CONTENIDO

Matemáticas simplificadas

I

Matemáticas simplificadas

ARTURO AGUILAR MÁRQUEZ FABIÁN VALAPAI BRAVO VÁZQUEZ HERMAN AURELIO GALLEGOS RUIZ MIGUEL CERÓN VILLEGAS RICARDO REYES FIGUEROA REVISIÓN TÉCNICA

Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.) Ing. Agustín Vázquez Sánchez (M. en C.) Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México

Prentice e Hall a México o • Argentinaa • Brasil • Colombia C • Costa C Rica • Chile • Ecuador u España • Guatemala G • Panamá • Perú P • Puerto o Rico • Uruguay u •V Venezuela ne

COLEGIO NACIONAL DE MATEMÁTICAS Matemáticas simplificadas Segunda edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009 ISBN: 978-607-442-348-8 Área: Matemáticas Formato: 20  25.5 cm

Páginas: 1640

Todos los derechos reservados Editor:

Lilia Moreno Olvera e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Alejandro Gómez Ruiz Supervisores de producción: Juan José García Guzmán Rodrigo Romero Villalobos José Hernández Garduño SEGUNDA EDICIÓN, 2009 D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5° piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031 Prentice-Hall es marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN: 978-607-442-348-8

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Impreso en México. Printed in Mexico.

Para los que enseñan y para los que aprenden ING. ARTURO SANTANA PINEDA

El poder de las matemáticas El que domina las matemáticas piensa, razona, analiza y por ende actúa con lógica en la vida cotidiana, por tanto, domina al mundo. ING. ARTURO SANTANA PINEDA

Prefacio

E

l Colegio Nacional de Matemáticas es una institución que, desde su fundación, ha impartido cursos de regularización en las áreas de Matemáticas, Física y Química, con resultados altamente satisfactorios. Es por ello que su fundador y director general, el Ingeniero Arturo Santana Pineda, decidió plasmar y compartir la experiencia adquirida en este libro que recopila lo aprendido en todos estos años y cuyo principio fundamental es que la persona que aprende matemáticas, piensa, razona, analiza y por tanto actúa con lógica. A través de esta institución y sus docentes, se ha logrado no sólo resolver el problema de reprobación con el que llega el estudiante sino, también, cambiar su apreciación sobre la materia, de tal forma, que se va convencido de que es fácil aprender matemáticas y que puede incluso dedicarse a ellas. De ahí que jóvenes que han llegado con serios problemas en el área, una vez que descubren su potencial han decidido estudiar alguna carrera afín. De esta forma, se decide unir a los docentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de la institución para que conjuntamente escriban un libro que lejos de presunciones formales, muestre la parte práctica que requiere un estudiante al aprender matemáticas y que le sirva de refuerzo para los conocimientos adquiridos en el aula.

Enfoque El libro tiene un enfoque 100% práctico, por lo que la teoría que se trata es lo más básica posible, sólo se abordan los conceptos básicos para que el estudiante comprenda y se ejercite en la aplicación de la teoría analizada en el aula, en su libro de texto y con su profesor. De esta manera, se pone mayor énfasis en los ejemplos, en donde el estudiante tendrá la referencia para resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder así reafirmar lo aprendido. Estamos convencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendizaje, sin embargo, la práctica puede lograr que este razonamiento se dé más rápido y sin tanta dificultad.

Estructura Matemáticas simplificadas está formado por seis áreas básicas de las matemáticas: Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial y Cálculo Integral. Cada una de ellas está dividida en capítulos, los cuales llevan un orden específico, siempre tomando en cuenta que el estudio de las matemáticas se va construyendo, es decir, cada tema siempre va ligado con los conocimientos adquiridos en los apartados anteriores. Cada capítulo está estructurado a base de teoría, ejemplos y ejercicios propuestos. Los ejemplos son desarrollados paso a paso, de tal forma que el lector pueda entender el procedimiento y posteriormente resolver los ejercicios correspondientes. La solución a los ejercicios se encuentran al final del libro organizados por área, de tal forma que el estudiante puede verificar si los resolvió correctamente y comprobar su aprendizaje. En esta edición se identifican las secciones que corresponden a los problemas de aplicación, los cuales tienen como objetivo hacer una vinculación con casos de la vida cotidiana en donde se pueden aplicar los conocimientos adquiridos en cada tema. La primera parte del libro está dividida en once capítulos que corresponden al área de Aritmética, materia clave para el estudio de las demás áreas, donde se inicia con los conceptos básicos, para dar paso al estudio de

IX

PREFACIO

los números enteros y racionales con sus respectivas operaciones, teoría de números, potenciación y radicación, notación científica, logaritmos, razones y proporciones, sistemas de numeración y al final, un capítulo de razonamiento matemático, donde el lector podrá verificar lo aprendido en esta área. El estudio del Álgebra corresponde a la segunda parte del libro, siendo fundamental para poder aprender cualquier otra materia o tema relacionado con las matemáticas. Está dividida en 17 capítulos, donde se encuentran temas como: Lógica y conjuntos, conceptos básicos de Álgebra, productos notables, factorización, fracciones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado con aplicaciones, función lineal, sistemas de ecuaciones, potenciación, radicación, números complejos, desigualdades, logaritmos, progresiones, matrices y raíces de una ecuación. Cada tema está desarrollado con la teoría justa y siguiendo con la idea de brindar al lector un gran número de ejemplos para facilitar el aprendizaje de esta materia. La tercera parte corresponde a las áreas de Geometría Euclidiana y Trigonometría, se divide en 17 capítulos. En Geometría se estudian conceptos básicos y temas esenciales como: ángulos, rectas, triángulos, cuadriláteros y polígonos en general, circunferencia y como tema nuevo en esta edición, se agregó el tema de transformaciones (escala, rotación simetría axial, simetría central). Cada apartado con sus respectivas definiciones, teoremas y aplicaciones. También se analiza conceptos como perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas. Para Trigonometría se estudian las funciones trigonométricas, desde su definición, su cálculo, sus gráficas, identidades, ecuaciones con dichas funciones y, aplicaciones a la solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. Además, se da como un elemento extra la forma trigonométrica de los números complejos. La Geometría Analítica se estudia en la cuarta parte de este libro, a través de trece capítulos que ofrecen las herramientas básicas para abordar los temas de distancia, punto medio, punto de división pendiente, etc., para posteriormente tratar los principales lugares geométricos como: la recta, circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Continúa con un extenso capítulo sobre coordenadas polares y finaliza con el estudio de las ecuaciones paramétricas. Cálculo Diferencial e Integral son los dos apartados con los que concluye el libro. En el primero, se estudia todo lo correspondiente a los conceptos básicos del cálculo diferencial, analizando temas como: funciones, límites (tema que en esta edición fue modificado en su parte teórica), continuidad, la derivada y sus aplicaciones, los cuales son desarrollados de manera amplia y práctica. Algunos de estos temas han sido enriquecidos en su teoría o ejercicios. Para el apartado de Cálculo Integral se estudia desde sumas de Riemann, pasando por integrales inmediatas, métodos de integración, área bajo la curva, volúmenes y algunas aplicaciones en la economía (temas también enriquecidos en esta edición). El libro tiene la ventaja de contener el material necesario para aprender y verificar el conocimiento adquirido, así como tener la referencia para desarrollar temas, que en el caso de no contar con los elementos necesarios, el lector podrá recurrir a ellos buscando en alguna de las áreas previas a las que está estudiando. Todo lo anterior hace de este texto una referencia total para que el estudiante de nivel medio superior tenga un material de consulta durante todo su bachillerato, o para aquel que inicie estudios superiores, así como para los profesores que en función de necesidades especificas estén en posibilidad de realizar desde una consulta, hasta contar un apoyo para la parte práctica de su curso empleando los ejercicios propuestos. Cabe mencionar que para esta edición se tomaron en cuenta las observaciones hechas por estudiantes y profesores que con su colaboración enriquecieron y mejoraron este material.

X

Agradecimientos Según Benjamín Franklin, invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses, por lo que espero que obtengas, a través de este libro, las más grandes ganancias para tu futuro profesional. ARTURO SANTANA DIRECTOR GENERAL DE CONAMAT

A mi madre por darme la vida y enseñarme a vivirla, Andrey por ser y estar conmigo, Chema e Hiram los alumnos que se volvieron mis hermanos, a mi familia (Echeverría, Pineda y Sánchez), a la UNAM, al ingeniero Santana, Rox llegaste a tiempo, a los cuatro fantásticos: Herman, Fabián, Ricardo y Miguel, fue un placer compartir este trabajo. A mis alumnos que fueron y serán. ARTURO AGUILAR

A mis padres María Elena y Álvaro, por brindarme la vida, por sus enseñanzas y consejos; a mi esposa e hijos (Ana, Liam y Daniel), porque son la razón de mi vida y mi inspiración; a mis hermanos Belem, Adalid y Tania por apoyarme incondicionalmente y sobre todo a mis compañeros y amigos: Ricardo, Miguel, Arturo y Herman. FABIÁN VALAPAI BRAVO

Una vez mi padre me dijo que “un hombre triunfador no es el que acumula riquezas o títulos, sino es aquel que se gana el cariño, admiración y respeto de sus semejantes”, agradezco y dedico esta obra a la memoria de mi padre el Sr. Herman Gallegos Bartolo que me dio la vida y que por azares del destino ya no se encuentra con nosotros. A Eli y José Fernando que son el motor de mi vida. HERMAN A. GALLEGOS RUIZ

A toda mi familia muy en especial a Lupita y Agustín, por haberme dado la vida y ser un ejemplo a seguir; a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme. Quiero además, reconocer el esfuerzo de mis amigos y compañeros Arturo, Fabián, Herman y Ricardo con quien tuve la oportunidad de ver cristalizado este sueño. MIGUEL CERÓN

A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Arturo; un especial agradecimiento a mi esposa Ma. Mercedes; a mis hijos Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensión y tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabián, Miguel, Roxana y Arturo S. por hacer realidad nuestro sueño. RICARDO REYES

Un agradecimiento especial a los alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros, ya que gracias a ellos logramos adquirir la experiencia para poder escribir este libro. LOS AUTORES

XI

Acerca de los autores Arturo Aguilar Márquez. Llegó como estudiante a Colegio Nacional de Matemáticas, desarrolló habilidades y aptitudes que le permitieron incorporarse a la plantilla de docentes de la Institución. Realizó estudios de Actuaría en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y ha impartido clases de Matemáticas por más de 11 años en CONAMAT. Fabián Valapai Bravo Vázquez. Desde muy temprana edad, con la preparación de profesores de CONAMAT, participó en concursos de matemáticas a nivel nacional. Posteriormente, se incorporó a la plantilla docente de la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas durante 12 años. Al mismo tiempo, estudió la carrera de Diseño Gráfico en la Escuela Nacional de Artes Plásticas. Herman Aurelio Gallegos Ruiz. Se inició como profesor en CONAMAT. Realizó estudios en la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional y Actuaría en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido clases de Matemáticas y Física por más de 15 años en Colegio Nacional de Matemáticas. Miguel Cerón Villegas. Es egresado de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas del Instituto Politécnico Nacional, realizó estudios de Ingeniería Industrial y tiene más de 15 años de experiencia en docencia. Ricardo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria en la disciplina de las Matemáticas tomando cursos en CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente en la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas y Física durante 19 años. Realizó sus estudios de Matemáticas en la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, y de Matemáticas Puras en la Universidad Autónoma Metropolitana.

XIII

CONTENIDO

CÁLCULO

DIFERENCIAL

CAPÍTULO 1 Relaciones y funciones Relación, 1110. Función, 1110. Notación, 1113. Clasificación, 1113. Valor de una función, 1113. Dominio, contradominio y rango de una función, 1116. Algunos tipos de funciones, 1119. Función constante, 1119. Función lineal, 1120. Función identidad, 1122. Función cuadrática, 1122. La función f(x) 5 xn, 1123. Función racional, 1124. Función raíz cuadrada, 1127. Función valor absoluto, 1129. Función mayor entero, 1132. Función característica, 1135. Gráfica de una función a partir de otra conocida, 1136. Desplazamientos, 1136. Alargamientos, 1136. Reflexiones verticales y horizontales, 1137. Funciones creciente y decreciente, 1140. Funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva, 1140. Función inyectiva (uno a uno), 1140. Función suprayectiva, 1142. Función biyectiva, 1143. Operaciones con funciones, 1144. Función composición (Función de funciones), 1147. Funciones par e impar, 1150. Función inversa, 1151. Propiedades, 1152. Funciones trascendentes, 1153. Función exponencial, 1153. Funciones trigonométricas, 1156. Las funciones como modelos matemáticos, 1158.

CAPÍTULO 2 Límites Definición intuitiva de límite, 1162. Definición formal de límite, 1166. Teoremas, 1168. Límites cuando x tiende al infinito, 1176. Asíntotas horizontales, 1178. Asíntotas oblicuas, 1180. Límites laterales, 1183. Límites de funciones trigonométricas, 1186.

CAPÍTULO 3 Continuidad Continuidad puntual, 1194. Discontinuidad evitable o removible, 1196, Continuidad de una función en un intervalo, 1201. Continuidad por la derecha, 1201. Continuidad por la izquierda, 1201. Continuidad de una función en un intervalo abierto, 1201. Continuidad en un intervalo cerrado, 1202. Continuidad en un intervalo semiabierto, 1204. Teorema del valor intermedio, 1206.

CAPÍTULO 4 La derivada Definición, 1210. Interpretación geométrica, 1210. Regla de los cuatro pasos, 1211. Fórmulas para determinar la derivada de una función algebraica, 1213. Derivadas de funciones trascendentes, 1220. Derivadas de funciones implícitas, 1233. Derivadas de orden superior, 1237. Derivadas de ecuaciones polares, 1240. Derivada de ecuaciones paramétricas, 1241.

CAPÍTULO 5 Aplicaciones de la derivada Rectas tangente y normal a una curva, 1246. Tangente, 1246. Normal, 1246. Ecuación de la recta tangente, 1247. Ecuación de la recta normal, 1247. Ángulo entre dos curvas, 1251. Curvatura, 1254. Radio de curvatura, 1254. Círculo de curvatura, 1256. Centro de curvatura, 1256. Radio de curvatura en coordenadas paramétricas, 1258. Radio de curvatura en coordenadas polares, 1259. Máximos y mínimos de una función, 1261. Criterio de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos, 1261. Criterio de la segunda derivada para encontrar puntos máximos y mínimos, 1265. Optimización, 1268. Movimiento rectilíneo uniforme, 1276. Aceleración media, 1277. Razón de cambio, 1278. Aplicaciones a la economía, 1287. Regla de L9Hôpital, 1293. Teorema de Rolle, 1299. Teorema del valor medio, 1301. Diferenciales, 1303. Aplicaciones de la diferencial, 1306.

XXIII

Cálculo diferencial

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Ma te

Ma te

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ca emáti M at

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U

imp

U Matemáti adas cas lific sim pli fi

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U

imp

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a aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial. ss ica át

ca emáti M at

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Reseña

Ma tem

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tica temá

ca

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L

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1

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HISTÓRICA

as tic

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s U Matemáti cada cas plifi

Y FUNCIONES

U

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sim RELACIONES pli

U

UM a t e má

Para el desarrollo de este proceso se contaba con el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas y la búsqueda de tangentes. Las causas que motivaron este proceso fueron las exigencias de la mecánica newtoniana y la astronomía.

UM

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áticas simplificadas

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CAPÍTULO

s U Matemáti cada cas plifi

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simplificad

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ticas temá a M

La última etapa del desarrollo del análisis infinitesimal fue el establecimiento de la relación e inversibilidad mutua entre las investigaciones diferenciales, y a partir de aquí la formación del cálculo diferencial. El cálculo diferencial surgió casi simultáneamente en dos formas diferentes: en la forma de teoría de fluxiones de Newton y bajo la forma del cálculo de diferenciales de G. W. Leibniz. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

1

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Relación Regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.

Ejemplo Relación

A

B

x1

y1

x2

y2

x3 x4

y3 y4

Esta relación se representa con el siguiente conjunto de pares ordenados R  {(x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4)…}

Función El concepto de función es uno de los más importantes en el mundo de las matemáticas. Las funciones no sólo representan fórmulas, o lugares geométricos, también se utilizan como modelos matemáticos que resuelven problemas de la vida real. A continuación se dan algunas definiciones de función: Ú Es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. La cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le asocia un solo elemento del segundo conjunto (contradominio). Ú Sean A y B dos conjuntos y f una regla que a cada x 0 A asigna un único elemento f (x) del conjunto B, se dice que f es una función que va del conjunto A al B, y se representa de la siguiente forma: f: A 3 B, donde al conjunto A se le llama dominio y al B contradominio, que también se representa por medio de un diagrama de flechas:

f

A x1

B f (x1)

x2

f (x2)

x3

f (x3)

x4

f (x4)

Ú Una función es una colección de pares ordenados con la siguiente propiedad: Si (a, b) y (a, c) pertenecen a una colección, entonces se cumple que b  c; es decir, en una función no puede haber dos pares con el mismo primer elemento.

1110

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina si los siguientes diagramas representan una función o una relación:

1.

3.

A

B

2 3 4 5

4 9 16 25

A

B

2.

4.

A

B

2 4 5

9 8 3 2

A

1

2 4

B

10

8

2 3

5

Solución El primer y el tercer diagramas corresponden a una función ya que a cada elemento del conjunto A se le asigna un solo elemento del conjunto B. En el segundo diagrama al menos a un elemento del conjunto A se le asignan dos elementos del conjunto B, mientras que en el cuarto diagrama el elemento 8 se asocia con tres elementos del conjunto B, por tanto, se concluye que estos conjuntos representan una relación.

2

Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función o a una relación: A  {(2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)} B  {(3, 2), (3, 6), (5, 7), (5, 8)} C  {(2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)} M  {(2, 4), (6, 2), (7, 3), (4, 12), (2, 6)} Solución Los conjuntos A y C son funciones ya que el primer elemento de cada par ordenado no se repite. En el conjunto B el 3 y el 5 aparecen dos veces como primer elemento del par ordenado mientras que en el conjunto M al 2 se le están asignando el 4 y el 6 como segundo elemento, por tanto, B y M son relaciones. Las funciones y relaciones pueden tener una representación gráfica en el plano cartesiano. Para distinguir si se trata de una función o una relación basta con trazar una recta paralela al eje “Y” sobre la gráfica; si ésta interseca en dos o más puntos es una relación, si sólo interseca un punto será una función.

1111

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

3

SIMPLIFICADAS

Determina si las siguientes gráficas representan una relación o una función.

Y

1.

2.

Y

X X Solución Se traza una recta vertical en ambas gráficas y se observa que en la primera interseca en dos puntos a la gráfica, por tanto, representa una relación y en la segunda, la recta vertical interseca en un punto a la gráfica, por consiguiente representa una función.

1.

2.

Y

Y

Recta vertical

X Recta vertical

X

EJERCICIO 1 Identifica si los siguientes conjuntos representan funciones o relaciones. 1. {(0, 3), (2, 3), (1, 3)…}

4. {(2, 5), ( 4 , 2), (3, 3)…}

2. {(3, 5), (3, 5), (3, 2)…}

5. {(a, 2a), (2a, 3a), (4a, a)…}

3. {(4, 7), (4,

ª¤ 3 ³ ¤ 6 ³ ¤ 5³ ¹ 6. «¥ , 1´ , ¥ , 1´ , ¥ 1, ´ zº µ ¦ 2µ » ¦ µ ¦ 2 4 ¬

3 ), ( 2 , 5)…}

Identifica qué representa cada gráfica (función o relación):

7.

8.

12.

13.

9.

10.

14.

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1112

11.

15.

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Notación Una función se denota o escribe como y  f(x), donde: x: variable independiente. y: variable dependiente. f: función, regla de asignación o correspondencia.

Clasificación Las funciones se clasifican en: algebraicas y trascendentes ª Algebraicas ­ ª Trigonométriccas ­ ­Inversas trigonométricas Función « Trascendentes « ­ Exponenciales ­ ­ ­ ¬Logaarítmicas ¬

Ejemplos Algebraicas f(x)  x 3  4x

f (x) 

y  3x 2  5x  6

g(x) 

3

x4

y  UxU

x1

g (x)  U x  2 U  1

Trascendentes f (x)  e 4x

f(x)  cos x f (x)  sen(x 

P ) 2

y e

x

s (t)  ln(2t  4)

2

g (x)  log(x  1)

Las funciones algebraicas y trascendentes pueden ser: Ú Explícitas Es cuando la función está en términos de una variable, por ejemplo: y  x2

f (x) 

y  x3  1

g(x) 

x3 x5

y  sen 3x

x x 1

f(x)  cos

1 x 2

s (t )  e t

y  log x

g(x)  2x3

f(x)  ln(3x)

Ú Implícitas Es cuando ambas variables forman parte de la ecuación, por ejemplo: x 2  8y  16  0

x 3  y 2  3x  0

sen x  cos y  1

ey  x  3

Las funciones que se estudiarán en este libro siempre tomarán valores de números reales tanto para la variable independiente como para la dependiente.

Valor de una función El valor real f (x) de una función es aquel que toma y cuando se asigna a x un determinado valor real.

1113

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén f( 3) para f(x)  3x 2  5x  2 Solución Para obtener f (3) se sustituye x  3 en la función y se realizan las operaciones indicadas, f (3)  3(3)2  5(3)  2  27  15  2  40 Por tanto f (3)  40, es decir y  40 cuando x  3 o lo que es lo mismo, la curva pasa por el punto (3, 40) en el plano cartesiano.

2

Si f(x) 

3x  1 ¤ 3³ , encuentra f ¥ ´ ¦ 4µ 5x

Solución Se sustituye x 

3 en la función y se realizan las operaciones: 4 ¤ 3³ 5 3¥ ´ 1 9 1 5 ¦ 4µ ¤ 3³ 5 3 ¤ 3³ 4 , por tanto, cuando x  , f ¥ ´  f¥ ´   4  ¦ µ 3 3 17 17 ¦ 4µ 4 17 4 5 5 4 4 4

3

Si s(t ) 

t  5 , determina s(4), s(a  5)

Solución s(4) 

4  5  1 , la función no está definida para t  4, s (a  5) 

4

1 no tiene solución real

a55  a

P³ ¤ ¤ P³ Si f (x)  sen ¥ x  ´ , determina f ¥ ´ ¦ ¦ 3µ 4µ Solución Se sustituye x 

P , en f (x) y se utiliza la identidad sen (A  B)  sen A cos B  sen B cos A 3 P P P P ¤ P³ ¤ P P³ f ¥ ´  sen ¥  ´  sen cos  sen cos ¦ 3µ ¦ 3 4µ 3 4 4 3 ¤ 3³ ¤ 2 ³ ¤ 2 ³ ¤ 1³ 6 2 6 2  ¥ ´ ¥ 2 ´  ¥ 2 ´ ¥¦ 2 ´µ  4  4  2 4 ¦ µ¦ µ ¦ µ



5

Determina

f (a  b )  f (a ) si f (x)  b

x

Solución Se obtiene que

f(a  b) 

a  b y f (a) 

a

Se sustituyen los valores obtenidos: f (a  b )  f (a )  b

1114

a b  a b

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

Un resultado equivalente se obtiene al racionalizar el numerador:



  2

a b  a a b  a a b  a •  b a b  a b • a b  a

Finalmente, el resultado de

6

Si y 

2



a b  a  b

f (a  b )  f (a )  b

b b



a b  a





1 a b  a

1 a b  a

x , encuentra el valor de y cuando x  2 x2

Solución Al evaluar la función en x  2, se obtiene: y

2 2  2  2 0

La función no está definida para x  2, ya que la división entre cero no está determinada.

7

f (x) ¤ 1³ Si f(x)  x 2  1, demuestra que f ¥ ´   2 ¦ xµ x Demostración Se sustituye

1 en la función: x 2  1  x 2 1 1 x2 x2 1 ¤ 1³ ¤ 1³   f ¥ ´  ¥ ´ 1  2 1  2 2 ¦ xµ ¦ xµ x x x2 x



Pero x 2  1  f (x) f (x) ¤ 1³ Por tanto, f ¥ ´   2 ¦ xµ x

EJERCICIO 2 Evalúa las siguientes funciones: ¤ 1³ 1. Si f (x)  2x 2  3, obtén f ¥  ´ , f(3), f (0) ¦ 2µ 2. Si f (x)  x 2  5x  6, determina f (a), f (a  b) 3. Si f (x)  3x 2  4x  2, determina f (x  h), 4. Si f (x) 

f ( x  h)  f ( x ) h

2 x 1 ¤ 1³ ¤ 1³ , determina f ¥ ´ , f ¥  ´ , f(x  h)  f (x) ¦ 2µ ¦ 3µ 2 x 1

5. Si f (x) 

x 2  16 , determina f(5), f(4), f(6), f(3)

6. Si f (x) 

x 2  3 , determina f (x  h),

f ( x  h)  f ( x ) h

1115



1

1

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

7. Si f (x) 

8. Si f (x) 

9. Si f (x) 

1 f ( x  b)  f ( x ) , determina x 1 b 1 x , determina

f ( x  h)  f ( x ) h

x5 , determina f (1), f (0), f(x  5) x2

10. Si f (x)  3x 2 

2 3 ¤ 1³  , determina f(1), f ¥ ´ ¦ xµ x2 x

11. Si f (x)  x 2  3x, demuestra que f (3x)  f (x  1)  4(x  1)(2x  1) 12. Si f (x) 

1 x ¤ 1³ , demuestra que f ¥ ´  f(x) ¦ xµ 1 x

13. Si f (x) 

1 x 1 , demuestra que f (x)  1 x f (x)

14. Si f (x)  tan x, demuestra que f (x)  f(x  3P) P³ ¤ 15. Si f (x)  cos 2x, demuestra que f ¥ x  ´  f(x) ¦ 2µ 16. Demuestra que para f (x) 

17. Si h(x) 

18. Si f (s) 

x 2  4 , r(x) 

x2 ,

f ( x  h)  f ( x ) 1  h f ( x  h)  f ( x )

1³ 1³ ¤ ¤ x 2  4 , demuestra que h ¥ n  ´  r ¥ n  ´  2n ¦ ¦ nµ nµ

s 1 f ( m )  f (n ) mn , demuestra que  s 1 1  ; f ( m )=; f (n )= 1  mn

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Dominio, contradominio y rango de una función Dada una función f : A 3 B, se dice que el conjunto A es el dominio (Df ) y B el contradominio (Cf ) o codominio de f . En términos del plano cartesiano, el dominio corresponde al conjunto formado por los valores posibles para X mientras que el contradominio corresponde a los valores posibles para Y. Ú Rango (Rf ) Valores del contradominio para los cuales y  f(x), siendo f(x) la imagen de x.

Df

Cf Rf

f

1116

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Ejemplos

EJEMPLOS

1

¿Cuál es el dominio de la función f (x)  3x 2  5x  6? Solución La función es polinomial, x puede tomar cualquier valor, por tanto, el dominio son todos los números reales, es decir x 0 R o dicho de otra forma x 0 (@, @).

2

Determina el dominio de la función f(x) 

x3 x5

Solución La función es racional y el denominador debe ser distinto de cero, ya que la división entre cero no está definida, por tanto, se busca el valor para el cual x  5  0 obteniendo x  5, entonces el dominio es: Df  {x 0 R U x : 5} o bien x 0 (@, 5) X (5, @).

3

¿Cuál es el dominio de la función f (x) 

x ? x2  5x  6

Solución Al factorizar el denominador se obtiene: f(x)  x6

4

x , el denominador se hace cero para ( x  6 )( x  1)

o x  1, Df  {x 0 R U x : 1, x : 6} o bien

Determina el dominio de la función f(x) 

{x 0 (@, 1) X (1, 6) X (6, @)

x5

Solución El radicando debe ser mayor o igual a cero (ya que no hay valor real para raíces cuadradas de números negativos) es decir x  5  0, de donde x  5, por tanto Df  {x 0 R U x  5} o bien x 0 [5, @)

5

Encuentra el dominio de la función f(x) 

x 2  16

Solución Se plantea la desigualdad x 2  16  0, al resolverla se obtiene que el dominio es el conjunto Df  {x 0 R U x  4 o x  4} o bien x 0 (@, 4] X [4, @)

6

Determina el dominio de la función f (x)  log(2x  3) Solución Para determinar el dominio de esta función se debe tomar en cuenta que logb N  a, para N  0, por tanto, se plantea la desigualdad y se resuelve: 3 2x  3  0 3 2x  3 3 x  2 3¹ ª ¤3 ³ Entonces, el dominio es el conjunto Df  « x 0 R U x  º , o bien, x 0 ¥ , @ ´ ¦2 µ 2 » ¬

1117

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

7

SIMPLIFICADAS

Encuentra el rango de la función f (x) 

6 x 1 1  3x

Solución Se despeja x: y

6x  1 1  3x

3

y(1  3x)  6x  1 3

3xy – 6x  1  y 3

3x (y  2)  1  y

3

y  3xy  6x  1 x

1 y 3 y 2

El denominador se hace cero cuando y  2, por tanto el rango es el conjunto: Rf  {y 0 R U y : 2} o bien, y 0 (@, 2) X (2, @)

8

Determina el rango de la función y 

9  x2

Solución y  0, porque la raíz es positiva o cero, se despeja x: y

9  x2

3

y2  9  x2

3 x2  9  y2

3 x

9  y2

Se plantea la desigualdad 9  y 2  0, al resolverla se obtiene que y 0 [3, 3], pero y  0, por tanto, el rango es el conjunto Rf  {y 0 R U 0  y  3}, o bien, y 0 [0, 3]

EJERCICIO 3 Determina el dominio de las siguientes funciones: 1. f(x)  x 2  4

10. f (x) 

x3 2 x 2  10 x

2. f(x)  3x 3  2

11. f (x) 

1 x3  x

3. f(x) 

x x3

12. f(x) 

x 1

4. f(x) 

x4 5x

13. f (x) 

x6

5. f(x) 

3 x 2  16

14. f (x) 

2x

6. f(x) 

x3 x2  5x

15. f(x) 

12  3x

7. f(x) 

1 x  7 x  10

16. f(x) 

x 2  25

8. f(x) 

x 1 25  x 2

17. f(x) 

x2  5x  6

9. f(x) 

x x 1

18. f(x) 

36  x 2

2

2

1118

CAPÍTULO CÁLCULO

19. f(x) 

DIFERENCIAL U

9  x2

25. f(x) 

x4 x3 1 x 2x  3

20. f(x) 

3

x 1

26. f (x) 

21. f(x) 

4

x5

27. f (x)  log(3x  6)

22. f(x) 

x 1 x2

28. f(x)  ln(5  2x)

23. f(x) 

x 3 x

¤ 1³ 29. f(x)  log ¥ ´ ¦ xµ

24. f(x) 

x 3

Relaciones y funciones

30. f(x)  log(3  2x  x 2)

x3  8

Determina el rango de las siguientes funciones: x2 1

31. f (x)  x 2  1

37. y 

32. f(x)  x 2  4

38. y   2  x

33. f(x)  9  x 2

39. y 

34. f(x)  3x  x 2

40. y 

35. f(x) 

10 x  1 3 5x

41. y 

36. f(x) 

2x  3 4 x 1

42. y  U x  4U

4  x2 1 x 2 1 x 1 x3

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Algunos tipos de funciones Función constante f (x)  k con k 0 R representa una recta paralela al eje “X” sobre k. Dominio: Df  R o bien x 0 (@, @)

Rango: Rf  {k}

Y

f(x) = k

k

X

1119

1

1

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplo Obtén la gráfica de f (x)  4 Solución Se traza una recta paralela al eje X sobre y  4 Df  R

Rf  {4}

Y f(x) = 4

X

Función lineal Esta función tiene la forma f (x)  mx  b y representa una recta en el plano cartesiano, en donde m es la pendiente y b la ordenada al origen. Dominio: Df  R o bien x 0 (@, @),

Rango: Rf  R o bien y 0 (@, @)

Y

Y m>0

m 1

X

f(x) = ax, 0 < a < 1

f(x) = 1x

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén las gráficas de f (x)  2 x y g(x)  2 x : Solución Se hace una tabulación para cada gráfica y se obtiene: x

3

2

1

0

1

2

3

f(x)  2 x

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

x

3

2

1

0

1

2

3

g(x)  2x

8

4

2

1

1 2

1 4

1 8

Y

Y

f(x) = 2 x

X

g(x) = 2 –x

Una de las funciones exponenciales más comunes es: f(x)  e x, con e  2.71828

Y

X

1153

X

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Obtén las gráficas de y  e x, y  e x  2, y 

2 x e , y  e x, y  e x 3

Solución Mediante reflexiones, desplazamientos y alargamientos de una función se obtienen las siguientes gráficas:

Y

Y

Y

X

X

X y = e–x

y = ex + 2

y=

2 x e 3

Y

Y

X

X

y = – ex

y = – e– x

La función exponencial f(x)  a x es inyectiva (ya que es creciente), por tanto, debe tener inversa, la cual es el logaritmo con base a. Un logaritmo se define como el exponente al que se eleva un número llamado base, para obtener cierto número, de tal forma que aplicado a la función exponencial queda: y  a x entonces loga y  x, y  0, por tanto f 1(x)  loga x De lo anterior, se define la función logarítmica como: g(x)  loga x

Dominio: x 0 (0, @), Rango: x 0 (@, @)

Gráfica: Y

(1,0)

X

1154

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Pasa por el punto (1, 0), porque loga 1  0 ya que a0  1, es creciente y tiene una asíntota vertical en x  0 Por ejemplo, las gráficas de las funciones: f(x)  log3 x y g(x)  log x son:

Y

f(x) = log3 x g(x) = log x X

Por otro lado ln x  loge x, por tanto, si f(x)  e x entonces f 1(x)  ln x

Y

f(x) = e

x

y=x

–1

f (x) = ln x

X

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina la gráfica de y  log(2x  5). Solución Se determina el dominio; recuerda que logb N  a, entonces N  0: 2x  5  0 3 x  Se traza una asíntota en x 

5 ¤5 ³ 3 x 0 ¥ , @´ ¦2 µ 2

5 y se desplaza la gráfica y  log10 x 2

Y

X

1155

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Determina la gráfica de y  log(x  3)  2. Solución Se desplaza la gráfica de y  log x dos unidades hacia arriba y tres a la izquierda

Y

X

Funciones trigonométricas Para la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas se utilizarán por convención valores en radianes para x.

Y

Y

y = sen x

y = cos x

π

−π

2π

X

−

π 2

3π

X

2

Dominio: x ∈ (− ∞ , ∞ ) Rango: y ∈ [−1,1]

Dominio: x ∈ (− ∞ , ∞ ) Rango: y ∈ [−1,1]

Y

Y

y = cot x

y = tan x −π

π 2

0

π

− 2π

X

(2n − 1)π , n ∈ Z ⎫ ⎧ Dominio: ⎨ x ∈ R x ≠ ⎬ 2 ⎩ ⎭ Rango: y ∈ (−∞ , ∞ )

1156

π

2π

X

Dominio: {x ∈ R x ≠ nπ, n ∈ Z }

Rango: y ∈ (−∞, ∞ )

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Las relaciones y  csc x, y  sec x

Y

Y y = csc x

−

3π 2

π 2

2π

y = sec x

−π

X

Dominio: {x ∈ R x ≠ nπ, n ∈ Z }

π

2π

X

1 ⎧ ⎫ Dominio: ⎨ x ∈ R x ≠ nπ, n ∈ Z ⎬ 2 ⎩ ⎭ Rango: y ∈ (− ∞ , − 1] ∪ [1, ∞ )

Rango: y ∈ (− ∞ , − 1]∪ [1, ∞ )

Ejemplo Determina la gráfica de y  2 sen x  2 Solución La función f (x)  sen x se alarga 2 unidades verticalmente y se desplaza dos unidades hacia arriba, obteniendo la siguiente gráfica:

Y

−

π

π

2

2

3π 2

X

EJERCICIO 13 Obtén la gráfica de cada una de las siguientes funciones:

1. f(x)  3 x

8. f (x)  1  log x

2. y  3x

9. f (x)  2  ln(x  1)

3. y  3 x  3

10. f (x)  3 cos x  2

4. f(x)  e x  1

11. f(x)  2 sen x  1

5. f (x)  1  e x

12. f(x)  tan x

6. f (x)  e x  2

13. f(x)  2 sec x  1

7. f (x)  ln(x  2)

P³ ¤ 14. f(x)  sen ¥ x  ´ ¦ 2µ

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1157

CAPÍTULO

1

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Las funciones como modelos matemáticos Como se afirmó al principio del capítulo, las funciones representan modelos para resolver problemas de la vida real.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

La altura de un recipiente cilíndrico es el doble que el radio de su base, expresa el volumen del cilindro en función de su altura. Solución El volumen de un cilindro es: V  Pr 2h Puesto que la altura es el doble del radio de la base, entonces: h  2r 3 r 

h 2

h en el volumen se obtiene: 2 2 h2 ¤ h³ hP V  Pr 2h  P ¥ ´ ¦ 2µ 4

h = 2r

Al sustituir r 

h

Ph 3 4

Por consiguiente

r V(h) 

2

Ph 4

3

El perímetro de un rectángulo es de 26 unidades, expresa el área del rectángulo en función de su largo. Solución Se establecen las dimensiones del rectángulo: x: largo, y: ancho El perímetro es 2x  2y  26 3 x  y  13

x

y  13  x El área del rectángulo es A  xy

y

y

Al sustituir y  13  x, se obtiene: A  x (13  x)  13x  x 2

x

Por consiguiente, A(x)  13x  x 2

1158

CAPÍTULO CÁLCULO

3

DIFERENCIAL U

Relaciones y funciones

1

Una persona tiene una pared de piedra en un costado de un terreno. Dispone de 1 600 m de material para cercar y desea hacer un corral rectangular utilizando el muro como uno de sus lados. Expresa el área del corral en términos del ancho de éste. Solución Sean x y y las dimensiones del corral donde, x: ancho del corral, y: largo del corral Entonces, 2x  y  1 600 3 y  1 600  2x el área del rectángulo está dada por: A  xy

x

Al sustituir y  1 600  2x, se obtiene:

y

A(x)  x (1 600  2x)  1 600x  2x 2

4

m , a 30 m del punto del despegue se encuentra s una casa. Si t es el tiempo en segundos, expresa la distancia que existe entre la casa y el globo en función del tiempo.

Un globo asciende desde un punto con velocidad constante de 1.5

Solución d Sea v  , entonces d  vt, donde, d es la distancia, v la velocidad, t el tiempo. t Al transcurrir t segundos el globo sube 1.5 t en metros; entonces se aplica el teorema de Pitágoras para obtener: 2

¤3 ³ d 2  (1.5 t )2  (30)2 3 d 2  ¥ t ´  (30)2 ¦2 µ d2 

9 2 t  900 4 9t 2  3 600 4

d d

3 2 t  400 2

Por tanto: d(t) 

3 2 t  400 2

d 1.5t

30 m

1159

1

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 14 1. El área de la base de un cilindro es de 40 P m2. Expresa el volumen en función de la altura. 2. Fluye agua por un tanque cónico de 10 m de radio y 25 m de altura. Cuando el nivel del agua está a una altura de h y radio r, expresa el volumen del agua en función de la altura. 3. Si el ancho de un rectángulo es la quinta parte de su largo, determina el perímetro en función de su área. 4. Dada una circunferencia de radio r, precisa el área de la circunferencia en función de su diámetro d. 5. Se inscribe un cubo de arista x en una esfera de radio r. Expresa el volumen de la esfera en función de la arista del cubo. 6. Al graficar la recta, cuya ecuación es 3x  2y  6  0, y trazar una línea vertical paralela al eje Y en cualquier punto sobre el eje X se genera un triángulo rectángulo. Expresa el área de dicho triángulo en función de la abscisa x. 7. Se desea construir un tanque de gas en forma de cilindro circular recto de 2.5 m de altura y a cada extremo del cilindro van unidas dos semiesferas de radio r. Expresa el volumen del tanque en función de r. 8. Se inscribe un triángulo equilátero de lado x en una circunferencia de radio r. Expresa el área de la circunferencia en función del lado x. 9. Se inscribe un rectángulo en una elipse cuya ecuación es 9x 2  16y 2  144  0. Precisa el área del rectángulo en función de la abscisa x. 10. Un cartel de base x y altura y tiene un área de 540 cm2 con márgenes de 2 cm a los lados y 1.5 cm en las partes superior e inferior. Expresa el área impresa en función de la base del cartel. 11. Desde cierto puente de la Ciudad de México un peatón observa un automóvil que viaja a 18 m/s en una avenida perpendicular al puente peatonal. Si t es el tiempo en segundos, determina la distancia entre el peatón y el automóvil en función del tiempo, si la altura del puente es de 4.5 m. 12. Una lancha es remolcada con un cable hacia un muelle. El cable es enrollado a razón de 0.5 m/s y la lancha se encuentra a 2 m por debajo del nivel del muelle. Si t es el tiempo en segundos, expresa la distancia que le falta recorrer a la lancha hacia el muelle en función del tiempo.

