Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles
“ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLADORES SÍSMICOS MEDIANTE PROCEDIMIENTOS SIMPLIFICADOS.” Tesis para optar al Título de Ingeniero Civil en Obras Civiles.
Profesor Patrocinante: Sr. José Soto Miranda. Ingeniero Civil. M. Sc. Eng. Civil. Profesor Informante: Sr. Hernán Arnés Valencia Ingeniero Civil Profesor Informante: Sr. Pablo Oyarzún Higuera. Ingeniero Civil.
MARCELO ANDRÉS SAAVEDRA QUEZADA. VALDIVIA - CHILE 2005
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar quisiera agradecer a Dios, quien siempre ha estado conmigo en las diversas dificultades que se me presentaron durante el camino de mi formación profesional.
Agradecerle a mi familia quien me ha acompañado en todo momento,
parte de
este esfuerzo se lo debo a ellos. A mi padre Fernando por transmitirme su experiencia, a mi madre Eufemia por el amor y comprensión que me ha entregado
y ha mis
hermanos Héctor y Cecilia por todo el apoyo y ayuda que me brindaron.
Como olvidarme de mis amigos que siempre me apoyaron y acompañaron. También ha ellos le debo parte de este logro, en especial a Yerty.
INDICE Capítulo
Página
Simbología Resumen 1.
Introducción.
1
2.
Análisis de Edificios con Aisladores Sísmicos.
3
2.1.
Antecedentes Generales.
3
2.2.
Principios de Aislación Sísmica.
3
2.3.
Teoría de Aislación Sísmica.
4
2.3.1 Teoría Lineal.
5
2.4.
Modelos que Representan el Comportamiento Dinámico de la Aislación Sísmica.
8
2.4.1 Modelo Lineal.
8
2.4.2 Modelo No Lineal.
9 9
2.4.2.1 Modelo Bilineal.
11
2.4.2.2 Modelo Histerético de Wen.
3.
Modelo Dinámico para Edificios con Aisladores Sísmico.
14
3.1.
Generalidades.
14
3.2.
Ecuaciones de Movimientos para Definir el Comportamiento del Sistema.
14
3.3.
Ecuación de Movimiento del Aislador como Sistema Lineal.
16
3.4.
Ecuación de Movimiento del Aislador como Sistema No 18
Lineal. 4.
Métodos Aproximados para el Cálculo de Frecuencias y Modos de Vibrar. 4.1.
Introducción.
20
4.2.
Métodos Aproximados.
20
4.2.1. Método Aproximado de Rayleigh-Ritz.
20 Ritz
21
en
22
4.2.3. Estimación de la Matriz de Rigidez de Edificios con Muros de
25
4.2.1.1
Método
de
Dependiente
Aproximación
de
Vectores
de Cargas Externas.
4.2.2. Método Aproximado de Polinomios Ortogonales basado el método de Cruz y Chopra.
Corte. 4.3.
Estimador del Error.
27 28
5.
Resolución del Sistema de Ecuaciones Diferenciales asociado al Modelo Dinámico. 5.1.
Generalidades.
29
5.2.
Respuesta de Modelos Dinámicos mediante el uso de Ecuación de
29
Estado. 5.2.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales.
29
5.2.2 Conceptos de Ecuación Estado de un Sistema Dinámico.
29
5.2.3 Métodos Numéricos.
32
5.2.3.1 Método de Runge – Kutta de cuarto orden. 5.3. Solución del modelo Dinámico considerando el Aislador de
33 34
Comportamiento Lineal. 5.3.1 Obtención de la Ecuación de Estado para el Modelo
37
Matemático Edificio más Aislador. 5.4. Solución del Modelo Dinámico considerando el Aislador de
37
Comportamiento No Lineal. 5.4.1 Obtención de la Ecuación de Estado para el Modelo
38
Matemático Edificio más Aislador. 38 6.
Presentación y Metodología de Análisis de los Modelos Estructurales. 6.1. Características: 6.1.1 Estructuración.
