APUNTE: INTEGRACION UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 1 Carrera: Lic. en Economía Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 1ero – Año: 2015 Introducción En muchos casos se conoce la derivada de una función y el objetivo es hallar la función original que dio origen a esa derivada. Por ejemplo, un sociólogo que conoce el ritmo al que está creciendo la población puede desear usar esta información para predecir niveles futuros de población; un físico que conoce la velocidad de un cuerpo que se mueve puede desear calcular la posición futura en la que se encontrará ese cuerpo; un economista que conoce el ritmo de inflación puede desear estimar los precios futuros. El proceso de obtención de una función a partir de su derivada de llama integración o cálculo de primitivas. Primitiva Una función F cuya derivada es igual a f se dice que es una primitiva, antiderivada o integral indefinida de f. Ejemplo: la función F ( x) =

2 3 1 2 x + x + 3 x es la primitiva de f ( x) = 2 x 2 + x + 3 pues si derivamos 3 2

F (x) obtendremos f (x) . 2 1 Verificación: F ´( x) = ⋅ 3 x 3−1 + ⋅ 2 x 2 −1 + 3 = 2 x 2 + x + 3 = f ( x) 3 2 Una función tiene más de una primitiva. Por ejemplo, x3 es primitiva de 3x 2 , Pero también lo es de 3 x 2 + 1 , de 3 x 2 − 3 y de 3 x 2 + 10 . En general, si F es una primitiva de f, toda función obtenida por adición de una constante a F es también una primitiva de f. Por lo tanto, todas las primitivas de f se pueden obtener sumando una constante a una primitiva dada. Entonces: Si F y G son ambas primitivas de f, existe una constante C tal que se cumple que G(x)=F(x)+C. Notación

∫ f ( x) dx = F ( x) + C Se lee: “la integral indefinida (o primitiva) de la función f(x) es la función F(x) más la constante C. Veamos cómo se denomina cada parte de esta notación:

∫

es el signo de integración o signo integral.

f (x) es la función integrando. dx es el diferencial x (nos sirve para saber cuál es la variable con respecto a la cual va a realizarse la integración).

F ( x) es la primitiva de f . C es la constante de integración. Por ejemplo:

∫ 3x

2

dx = x 3 + C

;

∫10t

4

dt = 2t 5 + C

;

∫ 8 dp = 8 p + C

Apunte Matemática 1 (Lic. Economía): Integración – Año 2015

Integrales Indefinidas de funciones básicas Vamos a obtener algunas primitivas usando las derivadas que ya conocemos (se suele utilizar la expresión “hallar las integrales inmediatas”). Por ejemplo: Como la derivada de f ( x ) = sen( x ) es f ´( x ) = cos( x ) entonces: Como la derivada de f ( x) = ln( x) es f ´( x) =

∫ cos( x) dx = sen( x) + C

1

1 entonces: x

∫ x dx = ln x + C

(¿Por qué valor absoluto de

x y no simplemente x?) Podemos armar una tabla de integrales de funciones básicas, que será la inversa de la tabla de derivadas. Ejercicio Nro. 1 Hallar la primitiva F (x) de la función f (x) usando la tabla de integrales, y confirmar el resultado mediante derivación: b) f ( x) = e x −

a) f ( x) = 3x + 5

1

d) f ( x) =

c) f ( x) = 9 sen( x) − 7 cos( x)

2 x

∫x

Para integrar funciones potenciales, se cumple que para n ≠ 1 ,

n

dx =

1 n +1 x +C n +1

Ejercicio Nro. 2 Hallar las siguientes integrales, usando la regla de integración de funciones potenciales: a)

∫x

dx =

b)

d)

1 ∫ 5 x dx =

e)

5

47

x dx =

c)

x ∫ 4 x dx = 1 1 h) ∫ ⋅ dx = 5 x 3 x

x

∫ x dx = j) ∫ x dx =

g)

∫

25

k)

∫x x 3

25

∫x

x dx =

x2 ∫ 3 x dx = i) ∫ x 5 x dx = f)

dx =

l)

∫x

−3 8

dx =

Reglas básicas de integración 1)

∫ k ⋅ f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

2)

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

Ejercicio Nro 3 Hallar las integrales:



