FÍSICA Modelo 2006 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN La prueba consta de dos partes: La primera parte consiste en un conjunto de cinco cuestiones de tipo teórico, conceptual o teórico-práctico, de las cuales el alumno debe responder solamente a tres. La segunda parte consiste en dos repertorios A y B, cada uno de ello constituido por dos problemas. El alumno debe optar por uno de los dos repertorios y resolver los dos problemas del mismo. (El alumno podrá hacer uso de calculadora científica no programable). TIEMPO: Una hora y treinta minutos. CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas que consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos, salvo indicaciones expresa en los enunciados.

PRIMERA PARTE Cuestión 1.a) Enuncie las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Solución. Las tres leyes de Kepler son. 1. Los planetas describen orbitas elípticas con el sol situado en un foco 2. La velocidad areolar (el área que barre el vector de posición del planeta por unidad de tiempo) es constante. 3. Los cuadrados de los periodos de revolución de tus planetas son proporcionales a los cabos de sus distancias medias al sol. b) Si el radio de la órbita de la Tierra es 1,50×1011 m y el de Urano 2,87×1012 calcule el periodo orbital de Urano. Solución. R T = 1,50 ×1011 m

R u = 2,87 ×1012 m De acuerdo con la tercera ley de Kepler T 2 = CR 3 donde C es una constante que podemos calcular con los datos del radio de la orbita terrestre y de su periodo orbital que es un año. T2 TT2 = CR 3T ⇒ C = T3 RT Como Urano cumple la misma relación R3 T2 Tu2 = CR 3u = T3 R 3u ⇒ Tu2 = 3u TT2 RT RT

Tu =

R 3u R 3T

(2,87 ×10 m) (1,50 ×10 m) 12

TT =

3

11

Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

× 1año = 83,7años

Cuestión 2.- Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes: a) La intensidad de la onda sonora emitida por una fuente puntual es directamente proporcional a la distancia a la fuente. Solución. Falso: Si eso fuera así a mayor distancia el sonido se oiría con mayor intensidad, y sabemos que no es así. De hecho, la intensidad de una onda sonora emitida por una fuente puntual es inversamente proporcional a la distancia a la fuente puntual elevada al cuadrado, pues una cantidad constante de energía se tiene que repartir en la superficie de una esfera de radio igual a la distancia a la fuente y esta superficie es proporcional al radio al cuadrado. P I= 4πR 2 b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumento de la intensidad del sonido en un factor 1000. Solución. Verdadero: La formula que relaciona la intensidad en decibelios con la intensidad en unidades SI es: I(S.I.) I(dB) = 10 log Io Donde Io es la intensidad umbral del oído humano en unidades SI. Si I 2 (dB) − I1 (dB) = 30dB ⇒ (diferencia de 30dB)

30dB = 10 log

 I 2 (SI ) I (SI ) I (SI ) I (SI )  − 10 log 1 = 10log 2 − log 1  I0 Io Io Io  

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que log A − log B = log

30 = 10 log

A B

 I (SI )  I 2 (SI ) / I o I (SI )  = 3 ⇒ 2 ⇒ log 2 = 10 3 = 1000 I1 (SI ) / I o I ( SI ) I ( SI ) 1  1 

Cuestión 3.- La figura representa una región en la que existe un campo magnético uniforme B, cuyas líneas de campo son perpendiculares al plano del papel y saliendo hacia fuera del mismo. Si entran sucesivamente tres partículas con la misma velocidad v, y describe cada una de ellas la trayectoria que se muestra en la figura (cada partícula está numerada):

Solución. La velocidad inicial de las partículas es v = v i y el campo magnético es B = Bk la fuerza que sufre una partícula cargada que se mueve en un campo magnético (fuerza de Lorente) es F = q ⋅ v × B . En nuestro caso

( )

( )

F = qvB i × k = qvB − j = −qvB j a) ¿Cuál es el signo de la carga de cada una de las partículas? Solución. La partícula 1 se desvía en el sentido positivo de las y ⇒ F1 = F1 j = −q 1 vB j como v y B son positivos ⇒ q 1 < 0

r La partícula dos no se desvía F2 = 0 = −q 2 vB j

⇒ q2 = 0

Las partículas 3 se desvía en el sentido negativo de las y ⇒ F 3 = −F3 j = −q 3 vB j Como v y B son positivos ⇒ q 3 > 0 Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

b) ¿En cuál de ellas es mayor el valor absoluto de la relación carga-masa (q/m)? Solución. Como la trayectoria es circular