40
6.1.2 Propiedades Mecánicas H.A.
40
6.1.3 Masa Sísmica.
40
6.1.4 Modelación y Análisis.
40
6.2. Modelos Estructurales: 6.2.1 Edificio Nº1.
40 41
6.2.1.1 Parámetros del Edificio.
41
6.2.1.2 Parámetros de los Aisladores Sísmicos.
41
6.2.2 Edificio Nº 2.
41
6.2.2.1 Parámetros del Edificio.
42
6.2.2.2 Parámetros de los Aisladores Sísmicos.
42
6.3. Metodología de Análisis.
7.
40
43
6.3.1 Análisis de Modelos Estructurales con base Fija.
44
6.3.2 Análisis de modelos Estructurales con Aislación Basal.
44
6.3.2.1 Solicitaciones Sísmicas.
44
6.3.2.2 Tipo de Análisis.
45
Presentación y Comparación de los Resultados.
47
7.1.
7.2.
Resultados Análisis Dinámico Edificio con Base Fija.
49
7.1.1 Modo Fundamental y Frecuencia Fundamental Edificio Nº1.
49
7.1.2 Modo Fundamental y Frecuencia Fundamental Edificio Nº2.
49
Resultados Análisis de Respuesta en el Tiempo Edificios con Base
51
Aislada. 7.2.1 Edificio Nº1.
53
7.2.2 Edificio Nº2.
54
7.3. Resultados Análisis de Respuesta en el Tiempo Edificios con Base
74
Aislada con Parámetros Dinámicos Aproximados. 95 8.
Comentarios y Conclusiones Finales del Estudio. 97 Bibliografía. 99
Anexos Anexo A Análisis Modelo dinámico de edificio de dos grados de libertad
101
con Aislación basal. 102 Anexo B Programas en lenguaje Matlab de Análisis de Modelo Dinámico de Edificios con Base Fija mediante Métodos Aproximados. 111 Anexo C Programa en lenguaje Matlab de Método Simplificado de Análisis de Edificios con Aisladores Sísmicos. 117 Anexo D Resultados análisis de respuesta en el tiempo Edificios con Base Aislada considerando Parámetros Dinámicos Aproximados. 122 Anexo E Resultados Tabulados de Análisis de Respuesta en el Tiempo Edificios con base aislada. 138
SIMBOLOGÍA : Amortiguamiento equivalente de la base aislada
cb cs
:
Amortiguamiento del sistema
mb
:
Masa de la base del edificio
ms
:
Masa de sistema
ub
:
Desplazamiento absoluto de la base aislada
us
:
Desplazamiento absoluto del sistema
vb
:
Desplazamiento relativo de la base aislada
vs
:
Desplazamiento relativo del sistema
kb
:
Rigidez de la base aislada
ks
:
Rigidez del sistema
χ
:
Cuociente de masa total
ωb
:
Frecuencia de la base del edificio
ωs
:
Frecuencia del sistema
qb
:
Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio
q
:
Vector de desplazamiento de piso relativo a la base del edificio
mb
:
Masa de la base del edificio
m
:
Masa total del edificio
M
:
Matriz de masa del edificio
C
:
Matriz de amortiguamiento
K
:
Matriz de rigidez del edificio
r
:
Vector que acopla cada grado de libertad al movimiento del suelo
φi
:
Modo de vibración
yi
:
Amplitud modal
βi
:
Factor de amortiguamiento del edificio
βb
:
Factor de amortiguamiento de la base aislada
Li
:
Factor de participación modal
Mi
:
Masa modal efectiva
ki
:
Rigidez Inicial asociada a la reacción del aislador frente a cargas de baja magnitud
kf
:
Rigidez post-fluencia asociada a la reacción del aislador frente a las cargas más altas del ciclo.
Qd
:
Fuerza correspondiente a deformación nula.
fy
:
Carga de fluencia
δy
:
Desplazamiento de fluencia
Z
:
Variable histerética
A
:
Factor de escala general.