∫

a)  8 x 3 − x 2 +

2  x − 5 dx = 3 

( x − 2)( x + 5) dx = 3

c)

∫

e)

cos( x) ∫ 1 − cos2 ( x)dx =

g)

∫

( x − 4)( x − 3) dx = 8

x +1 dx = x

b)

∫

d)

∫ 7t

f)

x2 + 5 ∫ x dx =

h)

∫(

3

3

t dt =

)

m + 2 cos(m) + 3 dm =

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1 −x x

Aplicaciones prácticas Veremos ahora un problema en el que se conoce el ritmo de cambio de una unidad (es decir, la derivada) y el objetivo es hallar una expresión para la cantidad misma. Se estima que dentro de x meses la población de un cierto pueblo estará cambiando a un ritmo de 2 + 6 x personas por mes. La población actual es de 5000. ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?

(

)

Solución: Representemos por P (x) la población del pueblo dentro de x meses. Entonces la derivada de P respecto a x es el ritmo de cambio de la población con respecto al tiempo. Esto es,

dP = P´( x) = 2 + 6 x dx

(*)

(

)

Entonces, la función de población P es una primitiva de 2 + 6 x . Por lo tanto,

(

)

P ( x) = ∫ 2 + 6 x dx = 2 x + 4 x 3 2 + C Para determinar la constante C usamos la información de que en el momento presente (es decir, x = 0 ) la población es de 5000. Esto es, 5000 = 2 ⋅ 0 + 4 ⋅ 0 + C
C = 5000 Luego, la población dentro de 9 meses será:

P (9) = 2 ⋅ 9 * 4 ⋅ (9)3 2 + 5000 = 5126

Ejercicio Nro 4 Resolver los siguientes problemas: a) Un fabricante ha encontrado que el coste marginal es de 3q 2 − 60q + 400 dólares por unidad cuando se han producido q unidades. El costo total de producción de las dos primeras unidades es de 900 dólares. ¿Cuál es el costo total de las cinco primeras unidades? b) En una cierta zona del país, el precio de los huevos de clase A es actualmente 1,6 dólares por docena. Los estudios indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a un ritmo de 0,2 + 0,003 x 2 centavos por semana. ¿Cuánto costarán los huevos dentro de 10 semanas? c) Un objeto se mueve de forma que su velocidad después de t minutos es de 6t 2 + 2t + 3 metros por minuto. ¿Qué distancia se desplazará el objeto durante el segundo minuto? d) El valor de reventa de una cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo que cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene t años, el ritmo al que está cambiando su valor es 220(t − 10) cientos de pesos por año. Si la maquinaria se compró nueva por 120000 pesos, ¿cuánto valdrá diez años después? Métodos para resolver algunas integrales (1) Método de Sustitución Por la regla de la cadena, sabemos que: [g ( f ( x)]´= g´( f ( x)) ⋅ f ´( x) Supongamos que F (u ) + C son las primitivas de f (u ) . Entonces F (u ) + C =

∫ f (u) du

con u = g ( x) ⇒ F (u ) = F ( g ( x))

Calculemos [F ( g ( x))]´= F ´( g ( x )) ⋅ g´( x ) = f ( g ( x )) ⋅ g´( x ) Apunte Matemática 1 (Lic. Economía): Integración – Año 2015

∫ [F ( g ( x))]´dx = ∫

⇒

f ( g ( x)) ⋅ g´( x) dx

⇒ F ( g ( x) + C = ∫ f ( g ( x)) ⋅ g´( x) dx ⇒

⇒

F (u ) + C = ∫ f ( g ( x)) ⋅ g´( x) dx

FORMULA DE SUSTITUCION

Veamos algunos ejemplos resueltos:

∫ (5x + 2) dx = 2

1.-

du du = 5
du = 5 dx
= dx dx 5 1 u3 (5 x + 2) 3 2 ⇒ ∫ (5 x + 2 ) dx = ∫ u 2 du = + C = +C 5 15 15 u = 5x + 2


