CIRCUNFERENCIA 1- a) ¿Cómo se denomina la gráfica? b) Determine sus elementos. 1-3) 3 x2 + 3 y2 + 6 x – 24 = 0 a) Se denomina circunferencia. b) Para determinar sus elementos: Se divide por 3: x2 + y2 + 2x – 8 = 0 Se completa cuadrados: x2 + 2x + 1 – 1 + y2 = 8 Se factorea: (x + 1)2 + y2 = 8 + 1 (x + 1)2 + y2 = 9 c(–1 ; 0)
Ecuación canónica de la circunferencia de
y r=3
2- Analice si la expresión corresponde a la de una circunferencia: 2-5) 2 x2 + 2 y2 + 8 x - 12 y + 26 = 0 Primer procedimiento mediante fórmulas:
Segundo procedimiento completando cuadrados:
Se divide en 2: x2 + y2 + 4x - 6 y + 13 = 0 D Como: k = − ⎯ ⇒ 2 E h=-⎯ 2
⇒
4 k = − ⎯⎯ ⇒ k = - 2 2 -6 h=- ⎯ ⇒ h=3 2
Se divide en 2: x2 + y2 + 4x – 6 y + 13 = 0 x2 + 4 x + 2 2 – 2 2 + y2 – 6y + 3 2 – 3 2 = – 13 (x + 2) 2 + (y – 3)2 = – 13 + 4 + 9 (x + 2) 2 + (y – 3)2 = 0
F = 13 Se calcula r2 = k2 + h2 – F
r2 = 0
r2 = 4 + 9 – 13 r2 = 0
∴ la expresión no corresponde a la de una circunferencia.
∴ la expresión no corresponde a la de una circunferencia.
3- Escriba la ecuación de la circunferencia:
3-1)
3-2)
-2
-3
-4
-5
u
c( 1, 2)
6
r=2
2
c(– 3 , – 3 ) 2
r=3
2
(x + 3) + ( y + 3) 2 = 9
(u – 1) + ( v – 2) = 4
4- Determine la ecuación de la circunferencia que cumple con las condiciones: 4-1) pasa por el origen y tiene centro en (2, –3). Entonces la ecuación de la circunferencia de c( 2 , – 3 ) es: (x – 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = r 2 Reemplazando el punto de paso: (0 – 2 ) 2 + ( 0 + 3 ) 2 = r 2 4+9=r2 13 = r 2 La ecuación de la circunferencia es :
(x – 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 13
4-3) pasa por el punto (0, 0), tiene radio r
=5
y la ordenada de su centro es -3.
Entonces la ecuación de la circunferencia se obtiene reemplazando: (0 – k ) 2 + ( 0 + 3 ) 2 = 25 k 2 + 3 2 = 25 k 2 + 9 = 25 k 2 = 25 – 9 k 2 = 16 k= ±4 Existen dos circunferencias que cumplen con la condición: (x – 4) 2 + ( y + 3 ) 2 = 25 y (x + 4) 2 + ( y + 3 ) 2 = 25
Ejercicios adicionales Marque con un círculo la opción que considere correcta, y si fuera necesario, realice los cálculos correspondientes.
1- En el desarrollo de la ecuación (x - k)2 + (y - h)2 = r2, la expresión para determinar el radio es: a)
k2 −h2 − F
( c ) k2 + h2 − F
b)
k2 + h2 + F
d)
k2 −h2 + F
2- En la ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 las coordenadas del centro se pueden determinar mediante las fórmulas: a) k = D / 2 ; h = E / 2
(b) k = - D / 2 ; h = - E /2
c) k = - D / 2 ; h = E / 2
d) k = D / 2 ; h = - E / 2
3- La ecuación de la circunferencia tangente al eje x, con centro en el eje y positivo es de la forma: a) (x - r)2 + y2 = r2
b) x2 + y2 = r2
(c) x2 + (y - r)2 = r2
d) (x - r)2 + (y - r)2 = r2
HIPÉRBOLA 1- a) ¿Cómo se denomina la gráfica? b) Determine sus elementos. 1-1)
25 x2 – 11 y2 – 275 = 0
a) Se denomina hipérbola b) Para determinar sus elementos se divide por 275:
x2 y2 − =1 11 25 Es la ecuación de una hipérbola de c ( 0,0) y eje mayor paralelo al eje x.
a = 11
;
b=5
; c 2 = 11 + 25 ⇒
c 2 = 36 ⇒
c=6
E=
6 11
>1
v( 11 , 0)
;
;
v 1 (0 , − 5 ) f (6 , 0)
Ecuación de las asíntotas
5 11
x
v´( − 11 , 0) ;
;
y=±
v 1´(0 , 5) f´( −6 , 0)
Ecuación de la recta que contiene al eje real y = 0 Ecuación de la recta que contiene al eje imaginario x = 0
3- Escriba la ecuación de la hipérbola:
3-3)
c(1, 3) a = 4 ; b = 3 L a ecuación es :
( y − 3) 2 ( x − 1) 2 − =1 16 9
Ejercicios adicionales Marque la opción que considere correcta, y si fuera necesario, realice los cálculos correspondientes:
1- La relación entre los parámetros a, b y c de una hipérbola es: a) b2 = a2 + c2
b) a2 = b2 + c2
c) c = a2 - b2
d) c2 = a2 + b2
2- La ecuación de la hipérbola con centro en c (k, h) y eje real paralelo al eje x es:
a)
(x − k )2 a2
−
(x − k )2
c)
b2
( y − h) 2 b2
−
( y − h) 2 a2
b)
=1
d)
=1
(x − k )2 a2
(x − k )2 b2
+
+
( y − h) 2 b2
( y − h) 2 a2
=1
=1
3- La excentricidad de una hipérbola es:
a) ε = b/a
b) ε = a/b
c) ε = a/c
d) ε = c/a
6 - La ecuación de la hipérbola con vértices v (1, 1), v` (-7, 1) y ε = 3/2 es:
a)
( x + 3) 2 ( y − 1) 2 + =1 10 20
c)
( y − 1) 2 ( x + 3) 2 − =1 16 20
b)
( x + 3) 2 ( y − 1) 2 + =1 16 20
d)
( x + 3) 2 ( y − 1) 2 − =1 16 20
Justificación de la respuesta correcta:
La
E=
dis tan cia
3 2
b2 = c 2 − a2
⇒
v v´= 8
c 3 = 4 2
⇒
⇒
⇒
c=
2a = 8
3 .4 2
b 2 = 36 − 16
⇒
a=4
⇒c =6
⇒
b 2 = 20
⇒ a 2 = 16