α
:
Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal.
β
:
Determinan la forma de la curva.
γ
:
Determinan la forma de la curva.
n
:
Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y la no lineal.
{ψ }
:
Vectores Ritz
s
:
Vector de carga externa
hj
:
Altura del piso j sobre la base
H
:
Altura total del edificio
ρ
:
Razón de rigidez de la estructura
δ
:
Parámetro que se ha correlacionado con el tipo de estructura y relacionado con la razón de rigidez de la estructura
H2
:
Parámetro que se obtiene producto de aplicar la propiedad de ortogonalidad de los modos de vibrar.
α ij
:
Relación de flexibilidad donde se obtiene cada término de la matriz de flexibilidad
F
:
Matriz de flexibilidad
x
:
Variable dependiente
t
:
Variable independiente
a
:
Extremo inicial del intervalo
b
:
Extremo final del intervalo
h = ∆t
:
Tamaño de paso
N
:
Numero de intervalos o de pasos
α 1 ,...., α n :
Condiciones iniciales
:
Aproximaciones a x j
wj
RESUMEN
Se presenta un estudio donde se valida un procedimiento simplificado para el análisis de edificios con aisladores sísmicos, en el cual se considera la respuesta sísmica de edificios de varios pisos con aisladores sísmicos, con un grado de libertad por planta. Se analiza la respuesta del sistema asumiendo que el edificio tiene un comportamiento elástico lineal y que el aislador puede ser simulado por un modelo lineal y no lineal.
En este
procedimiento de análisis simplificado se debe estimar
el
modo
fundamental de vibración y la frecuencia natural del edificio con base fija. Para efectos de validez del método simplificado se calculan estos parámetros dinámicos en forma exacta, pero además se estudia la influencia de ellos en el modelo con aislamiento basal considerando su cálculo mediante métodos aproximados.
Una vez establecidas las ecuaciones de equilibrio dinámico al modelo estructural (Edificio + Aislador), donde se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas, el cual representa el comportamiento dinámico del modelo en estudio. Se procede a solucionar este sistema, por lo cual, se utiliza los conceptos de ecuación de estado y la aplicación de métodos de aproximación numérica mediante un algoritmo computacional que se desarrolla en la herramienta de cálculo MATLAB, así en definitiva, se obtiene la respuesta de la estructura en el tiempo para un registro sísmico de aceleración.
El análisis sísmico se realiza sobre 2 tipologías de edificios estructuradas en base a muros de corte de 4 y 10 pisos de altura. Se obtienen las respuestas dinámicas (amplitudes modales, desplazamiento de la base y de todos los niveles) de las estructuras planteadas para
5 registros sísmicos. Se compara esta respuesta
aproximada con la obtenida por el programa ETABS Nonlinear.
El modelo se validó, debido a que las diferencias de los resultados entre ambos programas no son significativas, esto es porque no se pierde el orden de magnitud en relación a los resultados exactos. Por lo tanto, es factible usar este procedimiento simplificado de análisis de edificios con aisladores sísmicos para etapas de prediseño donde se controlan y verifican los resultados exactos.
SUMMARY
A study is presented where a simplified procedure is proved for the analysis of seismic isolator building, where the seismic response of building is considered which contains a large amount of stories with bases seismic isolators, with a grade of freedom in each floor plant. It’s analyzed the response of the system assuming that the building has a lineal elastic behaviour and that the isolator can be simulated through a lineal and nonlinear method.
In this procedure of simplified analysis the fundamental mode of vibration must be estimated and the natural frequency of the permanent base building, to the effects of the simplified method’s validity, are calculated these dynamic parameters in a precise way, besides is studied the influence of them in the model with basal isolation considering its calculus through approximate methods.
