Posgrado en Astrofísica. Examen Temático de Astrofísica Estelar

22 de Julio del 2013 UNAM

Instrucciones : • El examen consta de 5 problemas • Se considerarán los 4 mejores resueltos. • El tiempo para resolver este examen es de 2 horas. • Conteste cada problema en una hoja nueva. • Escriba su nombre completo y el número de problema en cada hoja • Use únicamente una cara de cada hoja

Posgrado en Astrofísica Examen Temático Astrofísica Estelar

22 de Julio 2013 UNAM

Problema 1. Considere una atmósfera plana paralela que consiste de 2 capas, y definamos el eje de coordenadas

como aquel que tiene su origen en el centro de la estrella y es

normal a su superficie. La primera capa se extiende desde la base de la atmósfera hasta y tiene temperatura . La segunda capa se extiende desde hasta y tiene temperatura

. Claramente,

>

.

Recordemos que para una atmósfera plana paralela el flujo se puede expresar como:

( )

∫

(

)

donde μ = cos θ, y θ es el ángulo formado por el eje

y la dirección de propagación de la

radiación. ν es la frecuencia de la radiación. Recordemos también que esta integral se puede partir en dos, para los casos: μ > 0 y μ < 0. Supongamos que la profundidad óptica de cada una de las dos capas es tan grande que ( ) ( ( )), donde ( ( )) es la función de podemos hacer la aproximación Planck. (a)

Escriba la expresión para

(b) ¿Cuál es el valor de (c)

Si

(

(

)

) si

, ¿en qué dirección fluye la energía? ¿Es ésta una situación que se dé

usualmente en las atmósferas estelares? (d) ¿Cuáles son las condiciones que una atmósfera debe cumplir para que se pueda decir que se encuentra en equilibrio termodinámico local? (e) ¿Cómo se calculan usualmente las poblaciones de los niveles excitados en el caso de una atmósfera en ETL?

Posgrado en Astrofísica. Examen Temático de Astrofísica Estelar

22 de Julio del 2013 UNAM

Problema 2. La siguiente figura muestra un diagrama Hertzsprung-Russell con la traza evolutiva de una estrella con abundancias solares resultante de un cálculo numérico iniciado en el ZAMS.

(a) Indique si la traza corresponde a una estrella de baja masa (< 2M⊙), masa intermedia (2M⊙ < M < 8M⊙), o a una estrela masiva (> 8M⊙). (b) Los puntos indicados, A a I, representan puntos de interés en la evolución de esta estrella. Describa brevemente, en una o dos líneas por caso, la evolución de la estrella en cada punto. Su respuesta debe considerar que sucede en el núcleo y en la envolvente de la estrella, y qué lo ocasiona. (c) El tiempo evolutivo entre los puntos A a C es de 9.83 x 107 años mientras que el tiempo evolutivo entre los puntos C a E es de solamente 6.87 x 105 años. Explique por qué. (d) El tiempo evolutivo entre los puntos F a H es de 9.0 x 106 años mientras que el tiempo evolutivo entre los puntos H a I es de 1.73 x 106 años. Explique por qué.

Posgrado en Astrofísica. Examen Temático de Astrofísica Estelar

22 de Julio del 2013 UNAM

Problema 3. La Figura 1 muestra el perfil de absorción/emisión de la línea de resonancia en el ultravioleta de Mg II 2800 Å de la nova clasica V838 Her tomada 2.5 días después de su máximo abrillantamiento (Kato, Hachisu & Cassatella 2009). La curva continua es el ajuste de un perfil tipo P Cygni. En la figura se puede notar la presencia de las dos líneas angostas de este doblete, de origen interestelar, a la longitud de onda en reposo.

Figura 1: Perfil P Cygni (línea sólida) del doblete de Mg II 2800 Å del espectro de V838 Her tomado 2.5 días después de su máximo abrillantamiento por el IUE (Kato, Hachisu & Cassatella 2009).

(a) ¿Cuál es el valor de la velocidad terminal,

V ∞ , de este viento?