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1160

sim p l i fic a

UM

mp li fi ca

Ma te

Ma te

s simplificad as U

s simplificad as U

ca emáti M at

s da

U

imp

imp

U Matemáti adas cas lific sim pli fi

ca

U

ss ica át

s da

E

l número e llega por primera vez a las matemáticas de forma muy discreta. Sucedió en 1618 cuando, en un apéndice al trabajo de Napier sobre logaritmos, apareció una tabla dando el logaritmo natural de varios números. ss ica át

U Matemáti adas ca s lific sim pli fi

ca

Briggs dio una aproximación numérica al logaritmo base diez de e sin mencionar a e específicamente en su trabajo.

atem

ca emáti M at

U Matemáti c as

El número e Ma tem

Reseña

s cada

s simplificada sU

ticas simplificada s temá U Ma tem

tica temá

áticas simplificadas

sim

plifi

Ma

Ma

HISTÓRICA

as tic

sim

das U Matemátic as lifica sim pli fic a

U

Matem ática das U a c fi s si pli

2

LÍMITES

sim pli fic a U

imp

CAPÍTULO s da

m

ss ca á ti

Ma tem

s da

m

im ss ca á ti

s U Matemáti cada cas plifi

as U

s da

U as

simplificad

s ica át

d

ticas temá a M

UM a t e má

En 1647 Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular, pero no encontró la conexión con los logaritmos, en 1661 Huygens comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo. Examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx  1 y el logaritmo. La notación e aparece por primera vez en una carta que le escribió Euler a Goldbach en 1731. Euler hizo varios descubrimientos respecto a e en los años siguientes pero no fue sino hasta 1748 cuando Euler dio un tratamiento completo a las ideas alrededor de e. Demostró que: e1

1 1 1 1 1     …  lím ¤¥1 ³´ xl@ ¦ nµ 1! 2! 3! 4!

n

Euler dio una aproximación de e con 18 decimales, e  2.718281828459045235 Leonhard Euler (1707-1783)

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Definición intuitiva de límite Si al aproximar x lo suficientemente cerca de un número a (sin ser a) tanto del lado izquierdo como del derecho, f (x) se aproxima a un número L, entonces el límite cuando x tiende al número a es L. Esto lo escribimos: lím f (x)  L xl a

Donde la notación x 3 a se lee “x tiende a a”, para decir que: “tiende a a por la izquierda” se utiliza x 3 a, para decir que: “x tiende a a por la derecha” utilizamos x 3 a, de tal forma que: Si lím f(x)  lím f (x)  L entonces lím f (x)  L xl a

xl a

xl a

Es decir, si los límites laterales existen y tienden a un mismo número L entonces el límite cuando tiende al número a es L. Para que el límite exista no se necesita que la función esté definida para el número a, basta que esté definida para valores muy cercanos.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina el límite cuando x tiende a 3 de la función f(x) 

x2  9 x3

Solución La función no está definida para x  3, sin embargo, podemos evaluar la función en valores muy cercanos por la izquierda y por la derecha. Por otro lado graficaremos la función utilizando la simplificación: f (x) 

( x  3)( x  3) x3 x3

es decir, graficamos la recta f (x)  x  3 con la restricción x : 3 donde se formará un hueco.

x

f (x) 

2.9

5.9



2.99

5.99



2.999

5.999

2.9999

5.9999

   

3.0001

6.0001

3.001

6.001

3.01

6.01

3.1

6.1

 2











Se observa que para valores de x muy cercanos a 3 por la izquierda (2.9, 2.99, 2.999, 2.9999), f (x) tiende a 6, lo mismo pasa para valores cercanos por la derecha (3.0001, 3.001, 3.01, 3.1), es decir: lím f (x)  6

xl3

por tanto lím f (x)  6 xl3

1162

y

lím f (x)  6

xl3

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

2

[

3x  14 si x 2 Si f (x)  x  2 si x 2 determina lím f (x) xl2 Solución Graficamos la función y evaluamos en valores muy cercanos a 2.  x

f (x)

2.1

7.7

2.01

7.97

2.001

7.997

    

1.999

3.999

1.99

3.99

1.9

3.9

  2 2 2

Aquí tenemos que: lím f(x)  8

y

xl2











lím f (x)  4

xl2

entonces lím f (x) : lím f (x) por tanto lím f (x) no existe xl2

3

xl2

xl2

Determina lím Ul0

sen U U

Solución Evaluamos con valores muy cercanos a 0por la izquierda y por la derecha. Observe que la función no está definida en U 0 y que los valores serán tomados como radianes. U

f (U)

0.005

0.999995833

0.004

0.99999733

0.003

0.9999985

0.001

0.999999833

0.001

0.999999833

0.003

0.9999985

0.004

0.99999733

0.005

0.999995833

Tenemos: lím Ul0

entonces lím Ul 0

sen U 1 U

y

 

2

 

lím

Ul0

sen U 1 U

sen U sen U sen U  lím  1 por tanto lím 1 Ul0 Ul 0 U U U

1163

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

4

Para la función f (x) mostrada en la figura determina: a) lím f (x) y b) lím f (x) xl1

xl3



          



Solución a) Calculamos los límites por la izquierda y derecha lím f (x)  4 y lím f (x)  4

xl1

xl1

los límites laterales son iguales por tanto lím f (x)  4 xl1

b) lím f (x)  4 y lím f (x)  3 xl3

xl3

los límites laterales son diferentes, por tanto lím f (x) no existe xl3



          

1164



CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

EJERCICIO 15 Utilizando una tabla con valores muy cercanos al valor que tiende el límite, calcula:

1. lím ( x 2  3x  1) x l2

2. lím

x3 x2  9

3. lím

x2  5x  6 x2

4. lím

1 cos x x

5. lím

tan x sen x

x l3

xl2

x l0

x l0

La gráfica de una función f (x) es la siguiente:

        22 222 2 2

De acuerdo con ella determina:

6. lím f ( x ) xl5

7. lím f ( x ) xl3

8. lím f ( x ) xl1

9. lím f ( x ) x l2

10. lím f ( x ) x l4

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1165

    



2

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Definición formal de límite A continuación se presenta la definición formal de límite, la cual también es conocida como definición E-D (epsilón-delta). El lím f (x)  L, si para todo E  0 existe un D  0, tal que: xl a

Si 0 U x  a U D, entonces U f (x)  L U E Dicho de otra forma, lím f (x)  L, si para cualquier número xl a positivo elegido E, por pequeño que sea, existe un número positivo D tal que, siempre que 0 U x  a U D entonces U f(x)  L U E

Y

y = f (x)

L+E E L E L–E D

D

a–D x=a a+D

X

La definición nos dice que para lím f (x)  L existe un número D  0 lo suficientemente pequeño para un número xl a E 0 dado, tal que todo x en el intervalo (a  D, a  D) con excepción posiblemente del mismo a, tendrá su imagen f(x) en el intervalo (L  E, L  E). Observa que para un D1 D para el mismo E, la imagen de un valor x en el intervalo (a  D1, a  D1) estará dentro del intervalo (L  E, L  E) lo cual sólo cambia si tomamos un valor de epsilón distinto.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Demuestra que lím (2x  1)  5 xl3

Solución Para un E  0, se quiere encontrar un D  0 tal que siempre que 0 Ux  3U D entonces: U(2x  1)  5U E de donde U(2x  1)  5U  U2x  6U  U2(x  3)U  U2U Ux  3U  2Ux  3U E entonces Ux  3U

E E E , por lo que basta escoger D  para que 0 U x  aU 2 2 2

Comprobación Para 0 U x  3U

E tenemos que 2 Ux  3U

E 2

2Ux  3U E U2(x  3)U E U2x  6U E U(2x  1)  5U E

1166

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Demuestra que xlím l1

x2  5x  6  7 x 1

Solución Si 0 Ux  (1)U D entonces

x2  5x  6  (7 ) E x 1

de donde x2  5x  6 x2  5x  6  7x  7 x2  2 x 1  7  x 1 x 1 x 1



( x  1)2  Ux  1U  Ux  (1)U E x 1

por tanto se escoge D  E

3

Si lím (2  3x)  1 y E  0.06, determina el valor de D. xl1

Solución Se aplica la definición y se obtiene: Si 0 Ux  1U < D, entonces U(2  3x)  (1)U E, donde U3  3xU E U3U U1  xU E U1  xU Pero U1  xU  Ux  1U, por tanto, Ux  1U

E U3U

E y el valor de D está determinado por: 3 D

E 0.06   0.02 3 3

EJERCICIO 16 Demuestra los siguientes límites:

1. lím ( 3x  4 )  10

6. lím1 (2 x  1)  0

xl 2

xl

2

2. lím  2 x  5 3

7. lím (1  3x )  7

3. lím (5  x )  8

8. lím

¤3 ³ 4. lím ¥ x  1 ´  1 xl0 ¦4 µ

9. lím (2 a  3x )  8 a

x l1

x l2

x l3

5. lím x l1

x l7

x 2  49  14 x7

xl2 a

x2  5x  4 3 x 1

11 ¤1 ³ 10. lím ¥  3x ´  xl2 2 ¦2 µ

1167

2

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Obtén el valor de D o E en los siguientes ejercicios:

11. Si lím ( 3x  2 ) 5 y E  0.03, encuentra el valor de D xl1

12. Si lím2 (5 x  1) 1 y E  0.4, determina el valor de D xl

5

13. Si lím (2 x  7 )  7 y E  0.05, obtén el valor de D xl0

14. Si lím1 ( 3  2 x )  2 y E  0.8, ¿cuál es el valor de D? xl

2

15. Si lím ( 3x  7 ) 1 y D  0.06, determina el valor de E xl 2

16. Si lím (2  7 x ) 5 y D  0.0014, obtén el valor de E x l1

17. Si lím1 (5 x  2 )  3 y D  0.05, encuentra el valor de E xl

5

18. Si lím4 (2 x  1)  xl

3

11 y D  0.001, ¿cuál es el valor de E? 3

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Teoremas Si f(x) y g(x) son funciones, c una constante y n número real, entonces: 1. lím c  c xl a

2. lím x  a xl a

3. lím c  f (x)  c  lím f (x) xl a

xl a

4. lím [ f (x)  g(x)]  lím f (x)  lím g(x) xl a

xl a

xl a

5. lím [ f (x)  g(x)]  lím f (x)  lím g(x) xl a

6. lím xl a

xl a

xl a

lím f ( x ) f (x)  xl a con lím g(x) : 0 xl a g( x ) lím g( x ) xl a

7. lím [ f (x)]n  § lím f ( x ) ¶ ¨© xla ·¸ xl a

n

1168

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Límites por evaluación El límite se obtiene al aplicar los teoremas anteriores y evaluar el valor al cual tiende la variable en la función propuesta, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Utiliza los teoremas anteriores y comprueba que el lím ( x 2  3x  4 )  6 xl2

Solución Se aplican los respectivos teoremas, se evalúa el valor de x  2, y se demuestra que:



2

lím ( x 2  3x  4 ) = lím x 2  lím 3x  lím 4 = lím x  3 lím x  lím 4  (2)2  3(2)  4  6 xl2

2

Si f (x) 

xl 2

xl 2

xl 2

xl 2

xl 2

xl 2

3 2x , determina el valor de lím1 f (x) 3 2x xl 2

Solución Se aplican los teoremas y se sustituye el valor de x para obtener el valor buscado: ¤ 1³ lím1  3  2 x lím1 3  lím1 2 x lím1 3  2 lím1 x 3 2¥ ´ xl xl xl xl xl ¦ 2µ 3 2x 3 1 2 1 2 2 2 2 2 lím1        1 lím1  3  2 x lím1 3  lím1 2 x lím1 3  2 lím1 x 3 1 4 2 ¤ ³ xl 3  2 x 2 3 2¥ ´ xl xl xl xl xl ¦ 2µ 2 2 2 2 2 Estos teoremas nos permiten hacer una sustitución de la variable independiente por el valor al que tiende el límite.

3

Si f (x) 

4 , encuentra el valor de lím f (x) xl2 x2  4

Solución Se sustituye el valor de la variable independiente y se obtiene el límite: lím f (x)  lím xl 2

xl2

4 4 4 4    ( 2 )2  4 44 0 x2  4

El límite no existe, ya que la división entre cero no está definida.

4

Obtén el lím xl3

9  x2 2 x 1

Solución Se sustituye x  3 y se realizan las operaciones: lím xl3

9  x2 9  ( 3)2 99 0    0 2 x 1 2( 3)  1 6 1 7

1169

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 17 Determina el valor de los siguientes límites:

1. lím ( 7  2 x )

12. lím z l1

2. lím  4 x 2  2 x  6

13. lím x l1

3. lím (6  3x )

14. lím1

x l2

xl3

xl4

zl

2

4z  3 2z 1 x2  3  4 x5

3z  1 2z  5

4. lím 8  t 3

x2  9 15. lím x l3 3 x  1

5. lím 7 z 2  14 z  7

16. lím yl1

2  y2  3 y 1

6. lím  x 2  8  4 x  8

17. límP

sen x  1 2

t l2

z l2

xl4

xl

2

cos 2 x 2

¤3 ³ 7. lím (6  3x ) ¥ x1 ´ xl3 ¦5 µ

18. límP

1³ ¤ 1³ ¤ 8. lím1 ¥ x 2  ´ ¥ x  ´ 9µ ¦ 3µ xl ¦

19. lím

( x  1)2  x 2 x 1

4³ ¤ 2 1 ³¤ 9. lím ¥  ´ ¥ r 2  ´ rl4 rµ ¦ r 2 µ¦

20. lím

x2  h2 xh

21. límP

tan x sen 2 x

xl

4

xl0

3

xlh

10. lím 4 y 2  2 y yl2

xl

6

2

11. lím ( 3  y ) y  9 yl5

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Límites indeterminados Son aquellos cuyo resultado es de la forma

0 . 0

Ejemplos Se sustituye el valor de la variable independiente en cada caso y se realizan las respectivas operaciones, para obtener: 1.

( 3)2 9 9 9 0 x2 9    xl3 2 x 6 2( 3) 6 6 6 0

lím

2. lím

1 1 0 0 x 1  2   1  2 1 0 (1)  2(1)  1 x2 2x  1

3. lím

3(0 )2  5(0 )4 0 3y 2  5 y 4   2 4 2(0 )2  3(0 )4 0 2 y  3y

x l1

yl0

4.

lím x l2

x2  5  3  x2

( 2 )2  5  3  22

9 3 0  0 0

1170

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

0 , por consiguiente es necesario eliminar la indeterminación. 0 Una indeterminación se elimina al factorizar o racionalizar (de ser posible) la función, para después simplificarla y obtener el límite. Casos de factorización: Se observa que los resultados son de la forma

a) Factor común

ax n  bx n 1  x n1 (ax  b )

b) Diferencia de cuadrados

a 2  b 2  (a  b )(a  b )

c) Trinomio cuadrado perfecto

a 2  2 ab  b 2  (a  b )2

d) Trinomio de la forma

x 2  (a  b ) x  ab  ( x  a )( x  b )

e) Suma o diferencia de cubos

a 3  b 3  (a  b )(a 2  ab  b 2 )

f ) Factorización de

g) Factorización de

h) Factorización de

3

3

5

a3b

3

a3b

3

a5 b

5

a3b

a3b

a b 2

1

1

a 3  a 3b 3  b

2

3

a b 2

1

1

a  a 3b 3  b 3

2

3

a b

a5 b

4

3

1

2

2

1

3

a  a b  a 5b 5  a 5b 5  b i) Factorización de

n

an b

n

5

5

5

4

5

a b

an b a

n 1 n

a

n2 n

1 n

b a

n3 n

2

1

b n  . . . a nb

n2 n

b

n 1 n

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén el lím x l0

3x 2  5 x 4 2x  6x4  7x8 2

Solución Al sustituir x con 0 en la función, el límite se indetermina: lím x l0

0 3x 2  5 x 4 3(0 )2  5(0 )4   4 8 0 2x  6x  7x 2 ( 0 )2  6 ( 0 ) 4  7 ( 0 )8 2

Para eliminar la indeterminación se factorizan el numerador y el denominador con la aplicación del factor común: x 2 (3  5 x 2 ) 3x 2  5 x 4 2 4 8  x (2  6 x 2  7 x 6 ) 2x  6x  7x 2

Al simplificar la expresión se obtiene: 3  5x2 2  6x2  7x6 Luego el límite es: lím x l0

3 3x 2  5 x 4 3  5x2 3  5 ( 0 )2  lím   4 8 2 6 x l0 2  6 x  7 x 2 2x  6x  7x 2  6 ( 0 )2  7 ( 0 )6 2

Por tanto, lím x l0

3x 2  5 x 4 3  2x  6x4  7x8 2 2

1171

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

2

4  x2 xl2 x  2

Determina el lím Solución

Se sustituye el valor de x  2 en la expresión: 4  (2 )2 44 0 4  x2    xl 2 x  2 2  2 2  2 0 lím

Se factoriza el numerador con la aplicación de la diferencia de cuadrados: 4  x 2  (2  x )(2  x ) Se simplifica y sustituye para obtener, lím

x l2

4  x2 (2  x )(2  x )  lím  lím (2  x )  2  (2)  4 x l2 x l2 x2 x2

Por consiguiente: 4  x2 4 x l2 x  2 lím

3

Calcula el valor del lím yl1

y2  2 y 1 y2  4 y  3

Solución Al sustituir y  1 se verifica que existe la indeterminación: lím yl1

1  2 1 0 y2  2 y 1 (1)2  2(1)  1    2 1 4  3 0 y  4y  3 (1)2  4 (1)  3

Al factorizar el numerador (trinomio cuadrado perfecto) y el denominador (trinomio de la forma x 2  (a  b)x  ab), se obtiene: lím yl1

1 1 0 y 1 y2  2 y 1 ( y  1)2  lím  lím   0 2 y l 1 y l1 1  3  2 y  3 y  4y  3 ( y  3)( y  1)

Finalmente, el resultado es: lím yl1

4

Determina el lím x l2

y2  2 y 1 0 y2  4 y  3

x3  8 2 x  3x  2 2

Solución Al sustituir x  2 se observa que existe la indeterminación: lím x l2

88 0 x3  8 (2 )3  8    862 0 2 x  3x  2 2(2 )2  3(2 )  2 2

Se factoriza la diferencia de cubos y el trinomio de la forma ax 2  bx  c. x 3  8  ( x  2 )( x 2  2 x  4 ),

1172

2 x 2  3x  2  ( x  2 )(2 x  1)

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Se simplifica, se sustituye y se obtiene el valor del límite: ( 2 )2  2 ( 2 )  4 12 x2  2x  4 x3  8 ( x  2 )( x 2  2 x  4 )  lím    lím xl 2 2 x  3x  2 xl 2 xl 2 2(2 )  1 5 2 x 1 ( x  2 )(2 x  1)

lím

2

Por tanto: lím x l2

5

Calcula el valor del lím x l2

12 x3  8  5 2 x  3x  2 2

x2  4 3 x  7

Solución Se sustituye x  2 en la función: lím x l2

( 2 )2  4 44 0 x2  4    3 3 0 3 2  7 3 x  7

Se racionaliza el denominador de la función, multiplicando por 3  x  7 , que es el conjugado de la expresión 3 x  7 :

 

(x 2 4) 3  x  7 3 x  7 x2  4   2 3 x  7 3 x  7 ( 3)2  x  7









(x2  4) 3  x  7 9  ( x  7)

 (x

2



 4) 3  x  7 2x

Se factoriza x 2  4:



(x2  4) 3  x  7 2x

 ( x  2)( x  2) 3  2x

x7

(2  x)( x  2) 3 

x7



2x

Se simplifica la expresión,



(2  x )( x  2 ) 3  x  7 2x





 ( x  2 ) 3  x  7



Se calcula el valor del límite: lím x l2

x2  4  lím §©( x  2 ) 3  x  7 ¶¸ (2  2 ) 3  2  7   4  3  3 24 xl 2 3 x  7







Por consiguiente, el resultado es: x2  4  24 x l2 3  x  7

lím

1173





CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

6

3

Determina lím xl2

x 32 x2 3

Solución

lím xl 2

x32 1  lím xl 2 x  2 x2  lím xl2

 lím xl2









 3

Por tanto lím xl2



3

x32



x2 1  x  2 x2 3  x 13 2 13  22 3 1 2

1

1

x 3  x 32 3 2

2

3

1 2

1

1

2 2 2 3 2 3

3

2

3

1 2

2

2 2 3 2 3

2

3

1 3 2

2

3

1 3 3 22 1 334

x 32 1  3 x2 3 4

EJERCICIO 18 Determina el valor de los siguientes límites:

1. lím

3x  2 x 2 5x  6x3

8. lím

yh h2  y2

2. lím

2h 3  5h2  h h4  h2

9. lím

x2  2x 4  x2

3. lím

4y 5  5y 3 y4  y2

10. lím

a2  w2 aw

4. lím

ax 2  bx 3 cx 2  dx 3

11. lím

z 2  5 z  14 z7

5. lím

5 x n  3x n1  4 x n2 2 x n  6 x n2

12. lím

x2  6x  9 x 2  7 x  12

6. lím

z 1 z2 1

13. lím

h 1 h  4h  3

7. lím2

9x2  4 3x  2

14. lím

x l0

hl0

yl 0

xl0

x l0

z l1

xl

3

ylh

x l2

wl a

z l7

x l3

h l1

x l5

1174

2

x 2  25 x  2 x  15 2

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

v2  6v  8 2v2  8v

15. lím vl 4

33. lím x l1

x3 2 1  3x  2 x2  9  5

2

x  8 x  15 x 2  7 x  12

16. lím xl3

34. lím

x5 3

x l4

2

a  w2  a2

4h  4h  3 2h 1

35. lím

3x  2 3x 2  11x  6

36. lím

yn p y p

9w2  9w  4 3w 2  7 w  4

37. lím

4  2v  v2  2 v

20. lím

2 y 2  15 y  18 3y 2  17 y  6

38. lím

x3  7x  6 x  x2  4 x  4

21. lím

2 x 2  13x  15 x 2  x  20

39. lím

x 3  x2  x 1 x2  4 x  3

22. lím1

9 x2 1 6 x2  5 x 1

40. lím

x 4  2 x 3  11x 2  12 x  36 x3  2x2  x  2

23. lím

y 1 y3 1

41. lím

x3  x2  4 x  4 x 3  6 x 2  5 x  12

24. lím1

8h 3 1 1  2h

42. lím

y 3  6 y 2  12 y  8 y 4  4 y 3  16 y  16

27 x 3  8 9x2  4

43. lím

17. lím1 hl

2

18. lím2 xl

3

19. lím4 w l

3

yl6

x l5

x l

3

yl1

hl

2

25. lím2 xl

3

26. lím

w l2

27. lím1 xl

4

w l0

n yl p

vl0

x l2

xl1

x l2

xl1

yl2

x l1

w2  5w  6 w3  8

xla

64 x 3  1 4 x3  x2

xl

y2 y  3 1

47. lím

30. lím

w w3  3

48. lím

31. lím1

4 x2  3  2 2 x 1

49. lím

x5 x 5

50. lím

2

32. lím x l5

3

9x2  4  2 3x  2

4

y3  8  2  y y2

4

xh  4 x

3

29. lím

xl

x3a x2  a2

45. lím2 46. lím

w l0

3x  5  2 x 1

3

44. lím

x3 2 x 1

yl2

3

3

28. lím xl1

b  w2  b2

yl2

xh  x

h l0

x  7  3 4 x  19 x2

x l2

x l2

x l1

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1175

3

x6 2

3

x 1 1

5

2 x  3 1 x5 1

2

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Límites cuando x tiende al infinito Sea una función f definida en el intervalo (a, @). Si se tiene que: lím f ( x )  L x lc

entonces significa que los valores de f(x) se aproximan a L tanto como se quiera para una x lo suficientemente grande, sabemos que @ no es un número, sin embargo, se acostumbra decir “el límite de f(x), cuando x tiende al infinito, es L ”. Cuando en una función x 3 @, se busca la base de mayor exponente y ésta divide a cada uno de los términos de la función, después, para obtener el valor del límite, se aplica el siguiente límite: lím

xl @

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra el lím

x l@

c  0 , con c constante xn

2 x 2  3x  4 6 x2  2 x 1

Solución La base del término con mayor exponente es x 2, por consiguiente, todos los términos del numerador y del denominador se dividen entre esta base: 2 x 2 3x 4  2 2 2 2 x  3x  4 x lím 2  lím x 2 x x l@ 6 x  2 x  1 x l@ 6 x 2x 1   x2 x2 x2 2

Se simplifica y aplica el teorema para obtener el límite, 3 4 3 4 2  2 lím 2  lím  lím 2 200 2 1 xl @ xl @ x xl @ x x x   lím   x l@ 2 1 2 1 600 6 3 6  2 lím 6  lím  lím 2 xl @ xl @ x xl@ x x x Por consiguiente, lím

x l@

2

Determina el lím

xl@

1 2 x 2  3x  4  2 3 6 x  2 x 1

9 x 2 5 2 x 3

Solución La base del término con mayor exponente es x, por tanto, se dividen los términos entre esta base y se simplifica la expresión para obtener el valor del límite. 9x2  5 5 9x2  5 9 2 2 9x  5 x x x lím  lím  lím  lím  x l@ 2 x  3 x l@ x l@ xl@ 2x  3 3 3 2 2 x x x 2





90 9 3   20 2 2

1176

5 x2 3 lím 2  lím xl @ xl @ x lím 9  lím xl @

xl @

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

3

Determina el resultado de lím

x l@

3x  2 x3  2

Solución Se dividen todos los términos entre x 3, se simplifica y se obtiene el valor del límite. 3x 2 3 2 3 2  3  3 lím 2  lím 3 3 2 3x  2 00 0 xl @ x xl @ x x x x x  0 lím 3  lím 3  lím   x l@ x  2 x l@ x x l@ 2 2 2 1 0 1 1 3 lím 1  lím 3  3 3 xl @ x xl @ x x x Finalmente: lím

xl@

3x  2 0 x3  2

Si observamos la gráfica de la función exponencial f(x)  e x, tenemos que cuando x 3 @, f(x) tiende a cero. 

  5



2



2





2 entonces lím f ( x )  lím e x  0 x lc

x lc

esto cumple también cuando tenemos la función g(x)  a x para a  0, es decir lím a x  0 para a  0

xlc

Por otro lado, si tenemos f (x)  e x, tenemos que cuando x 3 @, f(x) se aproxima a cero.   52





2



2 2

x

entonces lím e  0 x lc

También se cumple lím ax  0 para a  0 x lc

1177





2

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 19 Obtén los siguientes límites:

1. lím

x l@

7x  8 4x  3

h l@

2 y 2  3y  5 yl@ y 2  5 y  2

2. lím

3. lím

w l@

4. lím

hl@

11. lím

xl@

3w 2  5 w  2 5w 3  4 w2  1 4

x l@

3

6. lím

x l@

2

9. lím

( 3x  2 )( 3x  1) (2 x  7 )( x  2 )

18 x 2  3x  2 2x2  5

14. lím

2 x  2 x 2 x  2 x

x3  2x2  3 2 x 1

15. lím

xl@

xl@

x2  5x  3 x 4  2 x2 1

xl@

16. lím

am x m  ...  a1 x  a0 bn x n  ...  a1 x  b0

17. lím

ax n  bx m con n  m cx n  dx m

x l@

2 x1  3x2 x2  4

vl@ 3

x 4

13. lím

2  3y 4 y3 7. lím yl@ 5 9 y4  2  3 y

x l@

x 2

xl@

3

8. lím

11x  6 4  6x

12. lím

5h  2h  3 3h 3  2 h 2  h

5. lím

h2  4  h2  4 h

10. lím

x l@

v2 1

n

18. lím

3

x l@

v 3

ax n 1 x

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Asíntotas horizontales Sea la función y  f (x), si la curva tiene una asíntota horizontal en y  c, entonces la ecuación de la asíntota es: y  lím f ( x ) o y  lím f ( x ) x l@

x l@

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra la ecuación de la asíntota horizontal de f(x) 

3x  1 2x  3

Solución Al aplicar y  lím f ( x ) , se obtiene: x l@

3x  1 1 3 3x  1 x x  3 y  lím  lím  lím x l@ 2 x  3 x l@ 2 x  3 x l@ 3 2 2 x x Por tanto, la curva tiene una asíntota horizontal en y 

1178

3 o 2y  3  0 2

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Determina la ecuación de la asíntota horizontal de y 

x x2 1

Solución Se aplica y  lím f (x), entonces la asíntota horizontal tiene por ecuación: xl@

y  lím

x l@

x 1 0 x x2 x  lím  lím  0 x l@ x 2 x l@ 1 1 1 x2 1 1   x2 x2 x2

El resultado y  0 indica que la asíntota horizontal es el eje X.

3

Obtén la ecuación de la asíntota horizontal de f(x) 

x2 1 x3

Solución Se aplica la definición y  lím f (x) y se obtiene: xl@

1 x2  1 1 2 2 x 1 1 x x y  lím  lím  lím  xlc x  3 xlc x  3 xlc 1 3 0  2 x2 x x 2

El límite no existe ya que la división entre cero no está definida. El resultado indica que la curva no tiene asíntotas horizontales.

EJERCICIO 20 Encuentra las ecuaciones de las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:

1. y 

2x  3 4x  5

6. y 

ax  b cx  d

2. f(x) 

1 x

7. f (x) 

3. f (x) 

x2  4 5

8. xy  2x  1  0

4. y 

5. f (x) 

x2  3 x

2 x2

9. f (x)  2x  5

2 x 3  3x 2  3x  1 x3  1

10. f(x) 

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1179

ax n  a1 x n 1  ...  an bx n  b1 x n 1  ...  bn

2

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Asíntotas oblicuas Se le denomina asíntota oblicua a aquella recta cuyo ángulo de inclinación U es diferente de 0 y 90.

Caso I

Q( x ) donde el grado de Q (x) es un grado mayor que el grado P( x ) de P(x) y P(x) no es factor de Q(x), entonces f (x) tiene una asíntota oblicua en la recta y  ax  b siendo R( x ) f(x)  ax  b  si se cumple alguna de las siguientes condiciones: P( x )

Sea una función racional de la forma f (x) 

lím ; f ( x )  (ax  b )=  0 o lím ; f ( x )  (ax  b )=  0

xl @

xl@

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina las ecuaciones de las asíntotas y traza la gráfica de la función f (x) 

x2  2 x 1

Solución La función no tiene asíntotas horizontales, pero sí posee una asíntota vertical en x  1 El grado del numerador es un grado mayor que el grado del denominador y éste no es factor del numerador, entonces: 3 f (x)  x  1  x 1 Para obtener la asíntota oblicua se aplica cualquiera de las dos condiciones: lím ; f ( x )  (ax  b )=  lím ; f ( x )  ( x  1)=

xl @

xl @

3 Pero f (x)  (x  1)  , por tanto: x 1 3 3 ¤ 3 ³ x x lím  lím  lím xl@ ¥ xl@ x  1 xl@ x 1 ¦ x  1 ´µ  x x x



0 0 1 0

La función tiene una asíntota oblicua en la recta y  x  1

Y

y = f (x)

x=–1

X

y=x–1

1180

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Obtén las ecuaciones de las asíntotas y traza la gráfica de la función f (x) 

2

x3  1 x2  1

Solución La función carece de asíntotas verticales y horizontales, para obtener las asíntotas oblicuas la función se representa de la siguiente forma: 1 x f(x)  x  2 x 1 Para comprobar que y  x es la ecuación de la asíntota oblicua, se aplica la definición: § x3  1 ¶ ¤ 1 x ³ lím ; f ( x )  (ax  b )=  lím ; f ( x )  x =  lím ¨ 2  x ·  lím ¥ 2 ´ xl@ xl@ xl@ x  1 xl@ ¦ x  1 µ © ¸ Se obtiene el límite: ¤ ¥ ¤ 1 x ³ lím ¥ ´  xlím ¥ xl@ ¦ x 2  1 µ l@ ¥ ¦

1 x ³ 1³ ¤ 1  2´  x2 x  lím ¥ x 2 x´  0 0 0 x2 1 ´´ xl@ ¥ 1  1 ´ 1 0 ¥¦ ´  2 x2 µ x2 x µ

Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua en y  x

Y y= x

X

y = f (x)

Q( x ) donde el grado de Q (x) es un grado P( x ) mayor que el de P (x) y P (x) no es factor de Q (x), entonces f (x) tiene una asíntota oblicua en la recta y  ax  b, cuyos valores de a y b están dados por: Analicemos otro método; sea una función racional de la forma f (x) 

a  lím

xlc

f (x) y b  lím ; f ( x )  ax = xlc x

1181

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Ejemplo Obtén las ecuaciones de las asíntotas y traza la gráfica de f (x) 

x2  x  3 x

Solución La función tiene una asíntota vertical en x  0 y no tiene asíntota horizontal, para obtener la ecuación de la asíntota oblicua se aplican los límites anteriores: ¤ x2  x  3³ ¥¦ ´µ ¤ x2  x  3³ x f (x) 1 3³ ¤ a  lím  lím  lím ¥ ¥ 1   2 ´µ  1 ´µ  lím xl @ xl @ xl @ ¦ xl @ ¦ x x x2 x x § x2  x  3 ¶ § x2  x  3  x2 ¶ 3³ ¤  x ·  lím ¨ ¥ 1  ´µ  1 ·  lím x l @ x x x © ¸ © ¸ xl @ ¦

b  lím ; f ( x )  x =  lím ¨ xl @

xl @

Se sustituyen a y b en la ecuación y  ax  b, por tanto, la asíntota es: y  x  1 Gráfica

Y y = x +1 y = f (x)

X

x=0

Caso II

Q( x ) donde el grado de Q (x) es mayor que uno y mayor al grado de P(x), la función tiene P( x ) una asíntota oblicua no lineal. Sea una función f(x) 

Ejemplo Determina las ecuaciones de las asíntotas de la función f(x) 

x 4 1 x2

Solución Esta función tiene una asíntota vertical en x  0 Se realiza el cociente y el resultado es: f (x)  x2 

1 x2

Entonces: ¤ 1³ lím ¥ 2 ´  0 xl @ ¦ x µ

1182

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Por consiguiente, la función tiene una asíntota cuya ecuación es y  x 2

Y

y = f(x)

y = x2 X

x=0

EJERCICIO 21 De las siguientes funciones determina las ecuaciones de las asíntotas y traza sus gráficas:

1. f ( x ) 

x2  x  1 x2

4.

f (x) 

x2  2 x2

7.

f (x) 

2. f ( x ) 

1  x2 x3

5.

f (x) 

x4 x3  1

8.

f (x) 

4 x2  4 x  5 2x  1

6.

x5 x 1

9.

3. f ( x ) 

f (x) 

x 3  3x 2  1 x 1 

( x 3  3x 2 )

4

f (x) 

1 3

x5  1 x2  1

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Límites laterales Límite por la derecha Sea f(x) una función definida en el intervalo abierto (xo, b), el límite de f(x) cuando x se aproxima a xo por la derecha es L y se representa: lím f (x)  L x l xo

Lo anterior denota que f (x) se aproxima a L cuando x tiende a aproximarse con valores mayores que xo

Límite por la izquierda Sea una función definida en el intervalo abierto (a, xo), el límite de f (x) cuando x se aproxima a xo, por la izquierda es L y se representa: lím f (x)  L

xl xo

Lo anterior denota que f (x) se aproxima a L cuando x tiende a aproximarse con valores menores que xo

Teorema El límite cuando x 3 xo de una función f (x), existe y es igual a L, si y solo si los límites laterales son iguales a L, es decir lím f (x)  L

x l xo



1183

lím f (x)  lím f (x)  L

xl xo

x l xo

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

ª2 x  3 si x 2 Determina el lím f (x) si f (x)  « 2 xl2 ¬5  x si x  2 Solución Se calculan los límites laterales: lím f (x)  lím (2x  3)  2(2)  3  1

xl2

xl2

lím f (x)  lím (5  x 2)  5  (2)2  5  4  1

xl2

xl2

lím f (x)  lím f (x)  1

xl2

xl2

Por consiguiente el lím f (x)  1 xl2

Y

x=2

f (x) = 2x –3

2

X

f (x) = 5–x2

­ª 9  x 2 si x  0 Calcula el lím f (x) si f (x)  « xl0 ¬­2 x  1 si x 0 Solución Se obtienen los límites laterales: lím f (x)  lím 9  x 2  9  (0 )2  3

xl0

xl0

lím f (x)  lím (2 x  1)  2(0 )  1  1

xl0

xl0

Dado que, lím f(x) : lím f (x), entonces el lím f (x) no existe. xl0

xl0

xl0

La existencia de un límite lateral no implica la existencia del otro (ejemplo anterior). Cuando f(x) está definida de un solo lado, entonces el lím f (x) es igual al límite lateral de dicho lado. x l xo

1184

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

3

¿Cuál es el lím f (x) si f (x)  xl2

2

4  x2 ?

Solución Esta función está definida en el intervalo 2  x  2, por tanto, los valores de x tienden únicamente a 2 por la izquierda, entonces el valor del límite es: lím f (x)  lím f (x)  lím 4  x 2  xl2

xl2

xl2

4  ( 2 )2  0

lím f (x)  0 xl2

Y

f (x) = 4 − x 2

–2

2

X

EJERCICIO 22 Para las siguientes funciones, determina el valor de los límites indicados:

ªx2 si x 3 1. Si f (x)  « ¬2 x  5 si x  3

a) lím f (x), b) lím f (x), c) lím f (x) xl3

xl3

xl3

a) lím g( x ) , b) lím g( x ) , c) lím g( x ) ,

ª x  1 si x 2 ­ 2 2. Si g (x)  « x  5 si 2  x 1 ­¬6 si x  1

xl 2

xl 2

xl 2

d) lím g( x ) , e) lím g( x ) , f) lím g( x ) xl1

ª ­ x  3 si x  1 ­­ 1 3. Si h(x)  «  1 si 1 x  3 ­ x2 ­ x  11 si 3 x ­¬ 3

xl1

xl1

a) lím h( x ) , b) lím h( x ) , c) lím h( x ) , xl1

xl1

xl1

d) lím h( x ) , e) lím h( x ) , f) lím h( x ) xl 3

ª 2x si 1 x  2 ­ 4. Si f (x)  « x  1 ­x2 si 2 x 4 ¬

xl 3

xl3

a) lím f ( x ) , b) lím f ( x ) , c) lím f ( x ) , xl 1

xl 2

xl 2

d) lím f ( x ) , e) lím f ( x ) xl2

xl 4

2

ªx 4 ­ x  2 si x  2 ­ si 2 x 4 5. Si f (x)  «2 x ­ x  5 si x  4 ­ ¬

a) lím f ( x ) , b) lím f ( x ) , c) lím f ( x ) , xl 2

xl 2

xl2

d) lím f ( x ) , e) lím f ( x ) , f) lím f ( x ) xl 4

1185

xl 4

xl4

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

ª x 2  3x  10 si x 2 ­­ x2 6. Si f (x)  « ­ 3 2 2 x si x 2 ­¬ x  5

lím f (x)

xl2

P ª si U ­sen U 2 7. Si h (U)  « P ­cos 2 U si U  2 ¬

límP h (U)

ª 3e x si x  0 8. Si g (x)  « 3  7 log( x  1 ) si x  0 ¬

lím g (x)

ª 4  3 sen x si x P ­­ 3 cos x  5 si x  P 9. Si w (x)  « ­1  log ¤¥ sen x ³´ ¦ ­¬ 2µ

lím w (x)

Ul

2

xl0

xlP

­ªsen x  cos x si x  0 10. Si f (x)  « 2 si x  0 ­¬ 4  x

lím f (x) xl0

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Límites de funciones trigonométricas A continuación se muestra la tabla de valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables, así como los P 3P ángulos de 0, , P, y 2P 2 2

0

P 6

P 4

Seno

0

1 2

2

Coseno

1

Tangente

0

Ángulos en radianes

Cotangente

Secante

Cosecante

No existe

1

No existe

3 2 3 3 3 2 3 3 2

2

P 3 3 2

P 2

P

3P 2

2P

1

0

1

0

2

1 2

0

1

0

1

1

3

No existe

0

No existe

0

0

No existe

0

No existe

No existe

1

No existe

1

1

No existe

1

No existe

2

1

2

2

1186

3 3 2 2 3 3

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra el valor del límP sen 2x xl

4

Solución Se sustituye el valor de x 

P en la función: 4 P ¤ P³ límP sen 2x  sen 2 ¥ ´  sen 1 ¦ µ 4 2 xl 4

Por consiguiente, el valor del límite es 1.

2

¿Cuál es el valor del lím xl0

sen 2 x  3 cos 2 x ? 1 x

Solución Al sustituir x  0, se obtiene: lím xl0

Por tanto, lím xl0

3

sen 2 x  3 cos 2 x sen 2(0)  3 cos 2(0 ) sen 0  3 cos 0 0  3(1)    3 1 x 1 0 1 1

sen 2 x  3 cos 2 x  3 1 x

x tan  cos 2 x 2 Obtén límP sen x  1 xl 2

Solución P ¤ P³ P x tan 2  cos 2 ¥ ´ tan  cos P 1  (1) 2 tan  cos 2 x ¦ 2µ 2 4 2   1 límP   P 1 1 1 1 2 sen x  1 xl sen  1 2 2 Por consiguiente, el valor del límite es 1.

EJERCICIO 23 Calcula los siguientes límites:

1. 2.

¤ cos 3x ³ lím ¥ xl 0 ¦ x  3 ´ µ

6. lím

límP (sen U  cos U )

7. límP

Ql

3.

hl

6

A ¤ ³ lím ¥ 2 sen cos A ´ Al P ¦ µ 2

8.

4. 5.

P³ P³ ¤ ¤ límP sen ¥ x  ´ cos ¥ x  ´ ¦ µ ¦ 4 4µ xl

3

tan h sen 2 h  1

lím3P xl

4

sen x  cos x sen x  cos x

sec 2 w wlP 1  sen 2 w

2

tan w  1 lím 2 wl0 tan w  1

4 cos x sen x  cos x

xl0

9. lím

sen B  cos B tan B  3 Bl 3

10. límP

2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1187

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Límites trigonométricos indeterminados Para evitar la indeterminación en un límite de funciones trigonométricas, se transforma la función utilizando identidades trigonométricas, en ocasiones con esto es suficiente, también se puede simplificar hasta obtener una expresión de la siguiente forma: sen x 1 cos x cos x 1 , o x x x y utilizar los siguientes teoremas: lím vl0

sen v  1; v

lím vl 0

1  cos v cos v  1 0  lím vl 0 v v

A continuación se da una lista de las identidades que se pueden utilizar. Identidades trigonométricas fundamentales

Funciones del ángulo doble

tan A 

sen A cos A

sen 2A  2 sen A cos A

cot A 

cos A sen A

cos 2A  cos2 A  sen2 A 64748 64748 64748

sen A 

1 csc A

cos 2A  2 sen2 A  1

csc A 

1 sen A

cos 2A  1  2 cos2 A

cos A 

1 sec A

tan 2A 

sec A 

1 cos A

tan A 

1 cot A

sen(A  B)  sen A cos B  sen B cos A

cot A 

1 tan A

cos(A  B)  cos A cos B  sen A sen B

sen A csc A 1

cos A sec A 1

tan A cot A 1

sen2

A

cos2

64748

2

2 tan A 1  tan2 A

Funciones de suma o diferencia de ángulos

Transformaciones de sumas o restas de funciones trigonométricas a producto

sen2 A  1  cos2 A

A 1

sen A  sen B  2 sen ;

AB AB < cos ; < 2 2

1  tan2 A  sec2 A

sen A  sen B  2 cos ;

AB AB < sen ; < 2 2

1  cot2 A  csc2 A

cos A  cos B  2 cos ;

AB AB < cos ; < 2 2

cos2 A  1  sen2 A

cos A  cos B  2 sen ;

1188

AB AB < sen ; < 2 2

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

2

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina el límP Ul

4

1  tan U sen U  cos U

Solución Se sustituye U 

P , resultando: 4 P 1 tan 1  tan U 1 1 0 4 límP    P P 0 2 2 Ul sen U  cos U sen  cos 4  4 4 2 2

Para eliminar la indeterminación, se aplican las identidades trigonométricas con el fin de obtener una expresión equivalente que no se indetermine: sen U cos U  sen U 1 1 1  tan U cos U  sen U cos U cos U     sen U  cos U cos U cos U  sen U sen U  cos U cos U(cos U  sen U ) Se calcula el valor del límite: ¤ 2 1  tan U 1 ³ 1 1  límP ¥      2 ´ P U sen cos cos U  U µ 2 2 Ul Ul ¦ cos 4 4 4 2 límP

Por consiguiente, límP Ul

2

Calcula el lím wl0

4

1  tan U  2 sen U  cos U

cos w  cos 2 w sen 2 w

Solución Al evaluar el límite: lím wl0

1 1 0 cos w  cos 2 w cos 0  cos 2(0 )    ( 0 )2 0 sen 2 w sen 2 (0 )

Se indetermina la función, por consiguiente, se transforma mediante identidades trigonométricas, como se ilustra: cos w  cos 2 w cos w  (cos 2 w  sen 2 w ) cos w  cos 2 w  sen 2 w  lím  lím 2 2 wl0 wl0 wl0 sen w sen w sen 2 w

lím



§ cos w (1  cos w ) ¶ § cos w (1  cos w )  sen 2 w ¶ § cos w (1  cos w ) sen 2 w ¶  lím ¨  lím ¨   1· ¨ · · lím 2 2 2 2 wl 0 wl 0 wl 0 sen sen sen w w w 1  cos w © © ¸ ¸ © ¸



§ cos w (1  cos w ) ¶ § cos w ¶  lím ¨  1·  1·  lím ¨ wl 0 (1  cos w )(1  cos w ) wl 0 1  cos w © ¸ © ¸

Se aplica el límite: § cos w ¶ cos 0 1 1 3  lím ¨  1·  1  1  1  wl 0 1  cos w 1  cos 0 1  1 2 2 © ¸ Finalmente, el valor del límite es

3 2

1189

CAPÍTULO

2

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

3

Obtén el lím xl0

2 sen 3x x

Solución Para que lím xl0

sen v 2 sen 3x adopte la forma lím , se multiplica por 3 tanto el numerador como el denominador vl0 x v lím xl 0

Por tanto, lím xl0

4

sen 3x 2 sen 3x 3 6 sen 3x •  lím  6 • lím  6(1)  6 xl0 xl 0 3x x 3 3x

2 sen 3x 6 x

¿Cuál es el valor del lím yl0

cos ay  cos by ? y2

Solución Se sustituye y  0 en la función: lím yl0

cos ay  cos by cos a(0 )  cos b(0 ) 1 1 0    y2 ( 0 )2 0 0

Se transforma la diferencia de cosenos en producto, (a  b ) y (a  b ) y ¤ ay  by ³ ¤ ay  by ³ cos ay  cos by 2 sen ¥ sen ¥   2 sen sen ¦ 2 ´µ ¦ 2 ´µ 2 2 Entonces: 2 sen cos ay  cos by  lím 2 yl0 yl0 y

lím

(a  b ) y (a  b ) y sen 2 2 y2

(a  b ) y (a  b ) y ¶ § sen · ¨ sen 2 2  2 • lím ¨ • · yl 0 y y ¨ · ¸ ©



sen

 2 • lím yl 0

sen

(a  b ) y (a  b ) y sen 2 2 • lím yl 0 y y (a  b ) y (a  b ) (a  b ) y (a  b ) sen 2 2 2 • • lím • 2 ( a  b ) yl 0 (a  b ) y y 2 2



 2 • lím



(a  b ) y (a  b ) y sen sen 2(a  b ) (a  b ) 2 2  • lím • lím yl 0 (a  b ) y 2 2 yl 0 ( a  b ) y 2 2





2(a  b ) (a  b ) (1) • (1) 2 2





2(a 2  b 2 ) b2  a2 = 2 4

yl 0

Por tanto, lím yl0

cos ay  cos by b2  a2  2 2 y

1190

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U Límites

5

Determina el valor de lím xl0

1  ( x  1)cos x 4x

Solución Se evalúa la función para x  0 lím xl0

1  ( x  1)cos x 1  (0  1)cos(0 ) 1  (1)(1) 1  1 0     4x 4 (0 ) 4 (0 ) 0 0

Se transforma la expresión de la siguiente forma 1  ( x  1)cos x 1  x cos x  cos x 1  cos x  x cos x    4x 4x 4x 1 § 1  cos x x cos x ¶  ¨  4© x x ·¸ 1 § 1  cos x ¶  ¨  cos x · 4© x ¸ entonces lím xl0

1  ( x  1)cos x 1 § 1 cos x ¶  lím ¨  cos x · xl 0 4 © 4x x ¸





1§ 1  cos x ¶ lím  lím cos x · xl 0 4 ¨© xl0 x ¸





1 ; 0  1= 4





1 (1) 4





1 4

Por tanto lím xl0

1  ( x  1)cos x 1  4x 4

1191

2

2

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 24 Determina el valor de los siguientes límites:

1. lím

w2 cos w  1

11. lím

x 2 (a 2  b 2 ) cos ax  cos bx

2. lím

sen 3U tan 4 U

12. lím

(sen x )m (sen 2 x )m

3. lím

cos x  1 sen 2 x

¤P ³ 13. límP ¥  U ´ tan U µ Ul ¦ 2

4. lím

2 sen A  tan 2A A

¤ 1 1 ³ 14. lím ¥  wl 0 ¦ tan w sen w ´µ

5. lím

1 sec v v 2 sec v

15. lím

x3 2 tan x  sen 2 x

6. límP

sen 2 U tan 3 U

16. lím

cos x  1 3x 3 csc 2 x

wl0

Ul0

xl0

Al 0

vl0

Ul

2

xl0

xl0

2

xl0

xl0

7. lím

(cos x  1)2 tan x

17. lím

8. límP

cos 2 w cos w  sen w

18. lím

sec 2 w  1 w sec 2 w

tan x 1  sen x  1  sen x

19. lím

cos mx  cos nx 2x2

tan( 3  A )  tan( 3  A ) Al0 sen( 3  A )  sen( 3  A )

20. lím

3 xl0

wl

9. lím xl0

4

sen 2 3x xl0 x2

wl0

xl0

cos 4 x  cos 2 2 x xl0 x

10. lím

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1192

sim p l i fic a

mp li fi ca

Ma te

Ma te

s simplificad as U

s simplificad as U

ca emáti M at

s da

U

imp

ca

U Matemáti adas ca s lific sim pli fi

atem

áticas simplificadas

U

U Matemáti adas cas lific sim pli fi

s da

imp

En el cálculo infinitesimal se siguieron las líneas que le eran posibles con el sustento conceptual, como la existencia de funciones continuas.

