CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN Galileo Galilei (1564-1642)

Isaac Newton (1642-1727)

La mecánica estudia el movimiento de los cuerpos y su relación con los conceptos de fuerza y energía. CINEMÁTICA ¿Cómo …

DINÁMICA ¿Por qué …

CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN Movimiento Traslacional Modelo de Partícula Idealizada Es solo un punto matemático, no tiene tamaño. Un punto no rota.

El modelo ha sido aplicado a muchas situaciones reales, donde solo estamos interesados en el movimiento traslacional de un objeto, para el cual su tamaño no es significante.

SISTEMAS DE REFERENCIA

Al especificar el movimiento de un objeto, no solo es importante el valor de la velocidad, sino también la dirección del movimiento. En un movimiento unidimensional, a menudo tomamos el eje-x como la línea en la cual sucede el movimiento. La posición de un objeto en cualquier momento está dada por su coordenada x. Si el movimiento es vertical, usamos el eje-y.

Distancia

Desplazamiento: cambio de posición de un objeto.

Es un escalar

Es un vector

Este Desplazamiento

y x1

x2 x

Desplazamiento

∆x = x2 − x1

Para un movimiento unidimensional a lo largo del eje-x, un vector que apunta a la derecha tiene signo positivo, mientras que para un vector que apunte hacia la izquierda el signo es negativo.

VELOCIDAD MEDIA El aspecto más obvio de un objeto en movimiento es que tan rápido se está moviendo. RAPIDEZ

VELOCIDAD

La rapidez se refiere a que tan lejos viaja un objeto en un dado intervalo de tiempo. La rapidez promedio se define como la distancia total viajada a lo largo de su camino dividido por el tiempo que tarda en viajar dicha distancia.

distancia viajada rapidez promedio = tiempo transcurrido La velocidad no solo se refiere a lo lejos que viaja el objeto sino también la dirección en la cual viaja. La velocidad promedio se define en términos del desplazamiento en lugar de la distancia recorrida.

velocidad promedio =

desplazamiento posición final − posición inicial = tiempo transcurrido tiempo transcurrido

La rapidez promedio y la velocidad promedio tienen la misma magnitud cuando el movimiento es en un único sentido.

Oeste

Este Desplazamiento

distancia viajada 100 m = = 1.4 m / s rapidez promedio = tiempo transcurrido 70 s

velocidad promedio =

desplazamiento 40 m = = 0.57 m / s tiempo transcurrido 70 s

Esta diferencia puede ocurrir cuando se calculan valores promedios.

Para el movimiento en una dimensión

t1

x1

t2

x2

Tiempo transcurrido o intervalo de tiempo Desplazamiento del objeto

∆t = t2 − t1

∆x = x2 − x1

Definimos la velocidad promedio

v=

desplazamiento x − x ∆x = 2 1= tiempo transcurrido t2 − t1 ∆t

Note que: la dirección de la velocidad promedio (velocidad media) es siempre la misma que la dirección del desplazamiento.

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Es la velocidad promedio en un intervalo de tiempo “infinitesimalmente pequeño”.

∆x v= ∆t

∆x dx v = lim =
t → 0 ∆t dt

velocidad (km/h)

velocidad (km/h)

La rapidez instantánea siempre es igual a la velocidad instantánea.

tiempo (h)

velocidad promedio

tiempo (h)

ACELERACIÓN Decimos que un objeto está acelerado cuando su velocidad cambia. La aceleración especifica que tan rápido cambia la velocidad de un objeto. La aceleración promedio se define como la razón entre el cambio en la velocidad y el tiempo transcurrido para producir este cambio:

cambio de velocidad v2 − v1 ∆v a= = = tiempo transcurrido t2 − t1 ∆t La aceleración instantánea:

∆v dv a = lim =
t →0 ∆t dt

La aceleración es un vector. En una dimensión solo necesitamos usar el signo más o el signo menos para indicar si sentido relativo respecto a una cierto sistema de referencia. En el SI sus unidades son

m s

2

Aceleración

DESACELERACIÓN Decimos que un objeto está desacelerando cuando su velocidad disminuye.

