TRABAJO PRÁCTICO: Análisis Financiero - Fijación de precios para obtener beneficios 1. Punto de Equilibrio Alpha S.A. produce y comercializa un producto con un precio de venta de $ 15. Los costos fijos de la empresa son de $ 10.000 y los costos variables por unidad de $ 10. Determina: a) El punto muerto o punto de equilibrio en forma analítica. b) La función de beneficio c) La representación gráfica del punto de equilibrio y de la función de beneficio.. d) El efecto en el punto de equilibrio de una reducción del 20% en el precio de venta. 2. Análisis de la estimación de la interrelación precio-volumen-beneficio en el ciclo de vida del producto 2.1. La empresa Alfa se encuentra en la etapa de análisis de fijación del precio de un nuevo producto que lanzará al mercado. Por los estudios realizados estima que la demanda factible para los distintos precios es la que se presenta en el siguiente cuadro: UNIDADES 40.000 35.000 30.000 25.000 22.000 15.000

PRECIOS $ 6,50 $ 7,00 $ 7,50 $ 8,00 $ 8,50 $ 9,00

Los costos previstos son: Costos variables unitarios: $ 6,00 Costos fijos: $ 30.000

Se pide: a) Las funciones de beneficio para cada una de las alternativas b) Las respectivas cantidades de equilibrio c) Representa gráficamente cada una de las funciones de beneficio d) Determina la opción más rentable. 2.2. El nuevo producto ha superado el período de introducción y se encuentra en la etapa de crecimiento pero debe reajustar sus precios en base a las nuevas condiciones del mercado. Dispone del siguiente juego de datos para su análisis: UNIDADES 60.000 50.000 40.000 30.000

PRECIOS $ 6,00 $ 6,50 $ 7,00 $ 7,50

Costos variables unitarios: $ 5,00 Costos Fijos: $ 40.000

Determina lo solicitado en los ítems a), b), c) y d) del punto anterior.

3. Fijación del precio que maximiza el beneficio conocida la función de demanda. Una empresa estima que la función de demanda para su producto es: p ( x) = 24 − 0,01x donde p y x representan el precio y las cantidades respectivamente. Su estructura de costos está dada por: Costos fijos: $ 1.100 y Costos variables por unidad: $12 Determina: a) El niveles de producción que maximiza la ganancia b) El precio que corresponde para dicha situación c) El valor de la ganancia máxima esperada

4. Umbral de ventas de equilibrio ante modificación de precios La empresa Pricing S.A. comercializa su producto a $ 5,00 siendo su margen de contribución del 50 % sobre el precio de venta, y el volumen operado de 2.000 unidades mensuales. La empresa está considerando una reducción del 10 % en el precio de venta con el fin de ser más competitiva. a) ¿Cuánto deberán aumentar las ventas para que la empresa se beneficie con la reducción del precio? b) Si además puede obtener una reducción del 5 % en los costos variables ¿Cuántas unidades más deberá comercializar para mantener la rentabilidad actual? c) Realice también un análisis gráfico de cada una de las situaciones anteriores. d) La empresa considera que para afrontar los nuevos requerimientos deberá realizar una inversión de $ 1.000 además de lo considerado en 1) y 2). ¿Cuánto deberán incrementarse las ventas para poder ser rentable con la estrategia planteada?