UM

ca emáti M at

n el siglo XIX la matemática se apoyaba en la geometría y el álgebra para buscar sustento a sus afirmaciones.

ss ica át

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Reseña

U Matemáti c as

Ma tem

ca

sim

s cada

s simplificada sU

ticas simplificada s temá U Ma tem

tica temá

E

3

plifi

Ma

Ma

HISTÓRICA

as tic

sim

das U Matemátic as lifica sim pli fic a

U

Matem ática das U a c fi s si pli

CONTINUIDAD

sim pli fic a

U

imp

CAPÍTULO s da

m

ss ca á ti

Ma tem

s da

m

im ss ca á ti

s U Matemáti cada cas plifi

as U

s da

U as

simplificad

s ica át

d

ticas temá a M

UM a t e má

Es cuando Weierstrass publica en 1872, gracias a su discípulo Paul Du Bois Reymond, su teorema sobre la existencia de funciones continuas que en algunos puntos no tenían derivada; las consecuencias de este teorema fueron de gran interés, en su época se decía que una función era continua si su gráfica se podía trazar sin despegar el lápiz del papel, aún en nuestra época esto da una idea informal de la continuidad de una función. Pero el resultado de Weierstrass mostró que se podía hablar de la continuidad en un lenguaje totalmente analítico, sin necesidad de recurrir a imágenes geométricas. Este lenguaje proporcionó la advertencia sobre lo peligroso que resultaba confiar demasiado en las conclusiones extraídas de un dibujo. Karl Weierstrass (1815-1897)

CAPÍTULO

3

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Continuidad puntual Una función f (x) es continua en el punto xo 0 R si cumple con las siguientes condiciones: 1. f(xo ) está definida. 2. lím f (x) existe. x l xo

3. lím f (x)  f (xo ). x l xo

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Verifica si f (x)  x 2  1 es continua en xo  2 Solución Se deben verificar las tres condiciones: 1. f(2)  (2)2  1  3, por tanto f (x) está definida para xo  2 2. Se calcula el valor de cada límite lateral: lím f (x)  lím (x 2  1)  (2)2  1  3

xl2

xl2

lím f (x)  lím (x 2  1)  (2)2  1  3

xl2

xl2

Entonces, lím f (x) sí existe y lím f(x)  3 xl2

xl2

3. Como lím f(x)  3 y f (2)  3, entonces lím f (x)  f(2), por consiguiente, f(x) es continua en xo  2 xl2

xl2

Y

f (xo)

xo = 2

1194

X

CAPÍTULO CÁLCULO

2

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

[

2 x  3 si x 1 Determina si la función f (x)  x si x  1 es continua en xo  1 Solución Se verifican las condiciones:

Y

1. f(1) (1) f(1)  1, la función está definida en xo  1 2. Se determinan los límites laterales: x=1

lím f(x)  lím (2x  3)  2(1)  3  1

xl1

xl1

X

lím f(x)  lím (x)  (1)  1

xl1

xl1

Por tanto, lím f(x)  1 xl1

f (x) = – x

f(x) = 2x – 3

3. Probar que el lím f (x)  f (1) xl1

lím f (x)  f (1)  1 xl1

Finalmente, es continua en xo  1

3

ªx2 si x  1 ­ Determina si la función f (x)  «2 x  3 si 1 x  3 es continua en x  1 y x  3 ­¬ 3 si 3 x Solución Se verifican las condiciones para los puntos x  1 y x  3: 1. f (1)  (1)2  1, la función está definida en xo  1 2. lím f(x)  lím (2x  3)  2(1)  3  1; xl1

xl1

lím f(x)  lím x2  (1)2  1

xl1

xl1

Debido a que el lím f(x) : lím f (x), entonces lím f (x) no existe. xl1

xl1

xl1

Por tanto, f (x) no es continua en xo  1

f(x) = x2

Se verifica la continuidad en xo  3

Y

1. f (3)  2(3)  3  3, la función está definida en xo  3 2. lím f(x)  lím 3  3; lím f(x)  lím (2x  3)  2(3)  3  3 xl3

xl3

xl3

f(x) = 3

xl3

Se concluye que, lím f(x)  lím f(x)

xl3

xl3

Entonces, lím f(x)  3

f(x) = 2x – 3

xl3

3.

lím f(x)  3 y f (x)  3 entonces, lím f (x)  f(3) xl3

xl3

Por consiguiente, f (x) es continua en xo  3

1195

X

CAPÍTULO

3

MATEMÁTICAS

4

SIMPLIFICADAS

P ª ­sen x si x 2 P Es continua g(x)  « P en xo  2 ­cos x si x  2 ¬ Solución Si se verifican los pasos se obtiene: P ¤ P³ 1. g ¥ ´ no está definida, por tanto, la función no es continua en xo  ¦ 2µ 2

Discontinuidad evitable o removible Sea f(x) una función racional no continua en x  x0, si mediante una simplificación algebraica, f(x) se vuelve continua en x  xo , entonces recibe el nombre de discontinuidad evitable o removible.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Verifica si es continua la función f (x) 

1 6x2  7x  2 en x  2 2x  1

Solución 1. Se evalúa la función en x 

1 2 2

¤ 1³ ¤ 1³ 7 ¤ 1³ 3 7 6¥ ´  7¥ ´ 2 6¥ ´  2  2 ¦ 2µ ¦ 4µ 2 ¦ 2µ 0 ¤ 1³ 2 2 f¥ ´     ¦ 2µ 1 1 1 1 0 ¤ 1³ 2 ¥ ´ 1 ¦ 2µ 1 , lo cual implica que es discontinua en este punto; 2 sin embargo, se elimina la indeterminación mediante una simplificación algebraica. La función se indetermina o no está definida para el valor de x 

f (x) 

6x2  7x  2 ( 3x  2 )(2 x  1) 1   3x  2; si x : 2 x 1 2 x 1 2

Esta simplificación indica que la gráfica es una línea recta con discontinuidad evitable o removible en x 

Y f (x) =

x=

6x 2 − 7x + 2 2x − 1

1 2

X

1196

1 2

CAPÍTULO CÁLCULO

2

Determina si la función f (x) =

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

x2  2x  3 es continua en x  3 y traza su gráfica. x2  5x  6

1. Se evalúa la función en x  3, f(3) 

( 3)2  2( 3)  3 963 0   ( 3)2  5( 3)  6 9  15  6 0

La función no está definida en x  3, sin embargo, mediante una simplificación se puede eliminar la discontinuidad, f (x) 

x2  2x  3 ( x  3)( x  1) x 1   , si x : 3 x2  5x  6 ( x  3)( x  2 ) x2

La gráfica de esta función es una hipérbola con discontinuidad evitable o removible en x  3

Y

3

X

x=2

3

Determina el valor de k para que la función sea continua: f(x) 

[

3x  k , x 1 2 kx  3, x  1

Solución Se obtienen los límites laterales: lím f (x)  lím (3x  k)  3(1)  k  3  k

xl1

xl1

lím f (x)  lím (2kx  3)  2k(1)  3  2k  3

xl1

xl1

Para que el límite exista: lím f (x)  lím f (x)

xl1

xl1

entonces:

3  k  2k  3 k  2k  3  3 3k  6 6 k 3 k2

1197

CAPÍTULO

3

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

por tanto, para que la función sea continua k  2, es decir la función se debe escribir: f (x) 

[

3x  2, 4 x  3,

x 1 x 1

Comprobación Probemos que la función es continua en x  1 i) f(1)  4(1)  3  4  3  1 ii) lím f (x)  lím (3x  2)  3(1)  2  3  2  1 xl1

xl1

lím f (x)  lím (4x  3)  4(1)  3  4  3  1

xl1

xl1

lím f (x)  lím f(x)  1

xl11

xl1

por tanto lím f(x) existe y lím f (x)  1 xl1

xl1

iii) f (1)  lím f(x)  1 xl1

Por tanto f (x) es continua en x  1.

4

Determina los valores de a y b para que la función sea continua ªax  3 ­ f (x)  « x 2  1 ­¬bx  1

x 2 2 x 3 x3

Solución Se obtienen los límites laterales en x  2 lím f (x)  lím (ax  3)  a(2)  3  2a  3

xl2

xl2

lím f (x)  lím (x 2  1)  (2)2  1  4  1  3

xl2

xl2

Para que el límite exista se debe cumplir: lím f (x)  lím f (x)

xl2

xl2

Entonces:

2a  3  3 2a  3  3 2a  6 6 a 2 a  3

Por tanto a  3 Se obtienen los límites laterales en x  3 lím f (x)  lím (bx  1)  b(3)  1  3b  1

xl3

xl3

lím f (x)  lím (x 2  1)  (3)2  1  9  1  8

xl3

xl3

lím f (x)  lím f (x)

xl3

xl3

1198

CAPÍTULO CÁLCULO

entonces 3b  1  8 3b  8  1 3b  7 b Por lo tanto b 

7 3

7 3

EJERCICIO 25 Verifica si las funciones propuestas son continuas en los puntos indicados:

1. f(x)  2x 2  x, en x  0 2. f(x) 

x 2  4 , en x  2

3. f(x) 

3x  1 3 , en x   2x  3 2

4. f(x) 

4 , en x  3 x 1

5. f (x) 

x2  4 , en x  2 x2

6. f(x) 

1 , en x  2P sen x

ª x 2  1 si x 2 7. f (x)  « , en x  2 ¬2 x  1 si x  2 si x  1 ª3 8. g(x)  « 2 , en x  1 ¬ x  4 si x  1

[

3x  2 si x 0 9. h(x)  2 x  3 si x  0 , en x  0 si x 2 ªx ­ 10. f(x)  « x 2  2 si 2  x 2 , en x  2 y x  2 ­¬ 3x  4 si x  2 ª2 si x 1 ­x ­ 11. q(x)  «3x  5 si 1  x 2 , en x  1 y x  2 ­ 2x si x  2 ­ ¬ P³ ª ¤ ­sen ¥¦ x  2 ´µ si x  P ­ 3 3 ­ si P x  P , en x  P y x  P 12. h(x)  «cos x 2 2 ­ ­ tan ¤ x  P ³ si x  3 P ´ ­¬ ¥¦ 2 2µ

1199

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

3

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

si x 3 ªx ­ si 3  x 3 , en x  3 y x  3 13. f(x)  « x 2  2 ­log( x  7 )7 si x  3 ¬ 14. g(x) 

x2  5x  6 , en x  3 x2  9

15. h(x) 

x2 1 , en x  1 x 3 1

16. g(x) 

x3  8 , en x  2 x2  4

17. f(x) 

x8 , en x  8 x 2  x  72

18. w(x) 

6 x2  x 1 1 , en x  4 x2  4 x 1 2

Determina el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas:

[

2 x  k si x 2 19. f(x)  3kx  1 si x  2 ª k 2  x si x  0 20. f(x)  « ¬2 k  3x si x  0 ª x  k si x 3 21. g(x)  « ¬ kx  1 si x  3 Obtén el valor de las constantes para que las siguientes funciones sean continuas:

ªax  3 si x 4 ­ 22. f(x)  « x 2  4 si 4 x 1 ­¬bx  4 si x  1 ªax  b si x 0 ­ 23. f(x)  « 3xb  2 si 0  x 3 ­¬2 a  x si x  3 ªax  2 si x  1 ­ 24. f (x)  «a  bx si 1 x 4 ­¬ax  2b si x  4

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1200

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

Continuidad de una función en un intervalo Continuidad por la derecha Una función f (x) es continua a la derecha de xo si y solo si para x 0 R se cumplen las siguientes condiciones: 1. f(xo) existe 2. lím f(x) existe x l x0

3. lím f(x)  f (x0) x l x0

Continuidad por la izquierda Una función f (x) es continua a la izquierda de xo si y solo si para x 0 R: 1. f(xo) existe 2. lím f(x) existe x l xo

3. lím f(x)  f (xo) x l xo

Continuidad de una función en un intervalo abierto Se dice que f (x) es continua en el intervalo abierto (a, b) si y solo si es continua en todos los puntos del intervalo.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Demuestra que f (x) 

9  x 2 es continua en el intervalo (3, 3)

Solución La función f(x)  9  x 2 está definida en todos los puntos del intervalo (3, 3), como se ilustra en la gráfica, por consiguiente, f (x) es continua en dicho intervalo.

Y

3

–3

3

1201

X

CAPÍTULO

3

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

¿ f(x) 

1 es continua en el intervalo (2, 3)? x

Solución f(x) no está definida en x  0; entonces no es continua en este punto, por tanto, no es continua en el intervalo (2, 3)

Y

–2 X

3

x=0

Continuidad en un intervalo cerrado Una función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y además lím f (x)  f(a) y lím f (x)  f(b)

xl a

xlb

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Demuestra que f (x)  x 2  2x es continua en el intervalo cerrado [1, 2] Demostración La función f(x) es polinomial, lo cual implica que está definida en el intervalo abierto (1, 2), por tanto, es continua en el intervalo, ahora se prueba la continuidad en los extremos del intervalo. Para x  1

Y

a) f(1)  (1)2  2(1)  3 b) lím f (x)  lím (x 2  2x)  3 xl1

c)

xl1

lím f (x)  f (1)

xl1

Para x  2 a) f(2)  (2)2  2(2)  0 b) lím f(x)  lím xl2

xl2

(x 2

–1

2

X

 2x)  0

c) lím f(x)  f (2) xl2

f(x) es continua en el intervalo abierto (1, 2) y es continua a la derecha de 1 y a la izquierda de 2, entonces f (x) es continua en el intervalo cerrado [1, 2]

1202

CAPÍTULO CÁLCULO

2

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

ªx2 si x 0 ¿La función f (x)  « es continua en el intervalo [2, 3]? 2 x  1 si x  0 ¬ Solución Del intervalo (2, 3) la función f (x) no es continua en x  0, ya que:

Y

lím f (x)  0, lím f (x)  1

xl0

xl0

lím f (x) : lím f (x)

xl0

xl0

Por tanto, lím f(x) no existe. xl0

Si f (x) no es continua en el intervalo abierto (2, 3)

–2

3

X

Entonces, no es continua en el intervalo cerrado [2, 3]

3

ª1  x 2 si x  0 es continua en el intervalo [3, 3]? ¿La función f (x)  « ¬1  x si x  0 Solución

Y

Se prueba la continuidad de la función en x  0 1. f (0)  1  (0)2  1 2. lím f(x)  1  (0)  1; lím f(x)  1  (0)2  1 xl0

xl0

3. f (0)  lím f (x)  1

–3

xl0

3

X

La función es continua en el intervalo (3, 3) Ahora se prueba la continuidad en los extremos: Para x  3 1. f(3)  1  (3)2  1  9  8 2.

lím f (x)  1  (3)2  1  9  8

xl3

3. f(3)  lím f(x) xl3

Para x  3 1. f(3)  1  3  1  3  4 2.

lím f (x)  1  3  1  3  4

xl3

3. f(3)  lím f (x) xl3

La función es continua en (3, 3) y además es continua a la derecha de 3 y a la izquierda de 3, por tanto, es continua en el intervalo [3, 3]

1203

CAPÍTULO

3

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Continuidad en un intervalo semiabierto Para intervalos semiabiertos (a, b] y [a, b) se tiene que: 1. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto (a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b), y lím f (x)  f (b) xlb

2. Una función f (x) es continua en el intervalo semiabierto [a, b) si es continua en el intervalo abierto (a, b), y lím f (x)  f (a) xl a

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Demuestra que f (x) 

2 es continua en el intervalo semiabierto (3, 6] x3

Demostración El dominio de la función se define Df  {x 0 R U x : 3}, por tanto f(x) es continua en el intervalo abierto (3, 6) Se verifica la continuidad por la izquierda en 6 a) f (6) 

2 2  63 3

2 ¤ 2 ³ b) lím f(x)  lím ¥ ´  3 xl6 xl 6 ¦ x  3 µ c) lím f(x)  f (6) xl6

Entonces, f (x) es continua en el intervalo semiabierto (3, 6]

Y

3

1204

6

X

CAPÍTULO CÁLCULO

2

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

si x 2 ª3 ¿La función f (x)  « 2 es continua en el intervalo semiabierto (1, 3]? x  1 si 2  x 3 ¬ Solución Se verifica la continuidad en x  2 1. f(2)  (2)2 – 1 = 3 2. lím f(x)  3; lím f(x)  3, xl2

xl2

Por tanto, lím f (x)  3 xl2

3. f(2)  lím f (x), la función es continua en (1, 3) xl2

Se prueba la continuidad por la izquierda en x  3 1. f (3) no está definida, por tanto, la función no es continua en el intervalo (1, 3]

Y

–1

3

2 3

X

si 2  x  0 ªx Verifica la continuidad de la función f(x)  « 2 en [2, 4) ¬x  4 x si 0 x 4 Solución Se verifica la continuidad en x  0

Y

1. f(0)  (0)  0 2. lím (x)  0, lím (x 2  4x)  0 xl0

xl0

3. Por tanto, lím f(x)  f (0) xl0

La función es continua en el intervalo (2, 4) Se prueba la continuidad por la derecha para x  2 1. f (2)  (2)  2 2.

–2

lím (x)  (2)  2

xl–2

3. f(2)  lím (x) xl–2

Por tanto, la función f (x) es continua en el intervalo [2, 4)

1205

4

X

CAPÍTULO

3

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 26 Verifica si son continuas las siguientes funciones en los intervalos indicados:

1. f(x)  3x  2 en [0, 3)

6. f(x) 

x  3 en [3, 1]

2

ª2 x  x 2 si x 1 7. f (x)  « en [2, 4] ¬ 4 x  3 si x  1

3. f (x) 

x 2  4 en [3, 3]

ª1 ­ si x  0 8. f (x)  « x en [3, 4] ­¬2 x  1 si x 0

4. f(x) 

1 ¤ 1 1¶  3 en ¥  , · ¦ 3 3¸ x

2. f (x) 

2x en (1, 3) x 4

si x 2 ªx 9. f(x)  « en (0, 3) 2 x  1 si x  2 ¬ ªx2 si x 1 ­ 10. f(x)  «2 x  3 si 1  x  3 en (2, 5) ­¬3 si x  3

5. f(x)  x 2  x 3 en [2, 0]

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Teorema del valor intermedio Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b], y k un número comprendido entre f(a) y f (b), entonces existe un c 0 [a, b] tal que f (c)  k.

Y

f(b) f(c) = k f(a)

a

c

b

X

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Si f(x)  3x  2 es una función definida en el intervalo [2, 3], obtén el valor de c que cumpla con el teorema del valor intermedio cuando k  1 Solución Al aplicar el teorema se obtiene: f (c)  k 3 3c  2  1 3 3c  3 3 c  1 Por consiguiente, c  1 cuando k  1

1206

CAPÍTULO CÁLCULO

2

DIFERENCIAL U

Continuidad

3

Dada la función g(x)  x 2  3x  2, definida en el intervalo [1, 4], determina el valor de k que cumpla con el teorema del valor intermedio cuando c  3 Solución Se aplica el teorema: f (c)  k 3 c 2  3c  2  k Pero, c  3 y al sustituir se obtiene el valor de k (3)2  3(3)  2  k 3 k  2 entonces, k  2

Y

1

c=3 4

X

k = –2

EJERCICIO 27 Aplica el teorema del valor intermedio y encuentra el valor de c en los siguientes ejercicios:

1. f(x)  3x  5; [2, 4] con k  1 2. f (x)  3. f(x) 

x 2  4 ; [3, 3] con k  2 3x  2 ; [0, 5] con k  2 x 1

ª x 2  2 si x 1 4. f (x)  « ; [2, 4] con k  0 ¬2 x  1 si x  1 ­ª 5  x si x  5 5. f(x)  « 2 ; [0, 8] con k  0 ­¬ x  25 si x  5 Aplica el teorema del valor intermedio y determina el valor de k en los siguientes ejercicios:

6. f(x)  3x 3  2x 2; [2, 0], 7. f (x)  8. f (x) 

2

x  9 ; [6, 0], x ; [1, 5], 2 x 1

9. f(x)  cos x; [0, 2P], 10. f (x)  log(3  x); [1, 12],

c  1 c  4 c2 P 4 c7 c

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1207

mp li fi ca

Ma te

Ma te

s simplificad as U

s simplificad as U

ca emáti M at

ca emáti M at

s da

U Matemáti adas ca s lific sim pli fi

U

ca

Reseña

U

imp

U Matemáti adas cas lific sim pli fi

s da

ss ica át

imp

ca

sim

ss ica át

n un periodo de menos de dos años, cuando Newton tenía menos de 25 años, comenzó con avances revolucionarios en matemática, óptica, física y astronomía.

sim p l i fic a

as tic

Ma tem

UM a t e má

Mientras Newton estaba en casa (debido a una peste que cerró la Universidad de Cambridge) estableció las bases del cálculo diferencial e integral. El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba basado en su crucial visión de que la integración de una función era el procedimiento inverso de su derivación.

UM

atem

áticas simplificadas

Matem ática das U a c fi s si pli

s simplificada sU

U Matemáti c as

tica temá

ticas simplificada s temá U Ma tem

Ma

E

s cada

Ma

U

HISTÓRICA

4

plifi

das U Matemátic as lifica sim pli fic a

DERIVADA

sim

LA

sim pli fic a U

imp

CAPÍTULO s da

m

ss ca á ti

Ma tem

s da

m

im ss ca á ti

s U Matemáti cada cas plifi

as U

s da

U as

simplificad

s ica át

d

ticas temá a M

Al considerar a la derivación como la operación básica, Newton produjo sencillos métodos analíticos que unificaban muchas técnicas diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas, en apariencia no relacionados, como calcular áreas, tangentes, longitud de curvas y los máximos y mínimos de funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671, pero Newton no pudo publicarlo y no apareció impreso hasta que John Colson produjo una traducción al inglés en 1736. Sir Isaac Newton (1643-1727)

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Definición Sea f (x) una función, se define a su derivada f(x), como: f (x)  lím

$xl0

f ( x  $x )  f ( x ) $x

Para toda x, siempre que el límite exista y se representa por: y , f(x),

dy o Dx y dx

Interpretación geométrica El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto. Donde: $x: incremento en x $y: incremento en y

y = f (x)

Y

L

Q (x + Δ x, f(x + Δ x))

f (x + Δ x)

f(x + Δ x) – f(x) Lt f (x) P(x, f(x)) x + Δx

x

X

Δx En la gráfica se observa que la pendiente de la recta L es: mt 

$y f ( x  $x )  f ( x )  $x $x

Si $x tiende a cero, la recta L coincide con Lt , entonces la pendiente de Lt será el límite de mt . lím mt  lím

$xl0

$xl0

$y f ( x  $x )  f ( x )  lím $xl0 $x $x

Por definición, la derivada es: dy f ( x  $x )  f ( x )  lím $xl0 dx $x

1210

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

Regla de los cuatro pasos Sea una función y  f (x), entonces: 1. y  $y  f ( x  $x ) 2. $y  f ( x  $x )  f ( x ) 3.

$y f ( x  $x )  f ( x )  $x $x

4.

$y dy f ( x  $x )  f ( x )  lím  lím $x dx $xl0 $x $xl0

(razón de cambio) (derivada de la función)

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra la derivada de la función f(x)  5x  6 Solución Se aplica la regla de los cuatro pasos y se obtiene: 1. y  $y  5( x  $x )  6 2. $y  (5 x  5 $x  6 ) (5 x  6 ) 3.

$y (5 x  5 $x  6 )  (5 x  6 ) 5 x  5 $x  6  5 x  6 5$x    5 $x $x $x $x

4.

dy $y  lím  lím 5  5 $ x l0 $xl0 dx $x

(derivada de la función)

Este resultado se obtiene también cuando se utiliza la definición, como sigue: lím

$xl0

[ 5( x  $x )  6 ]  (5 x  6 ) 5 x  5 $x  6  5 x  6 5 $x  lím  lím  lím (5 )  5 $xl0 $xl0 $x $xl0 $x $x

Por tanto, la derivada de la función f(x)  5x  6 es: f(x)  5

2

Aplica la definición y determina la derivada de y  7x 2  5x  9 Solución dy [ 7( x  $x )2  5( x  $x )  9 ]  ( 7 x 2  5 x  9 )  lím $ x l0 dx $x dy 7( x 2  2 x ($x )  ($x )2 )  5 x  5 $x  9  7 x 2  5 x  9  lím $xl0 $x dx dy 7 x 2  14 x$x  7 $x 2  5 x  5 $x  9  7 x 2  5 x  9  lím $ x l0 dx $x dy 14 x$x  7 $x 2  5 $x  lím  lím (14 x  7 $x  5 )  14x  5 $xl0 $xl0 dx $x Por consiguiente, la derivada es: dy  14x  5 dx

1211

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

3

Encuentra la derivada de la función f (x) 

2 x 1 , aplica la definición. x5

Solución dy  lím $xl 0 dx

2( x  $x )  1 2 x  1

x  $x  5 x5 $x

dy  lím $xl 0 dx

2 x  2 $x  1 2 x  1

x  $x  5 x5 $x

dy  lím $xl0 dx

( x  5 )(2 x  2 $x  1)  (2 x  1)( x  $x  5 ) ( x  $x  5 )( x  5 ) $x

al simplificar,

dy 11$x 11  lím  lím $xl0 $x ( x  $x  5 )( x  5 ) $xl0 ( x  $x  5 )( x  5 ) dx

se resuelve el límite

dy 11  f (x)  ( x  5 )2 dx

4

¿Cuál es la derivada de la función y 

x2 ?

Solución dy  lím $xl 0 dx

x  $x  2 x  2 $x

dy  lím $xl 0 dx

x  $x  2 x  2 x  $x  2  x  2 • $x x  $x  2  x  2



 2

se racionaliza la expresión



x  $x  2 x  2 dy  lím $xl 0 dx $x x  $x  2  x  2 dy  lím $xl 0 dx $x



2

$x



x  $x  2  x  2



 lím

$xl 0

x  $x  2  x  2 $x

 lím

$xl0



x  $x  2  x  2

1 x  $x  2  x  2

De tal manera que, al resolver el límite se obtiene: dy 1  f(x)  dx 2 x2

1212



CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

EJERCICIO 28 Deriva las siguientes funciones, utiliza la definición.

1. y  3x  2

11. f (x) 

3 x2

2. y  2a  bx

12. f (x) 

x2 1 x2 1

3. y  x 2

13. f (x) 

x2

4. f (x)  3x 2  5x

14. f (x) 

x2  4

5. y  ax 2  bx  c

15. y 

6. y  x 3

16. y 

7. y  x 3  x 2

17. y 

8. y 

4 x 2  16 x2

18. y 

9. y 

2x x 1

19. y 

10. y  (x  1)(x 2  x  1)

2 x 1

3

2 x 3

3

x 2 x 1 x 1 x3

n

20. y 

x

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Fórmulas para determinar la derivada de una función algebraica La forma directa de obtener la derivada de una función algebraica es la aplicación de las siguientes fórmulas: 1.

d c0 dx

7.

d dx

2.

d x1 dx

8.

d 1 dv v dx 2 v dx

3.

d dv cv  c dx dx

9.

d dv du (uv )  u  v dx dx dx

n

v

1 dv n n v n1 dx

dv du d ¤ u ³ v dx  u dx 10. ¥ ´ dx ¦ v µ v2

d  u  v  w du dv dw   4.  dx dx dx dx 5.

d (xn )  nx n1 dx

11.

d ¤ c³ c dv ¥ ´  2 dx ¦ v µ v dx

6.

d n dv v  nv n1 dx dx

12.

d ¤ v ³ 1 dv ¥ ´ dx ¦ c µ c dx

1213

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

¿Cuál es la derivada de la función y  x 3  2x 2  4x  5? Solución Al aplicar las fórmulas respectivas se obtiene: dy d 3 d 3 d d d  ( x  2 x 2  4 x  5)  ( x )  (2 x 2 )  ( 4 x )  (5 ) dx dx dx dx dx dx 

d 3 d d d ( x )  2 ( x 2 )  4 ( x )  (5 ) dx dx dx dx

 3x 2  2(2x)  4(1)  3x 2  4x  4

2

Deriva la función y 

3

x2

Solución m

Aplicamos el hecho de que

n

a m  a n y posteriormente an 

dy d  dx dx

3

2 3

 x  dxd ¤¥¦ x ³´µ  23 x 2

3

Calcula la derivada de la función s 

2 1 3

1 an



2  13 x  3

2 3x

1 3



2 3

3

x

1 t

5

Solución 1 1 ds d ¤ 1 ³ d ¤  15 ³ 1 1  1 1 6  ¥ 5 ´  ¥t ´   t 5   t 5   6   5 6 ¦ µ dt dt 5 5 dt ¦ µ t 5 t 5 5t pero

4

5

t6 

5

t 5 • t  t 5 t , por tanto

Obtén la derivada de la función y 

ds 1  5 dt 5t t

4 x

Solución 4 dy d ¤ 4 ³ d d  ¥ ´  ( 4 x1 )  4 ( x1 )  4 (1x11 )  4 x2   2 x dx dx ¦ x µ dx dx

5

Determina la derivada de la función y  2 3 x 

7 x

Solución 1  ³ dy d ¤ 13 d ¤ 13 ³ d ¤ 1 ³ d ¤ 1³ d ¤ 1 ³  2x  7x 2 ´  2 x ´  ¥ 7x 2 ´  2 ¥ x 3 ´  7 ¥ x 2 ´ ¥ ¥ dx dx ¦ dx ¦ dx ¦ µ dx ¦ µ µ dx ¦ µ µ

¤ 1 11 ³ ¤ 1  1 1 ³ 2 2 7  3  2 ¥ x 3 ´  7 ¥ x 2 ´  x 3  x 2 3 2 ¦3 µ ¦ 2 µ 

1214

2 3

3 x

2



7 2x x

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

6

¿Cuál es la derivada de la función y  ( 3x 2  x ) 7 ? Solución Se aplica la fórmula

d (v n ) dv y se obtiene:  nv n 1 dx dx

¤ d 3x 2 dx ³ dy d  ´  7( 3x 2  x ) 6 (6 x  1)  7( 3x 2  x ) 6  ( 3x 2  x )  7( 3x 2  x ) 6  ¥ dx µ dx dx ¦ dx  ( 42 x  7 )( 3x 2  x ) 6

7

Encuentra la derivada de la función s 

3

8  4t  t 3

Solución 1 1 2 1  d ds d 1 1  (8  4 t  t 3 ) 3  (8  4 t  t 3 ) 3  (8  4 t  t 3 )  (8  4 t  t 3 ) 3  ( 4  3t 2 ) dt dt dt 3 3

4  3t 2



2

3(8  4 t  t 3 ) 3 

8

Deriva la función y  

4  3t 2 3 3 (8  4 t  t 3 ) 2

5



x x



3

Solución § dy d ¨   dx dx ¨ ©

¶ ·  d §5 dx ©¨ x  x ·¸ 5





3



x x

3



¶  5 d ¸· dx



§  5 ¨3 ©  15









x x

x x



4



4

15



x x

3



x x

15

4





d dx



¶ x x · ¸

d ³ ¤ d ¥ x  x´ ¦ dx dx µ

¤ 1 ³  1´ ¥¦ µ 2 x ¤ 1 2 x ³ ¥ 2 x ´ ¦ µ



2

4



x  x  x

15 1  2 x



1215



x x

4



4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

9

Calcula la derivada de la función y  x x 1 Solución Se aplica la fórmula

d dv du (uv )  u  v dx dx dx

d dy d  x x 1  x dx dx dx





x 1  x  1

¤ dx 1 ³ x  x 1  x¥ ´  x 1  dx 2 x 1 ¦ 2 x 1 µ 

Por consiguiente,

10

x  2( x  1) x  2x  2 3x  2   2 x 1 2 x 1 2 x 1

3x  2 dy  dx 2 x  1

Obtén la derivada de la función f (x) 

x2  5 1  3x 2

Solución du dv d ¤ u ³ v dx  u dx y se obtiene: Se aplica la fórmula ¥ ´ dx ¦ v µ v2 f (x) 

28 x (1  3x 2 )(2 x )  ( x 2  5 )(6 x ) 2 x  6 x 3  6 x 3  30 x   2 2 (1 3x ) (1  3x 2 ) 2 (1  3x 2 ) 2

EJERCICIO 29 Deriva las siguientes funciones:

1. y  10

12. f(x)  4x 3

2. y  5

13. s (t) 

3. f (x)  a 2

14. y  x 2

4. s (t )  b 2

15. f (x)  x 3

5. y  6x

16. y  6 x 2

1 4 t 5

9

4

3

6. y 

2

3 x 4

17. f(x)  x 5 1

7. f (x)  ax

18. f (x)  4 x 4

8. s (t )  b 2t

19. f (x) 

9. f (x)  5x 2

20. s (t ) 

x 4

t

10. y  ax b

21. f (x)  5 5 x

11. f (x)  x 5

22. f(x) 

1216

x5 7

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

23. f (x) 

x4 9

3 5 1 4 3 44. f (x)  2 x 2  x 2  x 2 2 3

24. s(t ) 

t3 a

45. f(x)  8 x  9 3 x 2  4 2 x 3

25. f (x) 

5 x4

46. f (x)  ax n  bx n 1

26. f (x) 

2 x6

47. f (x) 

27. f (x) 

x 2

x2 5x 8   3 7 5

48. f (x)  a n x  b 3 x

3

1 3 2 4 x5 x  2 3

28. s(t ) 

t 5

49. y 

29. f (x) 

4 x

50. f (x) 

5 t

51. f (x) 

7 5  3 2 x x

4 x

52. f (x) 

3 5   2x x2 x

32. f (x)  7 x 3  3x 2  3x  12

53. f (x) 

3x 2  5 x  8 3 x

33. f (x)  x 4  5x 3  8x 2  x  6

54. y 

34. f (x)  5 x 2  4 x  4 mn  2

55. y  ( 3x  4 )5

35. f (x)  3ax 4  4ax 3  5bx 2  7cx

56. y  (2  4 x )3

30. s(t ) 

4

31. f (x) 

3

2 4

x

5



1 3  1 x x

3 ³ ¤ x1 ¥ x  ´ ¦ xµ

36. f (x) 

x 3 3x 2 4 x 1    6 5 9 5

57. y  ( 3x 6  2 x 4 )4

37. s(t ) 

t5 t4 t3 t2 t 2      6 5 4 7 9 3

1 ¤ 3 ³ 58. y  ¥ 4 x 2  2 x 2 ´ ¦ µ

x2

38. f (x) 

2

a  b2

x c   a b

5  3x 2

59. y 

39. s(t ) 

4 5 9   t2 t 5

60. y 

40. f (x) 

5 6 7 3 1     x4 x3 x2 x 5

1³ ¤ 61. y  ¥ x  ´ ¦ xµ

41. s(t) 

t3 2 6 3    5 t2 t 5

62. y 

3

42. f (x) 

43. f (x) 

3 x 3 5 x

3

x3  2 1

2 2x2  6x 3

¤x ³ 63. y  ¥  6 x ´ ¦3 µ

x 4  3x 3  6 x 2  3x  2 x

64. f(x) 

1217

4

x4  2

3

3

4

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

65. f (x)  ( x 2  5 x  3)3

83. f (t) 

b 2 a t2 a r2  3

(2 x  3)2

84. f(r ) 

4x  3

85. f(t ) 

6t  3 5t  8

86. f (z) 

6  3z 5  6z

¤2 1 ³2 69. y  ¥  2 ´ ¦x x µ

87. f(x) 

ax  b ax  b

z2  4

88. f (x) 

2 3x  3 x

89. f (t ) 

1  2t 1  2t

66. y 

3

67. y 

¤1 ³ 68. f (x)  ¥ x  2 ´ ¦3 µ

3

r2  4

1

70. f (z) 

71. y 

3

x 6  3x

2

1 ³ ¤ 72. y  ¥ 4 x 2  x ´ (9 x  8 ) ¦ 2 µ

¤ w  3³ 90. f(w)  ¥ ¦ w  2 ´µ

3³ ¤ 73. y  (5 x  3) ¥ 4 x  ´ ¦ xµ

91. f(U) 

6(2  U 3 ) 3  2U

74. y  x 3 ( 3x  1)

92. f(s) 

s2  2 s2  6s

75. f (x)  x 2 x  1

93. f(x) 

5x2 2 b2  x2

94. f(t ) 

(9t  6 )3 (27  3t )2

77. y  x 2 x 1

95. f (x) 

4 xb 2a  6 x

78. f (x)  ( 3x 2  5 )4 (2 x 2  1)3

96. f(x)  2 x 4  x 2

79. f (U)  (U 2  1)3 (U 3  2 )2

97. y 

4  3t t 1

98. y 

76. y 

x (2 x  1)3 3

80. s 

¤2 3³ 81. s (t )  t 3 ¥  2 ´ ¦t t µ 82. f (x) 

2 4

x  a4 x3 3

x2  3

2

99. y  (2 x  3)

6 2  4x

100. y 

1218

x x 1 x 1

x 2  3x

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

101. y 

x2  9 x3

104. y 

102. y 

3

x 3 1 x 3 1

105. y 

103. y 

m

xn 1

m

x 1

x 2 x 1 4  5x

106. y  2 x

n

x 1

xn n

3

2 x 3 1 2 x 3 1

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Regla de la cadena Sea y  g(u), u  f (x), entonces la derivada de y  (g  f )(x)  g ( f (x)), se define: dy d d dy du  (g ° f )(x)  g( f ( x ))  • dx dx dx du dx

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra

dy si y  u 2  9; u  x 2  1 dx

Solución Por definición

dy dy du dy du , entonces  •  2u y  2 x , por tanto: dx du dx du dx dy dy du  •  (2u )(2 x )  4 ux  4(x 2  1)x  4x (x 2  1) dx du dx

2

Obtén

v 1 d ( y  u  v), si y  u 3, u  ,v v 1 dx

x2 1

Solución Cuando hay más de dos funciones, la derivada es: dy dy du dv  • • dx du dv dx Luego: dy du 2 dv x   2  3u 2, y du dv (v  1)2 dx x 1 Por consiguiente, el resultado es: § 2 ¶§ x ¶ 6u 2 x d ·  ¨ 2 ( y  u  v)  §© 3u 2 ¶¸ ¨  2 · dx (v  1)2 x 2  1 © (v  1) ¸ ¨© x  1 ·¸

1219

6







2

x2 1 1 x



x 2 1 1

4

x 2 1

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

3

Deriva la función y  3 x 3  2 x 2  8 , utilizando la regla de la cadena. Solución Al tomar u  x 3  2 x 2  8 , entonces y  3 u , luego: dy 1  du 3 3 u 2

y

du  3x 2  4 x dx

Al utilizar la regla de la cadena, se obtiene como resultado: dy dy du § 1 ¨  • dx du dx © 3 3 u 2

¶ 3x 2  4 x 3x 2  4 x 2  · §© 3x  4 x ¶¸  3 2 3 u 3 3 ( x 3  2 x 2  8 )2 ¸

EJERCICIO 30

dy , para las siguientes funciones: dx 1 1. y  u 2  u, u  x

Determina

2. y 

u 1 ,u u 1

3. y 

2u 3  3u , u  x 2  1

x 3 1 x 3 1

7. y 

8. y 

x

u 1 v2 ,u ,v u 1 v2

9. y 

u 1 , u 

4. y 

3 2  ,ux1 u3 u2

10. y 

5. y 

u , u  x 3  6x 2  8x u 2 1

11. y  u 2  1, u 

6. y 

1 ,u u

x2 1

v2 ,v v2 1

x

v 1 , v  (x 2  3)2 v 1 v ,v

x 1 x 1

(2 x  1)5  (2 x  1)3

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Derivadas de funciones trascendentes Se clasifican en funciones trigonométricas directas e inversas, logarítmicas y exponenciales, por ejemplo: y  sen 3 x

y  tan(e x  ln x)

y  ln 2 x  1

y  3 x  x2

y  e cos x

y  arc sen(x  2)

Ú Trigonométricas d dv sen v  cos v dx dx

d dv cot v csc 2 v dx dx

d dv cos v sen v dx dx

d dv sec v  sec v tan v dx dx

d dv tan v  sec 2 v dx dx

d dv csc v csc v cot v dx dx

1220

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

4

Ú Inversas trigonométricas d 1 dv • arcsen v  2 dx 1  v dx

d 1 dv • arc cot v  2 dx 1  v dx

d 1 dv • arc cos v  2 dx dx 1 v

d 1 dv • arc sec v  2 dx dx v v 1

d 1 dv • arc tan v  dx 1  v 2 dx

d 1 dv • arc csc v  dx v v 2  1 dx

Ú Logarítmicas log b e dv d log b v  • dx v dx

d 1 dv ln v  • dx v dx Ú Exponenciales d v dv e  ev • dx dx

d v dv a  a v ln a • dx dx

d v du dv  ln u • u v u  v • u v1 dx dx dx

Derivadas de funciones trigonométricas

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina la derivada de las siguientes funciones: y  sen 5x 2, y  tan 6x, y  csc 4x 3 Solución Se aplican las fórmulas

d dv d dv d dv , , a cada una de sen v  cos v tan v  sec 2 v csc v csc v cot v dx dx dx dx dx dx

las funciones: dy d ¤ d ³  sen 5 x 2  cos 5 x 2 ¥ 5 x 2 ´  cos 5x 2(10x)  10x cos 5x 2 ¦ dx µ dx dx dy d ¤ d ³  tan 6 x  sec 2 6 x ¥ 6 x ´ sec 2 6 x (6 )  6 sec 2 6x ¦ dx µ dx dx dy d ¤ d ³  csc 4 x 3 csc 4 x 3 cot 4 x 3 ¥ 4 x 3 ´ csc 4 x 3 cot 4 x 3 (12 x 2 ) 12 x 2 csc 4 x 3 cot 4 x 3 ¦ dx µ dx dx

2

Deriva la función y  4 cos(x 2  1) Solución Se aplica la fórmula

d dv , con v  x 2  1 cos v sen v dx dx

§ d ( x 2  1) ¶ dy d d cos( x 2  1) 2   4 ¨sen(x 2  1) 4 cos( x 2  1)  4 ·  4 sen(x  1) • 2 x dx dx dx dx © ¸ por tanto,

dy  8x  sen(x 2  1) dx

1221

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

3

sen x  cos x sen x  cos x

Encuentra la derivada de la función y  Solución

Primero se aplica la fórmula del cociente de funciones: du dv d ¤ u ³ v dx  u dx ¥ ´ dx ¦ v µ v2 (sen x  cos x ) dy  dx

d (sen x  cos x ) d (sen x  cos x )  (sen x  cos x ) dx dx (sen x  cos x )2

Se derivan las funciones con las fórmulas para la función seno y coseno:

dy  dx

§ d sen x d cos x ¶ § d sen x d cos (sen x  cos x ) ¨   (sen x  cos x ) ¨  · dx dx dx © ¸ © dx 2 (sen x  cos x )

x¶ ·¸

dy (sen x  cos x )(cos x  sen x )  (sen x  cos x )(cos x  sen x ) (sen x  cos x )2  (cos x  sen x )2   2 dx (sen x  cos x ) (sen x  cos x )2 dy sen 2 x  2 sen x cos x  cos 2 x  cos 2 x  2 sen x cos x  sen 2 x 2(sen 2 x  cos 2 x )   dx (sen x  cos x )2 (sen x  cos x )2 Se aplica la identidad trigonométrica sen2 x  cos2 x  1 y se obtiene como resultado: dy 2  (sen x  cos x )2 dx

4

Determina la derivada de la función r  tan 3



U U



Solución Se expresa tan 3





U  U  §© tan

3 d n dv U  U ¶¸ y se aplica la fórmula v  nv n1 dx dx













3

d § tan U  U ¶¸ d tan 3 U  U dr   ©  3 §© tan dU dU dU Se deriva la tangente con la fórmula dr  3 tan 2 dU dr  3 tan 2 dU













U  U • sec 2

U  U • sec 2

¤ 3 6 U ³ dr 2  ¥ ´ • tan dU ¦ 2 U µ





2

U  U ¶¸ •

d tan



U U

dU

d dv y se simplifican los resultados: tan v  sec 2 v dx dx d 

U U •

U U



dU

¤ 1 ³ U U •¥ 1´  3 tan 2 ¦2 U µ







U U • sec 2



U U



1222





U  U • sec 2



¤ 1 2 U ³ U U ¥ ´ ¦ 2 U µ





CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

5

Deriva la función s  cos 2t  sen 4t Solución Se aplica la fórmula para derivar un producto

d dv du (uv )  u  v dx dx dx

d sen 4 t d cos 2t ds d (cos 2t sen 4 t )   cos 2t •  sen 4 t • dt dt dt dt Se deriva el seno y coseno con sus respectivas fórmulas y se obtiene el resultado: d (4t ) ¶ d (2t ) ¶ ds § §  cos 2t • ¨ cos 4 t  cos 2t ; 4 cos 4 t =  sen 4 t ;2 sen 2t =  sen 4 t • ¨sen 2t dt ·¸ dt ·¸ dt © © ds  4 cos 2t cos 4t  2 sen 2t sen 4t dt

6

¿Cuál es la derivada de la función y 

1 ? sen x

Solución du dv d ¤ u ³ v dx  u dx Se aplica la fórmula ¥ ´ dx ¦ v µ v2

dy d  dx dx

1  sen x

sen x

d sen x d (1) 1 dx dx 2 sen x





Se realizan las respectivas derivadas: d sen x cos x 1 1 d (1) d sen x (cos x )    0 y dx dx 2 sen x dx 2 sen x 2 sen x Se sustituyen y se obtiene como resultado:

dy  dx

¤ cos x ³ cos x sen x (0 )  1¥ ´ ¦ 2 sen x µ cos x 2 sen x  sen x   sen x 2 sen x sen x 1

EJERCICIO 31 Deriva las siguientes funciones trigonométricas:

1. y  sen 8x

5. f (x)  cot 4x 3

2. f (x)  cos 3x 2

6. f (x)  csc 9x

3. f (x)  tan x 3

7. f (x)  cos ax

4. s (t )  sec 6t

8. s (t )  tan bt 2

1223

4

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

9. f (x)  6 sec x 2 10. f (x) 

31. f (x)  tan4 3x 2

1 x csc 2 4

32. f (x) 

sen 4 x

11. f (x)  a cos 3x

33. f(x) 

sec 5 x 2

12. f (x)  cot(3x  5)

34. f(x) 

13. f (x)  2 sen

x 2

3

3 tan x 2

35. f(x)  x sen x

P³ ¤ 14. f (x)  cos ¥ 5 x  ´ ¦ 2µ

36. f(x)  x 2 cos x 2

15. s (t )  tan(at  P)

37. f(x) 

sen 3x x

16. f (x)  sen x  cos x

38. f(t ) 

cos 5t 2 t2

17. s (t )  sen t

39. y  sen(ax 2)

18. f (x)  cot 3 x

40. y  a cos (3x)

19. f (x)  sen

1 x

41. y  tan x

20. s (t )  cos

1 t3

42. y 

1 sec 3x 2 6

21. f (x)  sec

1 x

43. y 

1 2x csc 2 3

22. f (x)  tan 3x  3x

¤ 1³ 44. y  x 2  3x  sen ¥ ´ ¦ xµ

23. f (x)  ax  cot ax

45. y  3 cot (1  x 2 )

24. f (x)  sen(x  1)2

46. y 

25. s (t )  cos(3t 2  2)3

47. y  sen2(2 bx)

26. f (x)  4 cot x 1

48. y  tan4(2x  1)3

¤ x  1³ 27. f (x)  tan ¥ ¦ x  1 ´µ

49. y 

¤ ax  b ³ 28. f (x)  sec ¥ ¦ ax  b ´µ

50. y 

29. f (x)  sen2 5x

51. y  x  cos3 4x

30. f (x)  cos3 bx

52. y 

1224

¤ x  1³ 2 sen ¥ 3 ¦ x  1 ´µ

sec 2x

3

3 tan x 2

x2 sen ax

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

53. y  x csc 2 x

x (1  sen x )(1  sen x ) cos x

64. y 

54. y 

cos  mx sen  nx

65. y  2 sen x cos x

55. y 

1 1 sen x

66. y 

csc x • tan x cos x

67. y 

1  cos x 2

56. y  x cos x  sen x 57. y 

tan x  1 tan x  1

68. y  cos2(3x  1)  sen2(3x  1)

58. y  x 2 sen 2x  4x cos 2x  sen 2x

69. y 

1  sen 2 x x2

59. y  cos(2x  1)  tan(1  2x)

70. y 

(1  tan x )2 sec x

60. y  x 2 sec(P  x)

71. y 

1 sen 3 x  sen x  1 3

¤ 3x sen x ³ 61. y  ¥ ¦ 3x  1 ´µ 62. y  cos

63. y 

3

72. y  2 cos x  2x sen x  x 2 cos x

x 1 x 1

73. y 

3 1 1 x  sen 4 x  sen 8 x 8 8 64

1  tan 2 x x sec x

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Derivadas de funciones inversas trigonométricas

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Deriva la función y  arc sen x 2 Solución Se aplica la fórmula

d (arcsen v )  dx

1 1 v

dy d  (arcsen x 2 )  dx dx

2

•

dv dx 1 2 2

1 (x )

Por consiguiente, la derivada de la función es y  

•

d (x 2 )  dx

2x 1 x4

1225

1 1 x4

(2 x ) 

2x 1 x4

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

2



¿Cuál es la derivada de la función y  arc tan



x 1 ?