∫ 2 sen(6 x)dx =

2.-

u = 6x


du du = 6
du = 6 dx
= dx dx 6

⇒ ∫ 2 sen(6 x)dx = 2 ∫ sen(u ) du = − 2 cos(u ) + C = −2 cos(6 x) + C dx = 2 +9

∫ 4x

3.-

∫

dx 4  9 x 2 + 1 9 

=

1 dx ∫ 9  2x 2   +1  3 

u=

2 du 2 2 3 x
=
du = dx
du = dx 3 dx 3 3 2

⇒

1 3 du 1 1 2  ⋅ ∫ 2 = arctg(u ) + C = arctg x  + C 9 2 u +1 6 6 3 

Ejercicio Nro. 5 Resolver aplicando el método de sustitución: b) ∫ sen(4 x + 7 )dx

a) ∫ (2 x + 7 )2 dx e) ∫

x 5

4

x +1

f) ∫

dx

2 dx 2x + 5

g) ∫

j) ∫ sen( x) cos( x) dx

m) ∫ 7(x 2 + 3 x + 5)8 (2 x + 3) dx =

n)

p)

∫ (x − 10) dx 8

e

2

) dx =

dx

x

q) ∫ sen 2 ( x) cos( x ) dx

∫ ln(9 x + 20)dx = ñ) ∫ x x + 6 dx = r) ∫ ln(2 x − 3)dx = k)

4

d) ∫ e

x

e +1

i) ∫ tg ( x) dx

∫ x ⋅ sen(3x

c) ∫ (cos 2 x + sen3 x) dx

5

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h) ∫

6 x +1

dx

dx x ln x

l) ∫ 4 2 x + 5dx

∫x e s) ∫ 4 x

o)

3

3

(x

4

+2

)dx =

2 x 4 − 5 dx =

(2) Método de Integración por partes La fórmula de integración por partes es la siguiente:

∫

f ( x) ⋅ g´( x) dx = f ( x) ⋅ g ( x) − ∫ f ´( x) ⋅ g ( x)dx + C

Demostración) Sean u = f (x) y v = g (x) . Calculemos la derivada del producto entre u y v .

(u ⋅ v )´= u´⋅v + u ⋅ v´ ⇒ ∫ (u ⋅ v )´dx = ∫ [u´⋅v + u ⋅ v´]dx ⇒

∫ u ⋅ v´ dx = u ⋅ v − ∫ v ⋅ u´ dx + C

Se suele escribir de la siguiente forma:

⇒ u ⋅ v + C = ∫ u´⋅v dx + ∫ u ⋅ v´ dx

⇒ FORMULA DE INTEGRACION POR PARTES

∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v du

Veamos un ejemplo resuelto:

∫ x sen x dx = u=x

⇒

dv = sen x dx ⇒ Entonces:

du = 1 ⇒ du = dx dx v = ∫ sen x dx = − cos x + C

∫ x sen x dx = x ⋅ (− cos x ) − ∫ (− cos x )dx = − x cos x + ∫ cos x dx = − x cos x + senx + C

Ejercicio Nro.6 Resolver aplicando el método de integración por partes: a) ∫ x cos x dx d) ∫ x ln x dx g)

b) ∫ x 2 senx dx e) ∫ x 2 ln x dx

∫ sen(ln x ) dx

∫

h) t ln(t + 1) dt

c) ∫ xe x dx f) ∫ x x − 1 dx i)

∫ x senx dx 3

Ejercicio Nro.7 Resolver los siguientes problemas: 1. Hallar el costo total sabiendo que el costo marginal es C ' ( x) = 0.09 x 2 − 1.2 x + 4.5 y el costo de producir 10 unidades es 7700. 2. Hallar el ingreso total y la demanda sabiendo que el ingreso marginal es I ' ( x) = 4 + 3. Si el costo marginal es C ' ( x) = 3(5 x + 4)

−1 / 2

10 ( x + 5) 2

y el costo fijo 50, hallar el costo total.