2

1. Punto de Equilibrio en la fijación de Precios 1.1. Determinación analítica del punto de equilibrio Se denomina “Punto de equilibrio” al volumen de ventas de un producto, necesario para generar un ingreso tal, que permita cubrir la totalidad de los costos, tanto variables como fijos. A este volumen de ventas, medido en unidades de producto, lo indicaremos con la variable “x” La comercialización de esta cantidad a un determinado precio “p”, será las que generará el ingreso requerido en el primer párrafo, y estará dado por la siguiente ecuación: I ( x) = p.x (1.1) Puede observarse que la misma, está definida como el producto de ambas magnitudes, se trata de una función lineal que varía en forma directamente proporcional al precio y a las cantidades involucradas. En esta expresión, la variable independiente es el volumen de ventas, mientras que el precio constituye un parámetro que es considerado constante, Considerar que el precio se mantiene constante, independientemente de las cantidades comercializadas, constituye una simplificación, que se utiliza a los efectos de la construcción del modelo. Esta función es una función lineal creciente que tiene como pendiente el precio, siendo su ordenada al origen igual a 0, por lo que su representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. El dominio de definición de la misma es el intervalo [0; x1], donde el valor de x 1 indica la capacidad operativa o comercial de la empresa, es decir, es el máximo tamaño del mercado que puede abastecer con las condiciones dadas. El segundo aspecto a considerar en el modelo es la problemática de los costos. En particular su expresión deberá contemplar tanto los costos variables como los costos fijos. Esto implica que los costos totales resultarán de la suma de los mismos, lo cual puede expresarse de la siguiente manera: (1.2.) CT ( x) = CV ( x) + CF ( x) La función de costos variables CV (x) está dada por el producto entre el costo variable unitario “c” y las cantidades “x”. (1.3.) CV ( x) = c.x Esta función, es también una función lineal cuya gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas y con pendiente igual al costo variable unitario. También en este caso se tiene en cuenta una simplificación que consiste en considerar constante al valor del costo variable unitario, es decir, sin modificación para cualquier valor de “x”. En un caso más general puede suceder que a partir de un determinado volumen x 0 se obtenga una reducción en el costo variable por unidad, como resultado de un proceso de negociación con el proveedor, por los nuevos volúmenes requeridos. A partir de ese volumen se tendrá una nueva pendiente de la función de costos variables CV (x) , como puede observarse en el siguiente gráfico.

3

Costos Variables

X0

Cantidades

También existe la posibilidad que a partir de un determinado volumen, el requerimiento adicional de un recurso escaso, se comercialice a un precio diferencial, tal es el caso del consumo de gas o electricidad. Por otra parte, la función de costos fijos CF (x) es una función constante que será indicada mediante la siguiente expresión: CF ( x) = cf 1 (1.4.). En la misma se observa que la ordenada la origen es igual al valor de los costos fijos y su pendiente igual a 0. También para los costos fijos se parte de una premisa que simplifica el modelo, ya que se considera que los mismos mantendrán un valor constante para todo el intervalo “x”. Sin embargo, en términos prácticos, el valor de los costos fijos puede tener variaciones cuantitativas incrementales a partir de determinados valores de “x”, según puede observarse en el siguiente gráfico. Costo

cf3

cf2

cf1

x0´

x1´

x2´

Cantidades

Es decir que a partir de determinado volumen de operación, el aumento de las cantidades, necesaria para responder a nuevos niveles de demanda, puede requerir de inversiones adicionales que determinarían un incremento en el valor de los costos fijos. Es por eso, que puede resultar más conveniente la denominación de estos costos, como costos semifijos.

1

Nótese que dicha expresión incurre de alguna manera en un abuso de notación ya que se ha utilizado una nomenclatura similar para indicar dos conceptos diferentes: CF hace referencia a una función, mientras que con cf se está indicando un parámetro, es decir un valor constante. 4

En base a estas dos funciones descriptivas de los costos involucrados en el análisis, es posible expresar la función de costos totales, reemplazando en la ecuación (1.2.), con las equivalencias dadas por las ecuaciones (1.3.) y (1.4.). es decir: (1.5.) CT ( x) = c.x + cf Para determinar el punto de equilibrio, es necesario plantear un sistema de ecuaciones lineales en base a las expresiones (1.1.) y (1.5.) que se expresa:  I ( x) = p.x  CT ( x) = c.x + cf

(1.6.)

Dado que los ingresos deben cubrir la totalidad de los costos, debe cumplirse que: I (x ) = CT ( x ) La resolución del mismo, en base a esta condición, permite determinar el volumen requerido “x” de tal manera que se verifique dicha especificación y se indicará como: “X PE ” (x del punto de equilibrio). Es posible, entonces, igualar los segundos miembros de las ecuaciones planteadas, con lo que se obtiene: p.x = c.x + cf Luego, resolviendo para despejar el valor de “x”, se procede de la siguiente manera: p.x − c.x = cf ( p − c).x = cf Ciertamente la diferencia p − c , a la que denominaremos CM (contribución marginal) y que denota el excedente del precio respecto del costo variable por cada unidad de producto, debe ser necesariamente mayor que 0. Es decir, la pendiente de la función de ingresos tiene que ser mayor que la pendiente de la función de costos totales, para asegurar que ambas funciones tengan un punto de intersección. El hecho que CM > 0 es lo que permite que se obtenga un beneficio bruto por cada unidad de producto de tal manera que contribuya a la cobertura de los costos fijos y que genere niveles de rentabilidad luego de alcanzado el punto de equilibrio. Finalmente: cf x= p−c

(1.7.)