FLorentz = Fcentrifuga ⇒ qvB = m

v2 R

q v v m = ⇒ R =   m RB B q  En el gráfico se observa que R1 > R2: v  m1  v  m 3   ⇒  >  B  q 1  B  q 3 

m1 m 3 > q1 q3

⇒

q q1 < 3 m1 m 3

y

q2 =0 m2

Cuestión 4.- Un objeto de 1 mm de altura se coloca a una distancia de 1 cm. delante de una lente convergente de 20 dioptrías. a) Calcule la posición y tamaño de la imagen formada, efectuando su construcción geométrica. Solución. La potencia de una lente medida en dioptrías es inversamente proporcional a la distancia focal en metros. 1 1 P(diop ) = ⇒f = = 0,05m = 5cm f (m ) 20

Posición. Según la ecuación de la lente: s = −1 cm 1 1 1 1 1 1 1 1 5 − = ⇒ = ⇒ = −1 ⇒ s′ = ⇒ s ′ = −1'25 cm  − s′ s f ' s′ 5 −4  f ′ = 5 cm  s ′ − 1 5 El signo negativo significa que la imagen es virtual Tamaño.

y' s' s′ −1'25 = ⇒ y ′ = y ⋅ = 1 mm ⋅ = 1'25 mm y s s −1 El signo – significa que la imagen es virtual luego no se podría proyectar en una pantalla. b) ¿Se podría recoger esta imagen en una pantalla? ¿Qué instrumento óptico constituye la lente convergente utilizada de esta forma? Solución Por ser una imagen es virtual, no podrá proyectarse en una pantalla. Una LUPA.

Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

Cuestión 5.- Se ilumina una superficie metálica con luz cuya longitud de onda es de 300 nm, siendo el trabajo de extracción del metal de 2,46 eV Calcule: Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6 × 10 −19 C Velocidad de la Luz en el vació c = 3 × 10 8 ms −1 ; Constante de Plack h = 6,63 × 10 −34 Js a) la energía cinética máxima de los electrones emitidos por el metal; Solución. Según el fotoeléctrico, la diferencia de energía entre la comunicada a un átomo y la energía umbral de extracción ó trabajo de extracción (W), es la energía que adquieren los electrones extraídos. En el caso de que esta energía se emplee en variar su cantidad de movimiento, será energía cinética. Ec e− = E − W Aplicando la ecuación de Planck, la energía cinética se puede poner en función de la frecuencia de la luz. E c e − = E − φ −  : E c e = h ⋅ ν Luz − W E = h ⋅ ν 

( )

( )

( )

La frecuencia de la luz se puede expresar en función de su longitud de onda, quedando la expresión anterior de la siguiente forma: E c e − = h ⋅ ν Luz − W  c  − c −W : Ec e = h ⋅ ν Luz = λ Luz  λ Luz  En el sistema internacional: λ = 300 nm = 300 ×10 9 m W = 2,46 eV = 2'46 eV ⋅1'6 × 10 −19 J = 3'93 × 10 −19 J eV Sustituyendo valores

( )

( )

Ec e− = h ⋅

c λ Luz

( )

− W = 6'63 × 10 −34 J·s

( )

E c e − = 2'7 ×10 −19 J =

3 × 10 8 ms −1 300 × 10

−9

2'7 × 10 1'6 ×10

− 3'93 × 10 −19 J = 2'7 ×10 −19 J

m

−19

−19

J

J

= 1'69 eV

eV

b) la longitud de onda umbral para el metal. Solución. La longitud de onda umbral o mínima es la que lleva asociada una energía igual al trabajo de extracción. c c E luz = W ⇒ h ⋅ = W ⇒ λ = h ⋅ λ W En el sistema internacional de unidades:

λ = h⋅

c 3 × 10 8 ms −1 = 6'63 × 10 −19 J·s ⋅ = 5'06 × 10 −7 m = 506 nm W 3'93 ×10 −19 J

(

)

