Calculus: Integration By-Parts ∫ x ln(x) dx

by: Francisco Javier Márquez, PhD

Main Idea A brilliant look at the product rule d(f · g)

Main Idea A brilliant look at the product rule d(xy)

Main Idea A brilliant look at the product rule d(uv)

Main Idea A brilliant look at the product rule d(uv) udv + vdu = d(uv)

Main Idea A brilliant look at the product rule d(uv) udv + vdu = d(uv) udv = d(uv) − vdu

Main Idea BY-PARTS Playbook

The BY-PARTS playbook

I II III IV

start with a difficult integral partition the integrand factors into u and dv based on the determined u find out what du is, based on dv as selected find out what v is... exchange the integral for ∫ ∫ udv = uv −

V hope right side is easier.. or somehow helps you.

vdu

visually: basic playbook ∫ X · Y · Z · dx

visually: basic playbook ∫ X · Y · Z · dx

visually: basic playbook ∫ X · Y · Z · dx

∫

∫ X · Y · Z · dx =

but...

udv

visually: basic playbook ∫ X · Y · Z · dx

∫

∫ X · Y · Z · dx =

but...

∫

udv

∫ udv = uv −

vdu

classic example ∫ x · ex · dx

classic example ∫ x · ex · dx

classic example ∫ x · ex · dx

∫

∫ x · ex · dx =

but...

udv

classic example ∫ x · ex · dx

∫

∫ x · ex · dx =

but...

∫

∫ udv = uv −

therefore ....

udv

vdu

classic example ∫ x · ex · dx

∫

∫ x · ex · dx =

∫

but...

∫ udv = uv −

therefore ....

udv

∫ x · ex · dx =

vdu

classic example ∫ x · ln(x) · dx

classic example ∫ x · ln(x) · dx

classic example ∫ x · ln(x) · dx

∫

∫ x · ln(x) · dx =

but...

udv

classic example ∫ x · ln(x) · dx

∫

∫ x · ln(x) · dx =

but...

∫

∫ udv = uv −

therefore ....

udv

vdu

classic example ∫ x · ln(x) · dx

∫

∫ x · ln(x) · dx = ∫

but...

∫ udv = uv −

therefore ....

udv

∫ x · ln(x) · dx =

vdu

classic example ∫ ln(x) · dx

classic example ∫ ln(x) · dx

classic example ∫ ln(x) · dx

∫

∫ ln(x) · dx =

but...

udv

classic example ∫ ln(x) · dx

∫

∫ ln(x) · dx =

but...

∫

∫ udv = uv −

therefore ....

udv

vdu

classic example ∫ ln(x) · dx

∫

∫ ln(x) · dx =

∫

but...

∫ udv = uv −

therefore ....

udv

∫ ln(x) · dx =

vdu

classic example ∫ x · cos(x) · dx

classic example ∫ x · cos(x) · dx

classic example ∫ x · cos(x) · dx

∫

∫ x · cos(x) · dx =

but...

udv

classic example ∫ x · cos(x) · dx

∫

∫ x · cos(x) · dx =

but...

∫

∫ udv = uv −

therefore ....

udv

vdu

classic example ∫ x · cos(x) · dx

∫

∫ x · cos(x) · dx = ∫

but...

∫ udv = uv −

therefore ....

udv

∫ x · cos(x) · dx =

vdu

classic example (boomerang) ∫ ex · sin(x) · dx

classic example (boomerang) ∫ ex · sin(x) · dx

classic example ∫ arctan(x) · dx

classic example ∫ arctan(x) · dx

classic example ∫ x3 arctan(x) · dx

classic example ∫ x3 arctan(x) · dx

classic example ∫ sec3 (x) · dx

classic example ∫ sec3 (x) · dx

classic example [by parts] ∫ x7

√

5 + 3x4 · dx

classic example [by parts] ∫ x7

√

5 + 3x4 · dx

classic example [crazy u-sub] ∫ sec(x) · dx

classic example [crazy u-sub] ∫ sec(x) · dx

classic example ∫ x cos(x) sin(x) · dx

classic example ∫ x cos(x) sin(x) · dx

classic example ∫ x cos(x) sin(x) · dx

classic example ∫ x cos(x) sin(x) · dx

classic example [by weirestrass] ∫

1 · dx 1 + sin x

classic example [by weirestrass] ∫

1 · dx 1 + sin x

classic example [by weirestrass] ∫

1 · dx sin(x) + tan(x)

classic example [by weirestrass] ∫

1 · dx sin(x) + tan(x)

classic example [by weirestrass need PFD] ∫ sec(x) · dx

classic example [by weirestrass need PFD] ∫ sec(x) · dx