el desempefio en el seguimiento de la referencia se reducia. En el primer esquema de control neuronal se utiliza una RNRE como identificador. Los pesos de esta red son

N6mero de Nodos, n 15 0.0005 Ganancia de momento, a 1 0.0005 Ganancia de momento, q Periodo de Muestreo, Ts 1 0.01 Seg Durante la simulaci6n. el sistema de estructura variable, (2), conmuta entre 10s subsistemas (5) y (6) cada 100 segundos. La seiial de entrada es una onda cuadrada simktrica con un periodo de 200 segundos. El periodo de muestreo, dado en la Tabla 1, cumple con las condiciones de Shannon. En la Figura 4, se muestran las grdficas de la seflal de salida del sistema de estructura variable, de la seiial de salida del modelo de referencia o seiial objetivo y el error que se comete entre ambas sefiales. Estos resultados fueron obtenidos usando como entrada al modelo de referencia una sefial cuadrada. Se puede observar que el esquema de control es capaz de cumplir con el objetivo de hacer que el comportamiento del sistema de estructura

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variable siga al del modelo de referencia propuesto, aunque se presenta un breve sobre impulso que coincide con el momento de la conmutaci6n entre 10s subsistemas y el cambio de polaridad de la seiial de entrada. Analizando el error instantaneo, Figura. 4c, generado por el esquema propuesto, se puede ver con mayor claridad que durante la conmutaci6n entre 10s subsistemas el error aumenta, aunque su valor, posterior a este evento, se reduce rapidamente.

1

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650

700

750

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850

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Seg.

Fig.6: Control aplicado al sistema de estructura variable.

4.2

Fig.4: (a) Salida del sistema, (b) Salida del modelo de referencia, (c) Error entre la salida del sistema y el modelo de referencia. En la Figura 5, se presentan 10s componentes de la sefial de control. El componente del control generado por el lazo de retroalimentacion (linea continua); esta en oposici6n con el componente de control producido por la red neuronal. El control aplicado al sistema de estructura variable se forma de la suma del control generado por el lazo de retroalimentaci6n de la salida y de la salida de la RNRE, Figura 6. Como se observ6 en las grhficas anteriores, el esquema de control neuronal por modelo de referencia para el sistema de estructura variable tiene un buen desempefio fuera de 10s instantes de cambio de 10s subsistemas. Se presume que este efecto se debe al uso de una RNRE en la etapa de identificacion, que debe reajustar sus parametros. Si se supone que se tiene disponible la indicaci6n de cuando se realiza la conmutaci6n entre 10s subsistemas, se podria utilizar un esquema de identificaci6n multimodelo. En la siguiente seccion se presenta esta opci6n.

Esquema con Multimodelo

Se supone que se conoce de antemano el n ~ m e r ode subsistemas en 10s cuales se divide el sistema de estructura variable y cuando se lleva a cab0 la conmutaci6n entre ellos. Debido a lo anteriormente expresado, en este articulo se propone un esquema en donde la identificaci6n se realiza por medio de dos redes neuronales (ver Baruch y otros, 2000), conmutando entre ellas en correspondencia con el cambio de subsistema. En la Figura 7, se presenta el esquema que se utilizara para realizar la simulaci6n. El conmutador de sistema tiene la tarea de habilitar una de las RNRE de la etapa de identificacidn, con lo que tendra una red neuronal para identificar a cada uno de 10s subsistemas. Los parhetros de ambas redes son 10s mismos a 10s indicados en la Tabla 1. En la Figura 8a se muestra la salida del sistema de estructura variable, vuelven a presentarse el efecto transitorio del sobre impulsos cuando se conmuta entre 10s subsistemas. En la Figura 8b aparece la salida del modelo de referencia y en la Figura 8c estk el error entre la salida del sistema y el modelo de referencia.

Fig.7: Esquema multimodelo de control neuronal El control por - 9 x 1f

ssni (m L 6x1 1 2xu .ln . an i ~s . wm &

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I

SY.

Fig.5: Componentes de la sefial de control (retroalimentacibn de la salida, linea continua; red neuronal, linea segmentada).

modelo de referencia de un sistema de estructura variable (multimodelo).

M. M. Goire C., J. M. Flores A., M. Bonilla, I. S. Baruch : Controlno Lineal porModelo de Refemncia para un Sistema de

-6' 500

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600

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I 700

750

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850

900

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1000

Seg.

Fig.8: (a) Salida del sistema, (b) Salida del modelo de referencia,

(c) Error entre ambas seflales.

La utilizaci6n del multimodelo en la identificaci6n del sistema de estructura variable no result6 en una mejora apreciable en el control. Comparando las gdficas del error, Figuras 4c y 8c, se obsewan ligeros cambios en algunos de 10s transitorios que aparecen en el esquema de identificacibn de m a red. En la Figura 9 se presentan 10s componentes de la sefial de control aplicada a1 sistema de estructura variable. Aqui nuevamente vemos como la componente del lazo de retroalimentaci6n (linea continua) se opone a la seiial de salida de la RNRE que genera el control Finalmente, en la Figura 10 se presenta la seiial de control aplicada a1 sistema de estructura variable. Se obsewa que la sefial de control esth formada por la suma del lazo de retroalimentaci6n de la salida y la salida de la red neuronal que realiza el control.

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Fig.9: Componentes de la Seflal de Control (retroalimentaci6n de la salida, Ihea continua; red neuronal, lfnea segmentada)

Fig.lO: Control Aplicado a1 Sistema de Estructura Variable.