4. Hallar la función de ingreso sabiendo que el costo medio es C ( x) = x + 8 + x −1 y el beneficio marginal es B' ( x) = −6 x + 100

5. Una empresa tiene una producción diaria P(x ) de 4000 unidades, con x el número de empleados extra. Estimó que la razón de cambio de la producción diaria con respecto a la variación del número de trabajadores es 100 − 9 x1 / 2 , siendo x el número de empleados extras. Hallar la producción diaria si se suman 9 trabajadores a la fuerza laboral actual. Apunte Matemática 1 (Lic. Economía): Integración – Año 2015

Concepto de Ecuación Diferencial Vamos a introducir este importante concepto y ver algunos ejemplos. Definición Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contenga una derivada. Por ejemplo, las ecuaciones

dy = 3x 2 + 5 dx

;

dP =k⋅P dt

;

f ´´( x) + f ´( x) + f ( x) = e x

son ecuaciones diferenciales. Muchas situaciones prácticas, especialmente aquellas que incluyen ritmos de cambios, pueden describirse matemáticamente por ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, el supuesto de que la población crece a un ritmo proporcional a su tamaño puede expresarse por la ecuación diferencial

dP = k ⋅ P donde P representa el tamaño de la población, t el tiempo y k es la dt

constante de proporcionalidad. En economía, supuestos sobre costos e ingresos marginales pueden formularse como ecuaciones diferenciales. La ecuación (*) del ejemplo del problema de página 3 es una ecuación diferencial. Soluciones de una ecuación diferencial Toda función que satisface una ecuación diferencial se dice que es solución de esta ecuación. x Por ejemplo, la función y = e − x es una solución de la ecuación diferencial y ´− y = x − 1 .

(

)

Veamos que es cierto: como y ´= e x − 1 entonces y ´− y = e x − 1 − e x − x = −1 + x = x − 1 Se puede comprobar que la función y = 3e x − x también es solución de la misma ecuación diferencial. De x hecho, toda función de la forma y = Ce − x donde C es una constante, es una solución de esta ecuación. x Se dice entonces que y = Ce − x es la solución general de la ecuación diferencial y ´− y = x − 1 .

Si le damos a C un valor numérico determinado, obtendremos una solución particular. Entonces, las x x funciones y = e − x (C=1) y y = 3e − x (C=3) son soluciones particulares.

Ejemplo: hallar la solución particular de la ecuación diferencial y ´− y = x − 1 que satisface la condición de que y = 4 cuando x = 0 . Vemos que si hacemos y = 4 , y, x = 0 en la solución general obtenemos C = 4 . Entonces la solución x particular es: y = 4e − x .

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Supongamos la siguiente situación: El valor de reventa de una cierta pieza industrial decrece durante un período de 10 años a un ritmo que depende de la edad de la pieza. Cuando la pieza tiene x años, el ritmo al que está cambiando su valor es de 220(x–10) pesos por año. I. Expresar el valor de la pieza como una función de su edad y valor inicial. II. Si la pieza valía originalmente 12000 pesos, ¿cuánto valdrá cuando tenga 10 años? Apunte Matemática 1 (Lic. Economía): Integración – Año 2015

Solución: Para comenzar llamemos V(x) al valor de la pieza cuando tenga x años. Sabemos que el ritmo de cambio del valor de la pieza está dado por 220(x-10). Entonces, podemos escribir que:

dV = 220( x − 10) = 220 x − 2200 que es una ecuación diferencial. dx

Para hallar la expresión de V en función del tiempo, es decir, V (x) , resolvemos la ecuación diferencial por integración:

V ( x) = ∫ (220 x − 2200)dx = 110 x 2 − 2200 x + C Si x=0 nos queda: V (0) = 110 ⋅ 0 − 2200 ⋅ 0 + C
C = V (0) = V0 2 Luego, la expresión solicitada en a) es V ( x) = 110 x − 2200 x + V0

Para resolver b) simplemente hacemos x=10 y V(0)=12000. Entonces:

V (10) = 110 ⋅100 − 2200 ⋅10 + 12000 = 11000 − 22000 + 12000 = 1000 Por lo tanto, a los 10 años la pieza valdrá 1000 pesos. El siguiente gráfico muestra la gráfica de la función V(x), valor de reventa de la pieza.

El siguiente gráfico muestra la gráfica de la función R ( x) = −220( x − 10) , ritmo de la depreciación de la pieza. ¿Por qué se le ha agregado el signo menos?