Solución 1 d dv  arc tan v  v2  1 • dx dx

Se aplica la fórmula

dy d  arc tan dx dx





x 1 

1





•

2

d

x 1 1





x 1 dx



1

1 2 x x 1 1





dy  dx 2 x § ¨©

•

2

1





2 x  1  1¶ ·¸

dy 1  dx 2 x §© x  2 x  2 ¶¸

3

Obtén la derivada de la función r  U 2 arc sec U Solución § dU ¶ dr d dU2 1 ·  arc sec U(2 U )  U2  U2 ¨ arc sec U  arc sec U 2 dU dU dU ¨© U U  1 d U ·¸ 

4

Determina la derivada de la función y 

U U2 1

 2 U arc sec U

arc sen x x

Solución ¤ 1 dx ³ d dx x¥ ´  arcsen x 2 x  arcsen x   arcsen x ¦ 1  x dx µ dy dx dx   x2 x2 dx x dy  dx

1 x2

 arcsen x x

2



x x

2

1 x

2



1 arcsen x arcsen x   2 2 x x2 x 1 x

EJERCICIO 32 Determina la derivada de las siguientes funciones:

1. y  arc sen 5x

5. f (x)  arc sec x 2

2. f (x)  arc cos 4x 2

6. f (x)  arc csc 3x 2

3. f (x)  arc tan 3x

7. f(x)  arc cos

x b

4. y  arc cot x 3

8. f(x)  arc sen

x 4

1226

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

9. f (x)  arc tan

x a

10. f (x)  2 arc sec

27. f (r)  arc sen(r  2) 28. y 

x

1 ¤ 2 x  1³ arc tan ¥ ¦ 2 µ´ 4

11. y  arc sen(3  x 2)

¤ x 2³ 29. y  4 arc sen ¥  4 x  x2 ¦ 2 ´µ

12. y  arc cos 1  x 2

¤ 2 ³ ( x  6) 4 x  x 2 30. y  6 arc csc ¥  2 ¦ x  2 ´µ

13. y  x 2 arc tan x

31. y 

14. y  x arcsen x  1  x 2

32. s (t)  3 9  t 2  2 arc sen

¤ 16  x 2 ³ x 16  x 2 15. y  8 arc cot ¥ ´ x 2 ¦ µ

33. 6y  25 arc sen

¤ x ³ 16. y  x arc csc( x1 )  arc tan ¥ ´ 2 ¦ 1 x µ

34. w  2 U  2  2 arc tan

¤ x 2  1³ x 17. y  ¥ arc tan x  2 ¦ 2 ´µ

35. y 

18. W  arc csc U 2  1

x 5 x³ ¤ 36. y    arc tan ¥ 2 tan ´ ¦ 3 6 2µ

x 1 1 2 x  x 2  arc sen (x  1) 2 2

3x  3x 25  9 x 2 5

x 1 1  4 x 2  arc sen 2 x 2 4

x³ ¤ 37. y  arc sen ¥ cos ´ ¦ 3µ

20. y 

¤ x2  2 ³ x3 arc sen x  ¥ 1 x2 3 ¦ 9 ´µ

38. y  x arc cot(tan x)

b 2  r 2  b • arcsen

r b

39. y 

arc sec (2 x ) 4 x 2 1

22. y  x  arc tan x

x³ ¤ 40. y  arc sec ¥ 2 sec ´ ¦ 2µ

¤ x ³ 23. y  arc tan (2 x )  arc sen ¥ ´ 2 ¦ 1 x µ

¤ 2x  4 ³ 41. y  4 arc sen ¥ ¦ 3x  2 ´µ

24. y  arc sen

42. s  t 2 arc cos(1  t)  2t

x

¤ 1³ 25. y  x arc cos ¥ ´ ¦ xµ

43. y  arc cos(a  x)

26. y  arc sen(4ax  4x 2)

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1227

U2 2

2 x³ ¤1 arc tan ¥ tan ´ ¦3 3 2µ

19. y 

21. f (r) 

t 3

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales A continuación se enlistan las propiedades de los logaritmos, las cuales, al aplicarlas, simplifican la función al momento de obtener su derivada. 1 1. log a AB  log a A  log a B 4. log a n A  log a A n A  log a A  log a B 5. log n a A  (log a A )n 2. log a B 3. log a A n  n • log a A Las propiedades anteriores también se aplican a los logaritmos naturales.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra la derivada de la función y  ln x 2 Solución Al aplicar la fórmula

d ln v 1 dv  , se obtiene: dx v dx dy d ln x 2 1 dx 2 1 2   2  2 (2 x )  x dx x dx dx x

Por consiguiente, la derivada de la función es

2

dy 2  dx x

¿Cuál es la derivada de y  ln2(x 2  x)? Solución Se expresa la función como: ln2(x 2  x)  [ln(x 2  x)]2 y se aplica

d n ¤ d ³ v  nv n 1 ¥ v´ ¦ dx µ dx

d ln (x 2  x ) 1 d(x2  x) dy d   2 ln (x 2  x ) • 2 [ln (x 2 x )] 2  2 ln (x 2  x ) dx x x dx dx dx 1 dy  2 ln (x 2  x ) 2 • (2 x  1) x x dx 2 x 1 dy  2 ln (x 2 x ) 2 x x dx dy 2 (2 x 1) • ln ( x 2  x ) 4x  2   2 • ln (x 2  x ) dx x2  x x x

1228

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

3

Obtén la derivada de y  x 2 ln(mx)2 Solución Se utiliza la fórmula del producto

duv dv du u v dx dx dx

d d 2 dy d 2  x ( x ln( mx )2 )  x 2 ln (mx )2  ln (mx )2 dx dx dx dx dy 1 d  x2 • ( mx )2  ln( mx )2 • (2 x ) dx ( mx )2 dx dy 1  x2 • • 2( mx )m  2 x ln( mx )2  2x  2x ln(mx)2 dx ( mx )2 Utilizando loga An  n loga A, se obtiene: dy  2x  2x (2 ln(mx))  2x  4x ln(mx)  2x[1  2 ln(mx)] dx

4

Determina la derivada de la función y  ln(sen x) Solución Se deriva la función y mediante identidades trigonométricas se obtiene: dy d 1 d 1 cos x   cot x ln (sen x )  • (sen x )  • cos x  dx dx sen x dx sen x sen x

5

¤ 1  sen x ³ Deriva y  ln ¥ ¦ 1  sen x ´µ Solución Al aplicar las propiedades de los logaritmos se obtiene: y  ln(1  sen x)  ln(1  sen x) Se deriva la función: y 

¤ ³ d ¤ ³ d d d 1 1 ln (1  sen x )  ln (1  sen x )  ¥ 1  sen x  ¥  1  sen x ´ dx dx ¦ 1  sen x µ dx ¦ 1  sen x ´µ dx

¤ ³ ¤ ³ 1 1 cos x cos x y  ¥ (cos x )  ¥ (cos x )   1  sen x 1  sen x ¦ 1  sen x ´µ ¦ 1  sen x ´µ

6

y 

cos x (1  sen x )  cos x (1  sen x ) cos x  cos x sen x  cos x  cos x sen x  (1  sen x )(1  sen x ) (1  sen x )(1  sen x )

y 

¤ 1 ³ 2 cos x 2 2 cos x    2¥  2 sec x 1  sen 2 x cos x ¦ cos x ´µ cos 2 x

¿Cuál es la derivada de la función y  e 2x  1? Solución Se aplica la fórmula

dv d d v dy y se obtiene:  e2 x1 • (2 x  1)  e 2x  1  2  2e 2x  1 e  ev dx dx dx dx

pero y  e 2x 1 por tanto

dy  2e 2x1  2y dx

1229

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

7

Determina la derivada de la función y  3 ecos x Solución

1

1

La función se puede expresar como y  3(ecos x ) 2  3e 2

cos x

, se deriva:

1 1 1 cos x cos x ¤ 1 cos x d ¤1 3 dy d ¤ 12 cos x ³ ³ ³  3e  3e 2 • ¥ cos x ´  3e 2 • ¥ (sen x )´   sen x • e 2 ¥ ´ ¦ µ ¦ µ dx 2 2 2 dx dx ¦ µ

3 dy   sen x • ecos x 2 dx

8

Obtén la derivada de y  x 3 • e

x

Solución Se utiliza la fórmula del producto dy d 3  x •e dx dx



dy  x3 • e dx

x

dy 1  x2 • e dx 2

9

• x

x

x

3

d x e e dx

1  3x 2 • e 2 x



x 6

duv dv du u v dx dx dx

x



x

d 3 x  x3 • e dx

x

d x e dx

1 2 x x • e x  3x 2 • e 2

x

• ( 3x 2 )

x



¿Cuál es la derivada de y  5x

2

 5x  7?

Solución Se aplica la fórmula

d v dv a  a v • ln a dx dx 2 dy d x 2 5 x7 d  (5 )  5 x 5 x7 • ln 5 • ( x 2  5 x  7) dx dx dx

 5x

2

5 x7

• ln 5 • (2 x  5 )

 (2 x  5 ) • 5 x

10

Encuentra la derivada de la función y  (sen x)e

2

5 x7

• ln 5

x

Solución Se aplica la fórmula

du dv d v  ln u • u v • u  v • u v 1 • dx dx dx

x x d d dy  e x (sen x )e 1 (sen x )  ln(sen x ) • (sen x ) e (e x ) dx dx dx x x dy  e x (sen x )e (sen x ) 1 (cos x )  ln(sen x ) • (sen x )e (e x ) dx x ¤ cos x ³ x dy  e x (sen x )e ¥  ln(sen x ) • (sen x )e (e x )  ex (sen x)ex cot x  e x (sen x)e x ln(sen x) ¦ sen x ´µ dx x dy  e x (sen x )e [cot x  ln (sen x )] dx

1230

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

EJERCICIO 33 Obtén la derivada de las siguientes funciones: 1. y  ln x 3

25. y  ln 3 x 3  8

2. f (x)  ln 4x 2

26. y  ln 2 ( x )

3. f (x)  ln(3x 2  5x  2)

27. y  ln[(6x  4)(3x 2  2)]

4. f (x)  ln

28. y  log 3

x

1 2x 1 2x

5. f (x)  log x 6

29. y  log (5bx 3  3 x )

6. f (x)  log 5x 3

30. y  x  ln(e x cos x)

7. f (x)  log3 x

31. y  ln(sen2 x)

8. f (x)  log4 3 x

32. y  x ln x

9. f (x)  ln4 x

33. y  ln(sec2 2x  cos3 2x)

10. f(x)  ln3 5x

34. y 

11. y  x 2 ln x

35. y  ln(sec x  tan x)

12. y  x ln 13. y 

x2

36. y  ln 1  sen 2 x

ln x x

14. f (x) 

ln x

37. y  ln(x sen x)

ln x 2 x

38. y  x3 ln x2



15. y  ln b  ax

39. y  ln tan x

16. f (x)  ln x 2 3x 2  1

40. y  log x

17. f (x)  ln ax ax 2  b

41. y  2x

¤ 3x  5 ³ 18. y  ln ¥ ¦ 2 x  1 ´µ

42. f(x)  b

19. y  ln

2

cx  b cx  b



 5x

x

43. y  3ln x

20. y  ln sen x

44. y  5x sen x

21. y  ln cos 5x

45. y  x  2ln x

22. y  ln(x 2  4)

46. y  x  5x

23. y  ln 3x  4

47. y  e x

¤ 2 x  3³ 24. y  ln ¥ ¦ 2 x  3 ´µ

48. y  e 3x

2

2

1231

 2x  1

3

4

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

49. y  e

3 x 2 1

70. y  e arc tan x

50. y  e x tan x

71. y  ln



xe2 x

51. y 

2x  ³ b ¤ 2bx e e b ´ ¥ 2¦ µ

72. y  xe ln x

52. y 

e2 x  e2 x e2 x  e2 x

73. y 

ex x 1

74. y 

xe x ln x 2



2

53. f (x)  e 4x

54. f (x)  e 5x

75. y 

ln x  1 ln x  1

55. f (x)  e 3x  1

76. y 

esen x  1 esen x  1

2

x

77. y  ln(ln sen2 ax)

56. f (x)  e 5

e x sen x

57. f(t) 

3

et

78. y  eln

58. f (x) 

4

ex

79. y  x 2 e sen x

1

ln sen x x x

59. f (x)  e x

2

80. y 

60. f (x)  e

x

81. y  ln 3ax 2



2

x2  4







U

82. y 

62. f (x)  e cos 2x

83. y 

63. y  e x sen x

84. y  x arc tan x  ln 1  x 2

64. f (x)  53x

85. y 

65. f (x)  72x

86. y  x arc sec x  ln x  x 2  1

61. f (U)  e sen

x 2  9  3 ln x  x 2  9

1 1 sec 2 x tan 2 x  ln(sec 2 x  tan 2 x ) 4 4



x 2 x  4  2 ln x  x 2  4 2



2





1 ¤ 2 x  3³ ln 12 ¥¦ 2 x  3 ´µ

66. f (x)  5x

87. y 

67. y  x 2x

88. y  x arc cot x  ln 1  x 2

68. y  x cos x

x 89. y  x arc csc  2 ln x  x 2  4 2

69. y 

x



x

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1232



CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

4

Derivadas de funciones implícitas Una función implícita es una relación que se expresa en términos de x y y, por ejemplo: 3x 3  y  5x  x 2;

sen x  cos(x  y);

e x  y  x;

ln(x  y) 

xy

En una función implícita se derivan término a término los elementos de la igualdad respecto a la variable que se indica y al final se despeja la derivada.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

¿Cuál es la derivada

dy de la función implícita 3x 2  6xy  y 2  2x  y? dx

Solución Se derivan ambos miembros de la igualdad: d d ( 3x 2  6 xy  y 2 )  (2 x  y ) dx dx d 3x 2 d 6 xy dy 2 d 2 x dy     dx dx dx dx dx 3

dx 2 dxy dy 2 dx dy 6  2  dx dx dx dx dx

dx ³ dy dy ¤ dy 3(2 x )  6 ¥ x  y ´  2 y  2(1)  ¦ dx µ dx dx dx 6x  6x Se agrupan los términos que contienen

dy dy dy  6y  2y  2  dx dx dx

dy , y se despeja: dx 6 x

dy dy dy  2y   2  6y  6x dx dx dx

dy (6 x  2 y  1)  2  6 y  6 x dx dy 2  6 x  6 y  dx 1  6 x  2 y Por lo regular, el resultado de la derivada de una función implícita se expresa en términos tanto de x como de y. dy Es común que en algunos casos la expresión se represente como y . dx

1233

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

2

Determina la derivada y  de la función

xy  x  y

Solución Al derivar ambos miembros de la igualdad se obtiene:

d d x  y  ( x  y) dx dx

Se despeja y de la igualdad

d ( x  y ) dx dy dx   dx dx 2 xy

3

dx dy  dx dx  1  dy dx 2 xy

3

1  y  1  y , y el resultado es: 2 xy

1  y   2 x  y  2y  x  y

3

y   2y  x  y  2 x  y  1





y  1  2 x  y  2 x  y 1 y 

3

2 x  y 1 1 2 x  y

Obtén la derivada y  de la función y  e x  y Solución Se derivan ambos miembros de la igualdad: dy d xy  e dx dx

y   e xy •

3

d ( x  y) dx

3

y   e xy (1  y)

3

y (1  e x  y)  e x  y

Se despeja y de la igualdad: y  e x  y  y e x  y

3

y   y e x  y  e x  y

Donde: y 

4

e xy 1  e xy

o

y 

y 1 y

Encuentra la derivada y  de la función implícita sen(x  y)  x Solución d dx sen(x  y )  dx dx

3

cos(x  y)(1  y )  1

3

cos(x  y)  y cos(x  y)  1 y cos(x  y)  1  cos(x  y)

Donde, la derivada y 

1 cos (x  y ) 1 cos( x  y )   sec(x  y)  1  cos (x  y ) cos( x  y ) cos( x  y )

1234

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

5

Obtén la derivada

dy de la función implícita x  ln y  ln x dx

Solución d d ( x  ln y )  (ln x ) dx dx

3

dx d ln y d ln x   dx dx dx

3



3

1

1 1  y  y x

Se despeja la derivada de la igualdad: 

6

1 1  y   1 y x

1 1 x  y  y x

3

y 

xy  y x

Determina la derivada respecto a x de la función cos(x  y)  sen(x  y) Solución d d cos (x  y )  sen(x  y ) dx dx sen(x  y )

d d ( x  y )  cos( x  y ) ( x  y ) dx dx

sen(x  y)  (1  y)  cos(x  y)  (1  y ) sen(x  y)  ysen(x  y)  cos(x  y)  ycos(x  y) Se despeja la derivada: ycos(x  y)  ysen(x  y)  cos(x  y)  sen(x  y) y [cos(x  y)  sen(x  y)]  cos(x  y)  sen(x  y) y 

7

cos (x y )  sen(x  y ) cos (x y )  sen(x  y )

x  y  2a

Encuentra la derivada de la siguiente función implícita Solución d d ( x  y )  (2 a ) dx dx

3

1 2 x



1 2 y

 y  0

3

y  

2 y 2 x

y  

y x

EJERCICIO 34 Deriva las siguientes funciones implícitas respecto a x: 1. x 2  y 2  4

5. 3x 2  2xy  6y 2  1

2. 2xy  1

6. (x  1)2  (y  1)2  5

3. y 2  8x  0

7.

xy x xy

4. x 2  2y 2  5x  2y  1  0

8.

x 2 y2  1 a2 b2

1235

4

4

CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

9.

3

30. xe y  y  0

xy  2

10. y 3  2 xy 2  x 3 y  5 x 2 y 2  y

31. eln y  xy  2

11. 3x 3  2 x 2 y  5 xy  y  3x

32. sen(e xy )  e xy  x

12. y x  y  x

33. e x cos y  3x

13.

x  y  xy

14. x  15.

34. sen(x  a)  cos(y  b)  ab

2 x  3y 2 x  3y

35. y  cos x  sen y 36. sen2(4x)  cos2(4y)  8

x  y  2x

16. y  ln x y

37. e cos x  e sen y  sen y

17. x 2y 2  e ln(xy)

38. sen(xy )  2 x  3

18. ln(sen(e y ))  x

39. sen x  cos y  3  0

y

19.

e 3 ex 1

20. ln

40. ecos y  cos x

y 1 x2 1

41.

21. x  y  ln (x  y ) 2

22.

42. x arc tan y  y  0

2

ex  ey 1 x 2  y2

23. 3x

2

1  sen x x 1  sen y

2 y

43. y  ln [sen(x  y )] 44. 2 y  x  3  0

1

24. x y  2 25. y  arc tan

45. esen y  xy  2 y  0 x y

46. x y  y x  0

26. y ln x  x ln y  2  0

47. 2  sen(x  y )  y  cos (x  y )

27. y 2  ln ( ln x )y

48.

28. ln(1  e y )  e x

49. y arc cot x  x  2  0

29. ln x ln y  x  0

50. y arc cos (e x )  cos y

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1236

y  x2 tan xy

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

4

Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior se obtienen al derivar una función y  f(x), tantas veces como lo indique el orden requerido. dy La derivada de una función se llama primera derivada y se denota con y   dx La derivada de la derivada se llama segunda derivada y se denota con y  

d2y dx 2

El proceso de hallar derivadas, una tras otra, se llama derivadas sucesivas. La enésima derivada de una función se denota con y ( n ) 

dny  f (n ) ( x) dx n

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra la segunda derivada

d2y de la función y  cos3 x dx 2

Solución Se obtiene la primera derivada de la función: dy d cos 3 x   3 cos2 x sen x dx dx Finalmente, se deriva el resultado anterior para obtener la segunda derivada: d2y d  (3 cos 2 x sen x )  3 cos3 x  6 sen2 x cos x dx 2 dx

2

Determina

d 3y de la función y  ln x dx 3

Solución Se obtiene la primera derivada: dy d (ln x ) 1   dx dx x Se encuentran la segunda y tercera derivadas: 1 d2y d ¤ 1³  ¥¦ ´µ   2 2 x dx dx x Finalmente, el resultado es:

3

Encuentra

3

d 3y d ¤ 1³ 2  ¥¦  2 ´µ  3 3 x dx dx x

d 3y 2  3 x dx 3

d4y de la función f (x)  x 3  2x 2  x dx 4

Solución Se deriva sucesivamente la función, hasta llegar a la cuarta derivada: f (x)  x 3  2x 2  x

f (x)  3x 2  4x  1 f (x)  6 f 4(x)  0

1237

f (x)  6x  4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

4

¿Cuál es el resultado de

d2y de x 2  3xy  y  1? dx 2

Solución Se obtiene la primera derivada implícita:

d 2 d ( x  3xy  y )  (1 ) dx dx

3

¤ dy ³ dy 2 x  3 ¥ x  y´  0 ¦ dx µ dx 2 x  3x

d2y d ¤ 3y  2 x ³  La segunda derivada es: dx 2 dx ¥¦ 1  3x ´µ

3

dy dy  3y  0 dx dx dy (1  3x )  3y  2x dx dy 3y  2 x  dx 1  3x

d2y  dx 2

¤ dy ³ (1  3x ) ¥ 3 2 ´ ( 3y  2 x )(3) ¦ dx µ (1  3x )2

d2y  dx 2

§ ¤ 3y  2 x ³ ¶ (1  3x ) ¨ 3 ¥ ´µ 2 · ( 3y  2 x )(3) 1  3 x ¦ © ¸ (1 3x )2

d2y 3( 3y  2 x )  2(1  3x )  ( 3y  2 x )(3)  dx 2 (1  3x )2 d2y 9y  6x  2  6x  9y  6x  dx 2 (1  3x )2 d2y 18 y  6 x  2  dx 2 (1  3x )2

5

Determina

d2y de x 2  xy  y 2  2 dx 2

Solución Se obtiene la primera derivada: d 2 d ( x  xy  y 2 )  (2 ) dx dx 2x  x

dy ³ ¤ dy 2x  ¥ x  y´  2y 0 ¦ dx µ dx

3

dy dy  y  2y 0 dx dx

3

d2y d ¤ y  2x ³  Se obtiene la segunda derivada: dx 2 dx ¥¦ 2 y  x ´µ

dy (2y  x)  y  2x dx

3

3

3

y  2x dy  2y  x dx

d2y  dx 2

¤ dy ³ ¤ dy ³ (2 y  x ) ¥  2 ´ ( y  2 x ) ¥ 2 1´ ¦ dx µ ¦ dx µ (2 y  x)2

d2y  dx 2

¤ 3x ³ ¤ 3y ³ (2 y  x ) ¥ ( y  2 x ) ¥ ¦ 2 y  x ´µ ¦ 2 y  x ´µ 2 (2 y  x )

al simplificar se obtiene:

6( x 2  xy  y 2 ) d2y 

dx 2 (2 y  x )3

pero x2  xy  y2  2

6(2 ) 12 d2y   dx 2 (2 y  x )3 (2 y  x )3

1238

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

EJERCICIO 35 Realiza lo que se te indica: 1. Determina

d4y , si f (x)  x 4  2x 3  4x 2  5x  2 dx 4

d 3y , si y  4x 2  6x  2 dx 3 4 x 1 d2y 3. Determina , si y  2 5x  3 dx

2. Obtén

4. Determina 5. Obtén

ax  b d2y , si y  ax  b dx 2

d 3y , si y  (ax  b)4 dx 3

6. Determina

d4y , si y  sen x  cos x dx 4

d2y , si y  ln(sen x) dx 2 3 d 3y 8. Obtén , si y  ( x  1)2 dx 3 7. Determina

d2y , si y  tan e x dx 2

9. Encuentra 10. ¿Cuál es la 11. Obtén

d2y , si y  dx 2

12. Determina 13. Obtén

d2y , si x  3xy  2y  0? dx 2

d2y , si x 2  y 2  16 dx 2

d4y , si y  x ln x dx 4

14. Calcula la

d2y , si sen x  cos y  0 dx 2

15. Si y  x 2 sen x, obtén 16. Si y 

9  x2

d 3y dx 3

x 1 d 3y d n y , obtén ; x 1 dx 3 dx n

17. Encuentra y de xy  y  1  0 18. Si y  ln(cos x), determina 19. Si f (x) 

d 3y dx 3

1 d2y , obtén 1 sen x dx 2

20. Determina y y y de x 2  xy  y 2  2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1239

4

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Derivadas de ecuaciones polares Sea R  f (U) una función en coordenadas polares. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P(r, U) es: dy dy R sen U  R cos U dU m   dx dx R cos U  R sen U dU

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina

dy , para la ecuación polar R  4 cos 3U dx

Solución Por el teorema: § d ( 4 cos 3 U ) ¶ ·¸ sen U  [ 4 cos 3 U ] cos U 12 sen 3U sen U  4 cos 3U cos U 3 sen 3 U sen U  cos 3 U cos U dy ¨© dU    dx § d ( 4 cos 3 U ) ¶ 12 sen 3U cos U  4 cos 3U sen U 3 sen 3 U cos U  cos 3 U sen U cos U  [ 4 cos 3 U ] sen U ¨© · dU ¸

2

Encuentra la pendiente de la recta tangente a la curva R  1  sen U en U 

P 4

Solución Al utilizar el teorema: §d ¶ ¨© d U (1  sen U ) ·¸ sen U  (1  sen U )cos U dy cos U sen U  cos U  cos U sen U   d dx cos 2 U  sen 2 U  sen U § ¶ ¨© d U (1  sen U ) ·¸ cos U  (1  sen U )sen U

Se evalúa R en U 



2 cos U sen U  cos U cos 2 U  sen 2 U  sen U



sen 2 U  cos U cos 2 U  sen U

P 4 ¤ P³ ¤ P³ sen 2 ¥ ´  cos ¥ ´ 1 ¦ 4µ ¦ 4µ m  ¤ P³ ¤ P³ 0 cos 2 ¥ ´  sen ¥ ´ ¦ 4µ ¦ 4µ

1240

1 2 1 2  2   2 1 1 1  2 2

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

4

EJERCICIO 36 Determina la derivada de las siguientes ecuaciones polares: a 1 cos U

1. R  2 sen U  3 cos U

6. R 

2. R  4 csc U

7. R  e aU

3. R  a sen 5U

8. R  4 sec 2

4. R 

9. R  3  2 cos U

sen 2U

5. R  1  cos U

U 2

10. R  4 U

En las siguientes ecuaciones polares, encuentra la pendiente en el punto indicado: 11. R  2 cos U, U 

P 8

12. R  sen U  cos U, U  13. R  tan U, U  14. R 

P 3

P 4

2 ,UP a  sen U

15. R  2 cos 2U , U  

P 2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Derivada de ecuaciones paramétricas La curva y  f (x) se define por las ecuaciones paramétricas x  h (t ) y y  g (t ); entonces, la pendiente de la recta tangente en un punto P (x, y) es: d dy g(t ) dy dt dt , con dx : 0 m  d  dx dx dt h(t ) dt dt

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Calcula

1 dy para la función cuyas ecuaciones paramétricas son x  t 2  3t, y  t 1 dx

Solución Se determinan las derivadas respecto a t : 1 dx dy  2t  3;  (t  1)2 dt dt Por el teorema: 1 dy  1 dy  1)2 ( t  dt   dx 2t  3 (2t  3)(t  1)2 dx dt

1241

CAPÍTULO

4

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

2

Determina la pendiente de la recta tangente en el punto (x, y) a la curva, si sus ecuaciones paramétricas son x  t  2, 1 y  t 2  1 en el intervalo 3  t  3, para el punto correspondiente a t  2 8 Solución Para aplicar el teorema se obtienen las derivadas:

dy dx y dt dt

dy d §1 2 1 2t t ¶   (t )  1·  (2t )  dt dt ¨© 8 8 8 4 ¸

dx d  (t  2 )  1 dt dt

Al sustituir los resultados, se obtiene: dy t dy t  dt  4  dx 1 dx 4 dt Se evalúa la derivada en t  2, para obtener el valor de la pendiente: m

2 1  4 2

EJERCICIO 37 Deriva las siguientes funciones paramétricas: ªx  t 1. « , 2 ¬y  t  4

t0R

ª x  3t 3  5 ­ 2. « t 2 , y 4 ¬­

1t3

­ª x  t 2  t , 3. « ­¬ y  t

t0R

ª x  b sec U 4. « , ¬ y  a tan U

0U

1 ª ­x  5. « , t ­¬ y  t t  1

t0R

ª x  5 sen U  cos U , 6. « ¬ y  sen U  4 cos U

0UP

t ª ­x  t 2 1 ­ 7. « , 2 ­ y  t 1 ­¬ t 1

t0R

1242

P 2

CAPÍTULO CÁLCULO DIFERENCIAL U La derivada

U ª ­ x  cos 8. « 2 , ­¬ y  sen 2 U



ª x  5t 2 ­ 9. « 4 , ­ y  t2 ¬

3 t 3

10.

[

x  3  2 tan U , y  4  csc U

P P U 2 2

0  U  2P

En las siguientes ecuaciones paramétricas obtén el valor de la pendiente en el punto indicado: ª x  1  sen t 11. « ¬ y  1  cos t

0  t  2P,

t

ª x  mt 2  b 12. « ¬ y  nt  a

m  t  n,

t  2mn

ª x  b(2  3t ) 13. « 2 ¬ y  at

3a t 2b,

t

0  t  P,

tP

ª x  2 cot 2 U 15. « ­¬ y  4 cot U

0  U  2P,

U

ª x  5t 2 16. « 2 ¬y  t  t

3 t 3,

t1

14.

[

x  3t  cos t y  sen t

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1243

P 3

b 2a

P 4

4

sim p l i fic a

mp li fi ca

Ma te

Ma te

s simplificad as U

s simplificad as U

ca emáti M at

s da

U

imp

U Matemáti adas cas lific sim pli fi

ca

U Matemáti adas ca s lific sim pli fi

U

imp

s da

’Hôpital escribió el primer libro de cálculo en 1696, en el cual eran obvias las influencias de sus profesores Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli y Leibniz. ss ica át

ca emáti M at

ss ica át

Reseña

Ma tem

ca

sim

s simplificada sU

U Matemáti c as

tica temá

s cada

Ma

ticas simplificada s temá U Ma tem

U

L

5

plifi

sim pli fic a

HISTÓRICA

as tic

sim

im

fic a

DE LA DERIVADA Ma

s as tic

sim APLICACIONES pli

U

má

CAPÍTULO

s U Matemáti cada cas plifi s U Matemáti cada cas plifi

Ma tem

s da

m

im ss ca á ti

as U

s da

L’Hôpital sirvió como oficial de caballería, pero tuvo que retirarse a causa de ser corto de vista. Desde ese tiempo dirigió su atención hacia las matemáticas. L’Hôpital aprendió cálculo de su maestro Johann Bernoulli en 1691.

s da

UM

atem

áticas simplificadas

Matem ática das U a c fi s si pli

U as

simplificad

s ica át

d

ticas temá a M

UM a t e má

L’Hôpital era un excelente matemático, en 1692 su fama está basada en su libro Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes. En este libro publicó la regla que ahora se conoce como regla de L’Hôpital, para encontrar el límite de una función racional cuyo numerador y denominador tienden a cero. Guillaume François Antoine marqués de L`Hôpital (1661-1704)

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Rectas tangente y normal a una curva Analicemos primero algunas definiciones:

Tangente Recta que toca a una curva en un punto.

Normal Recta perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia. T: recta tangente N: recta normal AP1 : longitud de la tangente P1 B : longitud de la normal AQ : longitud de la subtangente QB : longitud de la subnormal

Y

y = f(x)

T

N

P1(x1, y1) U U O

A

Q

B

Ú Longitud de la subtangente. En el triángulo AQP1 la tan U  jar AQ se obtiene, AQ 

X

PQ dy 1 , pero PQ  y1 y tan U  m  , al despe1 dx AQ

PQ 1 , por consiguiente: tan U AQ 

y1 dy dx

Ú Longitud de la subnormal. En el triángulo BQP1 la tan U 

QB dy , pero QP1  y1 y tan U  m  , por tanto, dx QP1

al despejar QB se obtiene, QB  QP1  tan U, por consiguiente: QB  y1

dy dx

Ú Longitud de la tangente. Es la distancia que existe entre el punto de tangencia y la intersección de la recta tangente con el eje X. En el triángulo AQP1 por el teorema de Pitágoras: ( AP1 )2  ( AQ )2  (QP1 )2

1246

CAPÍTULO CÁLCULO

Pero, AQ 

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

y1 y QP1  y1, por consiguiente: dy dx 2

AP1

2

¤ ³ 2 ( y1 )2 ¤ ( y1 )2 ¥ y ´ ¤ dy ³ ³ 2  ¥ 1 ´  (y1)2  ´ 2 ¥1 ¥ 2  ( y1)  dy ¦ dx µ ´µ ¤ dy ³ ¦ ¤ dy ³ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ dx ¦¥ dx µ´ dx 2

Al despejar AP1 se obtiene, AP1 

y1 ¤ dy ³ 1 ¥ ´ , por tanto, dy ¦ dx µ dx AP1 

y1 1  y2 y

Ú Longitud de la normal. Es la distancia que existe entre el punto de tangencia y la intersección de la recta normal con el eje X. En el triángulo BQP1 por el teorema de Pitágoras: ( BP1 )2  ( BQ )2  (QP1 )2 Pero BQ  y1 •

dy y QP1  y1 dx 2 2 ¤ dy ³ ¤ ¤ dy ³ ³ ( BP1 )2  ¥ y1 • ´  ( y1)2  (y1)2 ¥ 1  ¥ ´ ´ ¦ ¦ dx µ µ dx µ ¦

2

¤ dy ³ Al despejar BP1 , se obtiene, BP1  y1 1  ¥ ´ , por consiguiente: ¦ dx µ BP1  y1 1  y2

Ecuación de la recta tangente La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P1(x1, y1) con pendiente m  y  y1 

dy está dada por: dx

dy (x  x1) dx

Ecuación de la recta normal La ecuación de la recta normal a una curva en el punto P1(x1, y1) con pendiente m  

y  y1  

1247

1 (x  x1) dy dx

1 está determinada por: dy dx

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva x 2  xy  y  x  4 en el punto (1, 2)? Solución Se derivan ambos miembros de la ecuación: d ( x 2  xy  y ) d ( x  4 )  dx dx Se despeja

3

¤ dy ³ dy 2 x  ¥ x  y´   1 ¦ dx µ dx

3

2x  x

dy dy  y  1 dx dx

dy dx 1 2x  y dy 1  2 x  y , por def inición mT   1 x dx 1 x

Al sustituir las coordenadas del punto de tangencia en la pendiente, se obtiene: m

2

1  2(1)  (2 ) 1  1 1 2

¤ P 1³ ¤P ³ Determina la pendiente de la recta tangente a la curva D  sen ¥  U ´ , en el punto ¥ , ´ ¦2 µ ¦ 3 2µ Solución Al derivar la ecuación de la curva: ¤P ³ d ¥  U´ µ dD ¤P ³ ¦2 ¤P ³ ¤P ³  cos ¥  U ´  cos ¥  U ´ (1)  cos ¥  U ´ ¦2 µ ¦2 µ ¦2 µ dU dU ¤P ³ se obtiene que: mT cos ¥  U ´ ¦2 µ Se sustituye el punto en la pendiente: 3 ¤ P P³ ¤ P³ m cos ¥  ´ cos ¥ ´  ¦2 ¦ 6µ 3µ 2

3

Encuentra la longitud de la subtangente, la subnormal, la tangente y la normal a la curva f(x)  x 2  6x  4 en el punto P(1, 1). Solución Se deriva la función y se evalúa en el punto para encontrar la pendiente de la recta tangente en ese punto. f(x)  2x  6 Si x  1, entonces, f (1)  2(1)  6  2  6  4

1248

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Por tanto, subtangente:

tangente:

4

y1 1  dy 4 dx

y1 ¤ dy ³ 1 ¥ ´ dy ¦ dx µ dx

2



subnormal: y1

dy  (1)(4)  4 dx

¤ dy ³ normal: y1 1 ¥ ´ ¦ dx µ

1 17 4

2



17

¤ 1³ Determina la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva xy  y  1 0 en el punto ¥ 3, ´ ¦ 4µ Solución y y , por definición mT   Al derivar la función se obtiene y    x 1 x 1 1 1 ¤ 1³ Se evalúa en el punto ¥ 3, ´ , m T   4   ¦ 4µ 16 3 1 Ecuación de la tangente: 1 dy ¤ 1³ , se sustituye en y  y1  (x  x1) Se obtiene con P ¥ 3, ´ y m T   ¦ 4µ 16 dx 1 1 y   ( x  3) 4 16

3

16y  4  x  3

3

x  16y  7  0

Ecuación de la normal: 1 1 ¤ 1³  16, se sustituye en y  y1   (x  x1) Se obtiene con P ¥ 3, ´ y mN   dy dy ¦ 4µ dx dx y

1  16(x  3) 3 4

4y  1  64x  192

3 64x  4y  191  0

Las ecuaciones de las rectas tangente y normal son: x  16y  7  0 y 64x  4y  191  0

EJERCICIO 38 Calcula la longitud de la subtangente, la subnormal, la tangente y la normal de las curvas dadas en el punto indicado. 1. f (x)  x  2 en x  3 2. f (x)  x 2  3x  2 en x  2 3. y  x 2  5x  6 en el punto (1, 12) 4. f (x)  x 3  2x 2  3 en el punto (2, 7) 5. y 

x 1 en el punto (2, 3) x 1

6. f (x) 

x en el punto (9, 3)

7. f (x) 

x  3 en el punto (1, 2)

8. y 

1 en x  2 x

1249

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

9. f(x)  x 2  4 x en x  3 ¤ 2³ 10. x 2 y  y  2  0 en el punto ¥ 2, ´ ¦ 3µ Determina la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva en el punto indicado: 11. y  x 2  5 en el punto (2, 9 ) 12. y  x 2  x  1 en el punto (0, 1) ¤1 ³ 13. y  4 x 2  4 x  1 en el punto ¥ , 0 ´ ¦2 µ 14. y  x 3  x 2 en el punto (2, 4 ) 15. y  x 4  3x 3  2 x 2  5 x  9 en el punto (1, 4 ) 16. f (x) 

9  x 2 en el punto



17. f(x) 

x 1 en el punto ( 3, 2 ) x 1

18. f(x) 

2 en el punto (0, 2 ) x 1

5, 2



¤P ³ 19. y  sen x en el punto ¥ , 1´ ¦2 µ ¤ P 1³ 20. y  cos x en el punto ¥ , ´ ¦ 3 2µ ¤P ³ 21. y  tan x  2 en el punto ¥ , 3´ ¦4 µ 22. x 2  y 2  12  0 en el punto ( 4, 2 ) 23. xy 1 en el punto (1, 1) 24. x 3  2 xy  4  0 en el punto de abscisa x  1 25. x 2 y 2  4 y  1  0 en el punto de abscisa x  2 26.

x  y  x 1 en el punto de abscisa x  3

27. f (x)  ln x en el punto de abscisa x  e 28. xy  x  2  0 en el punto de abscisa x 

1 2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1250

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Ángulo entre dos curvas Sea P (xo, yo) el punto de intersección entre las curvas f (x) y g(x), entonces el ángulo U entre las curvas se obtiene con: tan U 

f ( xo )  g( xo ) 1  f ( xo ) • g( xo )

Donde f (xo ) es la pendiente de la recta L 2 y g(xo ) es la pendiente de la recta L 1

Y

L2

y = f(x)

U

P(xo, yo)

y = g(x)

O

L1

X

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina el ángulo agudo f ormado por las curvas f (x)  4  x 2 y g(x)  x 2 en el punto de intersección, cuya abscisa es x  2 Solución Se obtienen las derivadas de las funciones: f (x)  4  x 2 f (x)  2x Se evalúa la abscisa x 

g(x)  x 2 g(x)  2x

2 en las pendientes (derivadas) f( 2 )  2 2

g( 2 )  2 2

Se aplica la fórmula, entonces; tan U 

 2  g 2  2 2  2 2 1  f  2 g 2 1  2 2  2 2 f

Al despejar U ¤4 2³ U  arc tan ¥ ´ ¦ 7 µ Por tanto: U  38 56 32

1251



4 2 4 2  1 8 7

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS







Solución Paso I: Se obtienen las pendientes de las curvas al derivar las ecuaciones y evaluar los puntos dados: De la curva x 2  y 2  4, y   



x x3 y de la curva x 2  y 2  6x  8  0, y  y y



En el punto 1, 3 , las pendientes son:





1 2 y respectivamente. 3 3

En el punto 1,  3 , las pendientes son: 

1 2 y respectivamente. 3 3

Paso II: Se obtiene el ángulo al sustituir el valor de las pendientes en la fórmula.





