APUNTE: TABLA DE DERIVADAS DERIVADAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 1 Carreras: Lic. en Economía Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 1ero Año: 2016
f (x)
f ′(x)
k (constante) x xn
0 1
n ⋅ x n −1 1 x ex a x ⋅ ln(a ) 1 − 2 x 1
ln( x)
ex ax 1 x
x
2 x cos(x) − sen(x)
sen(x) cos(x)
1 = sec 2 ( x) 2 cos ( x) 1
tg (x) arcsen(x)
−
arccos(x)
1− x2 1 1 − x2 1 1+ x2
arctg (x) Propiedades de las Derivadas: 1) ( f + g ) ′( x) = f ′( x) + g ′( x)
2) ( f − g ) ′( x) = f ′( x) − g ′( x)
Regla del Producto
(u ⋅ v )′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′
Regla del Cociente
′ u u ′ ⋅ v − u ⋅ v′ = v2 v
Regla de la Cadena
(f
Definición de Función Derivada
3) (k ⋅ f ) ′( x) = k ⋅ f ′( x)
′ o g ) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x)
f ′(x) =
lim f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x ∆x → 0
Ejemplos resueltos:
1) Hallar la derivada de: f ( x) = x 2 + tg ( x) Como f (x) es una suma, entonces su derivada será la derivada de cada uno de los sumandos:
f ′( x) = 2 x +
1 = 2 x + sec 2 ( x) 2 cos ( x)
2) Hallar la derivada de: p ( x) = 7 x 3 Como p (x) es el producto de una constante por una función, aplicando la propiedad 3), la derivada será:
p ′( x) = 7 ⋅ 3 x 2 = 21x 2
3) Hallar la derivada de: f ( x) = x 4 ⋅ sen( x) Aplicando la regla del producto, obtenemos: f ′( x) = 4 x 3 ⋅ sen( x) + x 4 ⋅ cos( x)
4) Hallar la derivada de: g ( x) =
x cos( x)
1 2 x Aplicando la regla del cociente: g ′( x) =
cos( x) − x ⋅ (− sen( x) ) cos 2 ( x)
cos( x) + x ⋅ sen( x) 1 x ⋅ tg ( x) 2 x = = + 2 cos( x) cos ( x) 2 x cos( x)
5) Hallar la derivada de: h( x) =
Recordar que tg ( x) =
sen( x) cos( x)
sen( x)
Como h( x) = ( f o g )( x) , es decir, es la composición de dos funciones f ( x) = utilizaremos la regla de la cadena:
′ h ′(x) = ( f o g ) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x) =
1 2 sen( x)
(
6) Hallar la derivada de: m( x) = ln x 5 + sen( x)
x y g ( x) = sen( x) ,
⋅ cos( x)
)
Como m( x) = ( f o g )( x) , es decir, es la composición de dos funciones f ( x) = ln( x) y
g ( x) = x 5 + sen( x) , utilizaremos la regla de la cadena: ′ m ′(x) = ( f o g ) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x) =