Es decir: XPE =

cf CM

(1.8.)

La ordenada del punto de equilibrio se obtiene reemplazando x en las ecuaciones (1.1.) I = f ( x ) o en la ecuación (1.5.) CT = f ( x ) por el valor de las cantidades obtenidas en (1.8): YPE = I ( XPE ) = p. XPE

(1.9.)

YPE = CT ( XPE ) = c. XPE + cf

(1.10.) 5

También es posible expresar la ordenada del punto de equilibrio de la siguiente manera: Partiendo de la ecuación (1.9.) YPE = p. XPE Y reemplazando XPE con (1.7.) cf YPE = p. p−c YPE =

cf p−c p

YPE =

cf

YPE =

(1.11.)

p c − p p cf 1−

(1.12.)

c p

Nótese que la ecuación (1.11) también puede expresarse como: cf Dado que CM = p − c YPE = CM p CM indica el beneficio bruto por unidad dividido por p el precio, dicho ratio se denomina margen sobre precio Mp o margen sobre venta. Por lo que la ordenada del punto de equilibrio también podrá ser expresada como: Por otra parte el cociente

YPE =

cf Mp

(1.13)

Si se utilizan los valores del problema planteado, en las expresiones anteriores, se obtiene: Los ingresos por ventas que estarán dados por: I ( x) = 15 x Los costos variables: CV ( x) = 10 x Los costos fijos: C F ( x) = 10000 Los costos totales: CT ( x) = 10 x + 10000  I ( x) = 15 x El sistema de ecuaciones a resolver será:  CT ( x) = 10 x + 10000 Finalmente, para la determinación de “X PE ” se procederá de la siguiente manera: 15 x = 10 x + 10000 15 x − 10 x = 10000 (15 − 10) x = 10000 5 x = 10000 6

10000 5 X PE = x = 2000 x=

Para obtener el valor de la ordenada correspondiente: “Y PE ” , en la función de ingresos o en la función de costos totales se reemplaza x por el valor obtenido anteriormente: I ( x) = 15.x I (2000) = 15 * 2000

Y PE = I (2000) = 30000 o bien CT ( x) = 10.x + 10000 Y PE = CT (2000) = 10 * 2000 + 10000 Y PE = CT (2000) = 30000 También es posible obtenerlo utilizando la expresión (1.13) cf YPE = Mp 15 − 10 Dónde Mp = = 0,33 = 33% 15 YPE =

10000 = 30000 0,33

1.2. La función de beneficio Para determinar el beneficio se calcula la diferencia entre el ingreso por ventas menos los costos totales. La función representativa del mismo estará dada por: (1.14.) B ( x) = I ( x) − CT ( x) Reemplazando con las equivalencias de las ecuaciones (1.1.) y (1.5.) según lo visto en el item a), se obtiene: B ( x) = p.x − (c.x + cf ) Resolviendo en dicha expresión: B ( x) = p.x − c.x − cf B( x) = ( p − c).x − CF B ( x) = CM .x − cf (1.15.) Lo que indica que el beneficio se obtiene del producto de la contribución marginal por las cantidades comercializadas, menos los costos fijos.

7

1.3. Representación gráfica del punto de equilibrio y la función de beneficio Determinacion gráfica del punto de equilibrio

+ yPE CF(x) CV(x)

cf

−

CT(x) I(x)

0

+ −

B(x)

