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Unidad Temática 9: Análisis y Diseño de Sistemas de Control a Lazo Cerrado Algoritmos de Control: Un algoritmo de control se encarga de monitorear el valor de la señal de salida del sistema de control (variable controlada) y compararla con la señal de referencia, con lo que calcula la señal de error, que pasa por una serie de reglas de control para calcular el valor de la señal de salida del controlador con la finalidad de ajustar la variable controlada lo mas cerca del valor deseado posible.

S.P. = Set Point = Valor de Referencia V.m. = Valor Medido E.F.C. = Elemento Final de Control o Actuador El algoritmo de control define la forma en que: 1 – Se detecta el error. (Casi siempre es igual en todos los algoritmos) 2 – Las reglas de control se aplican al error detectado. 3 – Se calcula la señal de salida del controlador. Los algoritmos de control principalmente usados son: 1 – ON/OFF (Todo o Nada) en sus diversas variantes. 2 – Proporcional (P). 3 – Proporcional + Integral (PI). 4 – Proporcional + Derivativo (PD). 5 – Proporcional + Integral + Derivativo (PID). 6 – Adelanto de Fase. 7 - Atraso de Fase. El Control ON-OFF: – Es la forma más simple de controlar. – Es comúnmente utilizado en la industria por la razón anterior. – Muestra muchos de los criterios fundamentales inherentes a todas las soluciones de control. – Cumple solo el objetivo de estabilización. Los hay en muchas variantes, pero los principales son dos: – De 2 posiciones u On-Off Simple. – De 3 posiciones o ”Heat and Cool”.

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Control On-Off de 2 Posiciones: 1 – Se dispone de Elemento Final de Control (EFC) que tiene solo 2 modos, encendido o apagado. Ejemplo de esto puede ser un elemento calefactor. 2 – Establece un rango de operación: Limite Inferior de Control (LIC) Limite Superior de Control (LSC) 3 – Las reglas son: - Si el valor de la variable a controlar esta entre (LIC y LSC) mantener el estado actual del EFC. - Si el valor de la variable a controlar esta por encima del rango de operación (LIC y LSC) encender/Apagar el EFC. - Si el valor de la variable a controlar esta por debajo del rango de operación (LIC y LSC) apagar/Encender el EFC. 4 – La diferencia en tiempo entre las transiciones de un estado a otro del EFC se conoce como Histéresis y es muy necesario que exista para la vida útil del EFC. 5 – El EFC se encenderá o apagará según si la acción de este sobre la variable a controlar sea directa o inversa. Ejemplo: Control de Temperatura mediante un calefactor manipulado por un relé activado desde un pin de un microcontrolador.

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Ejemplo: Ídem anterior pero con poca Histéresis:

De lo anterior se observa que cuando el nivel de histéresis crece, la frecuencia de cambio de la señal de entrada decrece, pero la amplitud de las oscilaciones de la salida crece. En el diseño debe existir un compromiso entre el ajuste de la regulación de la temperatura y el precio que se paga en términos de velocidad de cambio de la entrada. Este tipo de compromisos son los que aparecen en todos los diseños de control. Control On-Off de 3 Posiciones: 1 – Se dispone de 2 EFC que tienen solo 2 modos, encendido o apagado. Ejemplo de esto puede ser un elemento calefactor y un ventilador. 2 – Establece un rango de operación: - Limite Inferior de Control (LIC) - Limite Superior de Control (LSC) 3 – Las reglas son: - Si el valor de la variable a controlar esta entre (LIC y LSC) mantener el Estado actual de cada EFC. - Si el valor de la variable a controlar esta por encima del rango de operación (LIC y LSC) encender el EFC de acción inversa y apagar el EFC de acción directa. - Si el valor de la variable a controlar esta por debajo del rango de operación (LIC y LSC) apagar el EFC de acción inversa y encender el EFC de acción directa. Suponga una estación flotante de perforación en el mar en la que se tiene 2 motores A y B, el A se activará cuando la estación se mueva al Este de la posición deseada y se apagará cuando se recupere el equilibrio. El motor B se activará cuando la estación se mueva al este de la posición deseada y se apagará cuando se recupere el equilibrio. Es obvio que no se debe encender ambos motores al mismo tiempo.

