Los vértices de un triángulo rectángulo son: O(0,0), A(8,0) Y B(0, 8√3). A. Obtén razonadamente los senos de los ángulos A y B. B. Obtén la ecuación de la recta que pasa por A y B. (Este apartado lo sé hacer pero mi duda es saber si quitar el radical). Solución. A. Los cosenos de los ángulos de los vértices A y B se obtienen como aplicación del producto escalar, conocidos los cosenos se calculan los senos. Si te fijas en los datos, el vértice A se encuentra en el eje OX y el vértice B en el OY, por lo tanto el triángulo es rectángulo en O, y los ángulos de los vértices A y B son complementarios, lo cual puede ayudarnos a la hora de calcular los senos. Si A y B son complementarios: ) ) sen A = cos B ) ) sen B = cos A

)( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ⋅ 8 + (− 8 3 ) ⋅ (− 8 3 ) 192 192 3 3 = = = = 2 8 3 ⋅ 256 8 3 ⋅ 16 2 3 + (− 8 3 ) ⋅ 8 + (− 8 3 )

) ) BO o BA BO = 0 − 0, 0 − 8 3 = 0, − 8 3  0, − 8 3 o 8, − 8 3 sen A = cos B = = = BO ⋅ BA  BA = 8 − 0, 0 − 8 3 = 8, − 8 3  0, − 8 3 ⋅ 8, − 8 3 ) ) sen A = cos B = 02

2

2

2

) ) 3 sen A = ⇒ A = 60º 2 Teniendo en cuenta que A y B son complementarios: ) ) B = 90º − A = 90º −60º = 30º ) 1 sen B = sen 30º = 2

El seno de B, también se puede calcular como aplicación del producto escalar

( (

) AO o AB  AO = (0 − 8, 0 − 8) = (− 8, 0 )  (− 8, 0) o − 8, 8 3 ) sen B = cos A = = = AO ⋅ AB AB = 0 − 8, 8 3 − 0 = − 8, 8 3  (− 8, 0 ) ⋅ − 8, 8 3

(

) ) sen B = cos A =

) (

− 8 ⋅ (− 8) + 0 ⋅ 8 3

(− 8)2 + 0 2

⋅

(− 8)2 + (8

3

)

)

2

=

64 8 ⋅ 256

=

) )

8 1 = 16 2

B. Recta que pasa por A y B, teniendo en cuenta que A y B son los puntos de corte de la recta cin los ejes coordenados, la forma mas sencilla de obtener la ecuación de la recta es en forma canónica. x y + =1 a b Siendo a la coordenada abscisa del punto de intersección de la recta con el eje OX (a = 8) y b la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje OY b = 8 3 y x + =1 8 8 3

(

)

En principio esta ecuación no se racionaliza a no ser que queramos expresarla en otra forma.