XPE

- cf

Cantidades

En el gráfico anterior se pueden realizar las siguientes observaciones: a. En el punto de equilibrio se encuentra en la intersección de la función de ingresos con la de costos totales. b. Cualquier punto a la izquierda del punto de equilibrio indicará posiciones de pérdida dado que el ingreso obtenido no alcanza a cubrir los costos totales, gráficamente la función CT ( x ) se encuentra por encima de la función I ( x ) c. Por otra parte, cualquier punto a la derecha del punto de equilibrio representará posiciones de ganancia, dado que ahora es la función I ( x ) , la que se encuentra por arriba. d. Una reducción en los precios producirá un desplazamiento del punto de equilibrio hacia la derecha y hacia arriba, por lo que será necesario un nivel de operaciones mayor para alcanzar la condición de equilibrio, gráficamente la pendiente de la función I ( x ) será menor por lo que cortará a la función CT ( x ) en un punto más a la derecha. e. De manera similar, un incremento de precios, producirá una desplazamiento inverso del punto de equilibrio, es decir hacia la derecha y hacia abajo, esto como consecuencia de que la pendiente de la función I ( x ) es mayor. f. Modificaciones cuantitativas en los costos fijos o en los costos variables unitarios también producirán desplazamientos en el punto de equilibrio, es decir en los volúmenes requeridos. g. La ordenada al origen de la función de beneficio es igual al valor de los costos fijos en términos negativos y la contribución marginal representa la pendiente de dicha recta. 8

h. La X PE representa la raíz de la función de beneficio, por lo tanto es el punto del eje de abscisas por donde corta dicha función. i. Cualquier punto de la función que se encuentre por arriba de dicho eje, que al mismo tiempo se encontrarán a la derecha de la raíz indicará condiciones de ganancia, mientras que los puntos por debajo del eje y a la izquierda de la raíz, será indicador de pérdidas. Con los datos del problema es posible construir el siguiente gráfico de la situación planteada:

Pesos

Determinacion gráfica del punto de equilibrio

50000 40000 YPE = 30000

20000

CF(x) CV(x)

10000

CT(x) I(x) +

0 -10000

_

0

1000

X PE = 2000

3000

-20000 Cantidades

Cálculo de la función de beneficio con los datos del problema se obtiene: B ( x) = 15.x − 10 x − 10000 B( x) = (5 − 10 ).x − 10000 B ( x) = 5.x − 10000

1.4. El efecto en el punto de equilibrio de una reducción del 20% en el precio de venta, a cargo de los alumnos.

9

B(x)

2. Análisis de la estimación de la interrelación precio-volumen-beneficio en el ciclo de vida del producto 2.1. Fijación del precio en la etapa de lanzamiento El siguiente problema, incluye una estimación de la respuesta de la demanda ante distintos escenarios de fijación de precios factibles. El trabajo consiste en analizar las distintas condiciones de beneficios para determinar la alternativa más rentable. a)

Las funciones de beneficio para cada una de las alternativas de precio se determinan utilizando la expresión (1.15)

B ( x) = CM .x − cf

Reemplazando con los datos del problema se obtiene: B1( x) = 0,5 x − 30000 B 2( x) = 1x − 30000 B 3( x) = 1,5 x − 30000 B 4( x) = 2 x − 30000 B 5( x) = 2,5 x − 30000 B 6( x) = 3 x − 30000

b) La determinación de las cantidades de equilibrio significa considerar que la función de beneficio es igual a 0. B( x) = 0 CM .x − CF = 0 CM .x = CF CF XPE = CM Que es la expresión 1.9. Luego se reemplaza con los datos para obtener las respectivas cantidades de equilibrio

30000 = 60000 0,5 30000 x2 = = 30000 1 30000 x3 = = 20000 1,5 30000 x4 = = 15000 2 30000 x5 = = 12000 2,5 30000 x6 = = 10000 3

x1 =

c) La representación gráfica de las distintas funciones de beneficio es la siguiente, en la misma puede observarse que la ordenada al origen para cada uno de los casos es el valor 10

del costo fijo mientras que las distintas raíces son los valores las cantidades de equilibrio para cada una de las alternativas. Beneficio ( en miles de pesos)

120

90

B1(x) B2(x)

60

B3(x) B4(x) B5(x) B6(x)

30

0 0

10

20

30

40

50

60

70

-30 Cantidades (en miles de unidades)

d) Para la determinación de la opción más rentable se deberán comparar los beneficios obtenidos para cada precio y nivel de demanda: Si Si Si Si Si Si

x = 40000 ⇒ B1(40000) = 0,5 * 40000 − 30000 = −10000 x = 35000 ⇒ B 2(35000) = 1 * 35000 − 30000 = 5000 x = 30000 ⇒ B 3(30000) = 1,5 * 30000 − 30000 = 15000 x = 25000 ⇒ B 4(25000) = 2 * 25000 − 30000 = 20000 x = 22000 ⇒ B 5(22000) = 2,5 * 22000 − 30000 = 25000 x = 15000 ⇒ B 6(15000) = 3 * 15000 − 30000 = 15000

La más rentable es la opción 5, por lo tanto el precio para el producto deberá fijarse en $ 8,5 2.2. Fijación del precio en la etapa de crecimiento, a cargo de los alumnos.