En unidades SI: W = (2,46) × 1,6 ×10 −19 = 3,94 × 10 −19 J ⇒ λ =

⇒ λumbral = 505nm

Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

6,63 × 10 −34 × 3 × 10 8 3,94 × 10

−19

= 5,05 ×10 − 7 m

SEGUNDA PARTE REPERTORIO A Problema 1.- Se lanza una nave de masa m = 5×103 kg desde la superficie de un planeta de radio Rl = 6× 103 km y masa M1 = 4×1024 kg, con velocidad inicial v0 = 2×104 m/s en dirección hacia otro planeta del mismo radio R2 = Rl y masa M2 = 2 M1, siguiendo la línea recta que une los centros de ambos planetas. Si la distancia entre dichos centros es D = 4,83xl010 m, determine: a) La posición del punto P en el que la fuerza neta sobre la nave es cero. Solución. Llamemos x a la distancia entre el planeta 1 y el punto P de manera que el módulo de la fuerza que sufre el satélite por la acción de la gravedad de cada planeta es: M m M 2m F1 = G 12 F2 = G x (D − x )2 Si ambas se igualan:

⇒

F1 = F2

G

M1m x

2

=G

M2m

(D − X )2

Teniendo en cuenta que M2 = 2M1, y simplificando la igualdad se obtiene una ecuación de 2º grado. M1 2M 1 = ⇒ 2x 2 = (D − x )2 ⇒ x 2 + 2Dx − D 2 = 0 2 x (D − X )2

x=

(

)

 x = 2 − 1 D − 2 D ± 4 D 2 + 4D 2 = −D ± 2 D :  2 x = − 1 − 2 D

(

Como es una distancia solo sirve la solución positiva

(

)

x = D 2 − 1 = 4,83 ×1010 m ⋅

(

)

)

2 − 1 = 2 ×1010 m

b) La energía cinética con la que llegará la nave a la superficie del segundo planeta. Solución. Teniendo en cuenta que la energía mecánica se conserva, se cumplirá: E M (Superficie planeta 1) = E M (Superficie planeta 2 )

 1 Mm M 2m   mv12 +  − G 1 − G 2 R1 D − R 1  

•

E M (Superficie planeta 1) = E c (I ) + E p (I ) =

•

E M (Superficie planeta 2) = E c (II) + E p (II) =

 1 M m M1m   mv 22 +  − G 2 − G 2 R D − R 2  2 

Teniendo en cuenta que R1 = R2 = R, y que M1 = M; M2 = 2M1 = 2M 1 M⋅m 2M ⋅ m 1 2M ⋅ m M⋅m E M (I ) = mv12 − G −G E M (II) = mv 22 − G −G 2 R D−R 2 R D−R Igualando las energías: E M (I ) = E M (II) 1 M⋅m 2M ⋅ m 1 2M ⋅ m M⋅m mv12 − G −G = mv 22 − G −G 2 R D−R 1 2 23 R D−R E c (II )

1 M⋅m 2M ⋅ m  2M ⋅ m M⋅m  E c (II) = mv12 − G −G − − G −G  2 R D−R  R D−R Agrupando términos Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

E c (II) = E c (II) =

1 M⋅m M⋅m 1 1  1 mv12 + G −G = mv12 + G ⋅ M ⋅ m ⋅  −  2 R D−R 2 R D − R 

(

1 5 × 103 ⋅ 2 × 10 4 2

)

2

 1  1  + 6,67 × 10 −11 ⋅ 4 × 10 24 ⋅ 5 × 103 ⋅  − 6 10 6  4,83 × 10 − 6 × 10   6 × 10

E c (II) = 1,22 × 1012 J Debido a la enorme diferencia entre el radio de los planetas y la distancia entre ellos, se pueden despreciar las energías potenciales del planeta dos en la superficie del planeta 1 y del planeta 1 en la superficie del planeta 2 sin que se modifique sustancialmente le calculo. 1 Mm • E M (Superficie planeta 1) = E c (I ) + E p (I ) = mv12 − G 1 2 R1 1 M m • E M (Superficie planeta 2) = E c (II) + E p (II) = mv 22 − G 2 2 R2 Teniendo en cuenta que R1 = R2 = R, y que M1 = M; M2 = 2M1 = 2M 1 M⋅m 1 2M ⋅ m E M (I ) = mv12 − G E M (II) = mv 22 − G 2 R 2 R Igualando las energías: E M (I ) = E M (II) 1 M⋅m 1 2M ⋅ m mv12 − G = mv 22 − G 2 R 2 23 R 1 E c (II )

