Teorema del Coseno. En el triángulo rectángulo AC´C se verifica ... Si la terna de los lados es (7,8,10) el triángulo es acutángulo pues 7 2 + 8 2 = 113 > 10 2.
Teorema del Seno Existe una relación muy útil para la resolución de triángulos que relaciona los lados con los ángulos. Esta relación es conocida como teorema del seno En el triángulo AC´C se verifica de donde h c = b × sen(A) Análogamente en el triángulo BC´C y obtenemos h c = a × sen(B) Igualando ambas expresiones resulta la igualdad a × sen(B) = b × sen(A) expresión equivalente a
Igualmente podemos considerar los triángulos rectágulos AA´C y ABA al trazar la altura relativa al vértice A. Mediante un razonamiento análogo al anterior obtendremos
De las expresiones obtenidas podemos deducir que
expresión conocida como teorema del seno (o de los senos) y que demuestra que la relación que existe entre los lados de un triángulo y los senos opuestos es siempre la misma. El teorema es válido para cualquier tipo de triángulo. Teorema del Coseno
En el triángulo rectángulo AC´C se verifica b 2 = m 2 + hc2 siendo m la proyección ortogonal del lado b sobre c y hc la altura relativa al vértice C.
Si m y n son las proyecciones ortogonales de los lados b y a sobre el lado c y consideramos el triángulo rectángulo BC´C resulta a 2 = hc2 + n 2 = hc2 + (c - m) 2 = = (hc2 + m 2) + c 2 - 2cm = b 2 + c 2 - 2cm Expresión que proporciona el valor del cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo Como en el triángulo rectángulo AC´C es m = b×cos(A), si sustituimos en la expresión anterior a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos(A) Teorema del Coseno El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido. Sea el triángulo BAC obtusángulo en A. Si m es la proyección ortogonal del lado b sobre c tendremos a 2 = hc2 + (c + m) 2 = c 2 + 2mc + (m 2 + hc2) = = b 2 + c 2 + 2cm (*) En el triángulo rectángulo AC´C se verifica Expresión que proporciona el b 2 = m 2 + hc2 valor del cuadrado del lado siendo m la proyección ortogonal del lado b sobre c y hc la opuesto a un ángulo obtuso altura relativa al vértice C. Como en el triángulo AC´C resulta que m = b cos(180 - A) = - b cos(A) si sustituimos en (*) volvemos a obtener la expresión obtenida anteriormente para el teorema del coseno. Es decir, dicho teorema se verifica para cualquier tipo de triángulo. (Para el caso particular que A = 90º obtendríamos el teorema de Pitágoras) Tanto la expresión del cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo como la del cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso son dos excelentes criterios para determinar con qué tipo de triángulo nos encontramos. Según que el cuadrado del lado de un triángulo sea menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos, el ángulo será agudo, recto u obtuso. · Si los lado de un triángulo vienen dados por la terna (3,4,5) se trata de un triángulo rectángulo pues 3 2 + 4 2 = 5 2. · Si los lados vienen dado por la terna (3,5,7) se trata de un triángulo obtusángulo pues 3 2 + 5 2 = 34 < 7 2. · Si la terna de los lados es (7,8,10) el triángulo es acutángulo pues 7 2 + 8 2 = 113 > 10 2 Una demostración vectorial del Teorema del Coseno Consideremos un triángulo cualquiera ABC en el que a + b = c y las longitudes de los lados de dicho triángulo son los módulos de los vectores a, b y c. Multiplicando escalarmente a por sí mismo tenemos: aa = (c - b)(c - b) = bb + cc - 2 bc = = |b| 2 + |c| 2 - 2 |b||c| cos (b, c) Es decir |a| 2 = |b| 2 + |c| 2 - 2 |b||c| cos (b, c)
Unidades de medida a) Superficie: 1 centiarea = 1ca = 1m² 1 area = 1 a = 100 m² 1 hectaria = 1ha = 10.000 m² b) Angulares: Sistema sexagesimal 1 giro=360° Sistema centesimal 1 giro =400partes Sistema natural 1radian 57°,2958 -- 2radianes 360° Relación entre los sistemas Sexagesimal-natural 1rd=360°/2 rd/360° =1/57 o sea aprox 1/60 1’=1rd/3438 o sea aprox 1/3500 1”=1rd/206.265 o sea 1/200.000