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3. Maximización de las ganancias con una función de demanda dada a) En el caso anterior se consideró que el precio mantenía un valor constante, independientemente de la que pasara con las otras variables que pudieran tener influencia en el análisis del problema. Este planteo se realizó a los efectos de contar con una simplificación válida para el desarrollo del modelo. Sin embargo la interrelación precio-volumen es un factor que gravita en cualquier contexto de fijación de precios. El caso que se analizará a continuación tomará en consideración el efecto de dicha circunstancia. A tal efecto se considera como un dato disponible la descripción del comportamiento de los compradores a partir de la función de demanda. Por otra parte, tampoco se tendrán en consideración los aspectos vinculados a las acciones competitivas, por lo que el modelo a desarrollar parte de la premisa que el mercado está abastecido por un único vendedor y que su objetivo es maximizar el beneficio, esto significa que puede elegir el nivel de producción en el que es mayor la diferencia entre el ingreso total y el costo total a corto plazo. El tipo de función explicativa del comportamiento de la demanda, será una función lineal, donde el precio constituye la única variable explicativa del comportamiento de los compradores. Para este fin, la función de demanda puede ser expresada como: p( x ) = −α .x + β (2.1.) El planteo de la función de beneficio es el mismo que el visto en (1.14.), es decir, la diferencia entre los ingresos y los costos totales. B ( x) = I ( x) − CT ( x) Los ingresos, tal como se vio anteriormente, están dados por el producto entre las cantidades y el precio, solo que en este caso el precio no es un valor constante, sino que es una función expresada en relación de las cantidades: I ( x) = x. p ( x) (2.2.) Al reemplazarla en la expresión anterior, se obtiene: B ( x) = x. p ( x) − CT ( x) (2.3.) En esta expresión reemplazamos con la función de demanda y con la de costos totales obteniéndose: B( x) = x.(− αx + β ) − (c.x + cf ) B( x) = −α .x 2 + βx − cx − cf B( x) = −α .x 2 + (β − c ).x − cf

(2.4.)

Con los datos del problema se puede plantear: B ( x) = x.(24 − 0,01x) − (12 x + 1100) B( x) = 24 x − 0,01x 2 − 12 x − 1100 B( x) = −0,01x 2 + 12 x − 1100 Esta es una función cuadrática. Al ser el coeficiente del término cuadrático negativo la concavidad de la misma, será hacia la y negativas. Como consecuencia de esto se puede afirmar que dicha función tendrá un máximo. Para determinar el punto máximo se puede optar por las siguientes alternativas resolutivas:

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a) Encontrar la derivada primera de la misma e igualarla a 0. B´(x) = −2.α .x + (β − c ) = 0 − 2α .x = −(β − c ) β −c XMAX = 2.α B ( x) = −0,01x 2 + 12 x − 1100 B´(x) = −0,02 x + 12 B´(x) = 0 − 0,02 x + 12 = 0 − 0,02 x = −12 − 12 XMAX = − 0,02 XMAX = 600 b) También puede arribarse a este resultado sabiendo que dicho máximo se corresponde con el vértice da la parábola: −b dónde x del vértice se obtiene con la expresión: XVértice = 2a para una función cuadrática dada en forma polinómica: f ( x ) = ax 2 + bx − c XMAX = XVértice =

− (β − c ) β − c = 2.(−α ) 2.α

XMAX =

−b 2a

− 12 2 * (−0,01) − 12 = − 0,02 = 600

XMAX = XMAX

XMAX

c) Otra alternativa surge de saber que la función cuadrática es simétrica respecto del eje que pasa por su vértice. Por lo tanto, es posible determinar el valor de x donde este eje de simetría corta al eje de abscisas, calculando la semisuma de las respectivas raíces. Para el cálculo de las raíces se puede recurrir a la expresión:

− b ± b 2 − 4ac X 1, 2 = para funciones cuadráticas dadas en forma polinómica 2a y luego: X1+ X 2 XMAX = 2

x=

− 12 ± 12 2 − 4 * (−0,01) * (−1100) 2 * (−0,01) 13

x1 = 100 x 2 = 1100 100 + 1100 1200 = 2 2 = 600

XMAX =

XMAX

b) Por último la determinación del precio que maximiza el beneficio se obtiene de reemplazar x en la función de demanda (2.1.) por el valor de X MAX obtenido. p ( x) = 24 − 0,01x Si XMAX = 600 entonces reemplazamos con este valor en la función de demanda para obtener el precio que maximiza la ganancia p (600) = 24 − 0,01 + 600 p (600) = 24 − 6 p (600) = 18

c) Para obtener el beneficio máximo que se puede alcanzar basta con reemplazar el valor de X MAX en la ecuación (2.4.) B(600) = −0,01 * (600) 2 + 12 * 600 − 1100 B(600) = −3600 + 7200 − 1100 B (600) = 2500 También se puede recurrir a la expresión de y del vértice de una función cuadrática dada en forma polinómica b 2 − 4ac yMAX = 4a 12 2 − 4 * (−0,01) * (−1100) yMAX = B(600) = 4 * (−0,01) B (600) = 2500 Otra forma de determinar el beneficio máximo alcanzable es la siguiente: B ( x) = I ( x) − CT ( x) B (600) = I (600) − CT (600) I (600) = 18 * 600 = 10800 CT (600) = 12 * 600 + 1100 = 8300 B (600) = 2500

14

4. Umbral de ventas de equilibrio ante modificación de precios c) Análisis gráfico de la situación planteada

P

α

ΔP P´

β

C C´

γ

X

a)

ΔX X´

Determinación de ∆𝑥𝑥%

BB 2 = BB1 ( p´−c) x´= ( p − c) x [( p + ∆p) − c].( x + ∆x) = px − cx px + p∆x + x∆p + ∆p∆x − cx − c∆x = px − cx p∆x + x∆p + ∆p∆x − c∆x = 0 ( p + ∆p − c)∆x = − x∆p − x∆p ∆x = p − c + ∆p − x∆p ∆x = CM + ∆p ∆x − ∆p ∆x% = = (4.1) x CM + ∆p

Determinación de ∆𝑥𝑥% con ∆𝑃𝑃%

∆x − ∆p / p = (CM + ∆p ) / p x − ∆p ∆x p ∆x% = = CM ∆p x + p p ∆x − ∆p % ∆x% = = (4.2) x MCP + ∆p %

∆x% =

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Con los datos del problema reemplazamos en la fórmula (4.1) previa determinación de los valores a utilizar. Para la determinación de ∆p procedemos de la siguiente manera: Partiendo de que la variación porcentual del precio es el cociente entre la variación del precio y dicho precio ∆p ∆p % = ⇒ ∆p = p∆p % p ∆p = 5 * (−0,1) ∆p = −0,5 Por otra parte sabiendo que el margen de contribución sobre el precio esta dado por el cociente entre la diferencia del precio de venta menos el costo variable unitario dividido el precio, es decir el cociente entre la contribución marginal y el precio, entonces es posible expresar la contribución marginal como el producto entre el precio y el margen de contribución p − c CM MCP = = ⇒ CM = pMCP p p CM = $5 * 0,5 CM = 2,5 Obtenidos estos valores los reemplazamos en la fórmula (4.1) − ∆p ∆x% = CM + ∆p − (−0,5) 0,5 ∆x% = = = 0,25 = 25% 2,5 − 0,5 2 Esto significa que para mantener iguales condiciones de rentabilidad las ventas deberían incrementarse en un 25%. Es posible concluir que si las ventas se incrementan por arriba de este valor la empresa se beneficiaría con la reducción del precio. También se puede llegar a igual resultado utilizando la formula (4.2) − ∆p % ∆x% = MCP + ∆p % − (−0,1) 0,1 ∆x% = = = 0,25 = 25% 0,5 − 0,1 0,4 Por otra parte si: ∆x = 0,25 ⇒ ∆x = 0,25 x x y como el volumen operado es de 2000 unidades, entonces: ∆x = 500 Es decir que la empresa deberá comercializar 500 unidades más para mantener las condiciones de rentabilidad, y se beneficiaría con la reducción de precio si supera dicha meta. También puede arribarse a la solución del problema de la siguiente manera: BB 2 = BB1 ( p´−c) x´= ( p − c) x x´CM ´= xCM dónde CM ´= p´−c xCM x´= CM ´ 16