1 M⋅m  2M ⋅ m  E c (II) = mv12 − G − − G  2 R R   Agrupando términos

E c (II) =

1 M⋅m 1 mv12 + G = 5 × 103 ⋅ 2 × 10 4 2 R 2

(

)

2

+ 6,67 × 10 −11

4 × 10 24 ⋅ 5 × 103 = 1,22 × 1012 J 6 × 106

Problema 2.- Delante de un espejo cóncavo de 1 m de radio y a una distancia de 0,75 m se coloca un objeto luminoso de tamaño 10 cm. a) Determine la posición, la naturaleza y el tamaño de la imagen formada por el espejo. Solución. Existen varias posibilidades en la construcción geométrica:

Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

Posición. La ecuación del espejo, que permite determinar la posición del objeto es: 1 1 1 + = s′ s f  s = −0'75 m Donde:  R −1 f = 2 = 2 = −0'5 m 1 1 1 3 + = ⇒ s ′ = − = −1'5 m s ′ − 0'75 − 0'5 2 La imagen es real pues podría ser proyectada en una pantalla. Tamaño.

y′ s′ =− y s

⇒

y′ = −y ⋅

s′ −1'5 = −10 cm ⋅ = −20 cm s − 0'75

Naturaleza. El signo indica que la imagen está invertida. b) Si desde la posición anterior el objeto se acerca 0,5 m hacia el espejo, calcule la posición, la naturaleza y el tamaño de la imagen formada por el espejo en este caso. Efectúe la construcción geométrica en ambos casos. Solución.

Las ecuaciones a usar son las mismas que en el apartado anterior pero en este caso cambia el valor de s. s = −0'75m − (−0'5)m = −0'25m

1 1 1 + = s s′ f 1 1 1 1 + = ⇒ = 2 ⇒ s ′ = 0,5m − 0'25 s ′ − 0'5 s′ La imagen formada es virtual porque se forma dentro del espejo En cuanto al tamaño: y′ s′ 0'5 =− =− = 2 ⇒ y ′ = 2 ⋅ y = 2 ⋅10 cm = 20 cm y s − 0'25 En este caso la imagen esta derecha. Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

REPERTORIO B Problema 1. a) Determine la constante elástica k de un muelle, sabiendo que si se le aplica una fuerza de 0,75 N éste se alarga 2,5 cm respecto a su posición de equilibrio. Solución.

El punto de equilibrio es donde se igualan las fuerzas. La fuerza elástica será entonces Fe = k ⋅ x o

k x ⋅ 0'025m = 0'75N ⇒ k x = 30 N

m

Uniendo al muelle anterior un cuerpo de masa 1,5 kg se constituye un sistema elástico que se deja oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sabiendo que en t = 0 el cuerpo se encuentra en, la posición de máximo desplazamiento, x = 30 cm, respecto a su posición de equilibrio, determine: b) La expresión matemática del desplazamiento del cuerpo en función del tiempo. Solución. De la masa del objeto y la constante elástica deducimos la frecuencia de oscilación del sistema

k 30 = = 20 s −1 = 4'47 s −1 m 1'5 la amplitud del movimiento es el máximo desplazamiento ⇒ A = 30cm ω=

(

x (t ) = A ⋅ sen (ωt + φ ) ⇒ x (t ) = 30 cm ⋅ sen 4'47 s −1 t + φ

)

Para calcular el desfase (φ) se tiene en cuenta que en t = 0 : x (0) = 30 cm

30 cm = 30 cm ⋅ sen φ ⇒ sen φ = 1 ⇒ φ =

π 2

sustituyendo en la ecuación:

π  x (t ) = 30 cm ⋅ sen 4'47 s −1 t +  2  c) La velocidad y la aceleración máximas del cuerpo. Solución. Por definición, la velocidad es la derivada de la posición con respecto de x. d x (t ) v(t ) = dt d v(t ) = [A ⋅ sen (ω t + φ )] = A ⋅ ω cos(ω t + φ ) dt La velocidad máxima se obtiene cuando la expresión trigonométrica vale 1 v(t ) = A ⋅ ω cos(ω t + φ )   : v máx = A ⋅ ω v máx ⇔ cos(ω t + φ ) = 1 Sustituyendo valores

v max = 30 cm ⋅ 4'47 s −1 = 134'1 cm = 1'341 m s s

Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo d d a (t ) = v(t ) = [Aω ⋅ cos(ω t + φ )] = −Aω 2 sen (ω t + φ) dt dt Al igual que en el caso de la velocidad, la aceleración máxima se obtiene cuando la expresión trigonométrica vale 1.