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Ejercicio Nro.8 Escribir una ecuación diferencial que describa cada una de las situaciones dadas (no resolverlas). a) El número de bacterias de un cultivo crece a un ritmo que es proporcional al número de bacterias presente. b) Una inversión crece a un ritmo igual al 7 % de su tamaño. c) La población de un cierto pueblo crece a un ritmo constante de 500 personas por año. d) El costo marginal de un fabricante es de 60 pesos por unidad. e) El ritmo al que cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su propia temperatura y la temperatura del medio que le rodea. Ejercicio Nro.9 a) Compruebe que la función

y = Ce kx es una solución de la ecuación diferencial

b) Compruebe que la función

B = A − Ce − kt es

dy = ky . dx

una solución de la ecuación diferencial

dB = k ( A − B) . dt Ejercicio Nro.10 Hallar la solución general y luego la solución particular de cada ecuación diferencial: a)

dy = 5 x 4 − 3 x 2 − 2 ; condición: y = 4 cuando x = 1 . dx

b)

dy = 0,06 y ; condición: y = 100 cuando x = 0 . dx

Ejercicio Nro.11 Resolver los siguientes problemas: a) El valor de reventa de una cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo que depende de su edad. Cuando −t 5

dólares por año. la maquinaria tiene t años, el ritmo al que está cambiando su valor es de − 960e I. Expresar el valor de la maquinaria como una función de su edad y valor inicial. II. Si la maquinaria valía originalmente 5200 dólares, ¿cuánto valdrá cuando tenga 10 años? b) Se estima que dentro de t días la producción de un granjero estará aumentando a un ritmo de 0,3t 2 + 0,6t + 1 bushels por día. ¿En cuánto aumentará el valor de la producción durante los próximos 5 días si el precio de mercado permanece fijo 3 dólares por bushel?

(

)

(Nota: el bushel es una unidad de medida de capacidad para mercancía sólida, utilizada en países de habla inglesa. Se usa por ejemplo en el comercio de harinas y granos. El bushel varía según de qué elemento se trate. Un bushel de avena equivale a 14,5 kg aproximadamente. Un bushel de maíz equivale a 25,4 kg aproximadamente. Un bushel de trigo y porotos de soja equivale a 27 kg aproximadamente).

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Integral Definida La integral definida de una función f en un intervalo cerrado [a ; b] se define como: b

∫

]

f ( x) dx = F ( x)

a

b a

= F (b) − F (a)

donde F es una primitiva de f . La función f debe ser continua y acotada en el [a ; b] . Se lee: “integral definida de f entre a y b”. Los números a y b son los límites de integración. Veamos cómo utilizarla en un problema: Se estima que dentro de x meses la población de un cierto pueblo estará cambiando a un ritmo de 2 + 6 x personas por mes. ¿En cuanto crecerá la población en los próximos cuatro meses? ¿Y entre el cuarto y quinto mes?

(

)

Solución: Ya habíamos obtenido (ver página 3) que si P(x) es la población en los próximos x meses, entonces,

dP = P´( x) = 2 + 6 x dx

(*)

En los próximos cuatro meses la población será: 4

(

)

(

P( x) = ∫ 2 + 6 x dx = 2 x + 4 x 3 2

)]

4 0

= P(4) − P(0) = 40 − 0 = 40

0

Luego, en los próximos 4 meses la población crecerá en 40 personas. 5

(

)

(

P ( x) = ∫ 2 + 6 x dx = 2 x + 4 x 3 2

)]

5 4

= P (5) − P (4) = 54,72 − 40 = 14,72

4

Luego, entre el cuarto y quinto mes la población crecerá en 15 personas. Ejercicio Nro.12 Resolver: a) En una fábrica el costo marginal es de 3(q − 4) 2 UM por unidad cuando el nivel de producción es de q unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel de producción e eleva de 6 a 10 unidades? (Rta: 208 UM) b) En una cierta comunidad, la demanda de nafta está creciendo exponencialmente a un ritmo del 5% por año. Si la demanda actual es de 4 millones de galones por año, ¿cuánta nafta se consumirá en la comunidad en los próximos 3 años? Exprese la respuesta también en litros. (Rta: 12,95 millones de galones). c) Calcule en cuánto se deprecia la pieza industrial del problema de página 6 en el segundo año, y en el tercer año. Interprete estos valores en el gráfico correspondiente de página 6. d) Hallar el costo de incrementar la ocupación de plazas hoteleras a 100 unidades sabiendo que la ocupación actual es de 20 plazas y el costo marginal C ' ( x) = 0.6 x + 2 . e) Hallar el cambio en los ingresos de una agencia de viajes al aumentar la venta de 400 a 900 paquetes turísticos por año si el ingreso marginal es I ' ( x) = 100 x1 / 2 . Apunte Matemática 1 (Lic. Economía): Integración – Año 2015