Para el punto 1, 3 : 2 1 1 1  3 3 3 3   3  tan U  2 5 ¤ 2 ³¤ 1 ³ 5 3 1 1 ¥ 3 3 ¦ 3 ´µ ¥¦ 3 ´µ Por consiguiente: U  19 6



Para el punto 1,  3

2 ¤ 1 ³ 1 1  ¥ ´   3 ¦ 3µ 3 3  3   tan U  2 5 2 1 ¤ ³¤ ³ 5 3 1 1 ¥ ´ ¥ ´ 3 3 ¦ 3µ ¦ 3µ 

Finalmente: U  160 54

3



¿Cuál es la medida de los ángulos formados por las curvas x 2  y 2  4, x 2  y 2  6x  8  0 en los puntos 1, 3 , 1,  3 ?

Encuentra la medida del ángulo agudo formado por las curvas x 2  y 2  8  0 y y 2  2x  0 Solución Se obtienen las intersecciones de las curvas mediante un sistema de ecuaciones: x 2  y 2  8  0; y 2  2x

x 2  2x 8  0

3

(x  4)(x  2)  0 x  4, x  2 Luego, si x  2 entonces y  2 que resultan en los puntos (2, 2) y (2, 2) Se obtienen las derivadas de cada una de las ecuaciones: x2  y2  8  0

y 2  2x  0

2x  2y y   0

2y y  2  0 1 y  y

x y   y

1252

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Se realiza la evaluación en los puntos (2, 2) y (2, 2) Para el punto (2, 2) 3 y1  

2 1  1; y2  2 2

Luego: 1 1 3  (1) 1 2 2 2 tan U     3; donde U  arc tan(3)  71 33 1 1 1 1  (1) 1 2 2 2 Para el punto (2, 2)

3

y2  

2 1  1; y1   2 2

Luego, ¤ 1³ 3 1 1 ¥ ´ 1 ¦ 2µ 2  2  3; donde U  arc tan(3)  71 33 tan U   1 1 ¤ 1³ 1 1  (1) ¥  ´ ¦ 2µ 2 2

Y

(2, 2) U =71° 33’

x2 + y2 – 8 = 0

X U =71° 33’ (2, –2) y2 – 2x = 0

EJERCICIO 39 Determina la medida del ángulo agudo y obtuso que forman las curvas dadas en el punto indicado: 1. y  x 2  1 ; y  x 1 en el punto (0, 1) 2. y 

4 2 x ; y  25  x 2 en el punto ( 3, 4 ) 9

3. y  13  x 2 ; y  18  ( x  5 )2 en el punto (2, 3)



4. x 2  y 2  2  0 ; y 2  x  0 en el punto 2, 2



3³ ¤ 5. 3x 2  5 y  0 ; 2 x  5 y  1  0 en el punto ¥ 1,  ´ ¦ 5µ 6. xy 1 ; y 

x 1 ¤ 1³ en el punto ¥ 2, ´ ¦ 2µ x

7. x 2  y 2  5  0 ; y 2  4 x  0 en el punto de abscisa 1 8. Determina la medida del ángulo obtuso que forma x 2  3y 2  13  0 y y 2  4 x  0

1253

5

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Calcula la medida del ángulo agudo que forman las curvas dadas: 9. 3x 2  4 y 2  12  0 ; 4 y 2  9 x  0 10. xy  x  2  0 ; xy  1  0 11. x  2 y ; y  2( x  2 )2 12. y  x 2  x ; y x 2  5 x 13. y 2  x  1 ; y 2  2 x  4  0

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Curvatura Radio de curvatura En geometría plana la longitud de un segmento circular está dada por la fórmula: s  r  U

3 r

s U

s θ r

En la figura se observa que s cambia cuando U cambia. En una curva cualquiera, al tomar un segmento muy pequeño formado por dos puntos de la curva y al relacionar la fórmula anterior se tiene que:

Δθ ≠ Δ θ' Δs

Δθ

Δθ ' Δs

De la fórmula anterior se define $r como: $r 

$s $U

Luego, si la longitud $s es cada vez más pequeña, es decir, tiende a cero, el radio de curvatura se define como el siguiente límite: r  lím

$s l 0

$s ds  $U d U

3 r

C

dθ

θ + dθ

r

ds P

1254

Q

θ

ds dU

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

En la figura se tienen dos puntos, P y Q, de la curva, muy próximos entre sí, en cada punto se traza una recta tangente y su normal. Al punto de intersección entre las normales se le llama centro de curvatura y a la distancia del centro a cualquiera de los puntos P y Q se le llama radio de curvatura. La expresión

1 dU recibe el nombre de curvatura.  r ds

Para determinar la fórmula que permita calcular el radio de curvatura se tiene la siguiente figura. Y

f(x)

y + dy

Q ds P

y

θ

R

x

x + dx

X

En la función f (x) se tienen los puntos P y Q infinitamente muy próximos, de manera que la longitud del segmento circular ds sea igual a la longitud del segmento PQ; entonces, de la representación geométrica de la derivada se tiene que: dy dy  tan U 3 U  arc tan dx dx Del triángulo PQR y el teorema de Pitágoras se obtiene: § (dy )2 ¶ ¤ dy ³ ds  (dx )2  (dy )2  ¨1  (dx )2  1  ¥ ´ 2 · ¦ dx µ (dx ) ¸ ©

2

dx

Luego, ds  r  d U 3 r 

ds dU

2 2 2 § ¤ dy ³ 2 ¶ ¤ dy ³ ¤ dy ³ ¤ dy ³ ¨1  ¥¦ ´µ · 1  ¥¦ ´µ 1  ¥ ´ dx 1  ¥ ´ dx dx ·¸ dx ¦ dx µ ¦ dx µ ds ¨ r 3 r 3 r 3 r© 2 2 dy d y d y dU d arc tan  dx dx dx 2 dx 2 2 dy ¤ ³ 1 ¥ ´ ¦ dx µ

Finalmente, la fórmula para determinar el radio de curvatura es:

r

§ ¤ dy ³ 2 ¶ ¨1  ¥¦ ´µ · dx ·¸ ¨© d2y dx 2

3

o r

La longitud del radio de curvatura es una cantidad positiva.

1255

§©1  ( y)2 ¶¸ y

3

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Círculo de curvatura Es una curva dada en un punto de tangencia a la circunferencia, que tiene de centro el centro de curvatura y de radio el radio de curvatura y que pasa por un punto de tangencia, también se le conoce como circunferencia osculatriz o círculo osculador. f(x) C r Q

Centro de curvatura Para determinar la fórmula que permita calcular el centro de curvatura se tiene la siguiente figura.

Y

Q

r C

X Donde: C (A, B): centro de curvatura Q(x, y): punto de la curva r: radio de curvatura Se obtiene la ecuación de la recta normal de la recta tangente en el punto Q. 1 B  y  (A  x ) y Se obtiene la ecuación de la circunferencia de centro el punto C (A, B), radio r y que pasa por el punto Q(x, y). (x  A)2  (y  B)2  r 2 Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtienen las coordenadas del centro de curvatura. 2 ¤ dy § ¤ dy ³ 2 ¶ ³ ¤ ¤ dy ³ ³ ¥ ¨1  ¦¥ µ´ · ´ 1  ¥ ´ ¥ dx ¨ dx ·¸ ´ ¦ dx µ ´ ´ A  x ¥ © 2 , B  y ¥ ´ ¥ d y d2y ´ ¥ ´ ¥ ´µ ¥¦ dx 2 dx 2 ´µ ¥¦

¤ y §1  ( y)2 ¶¸ ³ ¤ 1  ( y)2 ³ A  x ¥ © ´ , B  y  ¥ y ´ ¦ µ y ¦ µ

1256

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina el radio de curvatura y la curvatura de la curva x 2  y 2  25 en el punto (3, 4) Solución Se obtienen la primera y la segunda derivadas de la función dada. d2y x 2  y2  2 dx y3

dy x  dx y El punto se evalúa en cada derivada.

dy 3 x    ; dx 4 y d2y 32  4 2 25 x 2  y2    2 3 dx 43 64 y Los valores que se obtienen se sustituyen en la fórmula de radio de curvatura.

r

§©1  ( y)2 ¶¸ y

3

3 r

§ ¤ 3³ 2 ¶ ¨1  ¥¦  ´µ · 4 ·¸ ¨© 25  64

Por tanto, el radio de curvatura es: r5 Luego, el valor de la curvatura se obtiene con la expresión: dU 1  ds r F inalmente, el valor de la curvatura es: dU 1  ds 5

1257

3

125 3 r  64 25 64

3 r 5

5

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Determina el radio y el centro de curvatura de curva y 2  8x, en el punto (2, 4) Solución Se obtienen la primera y la segunda derivadas de la curva y se evalúa el punto. dy 4 4     1 dx y 4 d2y 16 16 1  3  3  y (4 ) dx 2 4 Los valores obtenidos se sustituyen en la fórmula del radio de curvatura.

r

§©1  (1)2 ¶¸ 1  4

3

3 r

2 2 3 r 8 2 1 4

Por tanto, el radio de curvatura es: r 8 2 Luego, el punto (2, 4) y los valores de las derivadas, se sustituyen en las fórmulas que determinan las coordenadas del centro de curvatura. ¤ ³ 2 ¤ y §©1  ( y)2 ¶¸ ³ ¥ 1 §©1  (1) ¶¸ ´ A  x ¥ ´ 3 A 2  ¥ ´ 3 A 2  8 10 1 y ¦ µ  ¥¦ ´µ 4 ¤ ³ 2 ¤ 1  ( y)2 ³ ¥ 1  (1) ´ B  y ¥ 3 B   3 B  4  8 4 4 ¥ 1 ´ ¦ y  ´µ ¥¦  ´µ 4 Por tanto, las coordenadas del centro de curvatura son el punto (10, 4)

Radio de curvatura en coordenadas paramétricas Dadas las ecuaciones de una curva en coordenadas paramétricas. x  f(t), y  g (t) Entonces, al derivar y sustituir en la fórmula del radio de curvatura en coordenadas rectangulares, se obtiene: § ¤ dx ³ 2 ¤ dy ³ 2 ¶ ¨ ¥ ´ ¥ ´ · ¦ dt µ · ¨ ¦ dt µ ¸ r © dx d 2 y dy d 2 x    dt dt 2 dt dt 2

1258

3

§ ( x)2  ( y)2 ¶ ¸ 3 r© x y   y x 

3

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Ejemplos

EJEMPLOS

3

Determina el radio de curvatura de la elipse x  2 cos t, y  3 sen t en el punto correspondiente a t 

P 2

Solución Se obtienen la primera y la segunda derivadas de cada ecuación y se evalúa t 

P en cada una de ellas. 2

¤ P³ x  2 cos t 3 x2 sen t 3 x2 sen ¥ ´  2(1)  2 ¦ 2µ ¤ P³ x  2 cos t 3 x 2 cos ¥ ´  2(0 )  0 ¦ 2µ ¤ P³ y  3 sen t 3 y 3 cos t 3 y 3 cos ¥ ´  3(0 )  0 ¦ 2µ ¤ P³ y  3 sen t 3 y 3 sen ¥ ´ 3(1) 3 ¦ 2µ Los valores obtenidos se sustituyen en la fórmula del radio de curvatura: § ( x)2  ( y)2 ¶ ¸ r© x y   y x 

3

3

§ ( 2 )2  ( 0 )2 ¶ ¸ 3 r 8 8  4 3 r © 6 6 3 (2 )(3)  (0 )(0 )

Por consiguiente, el radio de curvatura de la elipse en el punto correspondiente a t  r

P es: 2

4 3

Radio de curvatura en coordenadas polares Dada la curva con ecuación de la forma: R  f (U ) Se tiene que: x  R cos U , y  R sen U Si se sustituye R  f (U ) en estas últimas ecuaciones, se obtiene: x  f (U ) cos U , y  f (U ) sen U Entonces, al derivar y sustituir en la fórmula del radio de curvatura en coordenadas rectangulares, se obtiene: 3

2 § dR ¶ ¨ R  ¤¥ ³´ · ¦ dU µ · ¨© ¸ r 2 d2R ¤ dR ³ 2 R  2¥ ´  R  2 ¦ dU µ dU

1259

3

§ R  ( R)2 ¶ ¸ 3 r  2© R  2( R)2  RR

5

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

4

Determina el radio de curvatura de la curva R  cos 2U, en el punto correspondiente a U  P Solución Se determinan la primera y la segunda derivadas de la función dada y se evalúa U  R  cos 2 U 3 R  cos 2(P) 3 R 1 R  2 sen 2 U 3 R2 sen 2(P) 3 R 0 R 4 cos 2 P 3 R 4 cos 2(P) 3 R 4 Los valores se sustituyen en la fórmula y se simplifican las operaciones. 3

3 § 1  ( 0 )2 ¶ § 1¶ ¸ © ¸  1 1 r 2 ©  5 5 (1)  2(0 )2  (1)(4 ) 1  0  4

Por tanto, el valor del radio de curvatura es: r

1 5

EJERCICIO 40 Determina el radio de curvatura y la curvatura de las curvas en el punto dado: 1. x 2  y 2  3

(1, 2)

2. xy  y  4  0

(3, 1)

3.

x2

 4y  0

(2, 1)

x3

(1, 1)

x  cos t y  sen t

tP

ªx 1  t 6. « 2 ¬y  t

t2

7. R  cos U

U

P 2

U 2

U

P 3

4. y  5.

[

8. R  sen

Determina el centro de curvatura de las curvas en el punto dado: 9. x 2  4y  0 10.

x2



4y 2

(2, 1)

80

(2, 1)

11. y  sen x

¤P ³ ¥¦ , 1´µ 2

12. y  e x  0

(0, 1)

13. y  x 1

(3, 2)

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1260

P 4

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Máximos y mínimos de una función Definición 1. Se dice que una función f (x) tiene un máximo local M en x  xo , si f (xo )  f(x) para toda x en un intervalo (a, b) tal que xo , pertenezca a dicho intervalo. 2. Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local m en x  xo , si f (xo )  f (x) para toda x en un intervalo (a, b) tal que xo , pertenezca a dicho intervalo.

Y

Y M

f(xo) f(x)

f(xo)

P

P

f(x) ( a

) b

xo

m ( a

X

f(x) ≤ f(xo)

xo f(xo) ≤ f(x)

) b

X

Si f (x) tiene un máximo o mínimo local en xo , entonces la pendiente de la recta tangente (derivada) en dicho punto es igual a cero.

Y M

f’(x) = 0

m

f(x)

f’(x) = 0 X

Donde: M  punto máximo m  punto mínimo

Criterio de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos a) Si f(x)  0, para toda x 0 (a, xo ) y f(x) 0, para toda x 0 (xo , b) (es decir, la derivada cambia de valores positivos a negativos), entonces en f (xo ) existe un valor máximo local. b) Si f(x) 0 para toda x 0 (a, xo ) y f(x)  0, para toda x 0 (xo , b) (es decir, la derivada cambia de valores negativos a positivos), entonces en f (xo ) existe un valor mínimo local. c) Si para toda x 0 (a, b) y f (x) tiene el mismo signo, entonces f(x) no tiene valor máximo ni mínimo local.

1261

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina los puntos máximos y mínimos para la función f (x)  3x 2  12x  15, utiliza el criterio de la primera derivada. Solución Paso I Se obtiene la derivada de la función: f (x)  6x  12 Paso II La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación: f(x)  6x 12;

6x  12  0

donde

x2

Este resultado recibe el nombre de valor o punto crítico. Paso III Se da un valor menor y uno mayor próximo al valor crítico y se evalúan en la derivada. Para x  2 se toman los valores 1 y 3 f(1)  6(1) 12  6 0

f(3)  6(3) 12  6  0

y

El cambio de signo es de negativo a positivo, entonces la función tiene un valor mínimo en x  2. Paso IV El valor crítico se evalúa en la función: f(2)  3(2)2 12(2)  15 f (2)  3 Por consiguiente, el punto mínimo es (2, 3)

2

Obtén los puntos máximos y mínimos para la función f(x)  2 x 3  3x 2  12 x  15 Solución Paso I Se obtiene la derivada de la función: f(x)  6 x 2  6 x  12 Paso II La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación: f (x)  6 x 2  6 x  12

3

6 x 2  6 x  12  0 x2  x  2  0 ( x  2 )( x  1)  0

Los valores críticos son: x1  2, x2  1

1262

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Paso III Se dan valores menores y mayores próximos a los valores críticos y se evalúan en la derivada. Para x  1, se toman los valores x  

3 1 yx  2 2

2

21 ¤ 3³ ¤ 3 ³ ¤ 3 ³ f  ¥  ´  6 ¥ ´  6 ¥ ´  12  0 ¦ 2µ ¦ 2 µ ¦ 2 µ 2

2

15 ¤ 1³ ¤ 1 ³ ¤ 1 ³ y f ¥  ´  6 ¥ ´  6 ¥ ´  12   0 ¦ 2µ ¦ 2 µ ¦ 2 µ 2

La derivada cambia de signo positivo a negativo, entonces la función tiene un valor máximo en x  1 Para x  2 se toman los valores x 

3 5 yx 2 2

2

15 ¤ 3³ ¤ 3³ ¤ 3³ f ¥ ´  6 ¥ ´  6 ¥ ´  12   0 ¦ 2µ ¦ 2µ ¦ 2µ 2

2

21 ¤ 5³ ¤ 5³ ¤ 5³ y f ¥ ´  6 ¥ ´  6 ¥ ´  12  0 ¦ 2µ ¦ 2µ ¦ 2µ 2

La derivada cambia de signo negativo a positivo, entonces la función tiene un valor mínimo en x  2 Paso IV Los valores críticos se evalúan en la función: Para x  1, f (1)  2(1)3 3(1)2  12(1)  15  22 Para x  2, f (2)  2(2 )3  3(2 )2  12(2 )  15  5 Por tanto, el punto máximo es (1, 22) y el punto mínimo es (2, 5)

Intervalos donde crece o decrece una función Definición 1. Una función es creciente en el intervalo (a, b), si f(x)  0 para toda x 0 (a, b) 2. Una función es decreciente en el intervalo (a, b), si f(x) 0 para toda x 0 (a, b)

Y

Y f (x)

f ’(x)>0 f (x)

a

x

a

b X

x

f ’(x)< 0 b

X

Observación 1. Existen funciones siempre crecientes, pero su derivada se anula para algún valor de x.

Ejemplo La función f (x)  1  (x  2)3 es siempre creciente, pero su derivada es cero para x  2 f(x)  3(x  2)2

3 f (2)  3(2  2)2  3(0)  0

Observación 2. Existen funciones siempre decrecientes, pero su derivada se anula para algún valor de x.

1263

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

La función f (x)  1  (x  2)3 es siempre decreciente, pero su derivada es cero para x  2 f (x)  3(x  2)2 3 f (2)  3(2  2)2  3(0)  0

2

Indica los intervalos donde la función f (x)

1 3 1 2 x  x  6 x es creciente y decreciente. 3 2

Solución a) Intervalo donde f (x) es creciente. Paso I Se obtiene la derivada de la función: f (x)  x 2  x  6 Paso II Por def inición f (x)  0 x2  x  6  0 Al resolver la desigualdad se obtienen los intervalos: (@, 2) X (3, @) Donde la f unción es creciente. b) Intervalo donde f (x) es decreciente. Paso I Se obtiene la derivada de la función: f(x)  x 2  x  6 Paso II Por definición f (x) 0 x2  x  6 0 Al resolver la desigualdad se obtiene el intervalo: (2, 3) Donde la f unción es decreciente. Gráf ica:

Y f’(x)< 0

f’(x) > 0

x=3 x = –2

X

f’(x) > 0 f’(x) < 0

1264

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

EJERCICIO 41 Encuentra los máximos, los mínimos y los intervalos para los que la función es creciente o decreciente. 1. f ( x )  x 2  6 x  5

9. f ( x ) 

x3 x2   6x  4 3 2 x4 4 3 3 2  x  x 1 4 3 2

2. f ( x ) 3x 2  5 x  4

10. f ( x ) 

3. f ( x )  x 3  3x

11. y 

4. f ( x )  x 3  6 x 2

12. f ( x ) 

x3 x3

5. f ( x )  4 x 3  3x 2  6 x

13. f ( x ) 

2x x2  4

6. f ( x )  4 x 3  x 2  4 x  3

14. y 

7. f ( x ) 2 x 3  3x 2  12 x  5

15. f ( x ) 

8. f ( x ) 

3 x2  2x

x2 1 4  x2 x2 x3

x3  x 2  3x  1 3

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Criterio de la segunda derivada para encontrar puntos máximos y mínimos a) Dada y  f (x) con f (xo )  0, si f(xo )  0, entonces el punto (xo , f(xo )) representa un punto mínimo. b) Dada y  f (x) con f (xo )  0, si f(xo ) 0, entonces el punto (xo , f (xo )) representa un punto máximo.

Ejemplo Determina con el criterio de la segunda derivada los puntos máximos y mínimos de la función f(x)  x 3  3x 2  24x  10 Solución Paso I Se obtiene la derivada de la función: f(x)  3x 2  6x  24 Paso II Se iguala la derivada a cero y se resuelve la ecuación: 3x 2  6x  24  0 x 2  2x  8  0 (x  4)(x  2)  0 Los valores críticos son: x4

1265

y x  2

5

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Paso III Se obtiene la segunda derivada y se evalúa con los valores críticos: f (x)  6x  6 Para x  2 f (2)  6(2)  6  18 0 Por tanto, la función tiene un valor máximo en x  2 Para x  4 f (4)  6(4)  6  18  0 Por tanto, la función tiene un valor mínimo en x  4 Paso IV Los valores críticos se evalúan en la función: Para x  2 f (2)  (2)3  3(2)2  24(2) 10  18 Para x  4 f (4)  (4)3 3(4)2 24(4) 10  90 Entonces, la función tiene un punto máximo en (2, 18) y un punto mínimo en (4, 90)

Concavidad y punto de inflexión de una función La función f (x) es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por debajo de la curva. La función f (x) es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están por arriba de la curva.

Y

f (x) = 0 f (x)

f’(x) > 0

Cóncava hacia arriba de (x0, @)

f’(x) < 0 f”(x) = 0

f (xo) f’(x) < 0

f’(x) > 0 f (x) = 0

Cóncava hacia abajo de (@, x0)

O

x = xo

X

Donde (xo , f (xo )) es el punto de inflexión. Prueba de concavidad: 1. Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo (a, b) si para todo x 0 (a, b), f (x)  0 2. Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo (a, b) si para todo x 0 (a, b), f (x) 0 3. Una función tiene un punto de inflexión en (xo , f(xo )) si f (xo )  0

Ejemplo Determina las coordenadas del punto de inflexión y los intervalos de concavidad para la función: f (x)  2 x 3  9 x 2  60 x

1266

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Solución Punto de inflexión Paso I Se obtiene la segunda derivada: f (x)  6 x 2  18 x  60

3 f (x)  12 x  18

Paso II La segunda derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación: 12 x  18  0

3 x

3 2

Paso III 3 Se evalúa la función con x  : 2 3

2

207 ¤ 3³ ¤ 3³ ¤ 3³ ¤ 3³ f ¥ ´  2 ¥ ´  9 ¥ ´  60 ¥ ´  ¦ 2µ ¦ 2µ ¦ 2µ ¦ 2µ 2 ¤ 3 207 ³ Por consiguiente, las coordenadas del punto de inflexión son ¥ , ¦ 2 2 ´µ

Intervalos de concavidad Intervalo donde la función es cóncava hacia arriba. Por def inición f (x)  0, entonces: 12 x  18  0

Al resolver la desigualdad se obtiene que x

3 , por tanto, el intervalo donde la función es cóncava hacia arriba 2

3 es: ¤¥ @, ³´ ¦ 2µ Intervalo donde la función es cóncava hacia abajo. Por def inición f (x) 0 12 x  18 0

Al resolver la desigualdad se obtiene que x 

3 , entonces, el intervalo donde la función es cóncava hacia abajo 2

3 es: ¤¥ , @ ³´ ¦2 µ

1267

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 42 Dadas las siguientes funciones, determina: a) b) c) d) e)

Puntos máximos y mínimos. Intervalos donde la función crece y decrece. Intervalos de concavidad. Puntos de inflexión. Gráfica.

1. f (x)  x 2  6 x  10

7. f(x)  2 x 3  3x 2  12 x  6

2. f(x)  x 2  4 x  6

8. f(x)  (x 2  1)2

3. f (x)  x 3  3x 2  9 x  1

9. f(x) 

x 2  36

4. f (x)  2 x 3  3x 2  36 x  24

10. f (x)  x 3(x  2)

5. f (x)  x 4  4x 3

11. f(x)  sen(2x) en [0, P]

6. f (x)  x 2 

1 x2

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Optimización Los métodos para obtener puntos máximos y mínimos de una función son una herramienta que se emplea para solucionar problemas prácticos donde se va a optimizar una variable. Hay una gran variedad de problemas, por lo que resulta difícil dar reglas específicas para resolverlos. No obstante se dan algunas sugerencias: Ú Ú Ú Ú

Leer cuidadosamente el problema y pensar en los hechos que se presentan y las variables desconocidas. Hacer un diagrama o dibujo geométrico que incluya los datos. Relacionar los datos con las variables desconocidas, hallando la función a maximizar o minimizar. Encontrar los valores críticos y determinar cuál corresponde a un máximo o a un mínimo.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Encuentra dos números positivos cuya suma sea 20 y el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro, sea un valor máximo. Solución Sean x y y los números buscados, entonces: La suma de los números es 20: x  y  20 El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro, es máximo: P  x 2y 3 Se despeja y de la primera igualdad y se sustituye en el producto: x  y  20

3

y  20  x

Por tanto: P  x 2y 3  x 2(20  x)3 será la función a maximizar. Se obtiene la derivada: P(x)  x(20  x)2 (40  5x) La derivada se iguala con cero: P(x)  0, x(20  x)2(40  5x)  0 Al resolver esta última ecuación se obtienen los valores críticos: x  0, x  20, x  8 Se obtiene la segunda derivada: P(x)  20x 3  720x 2  7 200x  16 000

1268

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Se analizan los valores críticos: Para x  0, P(0)  16 000  0, entonces en x  0 existe un valor mínimo Para x  20, P(20)  0, entonces en x  20 no existe valor máximo ni mínimo Para x  8, P(8)  5 760 0, entonces en x  8 existe un valor máximo Por tanto, uno de los valores es x  8 y al sustituir en y  20  x, se obtiene y  12, entonces los números que se buscan son: x  8, y  12

2

De las cuatro esquinas de una lámina cuadrada de lado m, se suprimen cuadrados iguales de lado x. Se doblan los bordes de la lámina recortada para formar una caja sin tapa. Determina la longitud de x, para que el volumen de la caja sea máximo. Solución

x x m

m–x

m–x

x m–x

m–x

El volumen de la caja en términos de la variable x está dado por la función: V (x)  (m  2x)(m  2x)(x)

V (x)  (m  2x)2(x) V (x)  (x)(m  2x)2 V (x)  (x)(m 2  4mx  4x 2) V (x)  m 2x  4mx 2  4x 3 f unción a maximizar.

Se encuentra la derivada respecto a la variable x de la función: V (x)  m 2  8mx  12x 2 Se iguala a cero la derivada: V (x)  0; m 2  8mx  12x 2  0 Al resolver se obtienen los valores críticos: m y 2 Se obtiene la segunda derivada y se evalúan los valores de x: x

x

m 6

¤ m³ ¤ m³ V ¥ ´  8m  24 ¥ ´  8m  12m  4m  0 mínimo ¦ 2µ ¦ 2µ ¤ m³ ¤ m³ V ¥ ´  8m  24 ¥ ´  8m  4m  4m 0 máximo ¦ 6µ ¦ 6µ Por consiguiente, el valor de x para que la caja tenga un volumen máximo es: m x 6

1269

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

3

SIMPLIFICADAS

Determina el ángulo que deben formar los lados iguales de un triángulo isósceles para que su área sea máxima. Solución Se construye una figura con los datos:

A

UU

m

→

m

m

m

y F x

Sea x la base y y la altura, entonces su área es A 

1 xy 2

Se toma la mitad del triángulo:

U m

y

x 2

Se aplican identidades trigonométricas en el triángulo para el ángulo U x x 2 sen U   donde, x  2 m sen U m 2m

cos U 

y m

donde, y  m cos U

Al sustituir los valores de x y y se obtiene: A( U ) 

1  2 m sen U (m cos U) 2

3

1 A(U )  m 2 ; 2 sen U cos U = 2

1 Pero 2 sen U cos U  sen 2 U, entonces A  m 2 sen 2 U, ésta es la función a maximizar. 2 Se obtiene la derivada y se iguala a cero: A(U)  m2 cos 2U 3 m  0; entonces cos 2 U 

A(U)  0 3

m2 cos 2U  0

0  0, despejando el ángulo: m2 cos 2 U  0

2 U  cos1 (0 ) 1 U  cos1 (0 ) 2 1 ¤ P³ U ¥ ´ 2¦ 2µ U

1270

P 4

CAPÍTULO CÁLCULO

Se obtiene la segunda derivada y se evalúa en U  A(U)  2m 2 sen 2U

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

P 4 3

¤ P³ ¤ P³ A  ¥ ´ 2 m 2 sen 2 ¥ ´ ¦ 4µ ¦ 4µ ¤ P³ ¤ P³ A  ¥ ´ 2 m 2 sen ¥ ´ ¦ 4µ ¦ 2µ ¤ P³ A  ¥ ´ 2 m 2 (1) ¦ 4µ ¤ P³ A  ¥ ´ 2 m 2 0 ¦ 4µ

El área es máxima para U 

4

P y el ángulo que deben formar los lados iguales es de 90 4

Calcula el volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de H cm de altura y R cm de radio en su base, de manera que los ejes del cilindro y el cono coincidan. Solución Observa la figura.

H–h H h

h

r r

R–r R

R

De acuerdo con ella se hace un corte transversal y se obtiene el triángulo que se muestra; por construcción se tienen triángulos semejantes que cumplen con la siguiente proporción: R H  Rr h El volumen del cilindro es: V  Pr 2h Despejando h de la proporción y sustituyéndola en la fórmula del volumen se obtiene: h

HR  Hr H H  r R R

3

H ¤ V  Pr 2 h  Pr 2 ¥ H  ¦ R

La cual es la función a maximizar.

1271

PHr ³ r ´  PHr 2  µ R

3

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Se deriva la función: V (r)  2PHr 

3PHr 2 R

La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación para r : V (r)  0,

2 PHr 

3PHr 2 0 R

Si R : 0, entonces 2PHRr  3PHr 2  0 3 PHr(2R  3r)  0 3 r (2R  3r )  0 Valores críticos: 2 r  0, r  R 3 Se analizan los valores críticos en la segunda derivada: V (r)  2 PH 

Para r  0 ; V(0)  2 PH 

6 PH r R

6 PH (0 )  2PH  0, entonces, el volumen es mínimo. R

2 6 PH ¤ 2 ³ ¤2 ³ Para r  R ; V ¥ R´  2 PH  ¥ R´  2PH 0, entonces, el volumen es máximo. ¦3 µ 3 R ¦3 µ Entonces, las dimensiones del cilindro de volumen máximo inscrito en el cono son: 2 H H¤2 ³ 1 r  R y h  H  r  H  ¥ R´  H 3 R R¦3 µ 3

5

Determina las dimensiones del cono circular recto de área máxima, que puede inscribirse en una esf era de radio R  5u Solución Figura

h s

5 r

y r

El área del cono de radio r, altura h y generatriz s, está dada por: A  Prs De la figura se toma el triángulo rectángulo

s

h=5+y r

1272

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Mediante el teorema de Pitágoras se obtiene: s  ( 5  y )2  r 2

s 2  (5  y)2  r 2 De la figura se toma el triángulo rectángulo,

5

y r

Por el teorema de Pitágoras: 52  r 2  y2

3

r 2  25  y 2

Este resultado se sustituye en: s  (5  y )2  r 2 s  (5  y )2  (25  y 2 ) y a su vez en A  Prs AP r

(5  y )2  25  y 2

Maximizar A equivale a maximizar A2, y el problema se reduce a términos simples, es decir: A 2  P 2 r 2 §©(5  y )2  25 y 2 ¶¸ , pero r 2  25  y 2, entonces: A 2  P 2 (25 y 2 ) §©(5  y )2  25 y 2 ¶¸

3

A 2  P 2 (25  y 2 ) §© 25  10 y  y 2  25  y 2 ¶¸ A 2  P 2 (25  y 2 )(50  10 y ) A 2  P 2 (25 y 2 )(10 )(5  y ) A 2  10 P 2 (125  25 y  5 y 2  y 3 )

Si A 2  f ( y ), entonces, f ( y )  10 P 2 (125  25 y  5 y 2  y 3 ) es la f unción a maximizar. Paso I Se obtiene la derivada de la función: f (y)  10P2(25  10y  3y 2) Paso II La derivada se iguala a cero y se determinan los valores críticos: f (y)  0 3

10P2(25  10y  3y2)  0 3

y   5, y 

5 3

Paso III Se evalúan los valores críticos en la segunda derivada para determinar los máximos o mínimos de la función: f (y)  10P2(10  6y) Para y  5 f ( 5)  10P2(10  6(5))  200P2  0, mínimo.

1273

5

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Para y 

5 , 3 ¤ 5³ f  ¥ ´  10P2 ¦ 3µ

¤ ¤ 5³³ 2 ¥¦ 10  6 ¥¦ 3 ´µ ´µ  200P 0, máximo.

5 el área del cono es máxima, sustituyendo en las fórmulas: r 2  25  y 2 y h  5  y, se obtie3 nen las dimensiones del radio y la altura del cono inscrito en la esfera: Entonces, para y 

r 2  25  y 2

h5y

¤ 5³ r  25  ¥ ´ ¦ 3µ r  25 

2

h5

25 200 10 2   u 9 9 3

h

5 3

20 u 3

Finalmente, el radio y la altura miden respectivamente: r

10 2u 3

h

20 u 3

EJERCICIO 43 Resuelve los siguientes problemas: 1. Encuentra dos números cuya suma sea 40 y su producto sea máximo. 2. Encuentra dos números cuya diferencia sea 50 y su producto mínimo. 3. Con una lámina cuadrada de aluminio de 12 pulgadas por lado, se quiere construir una caja sin tapa, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los bordes. ¿Cuánto deben medir por lado los cuadrados recortados para obtener un volumen máximo?, ¿Cuánto mide dicho volumen? 4. Calcula el volumen máximo de un cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de 72 cm de altura y 24 cm de radio en su base, de manera que los ejes del cilindro y el cono coincidan? 5. En la construcción de un recipiente cilíndrico de hojalata se emplean 100 pulg2, esta cantidad incluye las tapas. ¿Cuál es el mayor volumen que podría tener la lata? 6. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener un cono de volumen máximo cuya área lateral es de 10 Pu 2? 7. Un cartel tiene una superficie de 150 cm2 con márgenes de 3 cm en las partes superior e inferior y 2 cm a los lados. Calcula el área máxima impresa en el cartel. 8. Considera un triángulo rectángulo con sus catetos sobre los ejes de coordenadas y la hipotenusa pasa por el punto (4, 3). Determina el área mínima que puede encerrar tal triángulo. 9. ¿Qué número positivo minimiza la suma entre él y su recíproco? 10. Determina las dimensiones del triángulo isósceles de superficie máxima que podría inscribirse en un círculo de radio r. 11. ¿Cuáles son los dos puntos sobre la curva y  x 3 cuyas abscisas difieren en dos unidades, de tal forma que la recta que los une tiene una pendiente mínima? 12. ¿Cuál es el área máxima posible de un rectángulo, cuya base coincide con el eje X y sus vértices superiores están en la curva y  4  x 2? 13. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un semicírculo de radio igual a 2 unidades. 14. La resistencia de una viga rectangular varía según sus dimensiones. Si la resistencia es proporcional al cuadrado del ancho de la viga por la altura, ¿cuáles son las dimensiones de la viga más resistente que podrá cortarse de un tronco cilíndrico con radio de 3 pies?

1274

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

15. ¿Cuál es la distancia mínima que existe entre el punto (5, 1) y la parábola y  x 2? 16. La suma de dos números es 16. Encuentra los números si la suma de sus cubos es un valor mínimo. 17. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor perímetro que se puede inscribir en un semicírculo con radio de 5 unidades? 18. Se inscribe un rectángulo en un triángulo isósceles, cuyos lados tienen longitudes 5, 5 y 6. Uno de los lados del rectángulo está sobre la base del triángulo (lado desigual), ¿cuál es el área mayor que puede abarcar el rectángulo? 19. Se desea inscribir un cono dentro de otro. El cono exterior tiene una altura de 6 cm y un radio de 4 cm. El cono interior se inscribe de modo que su cúspide reposa sobre la base del cono exterior. La base del cono interior es paralela a la base del cono exterior. Los ejes de los conos son colineales. ¿Cuál deberá ser la altura del cono interior, a fin de que contenga el mayor volumen posible? 20. Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles con un perímetro de 6 unidades que tenga área máxima. 21. Determina dos números reales positivos, cuya suma sea 40 y su producto sea máximo. 22. Encuentra las dimensiones del cono recto circular de máximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio 6 unidades. 23. Obtén las coordenadas del punto de la recta 3x  y  5  0 más cercano al origen. 24. ¿Cuál es el área del rectángulo mayor que se puede inscribir en un triángulo rectángulo de lados 5, 12 y 13 cm? 25. Calcula el área del rectángulo mayor que se puede inscribir en la elipse, cuya ecuación es

x 2 y2  1 a2 b2

26. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) y forma con el primer cuadrante un triángulo de área mínima. 27. ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro circular recto de máxima área lateral que puede inscribirse en una esfera de radio de ocho pulgadas? 28. Para la hipérbola equilátera x 2  y 2  a 2, considera el punto (0, k) sobre su eje conjugado y determina el punto más cercano a éste. 29. Determina dos números positivos cuyo producto es 16 y tienen suma mínima. 30. En la construcción de una casa se van a emplear ventanas en forma de rectángulos curvados por semicírculos. Si el perímetro total de cada ventana es P, ¿cuáles son las dimensiones más convenientes para que las ventanas proporcionen máxima iluminación? 31. Una persona tiene una pared de piedra en el costado de un terreno. Dispone de 1 600 m de material para cercar y desea hacer un corral rectangular utilizando el muro como uno de sus lados, ¿qué dimensiones debe tener el corral para tener la mayor área posible? 32. Un alambre de 100 cm de largo se va a partir en dos trozos, una de las partes se va a doblar para formar una circunferencia, y la otra un triángulo equilátero. ¿Cómo se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas del círculo y del triángulo sea máxima? 33. Se desea construir un cono con una generatriz de 10 cm. ¿Cuál es el mayor volumen posible para dicho cono? 34. Encuentra las dimensiones del rectángulo inscrito en un círculo con radio de 25 cm que proporcione el área máxima. 35. Para construir un recipiente cilíndrico de hojalata se emplearán 150 pulg2, esta cantidad incluye las tapas. ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro para que contenga el volumen máximo? 36. Un anuncio de 20 metros de altura está colocado sobre una base que se encuentra 5 metros sobre el nivel de los ojos de una persona, ¿qué tan alejada debe estar la persona para que su ángulo de visión sea máximo? 37. Un silo consta de un cilindro con una parte superior semiesférica. Determina la longitud del radio del silo con un volumen V, que tiene la menor área de superficie, incluye la tapa inferior. 38. ¿Cuáles son los puntos sobre la curva y  x 2  4, que están más cerca del punto (2, 1)?

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1275

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Movimiento rectilíneo uniforme Si un punto se mueve sobre una recta una distancia s, en un tiempo t con velocidad uniforme v, entonces: v

s , de aquí s  v  t t

Sean (s1, t1) y (s2, t2) dos pares de valores de s y t, tal que: s1  vt1 y s2  vt2 Entonces: s2  s1  v (t 2  t 1) Donde: v

s2  s1  velocidad uniforme t 2  t1

El concepto de velocidad media es más general que el de velocidad uniforme para cualquier tipo de movimiento rectilíneo. La distancia dirigida s, de un punto P, desde un origen en un tiempo t, está dada por: s  s (t ) Entonces, a la función s  {(t, s) U s  s(t)} se le denomina “función de posición” del punto P y la velocidad media de P durante el intervalo [t1, t2] se define como: s2  s1 s( t 2 )  s (t1 )  t 2  t1 t 2  t1 Si t2  t1  h, entonces t2  t1  h con h : 0, luego s (t2)  s (t1  h) y la velocidad media de P durante el intervalo [t1, t2]  [t1, t1  h] es: s(t1  h )  s (t1 ) h Se obtiene el límite: lím hl0

s(t1  h )  s(t1 ) h

Este límite se llama velocidad instantánea, rapidez o simplemente velocidad de P en el tiempo t. Un físico interpretaría esto como el valor límite de las velocidades medias, medidas sobre las porciones de tiempo cada vez menores alrededor de t. Al generalizar: Si la función de posición de un punto P es: s  {(t, s) U s  s (t )} La velocidad de P en el tiempo t será: v (t )  s(t ) 

ds(t ) dt

La cual se denomina función velocidad del punto P. Puesto que s  s (t ), v  v (t ) y v (t) 

ds(t ) ds(t ) , entonces v  dt dt

1276

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Aceleración media v  {(t, v) U v  v (t )} la razón [t1, t1  h] Si existe lím hl0

v(t1  h )  v(t1 ) , se llama velocidad media de P, durante el intervalo [t1, t2]  h

v(t1  h )  v(t1 ) , entonces se le denomina aceleración de P en el tiempo t1 y se denota mediante h

a (t1), entonces: a(t1) 

dv(t1 )  v(t1)  s(t1) dt t1

Por tanto: a

dv d2s  2 dt dt

Ejemplo Una partícula se mueve conforme a la expresión s (t )  2t 2  3t  3, donde s se expresa en metros y t en segundos. Determina: a) b) c) d) e)

Su posición inicial. Su velocidad al inicio de su movimiento. La velocidad que alcanza al transcurrir 3 segundos. La velocidad final a los 5 segundos. Su aceleración.