a max = Aω 2 = 30 cm ⋅

( 20 s )

−1 2

= 600 cm

s2

= 6m

s2

d) Las energías cinética y potencial cuando el cuerpo se encuentra a 15 cm de la posición de equilibrio. Solución. Cuando la masa está en el extremo toda la energía es potencial, 1 1 1 E = E pot = k ⋅ x 2 = k ⋅ A 2 = 30 ⋅ 0'3 2 = 1'35 J 2 2 2 y coincide con la energía total el sistema. Cuando x = 15 cm, la energía potencial es: 1 1 E pot = k ⋅ x 2 = 30 ⋅ 0'15 2 = 0,3375 J ⇒ E pot = 0,3375 J 2 2 La energía cinética se calcula como diferencia entre la energía total del sistema y la energía potencial en este punto. E = E cin + E pot ⇒ E cin = E − E pot = 1,35 − 0,3375 = 1,1625 J

E cin = 1,1625 J

Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

Problema 2.- Dos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos, perpendiculares al plano XY, pasan por los puntos A (80, 0) y B (0, 60) según indica la figura, estando las coordenadas expresadas en centímetros. Las corrientes circulan por ambos conductores en el mismo sentido, hacia fuera del plano del papel, siendo el valor de la corriente I1 de 6 A. Sabiendo que I2> I1 y que el valor del campo magnético en el punto P, punto medio de la recta que une ambos conductores, es de B = 12×10−7 T, determine a) El valor de la corriente I2 b) El módulo, la dirección y el sentido del campo magnético en el origen de coordenadas O, utilizando el valor de 12, obtenido anteriormente. Datos: Permeabilidad magnética del vacío: µ 0 = 4π × 10 −7 NA −2 a) El valor de la corriente I2 Solución. Las líneas de campo son circunferencias concéntricas en el hilo siendo el valor del campo µ I B= o 2π ⋅ d µο representa una constante característica del medio que recibe el nombre de permeabilidad magnética. En el vacío su valor es µ 0= 4 π· 10-7 T m/A. La distancia que separa a los conductores es

d(A − B) =

(60cm )2 + (80cm )2

= 100 cm = 1 m : d =

1 = 0,5 m 2

Por la regla de la mano derecha sabemos que el campo en el punto P es la resta de los campo generados por cada conductor.

Aplicando la regla a la disposición propuesta y trabajando en módulo:

µ o I 2 µ o I1 µ − = o (I 2 − I1 ) 2πR 2πR 2 πR 2 πR I 2 − I1 = B ⋅ µo 2πRB I2 = + I1 µo

B = B 2 − B1 =

I2 =

2π ⋅ 0,5 m ⋅12 × 10 −7 T 4π ⋅10 −7 NA − 2

Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

+ 6A = 3A + 6A ⇒ I 2 = 9A

b) El módulo, la dirección y el sentido del campo magnético en el origen de coordenadas O, utilizando el valor de 12, obtenido anteriormente. Datos: Permeabilidad magnética del vacío: µ0 = 4π × 10−7 NA −2 Solución. En el punto 0 el campo creado por los conductores es:

Campo creado por el conductor A:

B o (A ) = B1 =

(

)

( )

(

)

()

µ o I1 4π × 10 −7 NA −2 ⋅ 6 A −j = − j = 1,5 ×10 − 6 − j T 2π ⋅ d 2π ⋅ 0'8 m

( )

Campo creado por el conductor B:

( )

µ 0I2 4π × 10 −7 NA −2 ⋅ 9 A i T = 3 ×10 − 6 i T i = 2π ⋅ d 2 π ⋅ 0'6 m Las direcciones y sentidos de B1 y B 2 se han deducido teniendo en cuenta la regla de la mano

B o (B) = B 2 =

()

()

derecha. El campo total creado por los dos conductores en el punto O, es la suma vectorial de los campos creados por cada conductor. r r r B O = 3 × 10 −6 i − 1,5 × 10 −6 j (T )

r BO =

(3 ×10 ) + (1,5 ×10 ) −6 2

−6 2

Modelo 2006

Autor: Matias Gallego Liberman Ldo. Ciencias Físicas U.A.M.

= 3,35 × 10 −6 T