f) En un período inflacionario, los costos de cierto proceso industrial, en millones de dólares, se incrementaron a una tasa dada por la función i (t ) = 0.45t 3 / 2 , donde t indica el tiempo en años. Encuentre el incremento total de los costos los primeros cuatro años. g) Una empresa encontró que sus gastos diarios (en cientos de pesos) por cierto tipo de trabajo varían a una tasa de E ( x) = 4 x + 2 , donde x es el número de días desde que se inició el trabajo. i) Hallar el gasto total si el trabajo durara 10 días. ii) Si la empresa no quiere gastar más de $50000 en el trabajo, ¿en cuántos días debería terminarlo? Ejercicio Nro.13 Calcular las siguientes integrales definidas: 2

a) ∫ ( x + 2) dx 0

2

(

b) ∫ x 1 − x −1

2

) dx

π

2

c) ∫ x senx dx

4

d) ∫ ln( x)dx 1

0

π

2

e) ∫ cos(2 x ) dx 0

Cálculo de áreas utilizando integrales definidas Vamos a ver cómo utilizar las integrales definidas para calcular el área de una región encerrada por una función. Sea y=f(x) una función continua definida en un intervalo [a;b].

Para aproximarnos al área buscada, dividimos el intervalo [a;b] en tres segmentos iguales, y construimos tres rectángulos sobre estos tres segmentos, como se muestra en la figura de la derecha. Calculamos el área de estos tres rectángulos. El valor de esta área será aproximadamente igual al área buscada, es decir, habrá un error (en más o en menos).

Dividimos ahora el intervalo [a;b] en 6 partes, construimos 6 rectángulos sobre ellos y calculamos el área de ellos. Nuevamente el área de estos 6 rectángulos será aproximadamente igual al área buscada. Observemos que el error es menor que para el caso de 3 rectángulos.

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Repetimos el proceso, dividiendo [a;b] en 12, 24, 48 y 99 segmentos. El área de la suma de las áreas de los rectángulos es cada vez más aproximada al área buscada.

Para obtener el valor exacto del área debemos calcular el límite de la suma de las áreas de estos rectángulos, es decir:

A=

lim n→∞

b

n

∑

f ( c i ) ∆x =

i =1

donde: n es la cantidad de divisiones del intervalo [a;b] ci es un valor dentro del sub-intervalo [xi −1 ; xi ]

∫ f ( x)dx a

suma suma de de áreas. áreas. Suma Sumadesde desde“a” “a” hasta hasta “b” “b”

∆x es el ancho del intervalo (la base de cada rectángulo) f (ci ) es la altura del rectángulo i

altura altura

Área Área == ∫∫ ff ((xx)) dx dx

f (c i )∆x es el área del rectángulo i n

∑ f (c )∆x es la suma de las áreas de los n rectángulos i

i =1

Veamos un ejemplo de cálculo de áreas utilizando integrales definidas: Calcular el área encerrada entre la parábola f ( x) = x 2 , las rectas x = 1 y x = 2 y el eje X. 2

x3  2 3 13 8 1 7 El área buscada será igual a: A = ∫ x dx =  = − = − = U.A. 3 1 3 3 3 3 3 1 2

bb

2

(U.A. significa unidades de área) Apunte Matemática 1 (Lic. Economía): Integración – Año 2015

aa

ancho ancho

Ejercicio Nro.14 a) Hallar el área de la figura limitada por la parábola y =

x2 2

, las rectas x = 1 y x = 3 ,y el eje X.

b) Hallar el área de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x 2 y el eje OX. c) Hallar el área encerrada por una semionda de la sinusoide y = sen x y el eje OX. d) Hallar el área encerrada entre la función y=ex, las rectas x=0, x=2 y el eje X. e) Hallar el área encerrada entre la parábola y= – (x–3)(x–7) y el eje X. Area entre dos curvas El área entre dos curvas se calcula como la diferencia entre el área de la curva que está por encima y el área de la curva que está por debajo. Los límites de integración son los valores de x donde intersectan ambas curvas. Por ejemplo, queremos calcular el área entre las 2 gráfica de las funciones f ( x) = x y g ( x) = 2 x .