Solución a) Su posición inicial se determina cuando t  0, entonces, s (0)  2(0)2  3(0)  3  3 m b) La velocidad al inicio de su movimiento se obtiene mediante la primera derivada evaluada en t  0 s (t )  2t 2  3t  3

3

v (t )  4t  3 v(0)  4(0)  3   3

m s

c) La velocidad cuando t  3 segundos v(t )  4t  3

3

v(3)  4(3)  3  9

m s

3

v(5)  4(5)  3  17

m s

d) La velocidad cuando t  5 segundos v (t )  4t  3

e) Su aceleración se obtiene mediante la segunda derivada: s(t)  2t 2  3t  3

3

s(t )  4t  3

1277

3

a  s(t )  4

m s2

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 44 Resuelve los siguientes problemas: 1. La posición de una partícula se expresa mediante la función s(t)  2t3  5t2  10t, con s en metros y t en segundos. 3 ¿Cuál es su rapidez para t  1, , 0 segundos? 2 2. La distancia recorrida por un automóvil sobre una carretera en el instante t está dada por s(t)  9t 4  120t 3  432t 2, ¿en qué intervalos su velocidad media es positiva? 3. La trayectoria de una partícula en movimiento rectilíneo está dada por la función: s (t )  t 3  9t 2  24t 2 Encuentra: a) s y a cuando v  0 b) s y v cuando a  0 c) Cuando s aumenta d) Cuando v aumenta 4. Un proyectil es lanzado con una trayectoria que obedece a la función s(t)  3t 2  54t. a) Calcula en qué tiempo hace contacto con su objetivo que se encuentra sobre la superficie terrestre y la velocidad que lleva en ese instante. b) En qué instante logra su altura máxima y cuál es el valor de esta. 5. Un proyectil es lanzado en dirección a una torre de 36 m de altura. El proyectil sigue la trayectoria de acuerdo con la función s  t 2  12t, después de siete segundos. Indica la velocidad y la altura en la que hace contacto el proyectil con la torre.

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Razón de cambio dx . Si dos dt o más cantidades se relacionan con una ecuación, la razón de cambio de cada cantidad se obtiene derivando la ecuación. Pasos para resolver problemas de razón de cambio:

Si una cantidad x está en función del tiempo t, la razón de cambio de x con respecto a t está dada por

Ú Se traza un dibujo que contemple todas las variables y constantes que intervengan en el problema. Ú Se elabora un modelo matemático que relacione las variables. Ú Se deriva el modelo matemático respecto al tiempo, se despeja la incógnita a conocer y se sustituyen los datos dados.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Un cubo de hielo de 10 cm3 de volumen, comienza a derretirse a razón de 6

cm 3 , ¿cuál es la razón de cambio de la s

superficie del cubo en ese instante? Solución Se construye un cubo de arista x cuyo volumen es V  10 cm3 y la razón con la que se derrite es dV cm 3  6 dt s

x

(El signo indica que el volumen del cubo está decreciendo.)

x x

1278

CAPÍTULO CÁLCULO

Aplicaciones de la derivada

5

dx dV  3x 2 dt dt

Se deriva el volumen V  x 3 respecto al tiempo:

6  3x 2  La razón con que disminuye la arista es:

DIFERENCIAL U

dx dx se despeja dt dt

6 dx  3x 2 dt

2 dx  2 x dt

El área total del cubo es A  6x 2 y la razón con que cambia el área es: dx dA  12x dt dt Pero

2 dx   2 , entonces: x dt dx 24 dA ¤ 2³  12x  12 x ¥  2 ´   ¦ µ dt x x dt

Si el volumen es de 10 cm3  x 3, entonces x 

3

10 , por tanto:

24 cm 2 dA  3 dt 10 s El área disminuye a razón de

2

24 cm 2 10 s

3

m3 , la altura del cono es siempre igual al min radio de su base. ¿Con qué rapidez aumenta su altura cuando el montón tiene tres metros de altura?

Se está vaciando arena sobre un montón de forma cónica a razón de 30

Solución

Arena

h

r 1 1 dV m3 Pr 2h, pero r  h, entonces V  Ph 3 y  30 min 3 3 dt Al derivar el volumen respecto del tiempo:

El volumen del cono es V 

dh dV dh 1 dV  Ph 2 donde  dt Ph 2 dt dt dt Al sustituir

dV m3  30 y h  3m dt min dh 1 30 10 ( 30 )    P( 3)2 dt 9P 3P

Por consiguiente, la altura aumenta a razón de

10 m 3P min

1279

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

3

SIMPLIFICADAS

Un automóvil se dirige al norte de una ciudad a razón de 60 la ciudad a razón de 80

km , al mismo tiempo un camión se dirige al este de h

km . ¿Cuál es la razón con la que varía la distancia entre los vehículos cuando el automóvil h

y el camión se encuentran a 30 y 40 km, respectivamente, de su punto de partida? Solución Se realiza el dibujo con las características establecidas:

z

y x

Donde, x  40 km, y  30 km;

km dx km dy  60 ;  80 h h dt dt

¤ dz ³ Se debe encontrar con qué rapidez se separan los vehículos ¥ ´ ¦ dt µ La figura representa un triángulo rectángulo, por tanto, se aplica el teorema de Pitágoras para obtener la relación: z2  x2  y2 Se deriva la expresión respecto al tiempo: dz 2 dx 2 dy 2   dt dt dt

3

2z

dz dx dy  2x  2y dt dt dt

(simplificando)

dz x dx y dy  •  • dt z dt z dt Luego, en el momento en que x  40 km; y  30 km z

x 2  y2 

( 30 )2  ( 40 )2 

900  1600 

2 500  50 km

Entonces, dz 40 km ¤ km ³ 30 km ¤ km ³  ¥ 80 ´ ¥ 60 ´ dt 50 km ¦ h µ 50 km ¦ h µ km dz ( 40 )(80 )  ( 30 )(60 ) 3200  1800 5 000     100 h dt 50 50 50

1280

CAPÍTULO CÁLCULO

4

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Una persona sostiene un extremo de una cuerda de 150 cm de largo y en el otro extremo cuelga un bloque. La cuerda pasa por una polea que está a 40 cm de altura directamente sobre la mano de la persona, si ésta se aleja de la polea a cm razón de 10 . ¿Con qué rapidez se eleva el bloque cuando está a 6 cm de la polea? s Solución

z

y

40 cm x La persona se aleja de la polea a 10

cm cm dx entonces,  10 s s dt

En la figura, por el teorema de Pitágoras, se tiene: y 2  x 2  (40)2

3

y 2  x 2  1 600

donde,

y  150  z

Luego, la medida de la cuerda está dada por: y  z  150 Este resultado se sustituye en y 2  x 2  1 600 y 2  x 2  1 600 3

(150  z)2  x 2  1 600

Se deriva respecto al tiempo: d d (150  z )2  ( x 2  1600 ) dt dt

3

dx ¤ dz ³ 2( z 150 ) ¥ ´  2x ¦ dt µ dt dz 2x dx  dt 2( z  150 ) dt dz x dx  dt z 150 dt

Cuando z  6 cm x 2  1 600  (150  z)2 3 x 2  1 600  (150  6)2 x 2  1 600  (144)2 x 2  20 736  1 600 x 2  19 136; x 

19 136

Por tanto, la razón con la que se eleva el bloque es de: 19 136 19 136 5(8 ) 299 5 299 cm dz x dx (10 )     (10 )    6 150 144 72 9 s dt ( z 150 ) dt

1281

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

5

SIMPLIFICADAS

Un hombre de 1.70 m de altura se aleja de un poste de alumbrado a razón de 3 m/s, la lámpara del poste está a 10 m de altura. Determina la razón de cambio a la cual se mueve el extremo de la sombra del hombre. Solución

10 m 1.70 m z x

De acuerdo con la figura

m dz dx  3 y la incógnita es s dt dt

Por triángulos semejantes:

10 m 1.70 m x–z x Se obtiene: 10 x  1.70 x z

3

10(x  z)  1.70x 10x  10z  1.70x 10x  1.70x  10z 8.30x  10z

Se deriva la expresión, resultando: 8.30 Luego,

dx dz  10 dt dt

3

dx 10 dz  dt 8.30 dt

m dz  3 , entonces, s dt m dx 10 30   3.61 ( 3)  s dt 8.30 8.30

Finalmente, la razón con que se mueve el extremo de la sombra es de 3.61 m/s.

1282

CAPÍTULO CÁLCULO

6

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

La distancia que existe entre las bases de un campo de béisbol es de 28 m. Si la pelota se batea por la línea en direcm ción a la tercera base con una velocidad de 32 . ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre la pelota y la primera s base cuando se encuentra a la mitad del camino hacia la tercera base? Solución

1a. base

3a. base z x = 14 m

28 m

En la figura se observa que: z 2  x 2  (28)2 En la cual, al derivar se obtiene: 2z

dz dx  2x dt dt

3

dz 2 x dx  dt 2 z dt

dz x dx  dt z dt

3

Luego, cuando x se encuentra a la mitad del recorrido, la distancia de z es: z 2  (14)2  (28)2  196  784 3 Al sustituir z  14 5 , x  14 y

z

980  14

5m

m dx dz x dx  32 en  , se obtiene: s dt dt z dt

dz x dx 5 ¤ 14 ³ ¤ 1 ³   ¥ ( 32 )  ¥ ( 32 )  ( 32 ) ¦ 14 5 µ´ ¦ 5 µ´ dt z dt 5 Por consiguiente, la pelota se aleja de la primera base a razón de

1283

32 m 5 5 s

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

7

SIMPLIFICADAS

Un aviso rectangular que mide 30 m de ancho da vueltas sobre un eje vertical que pasa por el centro del rectángulo a razón de 10 rpm. Una persona que observa a distancia el aviso lo ve como un rectángulo de ancho variable. ¿Con qué rapidez cambia el ancho aparente del aviso cuando éste tiene 12 m de ancho, según lo ve el observador, y su ancho está aumentando? Solución

30 m

U

Observador

y

U

aviso

Sea y el ancho aparente del aviso, también se sabe que gira a 10 rpm, que es lo mismo que 20P rad/min, entonces se tiene que encontrar la relación que existe entre y y U. De la figura:

Aviso 30 m y

U Se obtiene: sen U 

y 30

3

y  30 sen U

Derivando la expresión anterior: dU dy  30 cos U dt dt Luego, cuando y  12 m, entonces: sen U 

y 12 2   30 30 5

§ P¶ Como el ancho del aviso está aumentando, U 0 ¨ 0, · , por tanto: © 2¸ ¤ 2³ U  sen1 ¥ ´  23.5 ¦ 5µ m dy dU  30 cos U  30 cos(23.5n)(20 P)  30(0.9170 )(20 P)  550.2 P min dt dt

1284

CAPÍTULO CÁLCULO

8

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Una escalera de 8 m de longitud está apoyada sobre un piso horizontal y contra una pared. Si el extremo inferior de 3m la escalera se aleja del muro a razón de . ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior en el instante en que 2 s su altura sobre el suelo es de 3 m? Solución Sea y la altura generada por la escalera sobre la pared, x la distancia generada por el extremo inferior y la pared, entonces,

8m y

x Por el teorema de Pitágoras: (8)2  x 2  y 2

3

64  x 2  y 2

Se deriva la expresión: d 64 dx 2 dy 2   dt dt dt Se despeja

3

0  2x

dx dy  2y dt dt

dy dt 2 x dx x dx dy   2 y dt y dt dt

Cuando y  3, el valor de x está determinado por: (8)2  x 2  (3)2

64  x 2  9 64  9  x 2 x

55

Por tanto, dy x dx  dt y dt

dy  55 ¤ 3 m ³  ¥ ´ dt 3 ¦2 s µ 55 m dy  2 dt s

El signo menos indica que la altura sobre la pared está decreciendo.

1285

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

EJERCICIO 45 3 2

1. Si la altura de un determinado árbol es de 10 2 r cm, donde r es el radio de la parte transversal del tronco 1 cm del árbol. Si el radio aumenta a razón de , ¿con qué rapidez cambia la altura cuando su radio es de 5 cm? 6 año 2. Un náufrago es remolcado hacia un barco con un cable. La proa de donde se jala el cable se encuentra a 7 m del m nivel del mar y el cable es jalado a razón de 12 . ¿Con qué rapidez se está moviendo el náufrago hacia el min barco cuando se encuentra a 20 m de la base del barco? m m cruza un puente sobre un río, 20 segundos antes de que un bote que viaja a 40 s s pase por debajo del puente. Vistos desde arriba, el río y el puente forman un ángulo recto. ¿Con qué rapidez se están separando el automóvil y el bote 20 segundos después de que el bote pasa por debajo del puente?

3. Un automóvil que viaja a 80

4. Un globo de forma esférica, se infla a razón de 0.16 aumentando a razón de 0.20

m3 . ¿Cuál es el volumen del globo cuando su radio está min

m ? min

5. Una escalera de 13 m de largo está apoyada sobre una pared. Encuentra la rapidez con que baja el extremo superior m de la escalera, cuando su extremo inferior dista 5 m del muro y se separa a razón de 5 s cm 6. Al caer una piedra a un estanque de aguas tranquilas forma una onda circular, cuyo radio aumenta a razón de 1 . s ¿Con qué rapidez aumenta el área encerrada por la onda cuando el radio es de 5 cm? 7. Un tanque cilíndrico de 7 m de radio y 10 m de altura se llena de agua. Se hace un agujero en el fondo del tanque, en m3 ese momento el agua sale a razón de 3 . ¿A qué rapidez está cambiando la altura del líquido en el tanque? min 8. Un satélite se mueve en una órbita elíptica alrededor de un planeta. La ecuación de su órbita plana es de km 9x 2  16y 2  144. Si la rapidez del satélite en una dirección x es de 15 , cuando la coordenada x es h 36 km . ¿Cuál es la rapidez en la dirección y en ese instante? de 137 km 9. Los automóviles A y B salen del mismo punto. El automóvil A viaja hacia el este a razón de 80 y el autoh km móvil B viaja hacia el norte a 60 . A qué razón está cambiando la distancia entre los dos a las 14:00 horas, h si: a) A y B salen a las 12:00 a.m. b) A sale a las 12 del día y B sale a la 13:00 horas. m3 10. Se está vaciando un depósito cónico de 1.5 m de radio y 5 m de altura, a razón de 0.16 . ¿Cómo está bajando min el nivel cuando la profundidad del agua es de 2 m? 11. En un crucero un camión sale a las 10:00 horas y viaja hacia el oeste a 60 km/h. Un automóvil sale a las 13:00 horas del mismo lugar y viaja hacia el norte a 80 km/h. ¿A qué razón se están separando a las 15:00 horas? m 12. Un globo asciende sobre un punto a razón de 6 ; un observador está situado a 300 m del punto de despegue s del globo. Cuando el globo está a 400 m de altura, ¿con qué rapidez está cambiando la distancia entre el globo y el observador? pies 3 13. Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 7 . Si la presión se mantiene constante. ¿Con qué rapidez cammin bia el radio cuando éste es de 1 pie?

1286

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

cm 2 . Calcula la rapidez de cambio de la longitud de min sus lados en el momento en que el área del triángulo es de 100 cm2.

14. El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 6

15. Un punto se mueve sobre la parábola semicúbica y 2  x 3 de tal manera que su ordenada aumenta siete unidades por segundo. Cuando y  1, ¿con qué rapidez cambia su abscisa? 16. Una persona está de pie en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 2 m por encm cima del amarre de la lancha. Si la persona jala la cuerda a razón de 70 . ¿Con qué rapidez se aproxima la s lancha al muelle cuando se encuentra a 5 m de él? m alejándose de un faro que se encuentra a 8 me17. Un hombre de 1.80 m de estatura camina en línea recta a 1.5 s tros de altura sobre el suelo. ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra?, ¿Cuál es la rapidez con la que cambia la longitud de su sombra?

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Aplicaciones a la economía Sea x el número total de unidades producidas por una empresa y m el precio de venta por unidad, el ingreso se obtiene con la función: I ( x )  mx Si el precio de venta depende linealmente del número de unidades producidas, m  ax  b, la función de ingreso se expresa como: I ( x )  mx

3

I ( x )  (ax  b ) x

3

I ( x )  ax 2  bx

Sea C (x) el costo de producir x unidades, la utilidad de la empresa se expresa: U (x)  I (x) C(x) Y el costo medio por unidad está dado por la expresión: Q( x ) 

C(x) x

Otra forma de expresar la función de costo puede ser: C  costos variables  costos fijos Por ejemplo, si se tiene la función C (x)  4x 2  6x  850, los costos fijos son el término independiente de la función, es decir, 850, al ser x el número de unidades, entonces x  0 por consiguiente, el costo fijo de producción es C (0)  850.

Ejemplo Las funciones de ingreso y costo son I ( x )  2 x 2  340 x y C ( x )  3x 2  600. Determina la utilidad máxima y el costo mínimo en pesos. Solución La utilidad U ( x )  I ( x )  C ( x ), x  0

1287

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

U ( x )  (2 x 2  340 x )  ( 3x 2  600 ) U ( x )  2 x 2  340 x  3x 2  600 U ( x )  5 x 2  340 x  600 Se obtiene la derivada de la función de la utilidad: U (x)  10x  340 Se obtiene el valor crítico haciendo U (x)  0

10x  340  0



10x  340 x

340  34 10

Se evalúa x  34 en la segunda derivada para verificar si existe un valor máximo. U(x)  10 U (34)  10 0 Entonces para x  34 existe un valor máximo. Por consiguiente, se necesita producir 34 unidades para obtener una utilidad máxima, la cual es de: U( 34 )  5( 34 )2  340( 34 )  600  5180 Por tanto, la utilidad máxima es de $5 180.00 Por otro lado el costo medio está dado por: Q( x ) 

C(x) x

Q( x ) 

3x 2  600 x

Q ( x )  3x 

600 x

Se obtiene la derivada de la función de costo medio Q(x)  3 

600 x2

Se obtiene el valor crítico haciendo Q (x)  0 3

600 0 x2

3x 2  600  0 x   200 x  10 2

1288

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Se verifica que sea el valor mínimo, esto se obtiene evaluando el valor crítico en la segunda derivada Q (x) 





Q  10 2 

1200

10 2

3



1200 x3 1200



(200 ) 10 2





3 0 5 2

Entonces, para x  10 2  14, hay un valor mínimo. Para determinar el costo medio mínimo de forma aproximada se sustituye el valor crítico en la función de costo medio: Q( x )  3(14 ) 

600 14

Q( x )  42  42.86 Q( x )  84.86 Por tanto, el costo mínimo aproximado es de $84.86

Costo marginal Si C (x) es la función de costo total que tiene una empresa por producir x unidades de algún artículo y la empresa incrementa el número de unidades de x0 a x1 (x0 x1), el costo se incrementa C(x1)  C (x0), la razón de cambio del costo es: $C C ( x1 )  C ( x0 ) C ( x0  $x )  C ( x0 )   $x x1  x0 $x C ( x0  $x )  C ( x0 ) es la derivada de la función de costo total y recibe el nombre $x de costo marginal C (x) y representa el incremento del costo al incrementar la producción. Para $x  1 y x0 suficientemente grande (tan grande que $x sea pequeño respecto a x0) se tiene que: En economía, la expresión lím

$xl0

C (x0)  C (x0  1)  C (x0) Luego, el costo de producir x0  1 unidades es aproximadamente el mismo de producir x0 unidades.

1289

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Una empresa estima que el costo (en pesos) por producir x artículos es de: C ( x )  0.02 x 2  3x  12 000 Determina el costo marginal en un nivel de producción de 600 artículos y el costo real de producir el 601ésimo artículo. Solución Se obtiene la función del costo marginal: C (x)  0.04 x  3 El costo marginal aproximado para 600 artículos es: C(600)  0.04 (600 )  3  27 Por tanto, el costo marginal aproximado por artículo es de $27.00 El costo real de producción del 601ésimo artículo es: C (601)  C(600)  [ 0.02(601)2  3(601)  12 000 ] [ 0.02(600 )2  3(600 ) 12 000 ] C (601)  C (600)  21 027.02  21 000 C (601)  C(600)  27.02 Se observa que 27  27.02, es decir C(600)  C (600  1)  C (600), lo cual se había indicado antes. El costo por unidad está dado por la función de costo promedio Q( x ) 

C(x) . Si se toma una función caracterísx

tica de costo promedio ésta podría ser:

Y

C(x) X Dicha función tiene un punto crítico, si se localiza este punto se tendrá el costo mínimo. Al derivar Q(x) se obtiene: xC( x )  C ( x ) Q( x )  x2 Se iguala con cero Q(x), para obtener el valor C (x) xC( x )  C ( x ) 0 x2 xC( x )  C ( x )  0 xC( x )  C ( x ) C( x )  Pero Q( x ) 

C(x) , entonces, C( x )  Q( x ) x

1290

C(x) x

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Es decir, cuando el costo promedio es mínimo se tiene que es igual al costo marginal. Lo anterior conlleva al hecho de que si el costo marginal es menor que el costo promedio, entonces se debe producir más para disminuir el costo promedio y viceversa, si el costo marginal es mayor que el costo promedio se tendrá que producir menos para que el costo promedio baje.

2

El costo (en pesos) estimado para producir x artículos está dado por la función: C (x)  0.002x 2  2x  3 000 Determina el costo promedio y el costo marginal de producir 1 200 artículos y calcula el nivel de producción para el cual el costo promedio es el más bajo y cuál es dicho costo. Solución El costo promedio está dado por la fórmula Q( x )  Q( x ) 

C(x) , entonces: x

C ( x ) 0.002 x 2  2 x  3 000  x x

3

Q( x )  0.002 x  2 

3 000 x

Se evalúa x  1 200 Q(1 200 )  0.002(1 200 )  2 

3 000 1 200

Por tanto, el costo promedio de producir 1 200 artículos es de $6.90 Para obtener el costo marginal se determina C(x) y se evalúa x  1 200 C (x)  0.004x  2 C(1 200)  0.004(1 200)  2  6.8 Por tanto, el costo marginal de producir 1 200 artículos es de $6.80 El costo promedio se minimiza cuando es igual al costo marginal. C( x ) Q( x )

3

0.004 x  2  0.002 x  2  3

0.002 x 

3 000 x

3 000 x

3

0.004 x  0.002 x 

3 000 x

0.002 x 2  300

3

x2  x

3 000 0.002 3 000  1 225 0.002

Para mostrar que x  1 225, se obtiene un mínimo, se determina Q(x) y se evalúa: Q( x )  0.002 x  2 

3 000 x

3 Q (x)  0.002 

3 000 x2

6 000 x3 3 000 Q(1225)  0 (1 225 )3 Q (x) 

Por tanto, para x  1 225 hay un mínimo. El costo promedio se obtiene evaluando x  1 225 en Q(x). Q( x )  0.002 x  2 

3 000 x

Q(1 225 )  0.002(1 225 )  2 

Finalmente, el costo promedio mínimo por artículo es de $6.89 ≈ $7.00

1291

3 000  6.89 1 225

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

De la misma forma existen funciones marginales para el ingreso y la utilidad, en los dos casos es la derivada de cada función. Ingreso marginal  I(x) Utilidad marginal  U (x)

Ejemplo Una empresa estima su ingreso y costo (en pesos) con las funciones I (x)  2x 2  340x y C (x)  3x 2  6 000, respectivamente. Determina el ingreso obtenido al producir la vigésima primera unidad y aproxima dicho valor con el ingreso marginal. Solución Se evalúan x  20 y x  21 en la función de ingresos: I(20)  2(20)2  340(20)  6 000 I (21)  2(21)2  340(21)  6 258 El valor de la vigésima primera unidad es: I (21)  I(20)  6 258  6 000  258 Si se obtiene con el concepto ingreso marginal, se deriva I(x) y se evalúa x  20 I(x)  4x  340 I(20)  4(20)  340  260 En el comparativo se observa que el ingreso marginal da un valor muy aproximado a 258 que es el ingreso real de la vigésima unidad.

EJERCICIO 46 1. Dadas las funciones de ingreso y costo, I (x) y C (x) respectivamente, determina el ingreso máximo, la utilidad máxima y el costo medio mínimo: a) I (x)  x 2  300x y C(x)  x 2  40x  80 b) I(x)  x (400  4x) y C (x)  x 2  20x  12 Resuelve los siguientes problemas: 2. El costo estimado para producir x artículos está dado por la función: C (x)  0.004x 2  5x  6 000 Determina el costo promedio y el costo marginal de producir 2 000 artículos y calcula el nivel de producción para el cual el costo promedio es el más bajo y cuál es dicho costo. 3. Una empresa estima su ingreso y costo con las funciones I(x)  4x2  400x y C(x)  2x 2  300 respectivamente. Determina el ingreso obtenido al producir la trigésima primera unidad y aproxima dicho valor con el ingreso marginal. 4. Una empresa de telas estima que el costo para producir x metros de tela es C(x)  0.001x 3  0.2x 2  24x  2 400 y que al vender x metros cobraría p(x)  58  0.00042x por metro. Determina el nivel de producción para obtener una utilidad máxima. Ingreso sugerido: I (x)  p (x)  x 5. Un estadio de futbol tiene una capacidad para 60 000 espectadores. El promedio de asistencia fue de 32 000 espectadores, teniendo los boletos un costo de $60.00 por persona, la gerencia decide bajar el precio por boleto a $40.00, teniendo un promedio de 48 000 espectadores. Determina la función lineal de demanda p (x) y calcula el precio por boleto para minimizar el ingreso.

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1292

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Regla de LHôpital Sean f y g dos funciones derivables con g( x )  0 cerca de a (incluso en a) Si lím f ( x )  lím g( x )  0 xla

xla

o lím f ( x ) @ xla

y para lím xla

y

lím g( x ) @ xla

0 @ f (x) , tenemos una forma indeterminada del tipo , 0 @ g( x )

Entonces lím xl a

f (x) f ( x )  lím g( x ) xla g( x )

A esto le llamamos regla de L’Hôpital, la cual nos dice que el límite de un cociente de dos funciones es igual al límite del cociente de las derivadas de dichas funciones. Esta regla es válida para los límites laterales (x 3 a o x 3 a) y los límites al infinito (x 3 @ o x 3 @) Ú Indeterminación

0 0

Ejemplo x2  9 xl3 x  3

Obtén lím

Solución Al evaluar se obtiene la indeterminación

0 y utilizando la regla se obtiene: 0 d 2 ( x  9) 2( 3) x2  9 2x dx lím  6  lím  lím xl3 x  3 xl 3 xl 3 1 d 1 ( x  3) dx

x 2  9 32  9 0 lím   xl3 x  3 3 3 0 Ú Indeterminación

@ @

Ejemplo ¿Cuál es el valor de lím

xl@

3x ? e x1

Solución Al evaluar se obtiene

@ , se aplica la regla y se obtiene: @ lím

xl @

3x 3 3  lím  0 e x1 xl @ e x1 @

Ú Indeterminación 0  @ Si lím f ( x )  0 y lím g( x )  @ , para lím f ( x )  g( x ) tenemos una indeterminación del tipo 0  @. Entonces podemos xl a

xla

xla

utilizar la regla de L’Hôpital transformando el producto de la siguiente forma f ( x )  g( x ) 

f (x) g( x ) o f ( x )  g( x )  1 1 g( x ) f (x)

1293

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplo Determina lím x 2 ln x xl0

Solución Al evaluar se obtiene lím x 2 ln x  lím x 2  lím ln x  0  (@ )

xl 0

xl 0

xl 0

Para resolver el límite, se escribe x 2 ln x 

ln x 1 x2

de tal forma que: d 1 d ¤ 1 ln x  ; ¥ dx x dx ¦ x 2

2 ³ ´  3 x µ

Entonces: ¤ ³ ¤ 1 ³ ¤ x3 ³ ¤ x2 ³ ¥ ln x ´ ¥ ´ lím x ln x  lím ¥  lím ¥ x ´  lím ¥  ´  lím ¥  ´  0 ´ 2 1 xl 0 xl 0 xl 0 xl 0 ¦ xl 0 ¦ 2µ 2x µ ¥¦ 2 ´µ ¥¦  3 ´µ x x 2

Ejemplo ¤ 1³ Obtén la solución de lím ¥ ´ tan x xl 0 ¦ x µ Solución ¤ 1³ ¤ 1³ lím ¥ ´ tan x  ¥ ´  tan  0  @ • 0 xl 0 ¦ x µ ¦ 0µ Al aplicar la regla: tan x sec 2 x sec 2 0 1 ¤ 1³ lím ¥ ´ tan x  lím   1  lím xl 0 ¦ x µ xl 0 x l 0 x 1 1 1 Ú Indeterminación: @  @ Cuando se obtienen diferencias indeterminadas del tipo @@para lím ( f (x)  g (x)), siendo lím f (x)  @ y xl a

xl a

lím g(x)  @, se utiliza la regla de L’Hôpital transformando (si es posible) la diferencia a un cociente. xl a

Ejemplo 1³ ¤ Calcula el resultado del lím ¥ ctg x  ´ xl0 ¦ xµ Solución 1³ ¤ lím ¥ ctg x  ´  @  @ xl0 ¦ xµ Se aplica la regla y se calcula el límite: ¤ x sen x  cos x  cos x ³ ¤ x sen x ³ 0 sen 0 0 lím ¥   ´µ  lím xl0 ¦ xl 0 ¥ x cos x  sen x ¦ x cos x  sen x ´µ 0 cos 0  sen 0 0

1294

CAPÍTULO CÁLCULO

Se observa que el resultado es

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

0 , por consiguiente, se utiliza de nuevo la regla: 0 ¤ x cos x  sen x ³ lím ¥ xl0 ¦ 2 cos x  x sen x ´ µ

Al evaluar nuevamente se obtiene: ¤ x cos x  sen x ³ 0 cos 0  sen 0 0 1¶ § lím ¥    0 , entonces, lím ¨ ctg x  ·  0 xl0 ¦ 2 cos x  x sen x ´ x l0 x¸ 2 cos 0  0 sen 0 2 µ © Ú Indeterminaciones del tipo 0, @ y 1@ Para lím ; f ( x )= xla

g( x )

se pueden obtener las siguientes formas indeterminadas:

Ú Si lím f ( x )  0 y lím g( x )  0 entonces se obtiene una indeterminación del tipo 0 xla

xla

Ú Si lím f ( x )  @ y lím g( x )  0 entonces se obtiene una indeterminación del tipo @ xla

xla

Ú Si lím f ( x ) 1 y lím g( x ) @ se obtiene una indeterminación del tipo 1@ xla

xla

Para estos casos se puede aplicar el logaritmo natural en y  [ f(x)] g(x) y aplicar la propiedad ln bn  n ln b, es decir: y  [ f (x)] g(x) entonces:

Sea

ln y  ln ; f ( x )=

g( x )

ln y  g( x ) ln f ( x ) De tal forma que esta transformación nos lleva a un producto indeterminado g(x) ln f (x) el cual es del tipo 0  @ Por otro lado también se puede utilizar la transformación: ; f ( x )=

g( x )

 e g ( x )ln f ( x )

Ejemplo Obtén el resultado de lím (cot x )x x l0

Solución Al resolver directamente lím (cot x )x  0 0

x l0

se obtiene la indeterminación 0 sea y  (cot x)x, aplicando el logaritmo natural en ambos lados se obtiene ln y  ln(cot x)x Aplicamos la propiedad ln b n  n ln b y se tiene: ln y  x ln cot x Calculamos el límite para ln y y se transforma el producto lím ln y  lím x ln cot x  lím

x l 0

xl0

1295

xl0

ln cot x 1 x

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Se aplica la regla de L´Hôpital 1 ³ ¤ 1 ³ ¤ 2 (tan x ) ¥  2 ´ ¥¦ ´ (csc x ) ¦ sen x µ ln cot x cot x µ lím  lím  lím 1 1 1 xl 0 xl 0 xl 0  2  2 x x x 1 1 ³ ¤ sen x ³ ¤ ¥¦ ´µ ¥¦  2 ´µ sen cos x x cos x sen x  lím  lím  1 1 xl 0 xl0  2  2 x x  lím xl0

Se obtiene la indeterminación

x2 0  sen x cos x 0

0 1 , entonces se utiliza la identidad sen 2 x  sen x cos x y se aplica L’Hôpital 0 2

lím

xl 0

x2 x2 2x2  lím  lím sen x cos x xl0 1 sen 2 x xl0 sen 2 x 2

 lím xl0

4x 4 (0 ) 0 0    0 2 cos 2 x 2 cos 2(0 ) 2 cos 0 2

por tanto lím ln y  0 xl0

Pero queremos el límite de y, entonces partiendo de la propiedad e ln b  b se escribe y  e ln y Entonces lím (cot x )x  lím y  lím eln y  e0  1

x l 0

xl0

xl0

Por tanto lím (cot x )x  1 x l0

Ejemplo ¿Cuál es el resultado de lím (1  cos x )tan x ? xl0

Solución Sea y  (1  cos x )tan x , aplicando logaritmo natural en ambos lados se obtiene: ln y  ln(1  cos x )tan x ln y  (tan x ) ln(1  cos x ) ln y 

1 ln(1  cos x ) cot x

ln y 

ln(1  cos x ) cot x

1296

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Aplicando el límite y luego la regla de L’Hôpital ³ ¤ 1 ´ (sen x ) ¥ 1  cos x ln (1  cos x ) µ lím ln y  lím  lím ¦  xl0 xl0 xl0 cot x  csc 2 x



sen x sen 2 x sen x 1  cos x  lím   lím  xl 0 1 xl 0 1  cos x  2 sen x



§ (1 cos 2 x ) sen x ¶  lím ¨ · xl 0 1  cos x © ¸



§ (1  cos x ) (1  cos x ) sen x ¶  lím ¨ ·  xl 0 1  cos x © ¸



 lím[ (1  cos x )sen x ] (1  cos(0 ))sen(0 )



  (1  1)(0 ) (2 )(0 )  0

xl0

Por tanto lím ln y  0 pero se quiere el límite de y, entonces sea y  e ln y, entonces x l0

lím (1  cos x )tan x  lím y  lím eln y  e0  1

xl 0

por tanto lím (1  cos x ) x l0

tan x

xl 0

xl 0

1

Ejemplo 1

Determina lím (1  2 x ) x xl0

Solución Al sustituir directamente se obtiene: 1

lím (1  2 x ) x  1@

x l0 1 x

sea y  (1  2 x ) , al aplicar logaritmo natural 1

ln y  ln (1  2 x ) x 1 ln y  ln (1  2 x ) x ln y 

ln (1  2 x ) x

Se obtiene el límite de ln y y se aplica L’Hôpital: 2  § ln(1  2 x ) 2 2 2 ¶ 1 2x lím ln y  lím  lím  lím ¨  2 ·  xl 0 xl 0 xl 0 xl 0 x x  1  2 ( 0 ) 1 1 1 2 © ¸ Por tanto lím ln y 2 xl0

1297

5

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Para calcular el límite de y hacemos y  e ln y, entonces lím y  lím eln y  e2 

xl 0

xl 0

1 e2

Por tanto 1

lím (1  2 x ) x 

xl0

1 e2

EJERCICIO 47 Obtén los siguientes límites: 1. lím xl5

x 3  125 x 2  25

11. lím

xl@

2 x  ln x 2 x  ln x

e x  e x xl0 x

12. lím

ln( 3  x ) xl2 x2

x³ x ¤ 13. lím ¥ 1  sen ´ xl0 ¦ 2µ

4. lím

4x  2x xl0 3x

¤ 1 1 ³ 14. lím ¥  xl0 ¦ 3 x sen 3x ´µ

5. lím (tan x )x

1³ ¤ 15. lím ¥ 1  ´ xl@ ¦ xµ

e x  sen 2 x  1 xl0 ln(1  2 x )

2. lím

1

3. lím

xl0

6. lím xl0

x

¤ tan x  x ³ 16. lím ¥ ´µ xl0 ¦ x3

ln (cos 3x ) 2x2 1

P³ ¤ 17. límP ¥ x  ´ tan x ¦ 2µ xl

7. lím (sec x ) x xl0

2

8. lím ( x csc 3x )

¤ 1 ³ ¤ 3x  2 ³ 18. lím ¥ ´ ln ¥ xl0 ¦ x µ ¦ x  2 ´µ

9. límP (cos x  sen x ) tan x

19. lím

xl0

xl

xl1

2

10. lím

xlc

ln(2 x  1)  ln( x  2 ) x

ln x x 1

20. lím (sec x  tan x ) xl

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1298

P 2

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Teorema de Rolle Definición Sea f (x) una función que satisface las siguientes condiciones: 1. Es continua en el intervalo [a, b]. 2. Es derivable en el intervalo (a, b). 3. f(a)  f (b)  0 4. Entonces existe c 0 (a, b) tal que f(c)  0

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Verifica el teorema de Rolle para la función f ( x )  x 2  x  6 en el intervalo [2, 3] y determina el valor de c en dicho intervalo. Solución 1. f (x) es una función polinomial, por tanto, es continua en todos los números reales, en particular en el intervalo [2, 3] 2. La derivada de f (x) es f (x)  2x  1; f (x) es definida en los números reales, en particular está definida en el intervalo (2, 3) y es continua. 3. f (2 )  (2 )2  (2 )  6  4  2  6  0 ; f ( 3)  ( 3)2  ( 3)  6  9  3  6  0 4. Por tanto, f (x) satisface el teorema de Rolle. Para obtener el valor de c se emplea: f(c)  0

3

2c  1  0

Se resuelve la última ecuación y se obtiene: c

1 1 y 0(2, 3) 2 2

1299

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

2

SIMPLIFICADAS

Verifica si la función f ( x )  x 3  5 x 2  2 x  8 satisface el teorema de Rolle en los intervalos [1, 2], [2, 5] y encuentra los respectivos valores de c en estos intervalos. Solución 1. f (x) es una función polinomial, por tanto, es continua en toda la recta real y en consecuencia es continua en los intervalos propuestos. 2. La derivada de f (x) es f (x)  3x 2  10x  2; esta función es continua en los intervalos (1, 2) y (2, 5) por ser una función polinomial. 3. Para el intervalo [1, 2] f(1)  (1)3  5 (1)2  2 (1)  8  1  5  2  8  0 f(2)  (2)3  5(2)2  2(2)  8  8  20  4  8  0 f (1)  f (2) El teorema de Rolle se cumple para este intervalo. Para el intervalo [2, 5] f(2)  0 f(5)  (5)3  5(5)2  2(5)  8  125  125  10 8  18 f(2) : f (5) En este intervalo no se satisface el teorema de Rolle. 4. Se buscan los valores posibles de c en el intervalo [1, 2]: f(c)  0

3 3c 2  10c  2  0

Se resuelve la ecuación cuadrática para obtener los valores de c, c

(10 )  (10 )2  4 ( 3)(2 ) 2( 3)



10  100  24 6



10  76 6



10  8.717 6

c  3.119 c  0.213

EJERCICIO 48 Verifica el teorema de Rolle en los intervalos indicados y halla los posibles valores de c para las siguientes funciones: 1. f(x)  x 2  4 ;

[2, 2 ]

2. f (x)  2 x 2  3x ;

§ 3¶ ¨© 0, 2 ·¸

3. f(x)  x 2  5 x  6 ;

[ 2, 3]

1300

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

4. f(x)  2 x 2  3x  2 ;

1¶ § 1 ¶ § ¨©3,  2 ·¸ y ¨© 2 , 2 ·¸

5. f (x)  x 3  9 x ;

[3, 0 ] y [ 0, 2 ]

6. f (x)  x 3  5 x 2  4 x  20 ;

[2, 2 ]

7. f (x)  x 3  13x  12 ;

[4,1] y [1, 3]

8. f (x)  9. f (x) 

x 2  25 ;

[5, 0 ] , [5, 5 ] y [ 0, 5 ]

x2  4 ; x 4 1

[2, 0 ] , [2, 2 ] y [ 0, 2 ]

10. f (x)  cos x;

P 3P ¶ [P, P] y § , ¨© 2 2 ·¸

ª4  x2 ; 11. g(x)  « ¬­8  5 x

si

1

x 1 ; x 1

8¶ § ¨©2, 3 ·¸

1

12. h(x)  x 2  2 x 4 ;

[ 0,16 ]

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Teorema del valor medio Dada una función f (x) tal que: 1. f(x) es continua en el intervalo [a, b] 2. f(x) es diferenciable en el intervalo (a, b) 3. Entonces existe un número c 0 (a, b) tal que f(c) 

f (b )  f (a ) ba

Y

f(b) f’(c) f(a)

a

1301

c

b

X

5

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Verifica que la función f (x)  x 2  4 satisfaga el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3] y encuentra el valor de c. Solución 1. f (x) es continua en [1, 3], ya que está definida en todos los puntos de este intervalo. 2. Como f (x) es una función polinomial, entonces es continua y diferenciable en el intervalo (1, 3), f(x)  2x 3. Para buscar a c se sustituye en la fórmula: f(c) 

f (b )  f (a ) ba

f (c) 

f ( 3)  f (1) 3  (1)

2c  c

5  (3) 4 8 1 8

Por tanto, el valor de c es igual a 1.

2

Verifica si la función f ( x )  x 3  x 2  2 x satisface el teorema del valor medio en el intervalo [0, 2] y calcula el valor de c. Solución 1. f (x) es una función polinomial, entonces f(x) es continua en todos los puntos del intervalo [0, 2] 2. Al ser f (x) continua en el intervalo [0, 2] entonces es derivable en el intervalo (0, 2) y f(x)  3x 2  2x  2, aplicando el teorema del valor medio se obtiene el valor de c. f (c) 

f (2 )  f (0 ) 20

3

3c 2  2 c  2 

80 2

3c 2  2 c  2  4 3c 2  2 c  6  0 Al resolver la ecuación para c: c

[

2  2 2  4 ( 3)(6 ) 2  76 c  1.12   c 1.78 6 2( 3)

El valor de c que pertenece al intervalo (0, 2) es c  1.12

1302

CAPÍTULO CÁLCULO

3

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Verifica si la función f (x)  x 2  5x  4, satisface el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3] y determina el valor de c. Solución 1. La función es continua en el intervalo [1, 3], ya que está definida en todos los puntos del intervalo. 2. La función es polinomial y continua en el intervalo [1, 3] entonces, es diferenciable en ese intervalo f (x)  2x  5 f (b )  f (a ) 3. Para encontrar c se aplica la fórmula: f(c)  ba 2c  5 

f ( 3)  f (1) ; 3 1

28  10 3 1

2c  5 

2c  5  9 2c  4 c2

EJERCICIO 49 Verifica el teorema del valor medio para las siguientes funciones en los intervalos indicados y determina el valor adecuado de c. 1. f(x)  x 2  3x  2 ;

[0, 3]

6. f (x)  x 3  5 x ;

2. f(x)  4  x 2 ;

[1, 2]

7. f (x)  sen

3. f(x) 

1 ; x

[1, 3]

8. f (x) 

4. f(x) 

x 1 ; x2

[2, 1]

9. f(x)  e x;

5. f(x) 

x 1 ;

3

x ; 2

1 ; x 1

10. f (x)  ln(2x  1);

[0, 8]

[2, 1] [P, P] [0, 7] [0, 1] [0, 4]

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Diferenciales Se define la diferencial de una función f en un punto x, como el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente y se denota por las expresiones d f(x) o dy, es decir: df (x)  f(x)dx o dy 

1303

dy dx ; para toda dx : 0 dx

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Obtén la diferencial de la función y  x 2  5x  6 Solución Se obtiene la derivada y se multiplica por dx: dy 

d 2 (x  5x  6) · dx dx

dy  (2x  5)dx Por tanto, la diferencial es: dy  (2x  5)dx

2

Determina la diferencial de la función y 

x2  5

Solución Se deriva la función: 2 1 1 2 1 d ( x  5 )  x dy d x  5 1 2 1   ( x  5) 2  ( x 2  5 ) 2 (2 x )  2 dx dx dx 2 2 x 5

Por consiguiente, d y

3

x x2  5

dx

Obtén la diferencial de la función f (U)  2 sen U cos U Solución Se deriva la función: df (U ) d cos U d sen U ¶ d 2 sen U cos U §   2 ¨sen U  cos U dU dU d U ·¸ dU ©  2[sen U(sen U )  cos U(cos U )]  2[cos 2 U  sen 2 U ] Pero cos 2 U  sen 2 U  cos 2U, entonces: df (U )  2 cos 2 U dU Entonces df (U )  2 cos 2 U d U

1304

CAPÍTULO CÁLCULO

4

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

Obtén la diferencial de la función y  arc sen(1  x 2) Solución Se deriva la función: dy d  arc sen(1  x 2)  dx dx 

1 1  (1  x ) 1

1  (1  2 x 2  x 4 )

2x2  x4 2 x x 2  x2



Por consiguiente, dy  

2 2  x2

(2x)

2 x





d (1  x 2) dx

2 2

2 2  x2

dx

EJERCICIO 50 Determina la diferencial de las siguientes funciones: x2 x 1

1. y  ax

11. g(x) 

2. y  ax 2  bx  c

12. y 

x2 x3

3. f(x)  x 3  2x 2  5

13. y 

ax 2  b ax 2  b

4. s 

t3t

2

14. f (x)  x  cos 2x

5. h(t)  (5  3t 2)6

15. f(t)  tan3 2t

6. y  (x 2  2)3

16. y  (1  sec x)2

1 3

17. g(x) 

1  sen x 1  sen x

8. y  x x 2  2

18. s (t) 

cost t

9. f(x)  (x  1)3(x  3)4

19. f(x) 

sec x  1 sec x  1

¤ 7. y  ¥ 2  ¦

10. h(s) 

3³ ´ xµ

2s 1 2s  3

20. y  log(x 2  5)

1305

5

CAPÍTULO

5

MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

21. y  ln x 2  3 x 1 x2

22. y  ln

23. y  e

26. f(x)  x 2 ln x 27. f (x)  arc cos 2x

x3

28. y  arc tan

3

24. y  2 x 5 25. h(t ) 

2 x

29. y  arc sec x

et e  et

30. y  arc csc(3x 3)

t

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Aplicaciones de la diferencial Sea y  f(x) una función, si se da a x un incremento $x, la variable y recibe un incremento $y, que se considera un valor muy próximo a dy, entonces el valor aproximado de f(x  $x) es: f(x  $x)  y  $y  y  f(x)dx  y  dy A esta expresión se le llama aproximación lineal y sirve para aproximar valores de funciones.