5 Conclusiones En este trabajo se presentaron dos esquemas de control neuronal por modelo de referencia para un sistema de estructura variable, donde la red neuronal recurrente utilizada fue la reportada en (I. S. Baruch, J. M. Flores y otros, 2002,2001,2000). Serfa oportuno seiialar que el lazo de retroalimentaci6n de la salida fue necesario para garantizar la estabilidad del subsistema (33), este es un requerimiento para que pueda ser identificado por Iz red neuronal. De 10s resultados de la simulaci6n podemos decir que ambos esquemas de control son viables. Entre estos dos modelos de control no hub0 gran diferencia en su desempefio, lo que indica que el hecho de separar la etapa de identificaci6n no representa una mejora de importancia, al menos para el ejemplo utilizado. Estableciendo una comparaci6n entre 10s esquemas usados tradicionalmente para este tip0 de sistema y el esquema neuronal propuesto, se destaca el hecho de que en este liltimo, no se necesitan 10s estados del sistema para realizar el control. Ademls, se hace uso de redes neuronales dinarnicas que son entrenadas en lfnea. Destacar que en el primer modelo no se requiere una detecci6n explicita de 10s subsistemas. Como lfnea de trabajo fUtura serl interesante realizar experimentos con esquemas donde el controlador este compuesto por miis de una red neuronal. Otra linea de trabajo podrfa ser investigar que otros elementos mejoran el comportamiento del esquema de control neuronal y aplicar 10s resultados a sistemas mis complejos.

M. M. Goire C., J. M. Flores A., M. Bonilla, I. S. Baruch : Controlno Lineal porModelo de Referenda para un Sistema de

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M. M. Goire C., J. M. Flores A,, M. Bonilla, I. S. Baruch : Controlno Lineal porModelo de Referencia para un Sistema d e

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Maria Margarila Goire Caslilla ,obtuvo grados de Licenciatura en Matema'ticas en la Universidad de Oriente, Santiago de Cuba, Cuba, en julio de 1979, Maestria en lngenieria Ele'ctrica opcidn Computacidn en el CINVESTAVIPN, Mkxico D.E. Mixico, Noviembre 1991 y Doctorado en Ingenieria El&trica opcidn Control Automcitico en el CINVESTAV-IPN, Mixico D.F, Me'xico, Septiembre 1997. Actualmente trabaja como Profesora Docente en la Universidad de Oriente, Santiago de Cuba. Cuba, Faculrad de Ingenieria EIictricaSu a'rea de investigacidn se enfoca a l m Redes Neuronales Aplicadas a1Control de Sistemas Lineales implicitos, la Teoria de Control, el Diseiio de Controladores. Control de Maquinaria Elictrica. Es autora y co autora de mcis de 15 articulos en revistas y memorias de congresos internacionales.

Jos6 Marlin Flores Albino, es ingeniero en Comunicaciones y Electrdnica por la ESIME-IPN en 1994. Realizd su Maestria en el cirea de ControlAutomciticoen el CINVESTAV-IPN en 1998 yen la actualidad es candidato a Doctor en el mismo instituto. Actualmente trabaja en el Instituto de Investigacidn y Desarrollo Tecnoldgico de la Armada de M h i c o (INIDETAM). Su h a de investigacidn se enfoca a las Redes Neuronales aplicadas al Control de Sistemas.

Moist5 Bonilla Esirada es Profesor TitularCen el CINVESTAV-IPN, obtuvosu titulo de Ingeniero en Comunicaciones y Electrdnica en I979 en la Escuela Superior de Ingenieria Meccinica y Ele'ctrica-IPN, obtuvo la Maestria en Ciencias en Ingenieria ElJctrica con especialidad en Control en 1983 en la Seccidn de Control Automa'tico del Departamento de Ingenieria Elictrica del CINVESTAV-IPN en l979y el grado de Doctor en Ciencias en el Laboratoire dlAutomatique de Nantes de la Ecole National Supirieure de Micanique de Nantes Francia en 1991. Actualmente trabaja en el Departamento de Control Automcitico en el CINVESTAY Ciudad de Me'xico. , Sus &em de investigacidnincluyen a 1osSistemas Lineales Implicitos, la Teoria de Control, el Diseiio de Controladotvs, Control de Maquinaria Elkctrica, el Control de Robots Paralelos y el Control de Sistemas Agrondmicos. I 1. Es autory co autor a2 14 articulosen revktas internacionales y de 49 contribuciones en congresos internacionacionales con Proceedings. IeroharnSolomon Baruch. es Profesor TitularA en el CINVESTAV-IPN, Departamento de ControlAutoma'tico en la Ciudad de Mkxico, Mixico, desde 1998. Obtuvo su titulo de Ingeniero en lngenieria Ele'ctrica por la Facultad de lngenieria Elkctrica con especialidad de Control Automcitico en 1969 en la Universidad de Ingenieria Meccinica y Elkctrica de Boja, Bulgaria. El grado de Doctor en Ciencias Te'cnicas en 1974 en la misma universidad. De 1969 a 1997 trabajd como Investigador auxiliar e Investigador Titular en el Instituto de Cibernitica Ticnica y Robdtica en la Academia de Ciencias de Sofia, Bulgaria. Sus cireas de investigacidn incluyen: Redes Neuronales y Multimodelos Difuso-Neuronales con aplicacidn en Sistemas de Control Automcitico de Plantas Meccinicas y Biotecnoldgicas. El es autory co autor de ma's de 60 articulos en revistas y memorias de congresos internacionales.