Primero debemos hallar los puntos de intersección entre ambas curvas. Esto lo hacemos igualando ambas expresiones de las funciones, es decir, f(x)=g(x). Obtenemos que los puntos de intersección son 0 y 2. Como la función que va por encima es la recta y la que va por debajo es la parábola, el área encerrada será: 2

(

)

A = ∫ 2 x − x 2 dx = 1,33 U.A. 0

Ejercicio Nro.15 Calcular el área indicada en cada gráfica:

a)

b)

c)

d)

Apunte Matemática 1 (Lic. Economía): Integración – Año 2015

Ejercicio Nro.16 Hallar el área de la figura encerrada por la gráfica de las siguientes funciones: (graficar en cada caso) a) y = x 2 ; y = 1 b) y = 2 x − x 2 ; y = x − 2 c) y = x 2 ; y = 2 − x 2 d) Calcular el área encerrada entre la función f ( x) = x 3 − x y la recta y = x . Aplicaciones económicas del área de una región Cálculo del excedente del productor y del consumidor La determinación del área de una región tiene aplicaciones en economía. Supongamos que conocemos la curva de oferta y demanda para un cierto producto. La curva de oferta indica el precio p por unidad al que un fabricante venderá (o suministrará) q unidades, mientras que la curva de demanda indica el precio p por unidad al que los consumidores comprarán (o demandarán) q unidades del producto. El punto (p0;q0) en el que las curvas se intersecan es el punto de equilibrio. Aquí, p0 es el precio por unidad al que los consumidores comprarán la misma cantidad q0 de un producto que los productores desean vender a ese precio. En otras palabras, p0 es el precio en el que se presenta estabilidad en la relación productor-consumidor. Supongamos que el mercado está en equilibrio y el precio por unidad del producto es p0. De acuerdo con la curva de demanda, hay consumidores que estarían dispuestos a pagar más que p0. Por ejemplo, a un precio p1 por unidad, los consumidores comprarían q1 unidades. Estos consumidores se estarían beneficiando del menor precio de equilibrio p0. La franja vertical de la figura anterior tiene un área ( p ⋅ ∆p ) . Esta expresión puede pensarse como la cantidad total de dinero que los consumidores gastarían comprando ∆q unidades del producto si el precio por unidad fuera p. Debido a que el precio en realidad es p0 dichos consumidores gastan sólo p0 ∆q en estas ∆q unidades, y por ello se benefician en la cantidad p∆q − p0 ∆q . Esto puede escribirse como ( p − p0 )∆q , que es el área de un rectángulo de ancho ∆q y altura ( p − p0 ) . Sumando las áreas de todos esos rectángulos desde q = 0 hasta q = q0 , mediante la integral definida, se q0

tiene

∫ ( p − p )dq . 0

0

Esta integral representa la ganancia total para los consumidores que están dispuestos a pagar un precio superior al del equilibrio. A esta ganancia total se la llama excedente de los consumidores (EC). Si la función de demanda está dada por p = f (q ) entonces: q0

EC =

∫ ( f (q) − p )dq 0

0

En términos geométricos, el EC está representado por el área que se encuentra entre la recta p = p0 y la curva de demanda p = f (q ) de

q = 0 hasta q = q0 . Apunte Matemática 1 (Lic. Economía): Integración – Año 2015

Algunos productores también obtienen beneficios por el precio de equilibrio, ya que están dispuestos a ofrecer el producto a precios inferiores a p0. La ganancia total para los productores está representada en términos geométricos por el área que está entre la recta p = p0 y la curva de oferta p = g (q ) desde q = 0 hasta

q = q0 . Esta ganancia se denomina excedente de los productores (EP) y está dada por: q0

EP =

∫(p

0

− g (q ) )dq

0

Ejemplo:

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Ejercicio Nro. 17

Ejercicio Nro.18

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