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El Control Proporcional: El Controlador Proporcional genera a la salida una señal de control que es proporcional a la señal de error. De este modo:

Con lo cual, la Función de Transferencia del control proporcional es:

Donde: e(t) es la señal de error m(t) es la señal de salida del controlador K es la Ganancia Proporcional El Controlador es solo un elemento de ganancia que se puede implementar físicamente a partir de un Amplificador Operacional si se trata de un sistema basado en electrónica analógica. La salida del Controlador es una expresión proporcional al error actuante en el momento en que se analiza el sistema. En los sistemas reales, la ganancia constante solo existe en un rango de valores del error, a esto se le llama Banda Proporcional.

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Para errores fuera de la banda Proporcional, se presenta un corte de saturación de la salida, la cual obedece a la capacidad instalada del sistema implementado, por ejemplo las tensiones de alimentación de un amplificador operacional. Cuanto mayor es la ganancia del control proporcional, mayor es la señal de control generada para un mismo valor de señal de error. De este modo, se puede decir que para una señal de control determinada cuanto mayor es la ganancia del control proporcional, menor es la señal de error actuante. En conclusión, el aumento de la ganancia del control proporcional permite reducir el error en estado estacionario.

Lo anterior tiene 2 consecuencias: 1 – El error no se puede eliminar (ess=0) con solo la acción proporcional. Esto se comprueba al observar la expresión del error estacionario de posición de un sistema tipo 0:

Lo que requeriría para ess=0 que K sea infinito y esto es imposible de implementar.

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Esto se puede generalizar para los otros errores. 2 – La reducción del error estacionario no es gratis, se desmejora el desempeño y como se ha visto, también disminuye la estabilidad marginal del sistema. Al aumentar la acción proporcional se desmejora el desempeño:

Ejemplo: Control de Caudal:

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El Control Proporcional Integral (P+I): En este algoritmo se incluye además de la acción P, la acción Integral (I). En el control Integral o de acción I, la salida del controlador se calcula como la integral del error:

La característica mas importante de este tipo de control es que la acción correctora se efectúa mediante la integral del error, o sea, el área bajo la curva de error en los tiempos anteriores al que se este estudiando. Ello permite decir que el control integral proporciona una señal de control que es función de la propia “historia” de la señal de error. El control integral permite obtener error estacionario nulo en un sistema de control mediante la introducción de un elemento integrador en la función de transferencia de lazo abierto. En el control integral o de acción I, la salida del controlador se calcula como la integral del error, o sea, el área bajo la curva del error en los tiempos anteriores al que se este estudiando. En las graficas se observa el caso de un sistema de control de la posición (en grados) de un brazo robot, la primera grafica es el error y la segunda es la salida del controlador, donde el torque aplicado al brazo es la variable manipulada:

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Un controlador nunca se implementa solo con acción integral, pues aunque es capaz de eliminar el error estacionario, desmejora el desempeño al reducir la estabilidad marginal. Es por ello que se implementa al menos con la acción proporcional, quedando el controlador así:

Donde Ti es el tiempo integral.

El modo de lograr este objetivo es situar el cero del proporcional integral lo mas cercano posible al origen. De esta manera el polo en lazo cerrado originado por el aumento del orden del sistema se anularía con el cero del proporcional integral que es un cero en lazo cerrado del sistema, efectuándose una cancelación polo-cero. Pudiéndose, entonces, aproximar el sistema controlado por proporcional integral al sistema inicial con control proporcional.

Este algoritmo tiene las siguientes características: 1 – Mejora el desempeño en régimen estacionario. 2 – Filtra las componentes de alta frecuencia, pero no mejora el desempeño en régimen transitorio. 3 – Mejora la estabilidad relativa o marginal. 4 – Reduce el Ancho de Banda.