(b) Explique cómo se forma el perfil P Cygni indicando las regiones en el viento que producen la emisión y absorción con respecto al continuo. (c) La radiación en el viento a una longitud de onda proviene de una zona muy delgada centrada en una supercie de velocidad constante hacia el observador dada por v| | = v(r) cos θ = constante , donde θ es el ángulo entre v(r) y la dirección del observador. Dibuje las superficies de velocidad constante del viento para los casos v(r)=r y v(r)=C, donde C es una constante. ∂ρ + ∇⋅ρ u=0. Reduzca esta expresión ∂t para el caso de un sistema de coordenadas con simetría esférica y muestre que, en el caso de un flujo estacionario, la ecuación de continuidad se transforma en ˙ es la tasa de perdida de masa; ρ(r) y u(r) son las ˙ =4 π r 2 ρ u=constante donde M M distribuciones de densidad y velocidad respectivamente. (d)

La ecuación de continuidad está dada por

Referencia: Kato, M., Hachisu, I., & Cassatella, A. 2009, ApJ, 704, 1676

Posgrado en Astrofísica. Examen Temático de Astrofísica Estelar

22 de Julio del 2013 UNAM

Problema 4. Para la gran mayoría de las estrellas sus propiedades físicas no cambian en escalas de tiempo corto lo que permite asumir que se encuentran en equilibrio hidrostático y poder así utilizar el Teorema Virial. Éste establece una relación entre el potencial gravitacional (Ω) y la presión del sistema, dada por: M P Ω=−3 ∫0 ρ dm

En este problema vamos a asumir que la energía cinética es nula. (a) Considere el caso de una estrella de secuencia principal y muestre que si la presión de radiación es despreciable, entonces utilizando el teorema virial se puede mostrar que la 1 energía total del sistema es ET = Ω=−U donde U representa la energía interna del 2 sistema. (b) Muestre que al incluir la energía de radiación (Erad), la energía del sistema cumple que 1 ET = (Ω+ E rad )=−U. 2 (c) Utilice los resultados anteriores para mostrar si la temperatura permanece constante, aumenta o disminuye cuando la estrella tenga una contracción. Diga qué pasa en el caso de una expansión. (d) Los resultados anteriores combinados hacen que las estrellas se comporten establemente ante perturbaciones, a lo cual llamamos estabilidad secular. Para mostrar cómo funciona esta estabilidad secular considere una perturbación tal que L nuc > L (donde L nuc es la luminosidad nuclear y L la luminosidad superficial). Explique cómo es que la estrella regresa a su estado original no perturbado (L nuc = L). Recuerde que las variaciones en energía están dadas por la diferencia entre la producción de energía por reacciones dET nucleares y la radiación emitida: =Lnuc −L. dt

Posgrado en Astrofísica. Examen Temático de Astrofísica Estelar

22 de Julio del 2013 UNAM

Problema 5. Hagamos un modelo sencillo de una envolvente convectiva, con convección eficiente, es decir ∇ = ∇ad. Suponemos que la ecuación de estado es la de un gas ideal que se mueve adiabáticamente bajo la convección (“convección eficiente"), tal que :

R P= μ ρ T

P= K ρ

y

γ

1 γ=1+ , n

con

donde R es la constante de los gases, μ el peso molecular promedio y K una constante (P 5 es la presión, ρ la densidad y T la temperatura). Supondremos que γ= . 3 (a) Usando las expresiones de la presión mostrar que también podemos escribir:

P= K 1 T 1+n

ρ= K 2 T n ,

y

donde K1 y K2 son también constantes. (b) Mostrar que

(

∇ ad =

d lnT d lnP

)

ad

=

1 =0.4 1+n

(c) Suponiendo que esta envolvente se extiende desde r = r0 hasta la supercie, donde r = R, buscamos una solución de tipo ley de potencias, es decir :

r0 a P= P 0 , r

( )

r ρ=ρ 0 0 r

b

( )

y

T =T 0

r0 c , r

( )

donde P0, ρ0 y T0 son respectivamente la presión, densidad y temperatura en r=r 0. Suponemos que la masa de esta envolvente es despreciable y así escribimos el equilibrio hidrostático como:

dP −GM = 2 ρ. dr r Utilice las expresiones de la presión arriba mostradas y la ecuación de equilibrio hidrost ático para deducir los valores de los exponentes a,b,c utilizados en la ley de potencias. (d) Si aplicamos este modelo a la envolvente convectiva del Sol, con r0 = 0.7 R, y T0 = 2.3 x 106 K, ¿cuál valor de T se obtiene en la superficie? ¿Cuál es la razón por la que el modelo no reproduce la temperatural superficial que se observa en el Sol?