Reemplazando con los valores del problema: 2000 * 2,5 x´= = 2500 2 Una tercera alternativa consiste en comparar las áreas α y β que deben ser iguales β =α

CM ´∆x = x ∆p ∆x =

x ∆p

CM ´ Reemplazando con los valores del problema: 2000 * 0,50 ∆x = = 500 2

b) Determinación del umbral con una modificación en los costos variables unitarios BB 2 = BB1 ( p´−c´)x´= ( p − c) x [( p + ∆p) − (c + ∆c)]( x + ∆x) = ( p − c) x ( p + ∆p − c − ∆c)( x + ∆x) = px − cx px + p∆x + x∆p + ∆p∆x − cx − c∆x − x∆c − ∆c∆x = px − cx p∆x + x∆p + ∆p∆x − c∆x − x∆c − ∆c∆x = 0 ( p + ∆p − c − ∆c)∆x = − x∆p + x∆c ( p − c + ∆p − ∆c)∆x = − x(∆p − ∆c) − x(∆p − ∆c) ∆x = p − c + ∆p − ∆c

∆x =

− x(∆p − ∆c) CM + ∆p − ∆c

Con los datos del problema: ∆x =

− 2000 * (−0,5 − (−0,125) 2,5 + (−0,5) − (−0,125)

∆x = 353 Expresado en términos porcentuales: ∆x − (∆p − ∆c) = x CM + ∆p − ∆c ∆x − ∆CM ∆x% = = x CM + ∆CM ∆x − ∆CM ∆x% = = x CM + ∆CM

∆x% =

17

∆x% =

∆x − ∆CM = x CM ´

Con los datos del problema: ∆x − (−0,50 − (−0,125)) = x 2,5 + −(0,5) − (−0.125) ∆x = 0,1765 ∆x% = x Por otra parte, tal como se vio previamente ∆x% =

x´=

xCM CM ´

Pero en este caso: CM ´= p´−c´ Entonces, con los datos del problema: 𝑥𝑥´ =

2000 ∗ 2,50 2,125

𝑥𝑥´ = 2353

Otra alternativa consiste en comparar las áreas α, β y γ que deben cumplir la siguiente condición:

β +γ =α CM ´ ∆x + x ∆c = x ∆p CM ´ ∆x = x ∆p − x ∆c

CM ´ ∆x = x( ∆p − ∆c ) ∆x =

∆x =

x( ∆p − ∆c )

CM ´ x ∆CM

CM ´

2000 * 0,375 2,125 ∆x = 353

∆x =

d) Determinación del umbral considerando la incorporación de un costo fijo incremental: ∆𝑥𝑥2 =

∆𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐶𝐶𝐶𝐶´

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∆𝑥𝑥2 =

1000 2,125

∆𝑥𝑥2 = 470

La expresión general de la variación de ventas total podrá expresarse de la siguiente manera: ∆𝑥𝑥 = ∆𝑥𝑥1 + ∆𝑥𝑥2

∆𝑥𝑥 = 353 + 470 ∆𝑥𝑥 = 823

Utilizando las expresiones obtenidas ∆𝑥𝑥 = − ∆𝑥𝑥 = −

∆𝐶𝐶𝐶𝐶 ∆𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑀𝑀´ 𝐶𝐶𝐶𝐶´

(−0,375) 1000 ∗ 2000 + 2,125 2,125

∆𝑥𝑥 = 823

Mientras que la expresión de la variación porcentual será: ∆𝑥𝑥% =

∆𝑥𝑥 ∆𝐶𝐶𝐶𝐶 ∆𝑐𝑐𝑐𝑐 =− + 𝑥𝑥 𝐶𝐶𝐶𝐶´ 𝐶𝐶𝐶𝐶´ ∗ 𝑥𝑥

∆𝑥𝑥% = −

1000 (−0,375) + 2,125 ∗ 2000 2,125

∆𝑥𝑥% = 0,4118

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