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Sintonización de Controladores PI Es evidente que cualquier parámetro Kp y Ti no sirven para obtener una respuesta satisfactoria del sistema. Se deben obtener los valores mas adecuados para los parámetros, y estos valores dependerán de las características de la planta. El proceso mediante el cual se calculan los valores de los parámetros del controlador recibe el nombre de sintonía. El método más rudimentario de sintonía es prueba y error, consistente en: 1 – Dar un valor elevado a Ti (por ejemplo 100 minutos) de forma que a efectos prácticos, el controlador PI se comporte como P. 2 – Ajustar Kp hasta obtener la forma de respuesta deseada, sin tener en cuenta el ess. 3 – Disminuir poco a poco Ti hasta el mínimo posible, de forma que se anule el ess pero manteniendo la forma de respuesta deseada. Es decir, debe buscarse el mínimo valor de Ti que no afecte de forma significativa al coeficiente de amortiguamiento. El Control Proporcional Derivativo (P+D) En este algoritmo se incluye además de la acción P, la acción Derivativa (D). En el control derivativo, la acción de control derivativa genera una señal de control proporcional a la derivada de la señal de error.

De este modo, el control derivativo mediante la derivada de la señal de error “conoce” sus características dinámicas (crecimiento o decrecimiento), produciendo una corrección antes de que las señal de error sea excesiva. A este efecto se le denomina acción “anticipativa”.

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Sin embargo, el control derivativo no puede utilizarse en solitario porque es incapaz de responder a una señal de error constante, puesto que la derivada de una constante es cero. Por esto se implementa con la acción P de la forma siguiente:

Donde Td se llama Tiempo derivativo y:

El control proporcional derivativo proporciona al sistema una mayor estabilidad relativa que se traduce en una respuesta transitoria con menor sobreimpulso. Sin embargo, cuando la influencia del control es muy grande, el sistema de control tiende a ofrecer una respuesta excesivamente lenta. Este algoritmo tiene las siguientes características: 1 – Mejora el desempeño en régimen transitorio. 2 – Aumenta la velocidad de respuesta, lo que se observa en la reducción de los tiempos de crecimiento y retardo. 3 – Lo anterior lo logra porque aumenta el Ancho de Banda, lo que permite la incorporación de componentes de alta frecuencia. 4 – Un tiempo derivativo puede producir un aumento del ruido y aparición de rizos en la respuesta. Sintonización de Controladores PD La sintonización de un controlador PD es difícil y su uso no esta muy extendido en el ámbito industrial, principalmente porque esta desaconsejada cuando los procesos se asemejan a sistemas de primer orden (la mayoría), en presencia de grandes retardos y cuando la salida esta afectada por ruido (situación muy común en el entorno industrial donde las señales suelen ser de carácter eléctrico). No obstante, el procedimiento más simple (prueba y error) es el siguiente: 1 – Eliminar la acción derivativa (Td=0) y ajustar Kp hasta conseguir la forma de onda deseada. 2 – Aumentar la Kp conseguida e intentar restaurar la respuesta ajustando Td. Repetir hasta conseguir un valor Kp tan grande como sea posible. El Control Proporcional Integral Derivativo (P+I+D) Consiste en la implementación simultánea de las 3 acciones. Hay varias formas de representarlo, la más común es el PID posicional:

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Que se conoce como la forma paralelo del algoritmo PID y su Función de Transferencia es:

Esta forma tiene otro diagrama de bloques equivalente:

Cualquiera que sea, es importante resaltar que al desarrollar la Función de Transferencia del controlador se presentan 2 ceros y 1 polo en el origen:

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Un ejemplo de control PID basado en electrónica analógica puede ser:

Sintonización de Controladores PID: Hay varios métodos. Método de la curva de reacción (Ziegler-Nichols 1942) En este método de sintonización se determinan las características dinámicas del proceso a controlar, a partir de la respuesta del sistema en lazo abierto. Una vez que se tienen estas características es posible obtener los parámetros del controlador. La caracterización del proceso es como sigue: la planta en lazo abierto es excitada con una función escalón y se obtiene su respuesta, teniéndose en este caso una curva como se muestra en la siguiente figura.

En esta curva se determina el punto de inflexión y sobre él se traza una recta tangente a la curva. Esta recta intersecta al eje de tiempo (eje horizontal) y el tiempo muerto que caracteriza al proceso se mide desde el origen hasta este punto de intersección, como se

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muestra. El otro parámetro que se requiere para la sintonización es la pendiente de la recta tangente a la respuesta graficada. Las formulas de sintonización están en la siguiente tabla:

Tm: es el periodo de oscilación de la respuesta a escalón del sistema realimentado para las condiciones especificadas.