Aproximación lineal

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina el valor aproximado de

25.020

Solución Se asocia a la operación la siguiente función: y

x

Se busca un valor x próximo a 25.020, cuya raíz cuadrada sea exacta, en este caso x  25, y  veinte milésimas restantes se toman como la diferencial de la variable x. dx  0.020 

1 50

Se obtiene su diferencial: dy 

1 dx 2 x

dy 

1 ¤ 1³ 1 ¥¦ ´µ  50 500 2 25

dy 

1 500

Los valores se evalúan en la fórmula: f(x  $x)  y  dy 25.020  25  0.02  5  Por consiguiente,

25.020  5.002

1306

1 500

2501  5.002 500

25  5; las

CAPÍTULO CÁLCULO

2

Determina el valor aproximado de

3

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

70

Solución Se asocia a la operación la siguiente función: y

3

x

Se busca un valor x próximo a 70, cuya raíz cúbica sea exacta, en este caso x  64, y las seis unidades restantes son tomadas como la diferencial de la variable x, es decir, dx  6 Se obtiene la diferencial: 1 dy  2 dx 3 3 x

 1

dy  3



3

64



2

(6 ) 

1 8

Los valores se evalúan en la fórmula: f(x  $x)  y  dy 3

Por tanto,

3

3

64 

70  3 (64  6 )  4 

1 33  8 8

33  4.125 8

Obtén el valor aproximado de cos 40 Solución La función asociada a la operación es: y  cos x Se busca un valor x próximo a 40, en este caso x  30 

P 3 P , y  cos 30  y los 10  restantes 6 2 18

es el valor de la diferencial de x. dx 

P 18

Se obtiene su diferencial: dy  sen x dx dy  (sen 30)( dy  

P 1 P ) ( )( ) 18 2 18

P 36

Los valores se evalúan en la fórmula: f (x  $x)  y  dy cos 40  cos(30  10)  Finalmente, cos 40 

3 P 18 3 P    0.778758941 2 36 36

18 3  P 36

1307

5

CAPÍTULO MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Aproximación del aumento o disminución de funciones Ejemplo Al enfriar una placa cuadrada metálica de 8 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? Solución Se determina cuánto disminuyó el lado de la placa, para ello se obtiene el 0.03% de 8. (8)(0.0003)  0.0024 Si x  lado de la placa, entonces dx  0.0024 cm, el signo menos indica que decrece el lado. Luego: El área de la placa es: A  x2 La disminución en el área es: dA  2x dx dA  2(8 cm)(0.0024 cm)  0.0384 cm2 Por último, se determina qué porcentaje representa 0.0384 del área total de la placa, es decir: A  x 2  (8 cm)2  64 cm2 Porcentaje de la disminución de su área 

(0.0384 cm 2 )(100%)  0.06% 64 cm 2

Por lo tanto, el área disminuye 0.06%

Estimación de errores de magnitudes Ejemplo Se calculó la longitud del lado de un cuadrado y éste mide 2.5 cm, con un error de 0.02 cm. Determina el máximo error que se comete al medir el área del cuadrado. Solución El área se determina con la fórmula A  x 2, se obtiene la diferencial dA  2x dx, al sustituir se obtiene dA  2(2.5 cm)(0.02 cm)  0.1 cm2; dA representa el máximo error cometido en la medición del área. Ú Error relativo y error porcentual. error relativo 

dv dv ; error porcentual  100 v v

Ejemplo Se calculó el radio de una esfera y éste mide 4.5 cm con un error máximo de 0.035 cm. Calcula el error relativo y porcentual que se obtiene al medir el volumen. Solución Del problema se obtiene: r  4.5 cm La fórmula del volumen es v 

3

dr  0.035 cm

4 3 Pr y su diferencial es dv  4Pr 2dr 3

1308

CAPÍTULO CÁLCULO

DIFERENCIAL U

Aplicaciones de la derivada

5

Entonces, el error máximo cometido al medir el volumen es: dv  4Pr 2dr  4 P( 4.5 cm )2 (0.035 cm ) dv  2.835P cm3 Luego, el volumen de la esfera con radio 4.5 cm es: v

4 P( 4.5 cm )3  121.5 P cm 3 3

Por tanto, el error relativo es: dv 2.835 P cm 3  v 121.5 P cm 3

3

dv  100(0.023) v

3

dv  0.023 v

Y el error porcentual: 100

100

dv  2. 3% v

EJERCICIO 51 Calcula el valor más aproximado de las siguientes operaciones: 3

130  2 tan 63º

86

6.

2.

3

35

7. 123.5 2

3.

4

20

8. sen 53  cos 44

1.

3

9. sen4 29

4. sen 38 5.

6  cos 50 º

10. cot 75

11. Una placa circular de radio 3.8 cm, se introduce en un horno, aumentando su radio en 0.012 cm. ¿Cuál es el aumento en la superficie de la placa? 12. La longitud de las aristas de un cubo es de 5.9 cm cada una, se midieron con un error máximo de 0.032 cm. Determina el máximo error que se cometió al medir su superficie y volumen. 13. Se calculó el diámetro de la base de un cilindro circular y éste midió 7.2 cm, con un error máximo de 0.05 cm. Calcula el error máximo que se cometió al medir el volumen si la altura es constante e igual a 10 cm. 14. Se midió un lado de un cuadrado y se cometió un error máximo de 0.012 cm. Calcula la longitud de uno de sus lados si el error máximo que se cometió al medir su área es de 0.192 cm2. 15. Calcula el error relativo y porcentual que se comete al medir el volumen y la superficie de una esfera, si su radio mide 12 cm y el error máximo que se cometió al medirlo es de 0.015 cm. 16. El error relativo que se comete al medir el área de un cuadrado es de 0.18, si el error que se comete al medir la longitud de uno de sus lados es de 0.01 cm. Encuentra la longitud de cada uno de los lados del cuadrado. 17. El error relativo al medir el volumen de una esfera es de 0.02. Calcula el error máximo cometido al medir su diámetro, si éste mide 3 cm. 18. Calcula el error relativo y porcentual que se comete al medir el área lateral de un cilindro de base circular, si al medir el diámetro de la base se obtiene 4.5 cm con un error máximo de 0.004 cm y la altura es de 5.6 cm.

Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 1309

Solución a los ejercicios de cálculo diferencial

CÁLCULO DIFERENCIAL

CAPÍTULO 1

8. (@, 5 )  (5, 5 )  (5, @ )  { x 0 R x  5, x  5} 9. (@, @ )  { x 0 R}

EJERCICIO 1 1. Función

6. Relación

11. Función

10. (@, 5 )  (5, 0 )  (0, @ )  { x 0 R x  5, x  0}

2. Relación

7. Función

12. Relación

11. (@, 1)  (1, 0 )  (0, 1)  (1, @ )  { x 0 R x  1, x  0, x  1}

3. Función

8. Relación

13. Función

12. [1, @ )  { x 1}

4. Relación

9. Función

14. Función

5. Función

10. Relación

15. Relación

13. [ 6, @ )  { x  6} 14. (@, 2 ]  { x  2}

EJERCICIO 2

15. (@, 4 ]  { x  4}

5 ¤ 1³ 1. f ¥  ´   f(3)  15, f(0)  3 ¦ 2µ 2 2. f (a) 

a2

16. ( @, 5 ] † [ 5, @ )  { x Œ R x 5 o x  5} 17. (@, 1]  [ 6, @ )  { x 0 R x 1 o x  6}

 5a  6,

f (a  b)  a 2  2ab  b 2  5a  5b  6

18. [ 6, 6 ]  { x 0 R 6  x  6}

f (x  h)  3x 2  6hx  3h 2  4x  4h  2 3.

19. (@, @ )  { x 0 R}

f ( x  h)  f ( x )  6x  3h  4 h

20. (@, @ )  { x 0 R} 21. [ 5, @ )  { x 0 R x  5}

1 ¤ 1³ ¤ 1³ 4. f ¥ ´   , f ¥  ´  No existe ¦ 3µ ¦ 2µ 5

22. (2, @ )  { x 0R x  2}

4h f (x  h)  f (x) (2 x  2 h  1)(2 x  1)

23. (@, 3)  { x 0 R x 3} 24. (@,  2 )  (2, @ )  { x 0 R x  2}

5. f (5)  3, f (4)  0, f(6) 

20  2 5 ,

25. (@,4 ]  ( 3, @ )  { x 0 R x  4 o x  3}

f (3)  No está definida 6. f (x  h) 

f ( x  h)  f ( x )  h

2x  h

27. (2, @ )  { x 0 R x 2}

( x  h )2  3  x 2  3

7.

f ( x  b)  f ( x ) 1  b ( x  b  1)( x  1)

8.

1 f ( x  h)  f ( x )  h 1  ( x  h)  1  x

9. f (1) 

3¹ § 3³ ª 26. ¨1, ´  « x 0 R 1  x º 2» © 2µ ¬

x 2  2 xh  h 2  3

5³ 5¹ ¤ ª 28. ¥ @, ´  « x 0 R x º ¦ 2µ 2» ¬ 29. (0, @ )  { x 0 R x  0} 30. (1, 3)  { x 0 R 1 x 3} 31. [1, @ )  { y 0 R y  1} 32. [4, @ )  { y 0 R y  4}

x 4 5 , f (0)  , f(x  5)  x7 3 2

33. (@, 9 ]  { y 0 R y  9}

3 ¤ 1³ 10. f (1)  2, f ¥ ´   2  2 x 2  3x ¦ xµ x Las demostraciones de los ejercicios 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18, se dejan al estudiante. EJERCICIO 3 1. (@, @ )  { x 0 R} 2. (@, @ )  { x Œ R} 3. (@, 3)  (3, @ )  { x ; R x 3} 4. ( @, 5 )  (5, @ )  { x 0 R x  5}

9¶ ª 9¹ ¤ 34. ¥ @, ·  « y 0 R y  º ¦ 4¸ ¬ 4» 35. (@, 2 )  (2, @ )  { y 0 R y  2} 1³ ¤ 1 ³ ª 1¹ ¤ 36. ¥ @, ´  ¥ , @ ´  « y 0 R y  º ¦ 2µ ¦ 2 µ ¬ 2» 37. [1, @ )  { y 0 R y  1} 38. (@, 0 ]  { y 0 R y  0} 39. [ 0, 2 ]  { y 0 R 0  y  2}

5. (@,  4 )  ( 4, 4 )  ( 4, @ )  { x 0 R x  4, x w 4}

40. (0, 1]  { y 0 R 0 y  1}

6. (@, 0 )  (0, 5 )  (5, @ )  { x 0R x  0, x  5}

41. [ 0, 1)  (1, @ )  { x 0 R 0  y 1 o y  1}

7. (@, 2 )  (2, 5 )  (5, @ )  { x 0 R x  2, x  5}

42. [ 0, @ )  { y 0 R y  0}

1554

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS EJERCICIO 4

5. Y

1. Y

f(x) =

y=4

1 2

x–1

X

X

6. Y

2. Y

f(x) =

f(x) = 2

2 5

X

3 4

x 12

X

7. Y

3. Y f(x) = x2 – 4x + 3

f(x) = p

X

X

8.

4.

Y

Y

f(x) = –2x2 + 12x – 13

f(x) = 3x + 5

X X

1555

CÁLCULO DIFERENCIAL

9.

13. Y

Y

f(x) =

f(x) = 4 – x2

x22 x14

X

X

14. Y

10. Y

f(x) = f(x) =

3 x

x 12 32x

X X

15. Y

11. Y f(x) =

1 f(x) = – x

x 21 5 x 1 6 x2 2 4

X X

16.

12.

Y

Y

f(x) =

f(x) =

x x22

1 x 2 12 x 23

X

X

1556

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

17.

21. Y

Y

f(x) =

x2 1 2

f(x) =

x 2 2 36

x22 9

X X

22. Y

18. Y f(x) =

2x

16 2 x 2

f(x) =

X

X

23.

19.

Y

Y

f(x) = f(x) =

x 2 1 x 2 12

x24

X X

24.

20. Y

Y

f(x) =

f(x) = –

4x2 2 9

92 x X

X

1557

CÁLCULO DIFERENCIAL

25.

29. Y

f(x) =

Y

900 2 100 x 2 9

f(x) =

12 x x12

X X

26. Y

30. Y f(x) =

x22

f(x) = x

x12

X X

27. Y

31. Y f(x) =

1 x12 f(x) = x 2 2 X X

28. Y

f(x) =

32.

Y

x14 x23

X

X f(x) = x 1 4

1558

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

33.

37. Y

Y

f(x) =

2 32x

f(x) = x 2 2 1

X

X

38. Y

34. Y

f(x) = x 2 2 4 x 1 3

f(x) =

x 13 x 23

X X

39. Y

35. Y f(x) = 2 2 x 2

f(x) =

x 23 x 11

X X

40. 36.

Y f(x) =

Y

f(x) =

1 x22

C 21 xD

X

X

1559

CÁLCULO DIFERENCIAL

41.

4. Y

Y

X

X

EJERCICIO 5

5. Y

1. Y

X X

6. Y

2. Y

X

X

7. 

3. Y

 

X

1560





SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS EJERCICIO 6

5. Y

1. Y y 5x2 2 4

y 5 3 x 2 1 12 x 1 11

X X

6. Y

2. Y y 5 2x 3

y 5 (x 1 3) 2

X

X

7. Y

3. Y

y 5 x31 1

y 5 1 2 x2

X X

8. Y

4. Y y 5 (x 2 1)3 1 2

y 5 x 2 2 6 x 1 10

X

X

1561

CÁLCULO DIFERENCIAL

9.

14. Y

Y

y5

1 2

y532 x14

x3 2 2

X

X

EJERCICIO 7

10.

1. Crece: (0, @)

Y

2. Decrece: (@, 0) y5 x22 12

Crece: (0, @) 3. Crece: (@, @) 4. Decrece: (@, 0) Crece: (0, @) 5. Crece: (2, @) X

6. Decrece: (@, 3) 7. Decrece: (0, @) Crece: (@, 0)

11. Y

8. Decrece: (@, 3) Crece: (3, @) y5 x23 22

9. Decrece: (0, 3) Crece: (3, 0) X

10. No crece ni decrece, permanece constante EJERCICIO 8

12. Y

y52 x13

1. Biyectiva

6. Ninguna

2. Ninguna

7. Biyectiva

3. Ninguna

8. Inyectiva

4. Biyectiva 5. Inyectiva X

EJERCICIO 9 1. f(x)  g(x)  3 f(x)  g(x)  7

13.

f(x)  g(x)  10

Y

f (x) 5  g( x ) 2

y 5 x 23 2 2

2. f(x)  g (x)  4x f(x)  g(x)  10 X

f(x)  g(x)  4x 2  25 f (x) 2 x  5  g( x ) 2 x  5

1562

9. Suprayectiva 10. Biyectiva

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

3. f (x)  g (x)  2x 2  x  3

10. Df Y Dg  {1, 1, 2} f  g  {(1, 1), (1, 1), (2, 1)}

f (x)  g(x)  7(x  1) f (x)  g (x) 

x4



x3



15x 2

f  g  {(1, 3), (1, 1), (2, 0)}

 23x  10

f (x) x  5  g( x ) x  2

ª ¤ 1³¹ f  g  «(1, 2 ), (1, 0 ), ¥ 2, ´ º ¦ 4µ» ¬

4. f (x)  g (x) 

8x 1 6

f (x)  g (x) 

4x  7 6

f ª¤ 1³ ¹  «¥ 1,  ´ , (2, 1) º g ¬¦ 2µ » 11. f(x)  r(x)  2x  5 12. f(x)  s(x)  x 2  4x  13

2 x 2  3x  2 f (x)  g (x)  6

13. g(x)  s(x)  x 4  2x 3  19x 2  68x  60

f (x) 6 x  3  g( x ) 2 x  4 5. f (x)  g (x) 

x3 x4

f (x)  g (x) 

x3 x4

f (x)  g (x) 

2

14.

g( x ) x3 r(x)

15.

s( x ) x5 r(x)

16. g (x)  s(x)  8(x  2) x  x  12

17. f(x)  r(x)  x 2  5x  6 18.

f (x) x  3  r(x) x  2

19.

g( x ) x  3  s( x ) x  5

20.

g( x ) s ( x )  2x  3  f (x) r(x)

2

x  x  12 x3 f (x)   g( x ) x4 x4 6. f (x)  g (x)  x  2 x f (x)  g (x)  x f(x)  g (x)  x  x x f (x)  x 1 g( x )

x2  2 x( x  2)

21. f(x)  g(x) 

7. f(x)  g (x)  sen2 x  cos2 x  1

22.

f (x)  g(x)  sen2 x  cos2 x  cos 2x f (x)  g(x)  sen2 x  cos2 x 

1 sen2 2x 4

f ( x ) sen 2 x   tan2 x g( x ) cos2 x 8. Df Y Dg  {1, 3, 5}

f (x) x2  x  g( x ) x2

23. f(x)  g(x) 

x 1 x 2  2x

24. f(x)  h (x) 

5  5x ( x  2 )( x  3)

25. g(x)  h(x) 

x 1 x 2  3x

f  g  {(1, 12), (3, 20), (5, 23)} f  g  {(1, 8), (3, 8), (5, 9)} f  g  {(1, 20), (3, 84), (5, 112)} f ª¤  «¥ 1, g ¬¦

1 ³ ¤ 3³ ¤ 7 ³ ¹ ´ , ¥ 3, ´ , ¥ 5, ´ º 5 µ ¦ 7 µ ¦ 16 µ »

9. Df Y Dg  {2, 1, 0} f  g  {(2, 0), (1, 1), (0, 2)}

26.

x 3  3x 2  4x  2 f (x)  h( x )  ( x  2 )( x  3) g( x )

27.

h( x ) x2  x  3  g( x )  f (x) x ( x  3)

28.

h(2 )  f (1)  3 g( 3)

f  g  {(2, 10), (1, 7), (0, 4)} f  g  {(2, 25), (1, 12), (0, 3)} f ª  «(2, 1), g ¬

3³ ¤ ¥¦ 1,  ´µ , 4

1³ ¹ ¤ ¥¦ 0,  ´µ º 3 »

29. f(x  1) 

x2 1  h( x  1) x  3

30. h(x)  g(x) 

1563

x2  2x  3 x ( x  3)

CÁLCULO DIFERENCIAL

31.

h( x ) g( x ) x 4  2 x 3  x  6   g( x ) f ( x ) x ( x  1)( x  3)

32. f (x)  h(x)  g (x) 

33.

12. f(x)  13. f(x) 

x 3  3x 2  2 x  6 x ( x  2 )( x  3)

x

14. f(x)  mx  b 15. f(x)  x 2

f ( x )  h( x ) x ( x  1)(2 x  1)  g( x ) ( x  2 )( x  3)

16. f(x) 

x ( x  3) 1  2 34. g( x )  h( x ) x 3 35.

1 x

x2

17. f  g  h  81x 2  54x  9 18. f  g  h  1  12x 2  48x 4  64x 6

3 x 1  2 1  h( x )

19. f  g  h 

2x  9

20. f  g  h  sen2(x  2) EJERCICIO 10

21. f  g  h  sec2 x

1. ( f  g)(x)  12x 2  46x  40, (g  f )(x)  6x 2  10x  7, ( f  f )(x) 

27x 4



90x 3



24x 2

 85x  20,

(g  g)(x)  4x  9 2. ( f  g)(x)  x, (g  f )(x)  x, ( f  f )(x) 

4

x , (g  g)(x)  x 4

3. ( f  g)(x)  4, ( g  f )(x)  2, ( f  f )(x)  4, (g  g)(x)  2 4. ( f  g)(x)  x, (g  f )(x)  x, ( f  f )(x)  x 2  10

(g  g)(x) 

5. ( f  g)(x)  x  2 ( f  f )(x)  6. ( f  g)(x) 

x 2  10

(x 2

2)2,

(g  g)(x) 

2

x  2x x 1 1

1 x x3 , (g  f )(x)  x 1 1  3x

( f  f )(x)  

EJERCICIO 11 1. Ninguna

6. Ninguna

11. Par

2. Par

7. Par

12. Par

3. Impar

8. Par

13. Impar

4. Ninguna

9. Ninguna

14. Par

5. Ninguna

x 1 , (g  f )(x) 

 2x 

22. f  g  h  sen x

1 , (g  g)(x)  x 2x  1

10. Impar

EJERCICIO 12 1. f 1(x)  x 2. f 1(x) 

x5 2

3. f 1(x) 

x9

4. No tiene inversa

7. ( f  g)(x)  log(x  4), (g  f )(x)  log(x  2)  2

5. f 1(x) 

3

x

( f  f )(x)  log[log(x  2)  2], (g  g)(x)  x  4

6. f 1(x) 

5

x

7. f 1(x) 

4

x

8. ( f  g)(x) 

1 , (g  f )(x)  x

x 2  x 4  1

( f  f )(x) 

1  2 no está definida x

(g  g)(x) 

x  x2  1

9. ( f  g)(x)  {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (4, 8)} ( g  f )(x)  No está definida, ( f  f )(x)  {(2, 8)}

8. f 1(x)  3  x 2 9. No tiene inversa 10. f 1(x) 

11. f 1(x)  x 3  9 12. f 1(x) 

(g  g)(x)  {(1, 3), (2, 4), (3, 5)} 10. ( f  g)(x)  {(2, 1), (1, 4), (0, 9), (1, 16)}

13. f 1(x) 

(g  f )(x)  (1, 4), ( f  f )(x)  {(1, 1), (2, 16)} ( g  g)(x)  {(2, 4)}

( g  g)(x)  {(2, 2)}

1  3x 2x x 2 1

14. f 1(x) 

1 x 1 x

15. f 1(x) 

x2 x 1

11. ( f  g)(x)  {(3, 1), (2, 3), (1, 1)} (g  f )(x)  {(0, 1), (1, 0)}, ( f  f )(x)  {(0, 3), (1, 1)}

4  x2

1564

2

15. Par

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS EJERCICIO 13

5. Y

1. Y

f (x) 5 3x

X f (x) 5 1 2 ex

X

2.

6.

Y

Y

f (x) 5 e2x 1 2

y 5 32x

X

3.

X

Y

7. Y

y 5 3x 2 3

f (x) 5 ln(x 2 2)

X

X

4.

8.

Y

Y

f (x) 5 ex 1 1

X f (x) 5 1 1 log x

X

1565

CÁLCULO DIFERENCIAL

9.

13. Y

f (x) 5 22 sec x 1 1

Y

f (x) 5 2 1 ln(x 1 1) 3 2p

X

p

X

10. Y f (x) 5 3 cos x 2 2

14. Y f (x) 5 sen x 1

p 2

X

X

EJERCICIO 14 1. V(h)  40h

11. Y f (x) 5 22 sen x 1 1

2. V(h) 

4 Ph 3 75

3. P(A) 

12 5 A 5

4. A(d) 

Pd 2 4

5. V(x) 

3 Px 3 2

X

12. Y

6. A(x) 

3 (x  2)2 4

7. V(x) 

Pr 2 (8r  15) 6

8. A(x) 

Px 2 3

f (x) 5 2tan x

X

9. A(x)  3x 16  x 2 ¤ 540 ³  3´ 10. A(x)  (x  4) ¥ ¦ x µ 11. d(t)

9 16t 2  1 2

12. d(t)

1 2 t  16 2

1566

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

CAPÍTULO 2

21.

7 9

36.

EJERCICIO 15 1. 1 1 2. 0.16666  6 3. 1

6. 4

22. 6

23.

8. No existe 9. 2

5. 1

10. 3

11. D  0.01

15. E  0.18

12. D  0.08

16. E  0.0098

13. D  0.025

17. E  0.25

14. D  0.4

18. E  0.002

8. 

2. 24

9. 15

4 27

15. 0

40. 0

10. 2 3

17. 1

4. 0

11. 32

18.

5. 7

12. 1

19. 1

6. 64

13. 1

7. 3

14. 

5 8

21.

11. 9

2. No existe

12. 0

3. 0

13. 

14.

2 5.  3 1 6. 2

1 2

5 4

1 15. 4 16. 2

42.

1 4

1 4

43.

1 4

2 4

44.

30. No existe

45.

1 3

46.

1 8

31.

1 2

4 3 3

3 20

1

29. 2

6a 3 a2

1

32. 2 5

47.

1 6

48.

1 54

33. 

4

2 x

34.

24 5

49.

1 4

35.

b a

50.

2 25

EJERCICIO 19 1.

7 4

11. 

11 6

2. 2

12.  1

3. 0

13.

9 2

4. No existe

14. 1

5. 3

15. 1

6. 7. 4

41. 

27. 48

20. h

EJERCICIO 18

a c

1 12

16. No existe

3. 18

4.

1 2

5 12

25. 3

28.

1. 3

38.

39. 2

26.

EJERCICIO 17

1 3

24. 3

EJERCICIO 16

3 5

37. 

7. No existe

4. 0

1.

1 n • n p n 1

17. 4

1 2

16.

am si m  n bn 0 si m n

8.

1 2h

18. 

1 2

19. 15

9.  10. 2a

20.

3 7

9 19

1 7.  3

No existe si m  n

8. 0 9. 1

17.

10. 0

18.

1567

a c n

a

CÁLCULO DIFERENCIAL EJERCICIO 20 1. y 

3. Y

1 2

y = 2x – 1

y = f(x)

2. y  0 3. No tiene asíntota horizontal 4. y  1, y  1 5. y  2 6. y 

a c

1

x=

X 1 As. Vertical: x = 2 As. Oblicua: y = 2x – 1

2

7. y  0 8. y  2 4.

9. No tiene asíntota horizontal

Y

a 10. y  b

y=x–2

EJERCICIO 21 1.

X

x=–2

Y

y = f(x) As. Vertical: x = – 2 y=x–1

As. Oblicua: y = x – 2

x=–2 X

5. Y y = f(x)

As. Vertical: x = – 2 y=x

x=–1

As. Oblicua: y = x – 1

2.

1

   

X

   As. Vertical: x = – 1 As. Oblicua: y = x

    

6. Y



y = f(x)

x=–1

y=x

   

   

X As. Vertical: x = 1 x=–1 As. Oblicua: y = x x=1

1568

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

6. 7

7. Y

7. 1 8. 3

2

y=x –3x

9. 2 10. No existe el límite EJERCICIO 23 1 X

1.

1 3

6. 2

2.

1 3 2

7.  4 3

As. Vertical: x = 0 As. Oblicua: y = x2 – 3x x=0

3. 2

8. 0

4. 1

9. 1

1 5.  2

8. Y

10. No existe

EJERCICIO 24 y = f(x)

1. 2

11. 2

3 2. 4

12.

1 X

3. 

1 2

13. 1

4. 0 As. Oblicua: y = x – 1

5. 

y=x–1

9. Y

y = f(x) y = x3 + x

14. 0 1 2

15.

16. 0

7. 0

17. 9

8.

2

18. 0 19.

10. sec3(3) X

EJERCICIO 25 1. Es continua en x  0 2. No es continua en x  2 3. No es continua en x  

EJERCICIO 22

3 2

1. a) 11, b) 9, c) No existe

4. Es continua en x  3

2. a) 1, b) 1, c) 1, d) 6, e) 4, f ) No existe

5. Continuidad removible en x  2

3. a) 0, b) 2, c) No existe, d) 

2 2 2 , e)  , f )  3 3 3

6. No es continua en x  2P 7. Es continua en x  2

4. a) 1, b) 4, c) 4, d ) 4, e) 16

8. No es continua en x  1

5. a) 4, b) 4, c) 4, d ) 8, e) 3, f ) No existe

9. No es continua en x  0

1569

n2  m2 4

20. 0

CAPÍTULO 3

As. Vertical: x = 1

x=1

1 2

6. 0

9. 1

As. Oblicua: y = x3 + x

1 2m

CÁLCULO DIFERENCIAL

10. No es continua en x  2; es continua en x  2 11. Es continua en x  1; no es continua en x  2

11. f(x)  

3 P 2 13. No es continua en x  3; es continua en x  3

12. f(x) 

14. Continuidad removible en x  3

13. f(x) 

12. Es continua en x  P y x 

15. Continuidad removible en x  1 16. Continuidad removible en x  2

17. y  

1 2 x2

18. y  

x

14. f(x) 

1 2

15. y 

19. k  1 20. k  0 o k  2 21. k  1 o k  

16. y   

4x ( x 2  1)2

x2  4

17. Continuidad removible en x  8 18. No es continua en x 

6 x3

2 3 3 (2 x  1)2

1 x x 1

3

x2

3

2 3( x  1) 3 x 1 2

19. y  

1 2

20. y 

1 n n xn 1

EJERCICIO 29

2 9

1

1. y  0

16. y  9 x 2

22. a  

9 , b  7 4

2. y  0

17. f(x) 

23. a  

17 , b  2 2

3. f(x)  0

18. f(x) 

4. s(t)  0

19. f(x) 

5. y  6

20. s(t) 

24. a  4, b  2

2 5 5 x3 1 4

6. sí 7. sí

3. sí

8. no

4. no

9. no

5. sí

6. y 

3 4

21. f(x) 

10. sí

6. 5

2. 0

7. 5

3. 4

8.

4.  2 ,

1 2

5. 5

2 5

9.

2 2

1 5

x4

22. f(x) 

5x4 7

8. s(t )  b2

23. f(x) 

4 x3 9

9. f(x)  5 2

24. s(t) 

3t 2 a

10. y  a b

25. f (x)  

20 x5

11. f(x)  5x 4

26. f (x)  

12 x7

12. f(x)  12x 2

27. f(x) 

4 3 t 5

28. s(t ) 

10. 1

CAPÍTULO 4 EJERCICIO 28 1. y  3

6. y   3x 2

2. y   b

7. y  3x 2  2x

3. y   2x

8. y   4

4. f(x)  6x  5

2 9. y   ( x  1)2

5. y   2ax  b

1 44 t3

7. f(x)  a EJERCICIO 27 1. 2

x3

1 2 x

EJERCICIO 26 1. sí 2. no

10. y  3x 2

13. s(t ) 

14. y 

9 27 x 2

15. f(x) 

1570

4 13 x 3

3

( x  1) ( x  3) 2

1 4 x 1 15 3 t 2

29. f (x)  

2 x x

30. s(t)  

5 4t 4 t

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

31. f (x)  

4 3x 3 x

54. y 

3 x2

32. f (x)  21x 2  6x  3

55. y  15(3x  4)4

33. f (x)  4x 3  15x 2  16x  1

56. y  12(2  4x)2

34. f (x)  10x  4

57. y  (72x 5  32x 3)(3x 6  2x 4)3

35. f (x)  12ax 3  12ax 2  10bx  7c

58. y  12 x (2x  1)2(6x  1)

36. f (x)  37. s(t ) 

x2 6x 4   2 5 9

59. y 

5t 4 4 t 3 3t 2 2t 1     6 5 4 7 9

60. y 

3x 5  3x 2 x2 3

2x

1  2 2 a a b

38. f (x) 

39. s(t )  

61. y 

8 5  t3 t2 62. y 

20 18 14 3 40. f (x)   5  4  3  2 x x x x

1



15 3 x 2

1

2 x2

49. y 

2 5 x 3 7 a n n xn 1 1

3

3

50. f (x)  

x





b 33 x2

54x 12

5 2x 2 4 x



( x  2 )3

4 3 3 2x  3 1

67. y 

3

( 4 x  3) 4 ¤1 ³ 68. f(x)  ¥ x  2 ´ ¦3 µ 1³ ¤2 69. y  ¥  2 ´ ¦x x µ 70. f(z) 



1 2

z

3

( x 6  3 x )2

72. y  108x 2  55x  4 73. y  40x  12 

6 5  2 x3 x2

53. f(x)  5 3 x 2 

10 8  3 3 x 3x 3 x

1³ ¤ 1   3´ ¦¥ x 2 x µ

z2  4

51. f (x)  14x  15x 2 52. f (x)  

2

2x5  1

71. y  1 3 2x x

4

65. f(x)  (6x  15)(x 2  5x  3)2

5 2  4 x x2 x

46. f (x)  anx n1  b(n  1)x n2

2

x3 4

4 6  3 6 x 45. f (x)  x x

48. f (x) 

4x  6 3 2x2  6x

x3x

66. y 

47. f (x) 

1  x2 ( x 2  1)2

64. f(x) 

43. f (x)  3x 2  6x  6  44. f (x)  3 x 

( x  2 )2

9 ³¤x ¤ ³ 63. y  ¥ 1  ´ ¥  6 x ´µ ¦ xµ¦3

3t 2 4 6  3 2 41. s (t)  5 t t 42. f (x) 

3

74. y  12x 3  3x 2 75. f(x) 

1571

3x  1 2x 1

9 x2

CÁLCULO DIFERENCIAL

76. y   77. y  

1 (2 x  1)2  8 x  1 3

98. y 

80. s 

7 x 4  27 x 2 4

3( x 2  3) 3

78. f (x)  12x (3x 2  5)3(2x 2  1)2(7x 2  3) 79. f (U)  (6U4  12U)(U2  1)2(2U3  U  2)

3

(x 4  a4 )2

5x2  4 x 2 x 1

4 x 3

97. y 

99. y 

8 x 2  24 x  9 2 x 2  3x

8  9t 2 4  3t

101. y  6 82. f (x)  (1  2 x )2

84. f (r) 

3

2( x  1) 2

9 ¤2 3³ 81. s(t )  (2t  3) ¥  2 ´  4  2 ¦t t µ t

83. f (t) 

x2

100. y 

3x  3 2 x3 2 x 2

102. y 

bt 2

a a t

2

2

( x 6  1) 3 ( x 3  1) 3

2

103. y 

r 3  5r 3

nx n  1 (1  x n ) x 2 n  1

(r 2  4 ) 2

86. f (z) 

m

21 (5  6z )2

87. f (x)  

n

104. y 

63 85. f (t)  ( 5 t  8 )2

105. y 

89. f (t ) 

x x



xn  1

2

3

2( 4  5 x ) 2 2 x  1

2 ab (ax  b )2 1

m

xn  m

20 x 2  19 x  8

8x6  8x3  2

106. y  3

88. f (x)  



m



1 2 3x

2

1  2t

1  4t 2

( 4 x 6  1)2 (2 x 3  1)2

EJERCICIO 30 1.

1  2u dy  dx x2

90. f (w) 

10(w  3) (w  2 )3

2.

dy 1  2 dx 2 x u  1(1  u )

91. f (U) 

24U 3  54U 2  24 ( 3  2U )2

3.

x (6u 2  3) dy  dx 2u 3  3u

92. f (s) 

6 s 2  4 s  12 ( s 2  6 s )2

4.

dy 4 9  3 4 dx u u

5.

dy (8  12 x  3x 2 )(u 2  1)  dx (u 2  1)2

6.

5u 3  3u dy  dx u3  u

7.

dy  dx

8.

dy 8x  dx (u  1)2 (v  2 )2 x 2  1

93. f (x) 

10b 2 x  5 x 3 2

3 2 2

2(b  x ) 94. f (t)

(693  27t )(9t  6 )2 (27  3t )3

95. f (x) 

96. f (x) 

2 ab ( a  3 x )2 8  4 x2 4  x2

1572

3x 2 u ( x 3  1)2

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

dy v  dx 2 x u  1(v 2  1)2

27. f(x)  

¤ x  1³ 2 sec 2 ¥ ( x  1)2 ¦ x  1 ´µ

10.

dy 2 x ( x 2  3)  dx (v  1) v 2  1 u 3

28. f(x)  

¤ ax  b ³ ¤ ax  b ³ 2 ab sec ¥ tan ¥ (ax  b )2 ¦ ax  b µ´ ¦ ax  b µ´

11.

dy 2u  dx v ( x  1)2

9.

29. f(x)  10 sen 5x cos 5x  5 sen 10x 30. f(x)  3b cos2 bx sen bx 31. f(x)  24x tan3 3x 2 sec2 3x 2

EJERCICIO 31

2 cos 4 x

32. f(x) 

1. y  8 cos 8x 2. f (x)  6x sen

sen 4 x

3x 2

3. f (x)  3x 2 sec2 x 3

33. f(x)  5x tan 5x 2

4. s(t)  6 sec 6t tan 6t

3

6. f (x)  9 csc 9x cot 9x 8. s(t)  2bt

bt 2

36. f(x)  2x cos x 2  2x 3 sen x 2

9. f (x)  12x sec x 2 tan x 2 10. f (x)  

1 x x csc cot 8 4 4

11. f (x)  3a sen 3x

3x cos 3x  sen 3x x2

37. f(x) 

38. f(x)  

12. f (x)  3 csc2(3x  5) 13. f (x)  cos

9 tan 2 x 2

35. f(x)  x cos x  sen x

7. f (x)  a sen ax sec2

sec 5 x 2

2 x sec 2 x 2

34. f(x) 

5. f (x)  12x 2 csc2 4x 3

 2 sen 4x cot 4x

10t 2 sen 5t 2  2 cos 5t 2 t3

39. y  2ax cos(ax 2)

x 2

40. y  3a sen(3x)

P³ ¤ 14. f (x)  5 sen ¥ 5 x  ´ ¦ 2µ

41. y 

15. s(t)  a sec2(at  P)

42. y  x sec 3x 2 tan 3x 2

sec 2 x 2 x

16. f (x)  cos x  sen x 43. y   17. s(t) 

1 cos t 2 t

18. f (x)  

19. f (x)   20. s(t) 

1 2x 2x csc cot 3 3 3

44. y  2x  3 

1 3 3 x2

csc 2 3 x

1 ¤ 1³ cos ¥ ´ ¦ xµ x2

45. y  6x csc2(1  x 2)

1 1 cos x2 x

46. y 

3 1 sen 3 t4 t

¤ x  1³ 4 • cos ¥ 3( x  1)2 ¦ x  1 ´µ

47. y  2b sen 4bx 48. y  24(2x  1)2 tan3(2x  1)3 sec2(2x  1)3

sec 21. f (x)  

1

1

tan x x 2x x

22. f (x)  3 sec2 3x  3  3 tan2 3x 23. f (x)  a  a csc2 ax  a cot2 ax 24. f (x)  2(x  1)cos(x 

1)2

25. f (x)  18t (3t 2  2)2 sen(3t 2  2)3 26. f (x)  

sen 2 x

49. y 

2 csc 2 x  1 x 1

50. y 

cos 3 2 x 2 x sec 2 x 2 3

9 tan 2 x 2

51. y  cos 4x (cos2 4x  6x sen 8x) 52. y   x csc ax(2  ax cot ax) 53. y   (1  x cot 2x) csc 2x

1573

CÁLCULO DIFERENCIAL

54. y  

m sen nx sen mx  n cos nx cos mx sen 2 nx

6. f(x)  

55. y  

cos x (1  sen x )2

7. f(x)  

2 x 9x4 1 1 b2  x 2

56. y   x sen x 57. y 

16  x 2

(tan 2 x  1)3

58. y   (2x 2  6) cos 2x  10x sen 2x 59. y  2 cos(2x  1) 60. y  x sec(P  x)  [2  x tan(P  x)] 61. y  

1

8. f(x) 

sec 2 x (tan x  1)

81x 2sen 2 x[ 3x 2 cos x  x cos x  sen x ] ( 3x  1)4

9. f(x) 

a a2  x 2

10. f(x) 

1 x x 1 2x

11. y  

8  6 x 2  x 4

x 1 x 1

12. y 

¤ sec x ³ 63. y   ¥ (x sen x  cos x) ¦ x ´µ

13. y 

64. y   x sen x  cos x

14. y  arc sen x

62. y  

1 ( x  1) x 2  1

sen

2

1 1 x2 x2  2x arc tan x x 1 2

65. y   2 cos 2x 66. y   2 sec2 x tan x 67. y  

1 x sen 2 2

68. y   6 sen(6x  2) x sen x  2 cos x 69. y   x3

x2

15. y 

16  x 2

1 x ¤ 1³ 16. y  arc csc ¥ ´  ¦ xµ 1 x 17. y  x arc tan x 18. W 

70. y   (sen x  cos x)(tan2 x  tan x  2)

U (1  U 2 ) U 2  2 1  4 x2

71. y  cos3 x

19. y 

72. y  x 2 sen x

20. y  x 2 arc sen x

73. y  

sen4

2x

EJERCICIO 32 1. y 

2. f (x) 

5

22. y 

x2 x 1

23. y 

3  6x2 (1  4 x 2 )(1  x 2 )

1  25 x 2 8 x 1  16 x 4

3. f (x) 

3 1  9x2

24. y 

4. y   

3x 2 1  x6

25. y 

5. f (x) 

br br

21. f(r) 

2 x x4 1

26. y 

1574

2

1 2 x  x2 1

¤ 1³  arc cos ¥ ´ ¦ xµ x 1 2

4a  8x 1  ( 4 ax  4 x 2 )2

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

1

27. f (r) 

28. y 

r 2  4 r  3

1 4 x2  4 x  5 x2

29. y 

4x  x

1 2x

5. f(x) 

6 log e x

6. f(x) 

3 log e x

7. f(x) 

log 3 e x

8. f(x) 

log 4 e 3x

9. f(x) 

4 ln 3 x x

10. f(x) 

3 ln 2 5 x x

2

x2

30. y 

4. f(x) 

4 x  x2 2x  x2

31. y  32. s(t) 

2  3t 9  t2 25  9 x 2

33. y 

11. y  x(1  ln x 2)

34. w 

U5 (U  4 ) U  2

35. y 

1 5  4 cos x

13. y  

36. y 

cos x 5  3 cos x

14. f(x) 

2  ln x 2 x2

1 3

15. y  

a a  2(b  ax ) 2(ax  b )

38. y  arc cot(tan x)  x

16. f(x) 

9x2  2 x ( 3x 2  1)

17. f(x) 

2 ax 2  b x (ax 2  b )

37. y  

39. y  

¤ 1 4 x arc sec 2 x ³ 1 ¥  ´ ( 4 x  1) ¦ x 4 x2 1 µ 2

7  8 cos x  cos2 x 14  2 cos x

40. y 

41. y 

64

12. y   2(1  ln x)

18. y 

13 ( 3x  5 )(2 x  1) bc c2 x 2  b2

19. f(x) 

2

( 3x  2 ) 5 x  28 x  12

20. y  cot x

t2

42. s  

 2t arc cos(1  t)  2

2t  t 2

43. y   

1 1  (a  x )

21. y  5 tan 5x 22. y 

2x x2  4

23. y 

3 2 ( 3x  4 )

24. y 

12 4 x2  9

2

EJERCICIO 33 1. y 

1  ln x x2

3 x

2. f (x) 

2 x

25. y 

x2 x 8

3. f (x) 

6x  5 3x 2  5 x  2

26. y 

ln x 2x

1575

3

CÁLCULO DIFERENCIAL

27 x 2  12 x  6 ( 3x  2 )( 3x 2  2 )

53. f(x)  4e 4x

27. y   28. y  

2 log 3 e 4 x2 1

55. f(x)  3e 3x1

29. y  

 30 bx

54. f(x)  10xe 5x 2



2

56. f(x) 

1 5x e 5

57. f(x) 

13 t e 3

58. f(x) 

14 x e 4

x  3 log e

10 bx 3 x  6 x

30. y   tan x 31. y  2 cot x 32. y   1  ln x

1

59. f(x)  

33. y  2 tan 2x 34. y 

1 2x ln x

60. f(x) 

35. y   sec x

2 x2 e x3

e x 2 x

61. f(U)  sen 2U  e sen2U

1  sen 2 x 36. y   cos 2 x

62. f(x)  2 sen 2x  e cos 2x 63. y  (sen x  cos x)e xex sen x

x  tan x 37. y   x tan x

64. f(x)  (3 ln 5)53x 65. f(x)  (2 ln 7)72x

38. y   2x 2(1  ln x 3)

66. f(x)  (2x ln 5)5x2

3 sec 2 x 3 sec x csc x 39. y   2 x tan x 2 x

67. y  2x 2x (1  ln x) 68. y  x cos x1(cos x  x ln x sen x )

log e 40. y   2x

x

69. y 

x (1  ln x) x2

70. y 

y earc tan x  1 x2 1  x2

71. y 

1 2x 2x

41. y   2x25x  ln 2  (2x  5) x

42. f (x) 

b ln b 2 x ln x

43. y  

3 ln 3 x

72. y  3e ln x 2  3x 2

44. y   (x cos x  sen x)  5 x sen x  ln 5

73. y 

xe x ( x 1)2

74. y 

e x ( x ln x  ln x 1) 2 ln 2 x

45. y   2ln x(1  ln 2) 46. y  5x (ln 5x  1) 2

47. y   2xe x  2xy 48. y   (6x  2)e 3x 49. y 

3xe

2

2x1

2

3 x 1 2

3x  1



 (6x  2)y

75. y 

3xy 3x 2  1

76. y 

50. y   (x sec2 x  tan x)y 2x



51. y  e b  e 52. y  

2x b

8 (e  e2 x )2 2x

1 x (ln x  1) ln 2 x  1

77. y  78. y 

1576

esen x cos x (1  esen x ) e2 sen x  1 2a cot ax ey eln

e x sen x

(1  cot x ) y(1  cot x )  2 2

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

79. y  xe sen x (x cos x  2) 13. y 

80. y   cot x 81. y  

3x 2  8 x( x 2  4 ) x3

82. y 

x2  9

83. y  sec3 2x

14. y 



16. y 

x2  4

88. y  arc cot x

18. y 



y x

tan e y ey

19. y  3e xy 20. y 

2 xy x2  1

EJERCICIO 34

21. y 

1 x  y 1 y  x

x y

22. y 

y x

x (1  e x ) 2 y(e y  1)

23. y  x

89. y  arc csc

1. y   2. y   3. y 

x 2

4 y

y x

y x (2 y  1)

17. y  

86. y  arc sec x 1 87. y   4 x2  9

2  4 x  3y 3x  3

15. y  1  4 x

84. y   arc tan x 85. y 

2y x  y 1 1  2x x  y

2

24. y  

y x ln x

4. y  

2x  5 4y  2

25. y 

y x 2  y2  x

5. y  

3x  y x  6y

26. y 

y ¤ x ln y  y ³ x ¥¦ y ln x  x ´µ

6. y 

x 1 1 y

27. y 

1 x ln x

7. y 

( x  y )2  2 y 2x

28. y 

e x (1 e y )  (e y  1) ln(1  e y ) ey

8. y 

b2 x a2 y

29. y 

y(x  ln y) x ln x

y x

30. y 

ey ex  1 x e y 1 y

31. y 

y2 y  1 x e  xy

32. y 

1 1 e x  y [cos(e x  y )  1]

33. y 

e x cos y cos y  3 1¤ 1 1 ³  ¥  x e x cos ysen y x ¦ tan y x sen y ´µ

9. y   10. y 

11. y 

12. y 

2 y 2  3x 2 y  10 xy 2 3y  4 xy  x 3  10 x 2 y  1 2

4 xy  9 x 2  5 y  3 5x  2x2  1 2 xyy 2 x  3y

1577

ln y

CÁLCULO DIFERENCIAL

34. y   

35. y  

36. y  

d4 y  24 dx 4

sen x sen x (csc y  cot y)  cos y 1 sen y

2.

d3y 0 dx 3

sen( 4 x ) cos(2 x ) sen(8 x )  sen(2 y) cos(2 y) sen(8 y)

3.

d2 y 170  dx 2 (5 x  3)3

4.

d2 y 4 ab 2  (ax  b )2 dx 2

5.

d3y  24a 3(ax  b) dx 3

6.

d4 y  sen x  cos x dx 4

41. y  

sen x ecos x cos y(1 esen y )

2  y cos( xy) 2 sec( xy)  y  x cos( xy) x

39. y   

40. y  

cos x sen y

7. y   csc2 x

sen x sen y • ecos y

8. y  

cos x  sen y  1 x cos y

9. y  e x sec2 e x (2e x tan e x  1)  e x sec2 e x(2e x y  1)

¤ y2  1 ³ 42. y   ¥ 2 arc tan y ¦ y  1  x ´µ cot ( x  y) 43. y  1  cot ( x  y) 44. y  

y esen y cos y  x  2

y ¤ x ln y  y ³ y 2 ¤ 1  ln x ³  2¥ x ¦¥ y ln x  x µ´ x ¦ 1  ln y µ´

sen( x  y)  cos( x  y) 47. y   1  sen( x  y)  cos( x  y) tan 2 ( xy)  y 2 sec 2 ( xy) 48. y   tan( xy)  xy sec 2 ( xy)

49. y  

50. y  

x2  y 1 ( x  1)arc cot x 2

18 y  6 d2 y  ( 2  3 x )2 dx 2

11.

d2 y  dx 2

9 3

(9  x 2 ) 2

12.

d2 y x 2  y2 16   3 y y3 dx 2

13.

d4 y 2  3 x dx 4

14.