Desaceleración NO significa que la aceleración sea necesariamente negativa. Para que exista desaceleración la velocidad y la aceleración tienen que tener sentidos opuestos.

v2 = −5 m / s

v1 = −15 m / s

t2 = 5 s

a

t1 = 0

ACELERACIÓN: ∆v dv = rapidez con la cual a =
lim t → 0 ∆t dt cambia la velocidad VELOCIDAD: rapidez con la cual cambia la posición

∆x dx v = lim =
t → 0 ∆t dt

MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE Movimiento en línea recta. Las aceleraciones promedio e instantánea son iguales.

x (t )

t

v (t )

a (t )

Sabiendo lo que pasa a un tiempo t0, quiero saber lo que sucederá al tiempo t.

t = t0 = 0

x ( 0 ) = x0

La velocidad promedio en dicho intervalo de tiempo es:

x − x0 x − x0 v= = t − t0 t

v ( 0 ) = v0

La aceleración promedio es:

v − v0 v − v0 a= = t − t0 t

v ( t ) = v0 + a t Vamos por la posición en función del tiempo Como la velocidad varía uniformemente (MRUV), de la definición de velocidad promedio

x ( t ) − x0 v= t Pero la velocidad promedio está en el medio de la velocidad inicial y final (porque la velocidad varía uniformemente)

v ( t ) + v0 v= 2

x ( t ) = x0 + v t v (t )

v v0 t0

t

1 2 x ( t ) = x0 + v0 t + a t 2 v ( t ) + v0 v= 2

v ( t ) = v0 + a t

v ( t ) = v + 2a  x ( t ) − x0  2

2 0

Ejemplo 1: ¿Cuánto tiempo tarda un vehículo en cruzar una intersección de calles de 30 metros, luego de encenderse la luz verde del semáforo, si el auto tiene una aceleración constante de 2 m/s2?

CAÍDA DE LOS CUERPOS Uno de los ejemplos más comunes de movimiento acelerado es la caída de cuerpos cerca de la superficie de la Tierra. Galileo, postuló que, todos los objetos, livianos o pesados, caen con la misma aceleración. Esta aceleración, la aceleración debida a la gravedad sobre la Tierra, se simboliza con g y su magnitud es:

g = 9.8 m

s2

Caída desde una torre: supongamos que se deja caer un objeto desde una torre de 70 metros de altura. ¿Cuánto habrá caído luego de 1 segundo, 2 segundos, 3 segundos? Bola tirada hacia arriba: una persona tira una bola hacia arriba con una velocidad inicial de 15 m/s. Calcular qué tan alto llega la bola y cuánto tiempo tarda en volver a la mano de la persona que lanzó el objeto.

12

t = 1.53 s y = 11.5 m

10 8

y (m)

Ejemplo 2: Para una bola lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 15 m/s, calcule el tiempo que tarda en llegar a una distancia que está 8 metros por encima de donde se largó.

6 4 2 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

t (s)

166º aniversario del paso a la inmortalidad del padre de la Patria: el Gral. Don José Francisco de San Martín

“La ilustración y fomento de las letras es la llave maestra que abre la puerta de la abundancia y hace felices a los pueblos”

Solución Ejemplo 1: Usando la ecuación

1 2 x ( t ) = x0 + v0 t + a t 2

Considerando como origen de coordenadas el punto de partida como parte del reposo

x0 = 0

v0 = 0

el desplazamiento final es

x ( t ) = x f = 30 m y la aceleración

La ecuación de movimiento queda

2 ⋅ 30 m t = m 2 2 s t = 30s 2 = 5.48 s

1 m 2 30 m = 2 2 t 2 s

2

m a=2 2 s

Solución Ejemplo 2:

1 2 Usando la ecuación de movimiento en el eje y: y ( t ) = y0 + v0 t + g t 2 Considerando como origen de coordenadas el punto de partida y0 = 0 La velocidad inicial es positiva por ser hacia arriba la aceleración de la gravedad es

m g = −9.8 2 s

m v0 = 15 s

el desplazamiento final tiene que ser

yf = 8m

La ecuación de movimiento queda

m 1 m 2 8 m = 15 t +  −9.8 2  t s 2 s 

2 Es una ecuación de 2º m m  m  −15 ± 15  − 4  −4.9 2  ( −8 m ) grado en t, con 0.69 s s s   s   soluciones t= =

m  2  -4.9 2  s  

2.37 s

En este caso, el primer tiempo corresponde cuando la bola está subiendo y pasa por la altura de los 8 m, mientras que el segundo tiempo es cuando pasa por el mismo lugar en su trayectoria de bajada (ver gráfica del movimiento).