El Control por Adelanto de Fase: La Función de Transferencia de un controlador de Adelanto de Fase es:

Donde pi > zi Lo que se busca con esta F. de T. es la de producir un corrimiento de fase positivo, es decir, aumentar el margen de Fase de un sistema al cual se le conecta esta red en cascada. Si se observa la respuesta en frecuencia de la red en adelanto de fase se aprecia fácilmente que se trata de un filtro Pasa Alto. Si se observa la respuesta en el tiempo se aprecia que esta red mejora la velocidad de respuesta, no afecta el error en estado estable y que incrementa el amortiguamiento. La F. de T. generalizada del compensador de adelanto de fase para efectos de diseño es como sigue:

Donde: Kc es la ganancia del compensador necesaria para no afectar la magnitud del sistema a controlar. a es el factor de atenuación que determina la distancia entre zi y pi. T es el factor de alejamiento de zi y pi desde el origen.

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El diagrama de bloques equivalente a este compensador seria:

Usualmente Kc a se presenta como un solo elemento de ganancia Kdc que se especifica según el tipo de error estacionario que se desea corregir. Para mejores resultados: - Acercar zi al origen mejora Tr y Ts pero si se acerca demasiado aumenta Mp. - Alejar pi del origen y del zi mejora Mp.

El efecto del compensador de adelanto se observa si se analiza la respuesta en frecuencia y se ve que el compensador es un filtro Paso Alto con una fase máxima y este ocurre a una frecuencia que será donde se quiere ubicar el nuevo cruce de ganancia del sistema compensado.

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El compensador de adelanto de fase añade un polo y un cero donde el cero esta más a la derecha del polo y el efecto general es reducir los tiempos de respuesta Tr y Ts. La fase de la trayectoria directa del sistema en el nuevo cruce de ganancia se incrementa gracias a la fase máxima que incorpora el compensador. Esto mejora el Margen de Fase. La pendiente de la curva de magnitud en las cercanías del cruce de ganancia se reduce lo que mejora la estabilidad relativa del sistema. El Ancho de Banda del sistema se incrementa por lo que se mejora la velocidad de respuesta. El Control por Atraso de Fase La Función de Transferencia de un controlador de Atraso de Fase es:

Donde pi < zi Lo que se busca con esta F. de T. es la de producir un corrimiento de fase, es decir, aumentar el margen de Fase de un sistema al cual se le conecte esta red en cascada. Si se observa la respuesta en frecuencia de la red de atraso de fase se aprecia fácilmente que se trata de un filtro Paso Bajo. Si se observa la respuesta en el tiempo se aprecia que esta red desmejora la velocidad de respuesta, afecta el error en estado estable. La F. de T. generalizada del compensador de atraso de fase para efectos de diseño es como sigue:

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Donde: Kc es la ganancia del compensador necesaria para no afectar la magnitud del sistema a controlar. a es el factor de atenuación que determina la distancia entre zi y pi. T es el factor de alejamiento de zi y pi desde el origen. El diagrama de bloques equivalente a este compensador seria:

Donde:

Para mejores resultados: - El polo y el cero deben estar muy cercanos. - Ambos deben estar lo mas cerca posible del origen.

El efecto del compensador de atraso de fase se observa si se analiza la respuesta en frecuencia y se ve que el compensador es un filtro Paso Bajo con una fase minima y este ocurre a una frecuencia que será donde se quiere ubicar el nuevo cruce de ganancia del sistema compensado.

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El compensador de atraso de fase añade un polo y un cero donde el cero esta más a la izquierda del polo y el efecto general es aumentar los tiempos de respuesta Tr y Ts. La fase de la trayectoria directa del sistema en el nuevo cruce de ganancia se incrementa gracias a la fase minima que incorpora el compensador en el cruce de ganancia. Esto mejora el margen de Fase. El Ancho de Banda del sistema se reduce por lo que se desmejora la velocidad de respuesta. El error estático no se modifica con el polo y el cero.