¤ d2 y cos2 x cos y ³ sen x sen 2 y  cos2 x cos y  csc y ¥ senx sen 2 y ´µ sen 3 y dx 2 ¦

15.

d3y  x 2 cos x  6x sen x  6 cos x dx 3

16.

2  n !  (1)n  1 d3y 12 dn y  ;  4 3 n ( x  1)n  1 dx dx ( x  1)

17. y 

2y ( x  1)2

18.

d 3y  2 sec2 x tan x dx 3

19.

d2y 2 cos2 x sen x 2  sen x    2 dx (1  sen x )3 (1  sen x )2 (1  sen x )2

y • ex 1  e2 x (sen y  arc cos(e x ))

72 ( x  1)5

10.

1 1  2 y ln 2 ln 2 x  ln 8

45. y   

46. y  

EJERCICIO 35 1.

37. y   

38. y  

cos( x  a ) sen( y  b )

20. y 

1578

12 108 x ; y  ( x  2 y )3 ( x  2 y )5

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS EJERCICIO 36 dy 2 sen 2 U  3 cos 2 U 1.  2 cos 2 U  3 sen 2 U dx 2.

dy 0 dx

11.

3

14. 

12.

1 4 m2

15. 1

1 3

16. 

13. 

3.

dy 5 sen U cos 5 U  sen 5 U cos U  5 cos U cos 5 U  sen 5 U sen U dx

4.

dy cos 2 U sen U  sen 2 U cos U  cos 2 U cos U  sen 2 U sen U dx

5.

dy cos 2 U  cos U ¤ 3U ³   cot ¥ ´ ¦ 2µ sen 2 U  sen U dx

6.

dy  csc U  cot U dx

7.

dy a sen U  cos U  a cos U  sen U dx

EJERCICIO 38 1. Sub-tangente  1 Sub-normal  1 Tangente 

Sub-normal  84 Tangente  

3. Sub-tangente  

12 7

Sub-normal  84 Tangente  

60 2 7

Normal  60 2 3 4. Sub-tangente 

13. 3

7 4

Sub-normal  28

14. a 1 4

Tangente 

7 17 4

Normal  7 17

EJERCICIO 37

5. Sub-tangente  

dy cos U  4 sen U 6.  5 cos U  sen U dx

dy  4t t 1. dx

2

dy 1  dx 36t 2

7.

dy (t  1) (1  2t  t )  (t 2  1) dx

dy a  csc U 4. b dx

dy 4 9.  4 5t dx 3

2t  3t dy  dx 2 t 1

Tangente  

3 5 2

Normal  3 5 dy U 8.  csc (4  8 cos2 U) 2 dx

2

3 2

Sub-normal  6 2

2 t2  t dy 3.  dx 2t  1

5.

60 2 7

Normal  60 2

11. 1

2.

12 7

2. Sub-tangente  

dy sen U  2 U cos U  cos U  2 U sen U dx

15. 

2

Normal   2

dy 3 cos U  2 cos 2 U 9.  2 sen 2 U  3 sen U dx

12. 2 

10.

1 10

CAPÍTULO 5

U sen U tan  cos U dy 2 8.  U dx cos U tan  sen U 2

10.

1 3

6. Sub-tangente  18 Sub-normal  

1 2

Tangente  3 37

dy 1   cos U cot2 U 2 dx

Normal 

1579

37 2

CÁLCULO DIFERENCIAL

19. T: y  1  0

7. Sub-tangente  8 Sub-normal 

N: 2 x  P  0

1 2



Normal 



20. T: 3 3x  6 y  3  3P  0





N: 12 x  6 3y  3 3  4 P  0

Tangente  2 17

21. T: 4 x  2 y  (6  P)  0

17 2

N: 4 x  8 y  (24  P)  0 22. T: 2 x  y  6  0

8. Sub-tangente  2 1 Sub-normal   8 Tangente   Normal 

N: x  y  0

17 2

3 2

Sub-normal  6 3 5 Tangente   2 Normal  3 5 3 10. Sub-tangente   4 16 Sub-normal  27 145 12

2 145 27

11. T: 4x  y  1  0 N: x  4y  38  0 12. T: x  y  1  0 N: x  y  1  0 13. T : y  0 N : 2x  1  0 14. T: 8x  y  12  0 N: x  8y  34  0 15. T: 4x  y  8  0 N : x  4y  15  0 16. T:

N: 2 x  6 y  7  0 N: 2y  1  0

9. Sub-tangente  

Normal 

24. T: 6 x  2 y  9  0 25. T: x  2  0

17 8

Tangente  

N: x  2 y  8  0 23. T: x  y  2  0

5x  2y  9  0

N : 2x  5y  0 17. T: x  2 y  7  0 N : 2x  y  4  0 18. T: 2 x  y  2  0 N : x  2y  4  0

26. T: 7 x  y  8  0 N: x  7 y  94  0 27. T: x  ey  0 N: ex  y  1  e2  0 28. T: 8x  y  7  0 N: 2x  16y  47  0 EJERCICIO 39 1. Agudo 26 33, obtuso 153 27 2. Agudo 73 42, obtuso 106 18 3. Agudo 78 41, obtuso 101 19 4. Agudo 35 15, obtuso 144 44 5. Agudo 28 23, obtuso 151 36 6. Agudo 28 4, obtuso 151 55 7. Agudo 71 33, obtuso 104 28 8. 125 32 9. U  63 26 10. U  18 26 11. U  6 54, 57 25 12. U  33 41 13. U  54 44 EJERCICIO 40 1. r 

5 5 dU 3 5 ,  3 ds 25

2. r 

17 17 d U 8 17 ,  8 ds 289

3. r  4 2 , 4. r 

5 10 d U 3 10 ,  3 ds 50

5. r  1,

1580

dU 2  ds 8

dU 1 ds

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

6. r 

1 2 Creciente en ¤¥ @,  ³´  ¤¥ , @ ³´ ¦ 2µ ¦ 3 µ

17 17 d U 2 17 ,  2 ds 289

1 2 Decreciente en ¤¥  , ³´ ¦ 2 3µ

1 dU 7. r  , 2 2 ds 8. r 

11 d U 4 11 ,  4 ds 11

7. Punto máximo (2, 15) Punto mínimo (1, 12)

9. C(2, 5)

Creciente en (1, 2)

¤ 3 3³ 10. C ¥  ,  ´ ¦ 4 2µ

Decreciente en (@, 1) X (2, @) 8³ ¤ 8. Punto máximo ¥ 1, ´ ¦ 3µ

¤P ³ 11. C ¥ , 0 ´ ¦2 µ

Punto mínimo (3, 8)

12. C(2, 3)

Creciente en (@, 1) X (3, @)

¤ 23 ³ 13. C ¥ , 32 ´ ¦ 2 µ

Decreciente en (1, 3) 34 ³ ¤ 9. Punto máximo ¥ 2, ´ ¦ 3µ

EJERCICIO 41

19 ³ ¤ Punto mínimo ¥ 3,  ´ ¦ 2µ

1. Punto mínimo (3, 4) Creciente en (3, @)

Creciente en (@, 2) X (3, @)

Decreciente en (@, 3)

Decreciente en (2, 3)

5 23 2. Punto máximo ¤¥ ,  ³´ ¦ 6 12 µ

¤ 17 ³ 10. Punto máximo ¥ 1, ´ ¦ 12 µ 5³ ¤ Punto mínimo (0, 1) ¥ 3,  ´ ¦ 4µ

5 Creciente en ¤¥ @, ³´ ¦ 6µ

Creciente en (0, 1) X (3, @)

5 Decreciente en ¤¥ , @ ³´ ¦6 µ 3. Punto máximo (1, 2)

Decreciente en (@, 0) X (1, 3) 11. Punto máximo (1, 3) Creciente (@, 0 )  (0, 1)

Punto mínimo (1, 2)

Decreciente (1, 2 )  (2, @ )

Creciente en (@, 1) X (1, @) Decreciente en (1, 1)

12. No tiene máximos y mínimos Decreciente en (@, 3)  ( 3, @ )

4. Punto máximo (0, 0) Punto mínimo (4, 32) Creciente en (@, 0) X (4, @)

¤ 1³ 13. Punto máximo ¥ 2, ´ ¦ 2µ

Decreciente en (0, 4)

1³ ¤ Punto mínimo ¥ 2,  ´ ¦ 2µ

5. Punto máximo (1, 5)

Creciente en (2, 2)

1 7 Punto mínimo ¤¥ ,  ³´ ¦2 4µ 1 Creciente en (@, 1)  ¤¥ , @ ³´ ¦2 µ ¤ Decreciente en ¥ 1, ¦

Decreciente en (@, 2 )  (2, @ ) 1³ ¤ 14. Punto mínimo ¥ 0,  ´ ¦ 4µ Creciente en (0, 2 )  (2, @ )

1³ ´ 2µ

1 17 6. Punto máximo ¤¥  , ³´ ¦ 2 4µ

Decreciente en (@, 2 )  (2, 0 ) 15. Punto máximo (6, 12 ) Punto mínimo (0, 0) Creciente en (@, 6 )  (0, @ )

2 29 Punto mínimo ¤¥ , ³´ ¦ 3 27 µ

Decreciente en (6, 3)  (3, 0 )

1581

CÁLCULO DIFERENCIAL EJERCICIO 42

4. (–2, 68) Y

1. Y

f(x) =x2 – 6x + 10 f(x)=2x3 – 3x2 – 36x + 24

X

(3, 1) x=3

X (3, – 57)

Punto mínimo (3, 1) Crece (3, @)

Punto máximo (2, 68)

Decrece (∞, 3)

Punto mínimo (3, 57)

Concavidad hacia arriba (@, @)

Crece (@, 2) X (3, @) Decrece (2, 3)

2. Y

1³ ¤ Concavidad hacia abajo ¥¦ @, ´µ 2

(2, 10)

¤1 ³ Concavidad hacia arriba ¥¦ , @ ´µ 2

2

f(x)= – x + 4x + 6

¤ 1 11 ³ Punto de inflexión ¥¦ , ´µ 2 2 X

x=2

5. Y

Punto máximo (2, 10)

f(x) = x4 – 4x3

Crece (@, 2) Decrece (2, @) Concavidad hacia abajo (@, @) 3. Y 3 f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 1

– 25

(– 1, 6)

(3, –27)

Punto mínimo (3, 27) 2

Puntos de inflexión (0, 0), (2, 16)

X

Crece (3, @) Decrece (@, 0) X (0, 3) Concavidad hacia abajo (0, 2) Concavidad hacia arriba (@, 0) X (2, @)

(3, – 26)

Punto máximo (1, 6), Punto mínimo (3, 26) Crece (@, 1) X (3, @) Decrece (1, 3) Concavidad hacia abajo (@, 1) Concavidad hacia arriba (1, @) Punto de inflexión (1, 10)

1582

X

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

6. Y f(x) = x2 +

¤ 1 1 ³ Concavidad hacia abajo ¥  , ´ ¦ 3 3µ

1 x2

1 ³ ¤ 1 ¤ ³ Concavidad hacia arriba ¥ @,  ´  ¥ , @´ ¦ 3µ ¦ 3 µ 1 4 1 4³ Punto de inflexión ¤¥  , ³´ , ¤¥ , ´ ¦ 3 9µ ¦ 3 9µ 9. Y

(–1, 2) (1, 2) –1

1

X f(x) =

x 2 1 36

(0, 6)

Puntos mínimos (1, 2), (1, 2) Crece (1, 0) X (1, @) 1

Decrece (@, 1) X (0, 1)

1

Concavidad hacia arriba (@, 0) X (0, @) 7.

X

Punto mínimo (0, 6)

Y

Crece (0, @)

(–1, 13)

Decrece (@, 0) Concavidad hacia arriba (@, @) f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 6

10. Y

–1

1

f(x) = x3(x + 2)

X

(2, – 14)

Punto máximo (1, 13) Punto mínimo (2, 14) Crece (@, 1) X (2, @) Decrece (1, 2)

–1

1 Concavidad hacia abajo ¤¥ @, ³´ ¦ 2µ

1

X

1 1 1 Concavidad hacia arriba ¤¥ , @ ³´ , Punto de inflexión ¤¥ ,  ³´ ¦2 µ ¦2 2µ 8.

27 ³ ¤ 3 Punto mínimo ¥  ,  ´ ¦ 2 16 µ

Y f(x) = (x2 – 1)2

Puntos de inflexión (0, 0), (1, 1) 3 Crece ¤¥  , 0 ³´ X (0, @) ¦ 2 µ

1

1

–1

3 Decrece ¤¥ @,  ³´ ¦ 2µ

X

Concavidad hacia abajo (1, 0) Concavidad hacia arriba (@, 1) X (0, @)

Punto máximo (0, 1) Puntos mínimos (1, 0), (1, 0) Crece (1, 0) X (1, @) Decrece (@, 1) X (0, 1)

1583

CÁLCULO DIFERENCIAL

11. Y 1

O

p 4

3p 4

p 2

X

p

–1

¤ 3P ³ , 1´ Punto mínimo ¥ ¦ 4 µ

¤ 3 1³ 23. P ¥ , ´ ¦ 2 2µ

31. 400 m, 800 m

24. A  15u 2

32.

100 3P 900 cm, cm 9  3P 9  3P

25. A  2ab u 2

33.

2 000 3P cm3 27

26. 4x  3y  24  0

34. 25 2 cm  25 2 cm

27. Radio 4 2

35. r 

altura  8 2 pulgadas

¤P ³ Punto máximo ¥ , 1´ ¦4 µ ¤P ³ Punto de inflexión ¥ , 0 ´ ¦2 µ ¤ P 3P ³ Decrece ¥ , ¦ 4 4 ´µ

k³ ¤1 28. ¥ 4 a2  k 2 , ´ ¦2 2µ

36. 5 5 m

29. Números 4 y 4

37. r 

30.

¤ P ³ ¤ 3P ³ , P´ Crece ¥ 0, ´  ¥ ¦ 4µ ¦ 4 µ

1. 6

12. A 

1. 20 y 20 2. 25 y 25

32 3 2 u 9

4. V  6144P cm3 500 6 P 3 in 9P

altura 

100 3

14. 2 6 y 2 3 ft

17. 2 5 y

4. a) t  18 s, v  54

5. v  2 5 unidades

18. A  6u 2

8. A  24u 2

19. h  2 cm

9. Número  1

20. Cada lado mide 2u

altura 

d) “v” crece cuando 0 t 2 o t  4

21. 20 y 20

22. 4 2 y 8

m , s  35 m s

EJERCICIO 45 1.

5 10 cm 2

5. 

2.

3 m 449 5 min

6. 10P

3.

360 m 17 s

7. 

3 m 49P min

4.

4 5 3 m 75 P

8. 

405 km 8 14 h

3 r 2

11. (1, 1), (1, 1)

m s

b) t  9 s, s  243 m

7. A  54 cm2

3r

c) “s” crece cuando 0 t 2 o t  4

15. d  2 5

400 3

10. Base 

a  6 si t  2, a  6 si t  4 b) s  20, v  3 si t  3

2

16. 8 y 8

4

m 17 m m , , 10 s 2 s s

3. a) s  22 si t  2, s  18 si t  4

13. Base  2 2

3. 2 pulgadas por lado y el volumen de 128 ln3

h

38. P (2, 0),

2. 0 t 4 y 6 t

EJERCICIO 43

4

3V 5P

EJERCICIO 44

¤ P³ Concavidad hacia abajo ¥ 0, ´ ¦ 2µ

6. r 

2P P ; 4P 4P

3

¤ 6 2 3³ P ¥ , 6 ´ 2 2µ ¦

¤P ³ Concavidad hacia arriba ¥ , P´ ¦2 µ

5. V 

5 10 in  in P P

1584

25 m 12 s cm 2 s

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

9.

a) 100

4

km h

14.

27 cm 5 min

820 km 73 h

b)

4 m 10.  9P min

14 u 15. 3 s

11. 90.58 km/h

16.

12. 4.8

13.

m s

8. c  0

11. No es continua en x  1

9. c  0

12. c  1

EJERCICIO 49 1. c 

3 2

6. c  1

m s

2. c 

1 2

7. c  1.7613

.4342

3. c 

m s

EJERCICIO 46

4. c  0

9. c  0.5413

5. c  3

10. c  1.3204

b) I  $9 424.00, U  $7 208.00, Q  $26.93

1. dy  adx

Q  $16.00 por artículo

2. dy  (2ax  b)dx 3. df(x)  (3x 2  4x)dx

2. Costo promedio mínimo  $14.80 por artículo Se deben producir 1 225 artículos para un costo mínimo 3. Ingreso real: I (31)  I (30)  $156.00 Ingreso aproximado: $160.00

¤ 1 1 ³  dt 4. ds  ¥ ¦ 2 t 3 3 t 2 µ´ 5. dh (t)  36t(5  3t 2)5 dt

4. 59 metros 1 x 800 $50.00 por boleto

5. p(x)  100 

15 2

8.

2. 2

1 ln 2 3

9 4

7. dy  

1 3¤ x ³ dx x 2 ¥¦ 2 x  3 µ´

15. e

8. dy 

2( x 2  1) x2  2

dx

9. df(x)  (7x  5)(x  1)2(x  3)3 dx

10. 0

17. 1

11. 1

18. 1

10. dh(s) 

8 ds (2 s  3)2

19. 1

11. dg(x) 

2 x dx ( x 2  1)2



13. e

7. 1

6x ( x 2  2 )5

16. @

12. 

5. 1

6. 

1 3

9. e

3. 1

6. dy  

2

EJERCICIO 47

4.

8. c  2.1750

3

EJERCICIO 50

1. a) I  $15 275.00, U  $8 370.00, Q  $47.90

1.

10. c  P

7 m 29 50 s

17. 1.95

7 pies 4P min

13 3

7. c  

1 2 1 2

20. 0

12. dy 

x8 3

dx

2( x  3) 2

14. 0 13. dy 

EJERCICIO 48 1. c  0

4. c 

3 4

2 abx (ax 2  b ) a 2 x 4  b 2

dx

14. df(x)  (1  2 sen 2x)dx 15. df(t )  6 tan2 2t sec2 2t dt

2. c 

3 4

5. c   3

3. c 

5 2

6. c  0.36

16. dy  2 tan x(sec x  sec2 x)dx 17. dg(x) 

1585

2 cos x dx (1  sen x )2

CÁLCULO DIFERENCIAL

18. ds(t ) 

19. d f(x) 

t sen t  2 cos t dt 2t 2 cos t sec x 1 dx  dx sec x 1 1 cos x

20. dy 

2x log e dx x2  5

21. dy 

x dx x2  3

22. dy 

23. dy 

3 dx 2x 2 x  32x  4 3 xe 2

x3

EJERCICIO 51 1. 

167  9.277 18

2. 

89  3.296 27

3. 

17  2.125 8

4. 

45  2 3P  0.620 90

5. 

108  3P  3.151 36

6. 

76  30 3  2 P  8.949 15

7. 

5489  1372.25 4

dx

24. dy  2x 3  5(3x 2 ln 2) dx 2 25. dh(t )   t dt (e  et )2 26. d f (x)  x(ln x 2  1) dx 27. d f(x)  

2 1  4x

2

dx

180 8. 







3 2 P 7 2 360

9. 

45  3P  0.054 720

10. 

9  3P  0.228 9 3



 0.8549

11. dA  0.286 cm2 2 28. dy   2 dx x 4

12. dA  2.265 cm2, dV  3.341 cm3 13. dV  1.8P cm3

29. dy 

1 dx 2x x  1

14. Lado  8 cm 15. Error relativo 

30. dy  

3 x 9x 6  1

dx

dA  0.00249, A

Error porcentual  0.249% Error relativo 

dV  0.00374, V

Error porcentual  0.374% 16. Lado 

1 cm 9

17. dF  0.02 cm 18. Error relativo 

dA  0.00088, A

Error porcentual  0.088%

1586

TABLAS

DE LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS

TABLA Tabla DE LOGARITMOS de logaritmos N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

0000 0414 0792 1139 1461

0043 0453 0828 1173 1492

0086 0492 0864 1206 1523

0128 0531 0899 1239 1553

0170 0569 0934 1271 1584

0212 0607 0969 1303 1614

0253 0645 1004 1335 1644

0294 0682 1038 1367 1673

0334 0719 1072 1399 1703

0374 0755 1106 1430 1732

4 4 3 3 3

8 8 7 6 6

12 11 10 10 9

17 15 14 13 12

21 19 17 16 15

25 23 21 19 18

29 26 24 23 21

33 30 28 26 24

37 34 31 29 27

15 16 17 18 19

1761 2041 2304 2553 2788

1790 2068 2330 2577 2810

1818 2095 2355 2601 2833

1847 2122 2380 2625 2856

1875 2148 2405 2648 2878

1903 2175 2430 2672 2900

1931 2201 2455 2695 2923

1959 2227 2480 2718 2945

1987 2253 2504 2742 2967

2014 2279 2529 2765 2989

3 3 2 2 2

6 5 5 5 4

8 8 7 7 7

11 11 10 9 9

14 13 12 12 11

17 16 15 14 13

20 18 17 16 16

22 21 20 19 18

25 24 22 21 20

20 21 22 23 24

3010 3222 3424 3617 3802

3032 3243 3444 3636 3820

3054 3263 3464 3655 3838

3075 3284 3483 3674 3856

3096 3304 3502 3692 3874

3118 3324 3522 3711 3892

3139 3345 3541 3729 3909

3160 3365 3560 3747 3927

3181 3385 3579 3766 3945

3201 3404 3598 3784 3962

2 2 2 2 2

4 4 4 4 4

6 6 6 6 5

8 8 8 7 7

11 10 10 9 9

13 12 12 11 11

15 14 14 13 12

17 16 15 15 14

19 18 17 17 16

25 26 27 28 29

3979 4150 4314 4472 4624

3997 4166 4330 4487 4639

4014 4183 4346 4502 4654

4031 4200 4362 4518 4609

4048 4216 4378 4533 4683

4065 4232 4393 4548 4698

4082 4249 4409 4564 4713

4099 4265 4425 4579 4728

4116 4281 4440 4594 4742

4133 4298 4456 4609 4757

2 2 2 2 1

3 3 3 3 3

5 5 5 5 4

7 7 6 6 6

9 8 8 8 7

10 10 9 9 9

12 11 11 11 10

14 13 13 12 12

15 15 14 14 13

30 31 32 33 34

4771 4914 5051 5185 5315

4786 4928 5065 5198 5328

4800 4942 5079 5211 5340

4814 4955 5092 5224 5353

4829 4969 5105 5237 5366

4843 4983 5119 5250 5378

4857 4997 5132 5263 5391

4871 5011 5145 5276 5403

4886 5024 5159 5289 5416

4900 5038 5172 5302 5428

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

6 6 5 5 5

7 7 7 6 6

9 8 8 8 8

10 10 9 9 9

11 11 11 10 10

13 12 12 12 11

35 36 37 38 39

5441 5563 5682 5798 5911

5453 5575 5694 5809 5922

5465 5587 5705 5821 5933

5478 5599 5717 5832 5944

5490 5611 5729 5843 5955

5502 5623 5740 5855 5966

5514 5635 5752 5866 5977

5527 5647 5763 5877 5988

5539 5658 5775 5888 5999

5551 5670 5786 5899 6010

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

4 4 3 3 3

5 5 5 5 4

6 6 6 6 5

7 7 7 7 7

9 8 8 8 8

10 10 9 9 9

11 11 10 10 10

40 41 42 43 44

6021 6128 6232 6335 6435

6031 6138 6243 6345 6444

6042 6149 6253 6355 6454

6053 6160 6263 6365 6464

6064 6170 6274 6375 6474

6075 6180 6284 6385 6484

6085 6191 6294 6395 6493

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6107 6212 6314 6415 6513

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1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

8 7 7 7 7

9 8 8 8 8

10 9 9 9 9

45 46 47 48 49

6532 6628 6721 6812 6902

6542 6637 6730 6821 6911

6551 6646 6739 6830 6920

6561 6656 6749 6839 6928

6571 6665 6758 6848 6937

6580 6675 6767 6857 6946

6590 6599 6684 6693 6776 6785 6866 6875 6955 .6964

6609 6702 6794 6884 6972

6618 6712 6803 6893 6981

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 4 4

6 6 5 5 5

7 7 6 6 6

8 7 7 7 7

9 8 8 8 8

50 51 52 53 54

6990 7076 7160 7243 7324

6998 7084 7168 7251 7332

7007 7093 7177 7259 7340

7016 7101 7185 7267 7348

7024 7110 7193 7275 7356

7033 7118 7202 7284 7364

7042 7126 7210 7292 7372

7050 7135 7218 7300 7380

7059 7143 7226 7308 7388

7067 7152 7235 7316 7396

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 7 7 6 6

8 8 7 7 7

N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2

3

4

5

6

7

8

9

1603

TABLAS

TABLA

DE LOGARITMOS (CONT ...) Tabla de logaritmos (cont…)

N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2

3

4

5

6

7

8

9

55 56 57 58 59

7404 7482 7559 7634 7709

7412 7490 7566 7642 7716

7419 7497 7574 7649 7723

7427 7505 7582 7657 7731

7435 7513 7589 7664 7738

7443 7520 7597 7672 7745

7451 7528 7604 7679 7752

7459 7536 7612 7686 7760

7466 7543 7619 7694 7767

7474 7551 7627 7701 7774

1 1 1 1 1

2 2 2 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 7 7 7 7

60 61 62 63 64

7782 7853 7924 7993 8062

7780 7860 7931 8000 8069

7796 7868 7938 8007 8075

7803 7875 7945 8014 8082

7810 7882 7952 8021 8089

7818 7889 7959 8028 8096

7825 7896 7966 8035 8102

7832 7903 7973 8041 8109

7839 7910 7980 8048 8116

7846 7917 7987 8055 8122

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 5 5

6 6 6 6 6

65 66 67 68 69

8129 8195 8261 8325 8388

8136 8202 8267 8331 8395

8142 8209 8274 8338 8401

8149 8215 8280 8344 8407

8156 8222 8287 8351 8414

8162 8228 8293 8357 8420

8169 8235 8299 8363 8426

8176 8241 8306 8370 8432

8182 8248 8312 8376 8439

8189 8254 8319 8382 8445

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

70 71 72 73 74

8451 8513 8573 8633 8692

8457 8519 8579 8639 8698

8463 8525 8585 8645 8704

8470 8531 8591 8651 8710

8476 8537 8597 8657 8716

8482 8543 8603 8663 8722

8488 8549 8609 8669 8727

8494 8555 8615 8675 8733

8500 8561 8621 8681 8739

8506 8567 8627 8686 8745

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 5 5 5 5

75 76 77 78 79

8751 8808 8865 8921 8976

8756 8814 8871 8927 8982

8762 8820 8876 8932 8987

8768 8825 8882 8938 8993

8774 8831 8887 8943 8998

8779 8837 8893 8949 9004

8785 8842 8899 8954 9009

8791 8848 8904 8960 9015

8797 8854 8910 8965 9020

8802 8859 8915 8971 9025

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 4 4 4

5 5 5 5 5

80 81 82 83 84

9031 9085 9138 9191 9243

9036 9090 9143 9196 9248

9042 9096 9149 9201 9253

9047 9101 9154 9206 9258

9053 9106 9159 9212 9263

9058 9112 9165 9217 9269

9063 9117 9170 9222 9274

9069 9122 9175 9227 9279

9074 9128 9180 9232 9284

9079 9133 9186 9238 9289

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

85 86 87 88 89

9294 9345 9395 9445 9494

9299 9350 9400 9450 9499

9304 9355 9405 9455 9504

9309 9360 9410 9460 9509

9315 9365 9415 9465 9513

9320 9370 9420 9469 9518

9325 9375 9425 9474 9523

9330 9380 9430 9479 9528

9335 9385 9435 9484 9533

9340 9390 9440 9489 9538

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 2 2 2

3 3 2 3 3

4 4 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 4 4 4

90 91 92 93 94

9542 9590 9638 9685 9731

9547 9595 9643 9689 9736

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9557 9605 9652 9699 9745

9562 9609 9657 9703 9750

9566 9614 9661 9708 9754

9571 9619 9666 9713 9759

9576 9624 9671 9717 9763

9581 9628 9675 9722 9768

9586 9633 9680 9727 9773

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

2 2 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

95 96 97 98 99

9777 9823 9868 9912 9956

9782 9827 9872 9917 9961

9786 9832 9877 9921 9965

9791 9836 9881 9926 9969

9795 9841 9886 9930 9974

9800 9845 9890 9934 9978

9805 9850 9894 9939 9983

9809 9854 9899 9943 9987

9814 9859 9903 9948 9991

9818 9863 9908 9952 9996

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 3

4 4 4 4 4

N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4 5

6

7

8

9

1604

1 2 3

TABLAS

TABLA

DE LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS

DE ANTILOGARITMOS Tabla de antilogaritmos

N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8 9

.00 .01 .02 .03 .04

1000 1023 1047 1072 1096

1002 1026 1050 1074 1099

1005 1028 1052 1076 1102

1007 1030 1054 1079 1104

1009 1033 1057 1081 1107

1012 1035 1059 1084 1109

1014 1038 1062 1086 1112

1016 1040 1064 1089 1114

1019 1042 1067 1091 1117

1021 1045 1069 1094 1119

0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

.05 .06 .07 .08 .09

1122 1148 1175 1202 1230

1125 1151 1178 1205 1233

1127 1153 1180 1208 1236

1130 1156 1183 1211 1239

1132 1159 1186 1213 1242

1135 1161 1189 1216 1245

1138 1164 1191 1219 1247

1140 1167 1194 1222 1250

1143 1169 1197 1225 1253

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0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 3 3

.10 .11 .12 .13 .14

1259 1288 1318 1349 1380

1262 1291 1321 1352 1384

1265 1294 1324 1355 1387

1268 1297 1327 1358 1390

1271 1300 1330 1361 1393

1274 1303 1334 1365 1396

1276 1306 1337 1368 1400

1279 1309 1340 1371 1403

1282 1312 1343 1374 1406

1285 1315 1346 1377 1409

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 3 3

3 3 3 3 3

.15 .16 .17 .18 .19

1413 1445 1479 1514 1549

1416 1449 1483 1517 1552

1419 1452 1486 1521 1556

1422 1455 1489 1524 1560

1426 1459 1493 1528 1563

1429 1462 1496 1431 1567

1432 1466 1500 1535 1570

1435 1469 1503 1538 1574

1439 1472 1507 1542 1478

1442 1476 1510 1545 1581

0 1 1 1 2 2 2 3 0 1 1 1 2 2 2 3 0 1 1 1 2 2 2 3 0 1 1 1 2 2 2 3 0 1 1 1 2 2 3 3

3 3 3 3 3

.20 .21 .22 .23 .24

1585 1622 1660 1698 1738

1589 1626 1663 1702 1742

1592 1629 1667 1706 1746

1596 1633 1671 1710 1750

1600 1637 1675 1714 1754

1603 1641 1679 1718 1758

1607 1644 1683 1722 1762

1611 1648 1687 1726 1766

1614 1652 1690 1730 1770

1618 1656 1694 1734 1774

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

3 3 3 4 4

.25 .26 .27 .28 .29

1778 1820 1862 1905 1950

1782 1824 1866 1910 1954

1786 1828 1871 1914 1959

1791 1832 1875 1919 1963

1795 1837 1879 1923 1968

1799 1841 1884 1928 1972

1803 1845 1888 1932 1977

1807 1849 1892 1936 1982

1811 1854 1897 1941 1986

1816 1858 1901 1945 1991

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 3 3 3 3

3 3 3 3 3

3 3 3 4 4

4 4 4 4 4

.30 .31 .32 .33 .34

1995 2042 2089 2138 2188

2000 2046 2094 2143 2193

2004 2051 2099 2148 2198

2009 2056 2104 2153 2203

2014 2061 2109 2158 2208

2018 2065 2113 2163 2213

2023 2070 2118 2168 2218

2028 2075 2123 2173 2223

2032 2080 2128 2178 2228

2037 2084 2133 2183 2234

0 0 0 0 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 3

3 3 3 3 3

3 3 3 3 4

4 4 4 4 4

4 4 4 4 5

.35 .36 .37 .38 .39

2239 2291 2344 2399 2455

2244 2296 2350 2404 2460

2249 2301 2355 2410 2466

2254 2307 2360 2415 2472

2259 2312 2366 2421 2477

2265 2317 2371 2427 2483

2270 2323 2377 2432 2489

2275 2328 2382 2438 2495

2280 2333 2388 2443 2500

2286 2339 2393 2449 2506

1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 5

5 5 5 5 5

.40 .41 .42 .43 .44

2512 2570 2630 2692 2754

2518 2576 2636 2698 2761

2523 2582 2642 2704 2767

2529 2588 2649 2710 2773

2535 2594 2655 2716 2780

2541 2600 2661 2723 2786

2547 2606 2667 2729 2793

2553 2612 2673 2735 2799

2559 2618 2679 2742 2805

2564 2624 2685 2748 2812

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

5 5 6 6 6

.45 .46 .47 .48 .49

2818 2884 2951 3020 3090

2825 2891 2958 3027 3097

2831 2897 2965 3034 3105

2838 2904 2972 3041 3112

2844 2911 2979 3048 3119

2851 2917 2985 3055 3126

2858 2924 2992 3062 3133

2864 2931 2999 3069 3141

2871 2938 3006 3076 3148

2877 2944 3013 3083 3155

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

5 5 5 6 6

6 6 6 6 6

N

0

1

2

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4

5

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7

8

9

1

2

3

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5

6

7

8 9

1605

TABLAS

TABLA

DETabla ANTILOGARITMOS (CONT ...) de antilogaritmos (cont…)

N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4

5

6

7

8

9

.50 .51 .52 .53 .54

3162 3236 3311 3388 3467

3170 3243 3319 3396 3475

3177 3251 3327 3404 3483

3184 3258 3334 3412 3491

3192 3266 3342 3420 3499

3199 3273 3350 3428 3508

3206 3281 3357 3436 3516

3214 3289 3365 3443 3524

3221 3296 3373 3451 3532

3228 3304 3381 3459 3540

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

4 5 5 5 5

5 5 5 6 6

6 6 6 6 6

7 7 7 7 7

.55 .56 .57 .58 .59

3548 3631 3715 3802 3890

3556 3639 3724 3811 3899

3565 3648 3733 3819 3908

3573 3656 3741 3828 3917

3581 3664 3750 3837 3926

3589 3673 3758 3846 3936

3597 3681 3767 3855 3945

3606 3690 3776 3864 3954

3614 3698 3784 3873 3963

3622 3707 3793 3882 3972

1 1 1 1 1

2 2 2 1 2

2 3 3 3 3

3 3 3 4 4

4 4 4 4 5

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 7 7 7 7

7 8 8 8 8

.60 .61 .62 .63 .64

3981 4074 4169 4266 4365

3990 4083 4178 4276 4375

3999 4093 4188 4285 4385

4009 4102 4198 4295 4395

4018 4111 4207 4305 4406

4027 4121 4217 4315 4416

4036 4130 4227 4325 4426

4046 4140 4236 4335 4436

4055 4150 4246 4345 4446

4064 4159 4256 4355 4457

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

6 7 7 7 7

7 8 8 8 8

8 9 9 9 9

.65 .66 .67 .68 .69

4467 4571 4677 4786 4898

4477 4581 4688 4797 4909

4487 4592 4699 4808 4920

4498 4603 4710 4819 4932

4508 4613 4721 4831 4943

4519 4624 4732 4842 4955

4529 4634 4742 4853 4966

4539 4645 4753 4864 4977

4550 4656 4764 4875 4989

4560 4667 4775 4887 5000

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 5

5 5 5 6 6

6 6 7 7 7

7 7 8 8 8

8 9 9 9 9

9 10 10 10 10

.70 .71 .72 .73 .74

5012 5129 5248 5370 5495

5023 5140 5260 5383 5508

5035 5152 5272 5395 5521

5047 5164 5284 5408 5534

5058 5176 5297 5420 5546

5070 5188 5309 5433 5559

5082 5200 5321 5445 5572

5093 5212 5333 5458 5585

5105 5224 5346 5470 5598

5117 5236 5358 5483 5610

1 1 1 1 1

2 2 2 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 7 7 8 8

8 8 9 9 9

9 10 10 10 10

11 11 11 11 12

.75 .76 .77 .78 .79

5623 5754 5888 6026 6166

5636 5768 5902 6039 6180

5649 5781 5916 6053 6194

5662 5794 5929 6067 6209

5675 5808 5943 6081 6223

5689 5821 5957 6095 6237

5702 5834 5970 6109 6252

5715 5848 5984 6124 6266

5728 5861 5998 6138 6281

5741 5875 6012 6152 6295

1 1 1 1 1

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

5 5 5 6 6

7 7 7 7 7

8 8 8 8 9

9 9 10 10 10

10 11 11 11 11

12 12 12 13 13

.80 .81 .82 .83 .84

6310 6457 6607 6761 6918

6324 6471 6622 6776 6934

6339 6486 6637 6792 6950

6353 6501 6653 6808 6966

6368 6516 6668 6823 6982

6383 6531 6683 6839 6998

6397 6546 6699 6855 7015

6412 6561 6714 6871 7031

6427 6577 6730 6887 7047

6442 6592 6745 6902 7063

1 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 5 5 5 5

6 6 6 6 6

7 8 8 8 8

9 9 9 9 10

10 11 11 11 11

12 12 12 13 13

13 14 14 14 15

.85 .86 .87 .88 .89

7079 7244 7413 7586 7762

7096 7261 7430 7603 7780

7112 7278 7447 7621 7798

7129 7295 7464 7638 7819

7145 7311 7482 7656 7834

7161 7328 7499 7674 7852

7178 7345 7516 7691 7870

7194 7362 7534 7709 7889

7211 7379 7551 7727 7907

7228 7396 7568 7745 7925

2 2 2 2 2

3 3 3 4 4

5 5 5 5 5

7 7 7 7 7

8 8 9 9 9

10 10 10 11 11

12 12 12 12 13

13 13 14 14 14

15 15 16 16 16

.90 .91 .92 .93 .94

7943 8128 8318 8511 8710

7962 8147 8337 8531 8730

7980 8166 8356 8551 8750

7998 8185 8375 8570 8770

8017 8204 8395 8590 8790

8035 8222 8414 8610 8810

8054 8241 8433 8630 8831

8072 8260 8453 8650 8851

8091 8279 8472 8670 8872

8110 8299 8492 8690 8892

2 2 2 2 2

4 4 4 4 4

6 6 6 6 6

7 9 11 13 8 9 11 13 8 10 12 14 8 10 12 14 8 10 12 14

15 15 15 16 16

17 17 17 18 18

.95 .96 .97 .98 .99

8913 9120 9333 9550 9772

8933 9141 9354 9572 9795

8954 9162 9376 9594 9817

8974 9183 9397 9616 9840

8995 9204 9419 9638 9863

9016 9226 9441 9661 9886

9036 9247 9462 9683 9908

9057 9268 9484 9705 9931

9078 9290 9506 9727 9954

9099 9311 9528 9750 9977

2 2 2 2 2

4 4 4 4 4

6 6 7 7 7

8 8 9 9 9

10 11 11 11 11

12 13 13 13 14

15 15 15 16 16

17 17 17 18 18

19 19 20 20 20

N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4

5

6

7

8

9

1606

TABLA

DE VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Tabla de valores de las funciones trigonométricas tan

tan

1607

TABLAS

Tabla de valores de las funciones trigonométricas (cont…) tan

tan

1608

TABLA

DE VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Tabla de valores de las funciones trigonométricas (cont…) tan

tan

1609

TABLAS

Tabla de valores de las funciones trigonométricas (cont…) tan

tan

1610

TABLA

DE VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Tabla de valores de las funciones trigonométricas (cont…) tan

tan

1611

BIBLIOGRAFÍA

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