Established once the dynamic balance equations to the structural model (building+isolator), where a system of differential couples equations are obtained, which represents the dynamic behaviour of the model in this study. It is conducted to solute this system, using the concepts of state equation and the application of approximation methods, through a computational algorithm that is developed in the calculus tools MATLAB, that way, the response of the time structure is obtained for a seismic registry of acceleration.
The seismic analysis it is made based on 2 typologies of de building structures on a base on 4 and 10 stories high. It’s obtained the dynamic responses (nodular amplitudes, movement on the base and all levels) of the planed structures for 5 seismic registries. It’s compared this approximate response with the exact one obtained by the program ETABS Nonlinear.
The model is proved, produced to that, of the results the difference between both program are not meaningful, these is because the magnitude order is not disturbed in relation with the exact results. Thereby, it is feasible to use these simplified procedure of analysis of seismic isolator building for the stages of pre design where is controlled and verified the precise results.
CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN
1.1
PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
La complejidad de los problemas a los que se enfrenta un ingeniero en relación a infraestructura civil y sobre todo a la consideración de acciones provenientes de desastres naturales como los sismos, hace que muchas veces la única vía de estudio sea la simulación computacional. Existe en la actualidad un gran número de programas computacionales
que ayudan a realizar esas simulaciones; sin embargo, se trata
principalmente de programas de producción que implican un manejo exhaustivo y a veces dificultoso del proceso de modelación y análisis, especialmente para el profesional que no cuenta con mucha experiencia, por lo cual existe incertidumbre al momento de analizar la gran cantidad de información que entregan. Esto nos lleva a pensar que existe la posibilidad de solucionar esta problemática mediante un modelo teórico confiable, que debe estar apoyado fuertemente por los conceptos físicos del problema y que además sea simple en su ejecución. Es decir, que a través del ingreso de pocos datos, pero muy seleccionados, resultantes de la obligación de simplificar y "conceptualizar" el análisis del edificio, se resuelva en forma rápida y aproximada la problemática sísmica. Por lo anterior, el análisis simplificado es de fundamental importancia en etapas preliminares del diseño, como punto de partida del análisis detallado y como referencia para la interpretación global de dicho análisis. Una gran discordancia entre resultados del calculo aproximado y del “exacto” que no pueda justificarse, suele ser el síntoma que permite detectar errores, por lo mismo, es importante contar con métodos simples y eficientes que permitan conocer en forma fácil la respuesta que tendrá un edificio frente a solicitaciones sísmicas. Entonces ante la necesidad de contar con herramientas asequibles a los ingenieros, se plantea y desarrolla un procedimiento simplificado edificios con aisladores sísmicos.
de análisis de
El procedimiento simplificado, considera que el
edificio de cortante de varios pisos aislado en la base, con un grado de libertad por planta y que se encuentra solicitado por una aceleración basal, responde como una estructura prácticamente rígida, registrándose los máximos desplazamientos en la base del edificio. Por lo tanto, como una aproximación adecuada y asumiendo que el edificio tiene un comportamiento elástico lineal, el edificio vibra en el primer modo (i=1) y el aislador puede ser simulado por un modelo lineal (NAEIM y KELLY, 1999) y no lineal (WEN, 1976). 1
En el
procedimiento de análisis simplificado se debe estimar
el
modo
fundamental de vibración y la frecuencia natural del edificio con base fija. Para efectos de validar nuestro método simplificado se calcularán estos parámetros dinámicos en forma exacta, pero además se estudia la influencia de ellos en el modelo con aislación basal considerando su cálculo mediante métodos aproximados. Como los que se proponen en los trabajos realizados por E. Cruz y A. Chopra (CRUZ y CHOPRA,1985). los cuales plantean aproximaciones polinómicas de los modos de vibrar de edificios de base fija y el método de Rayleigh-Ritz (CHOPRA, A. 2001) que permite encontrar algunos modos de vibrar de edificios de un gran numero de grados de libertad, realizando una reducción de estos grados, para luego resolver el problema de valores característicos ya conocido, pero de un orden muy inferior. Posteriormente se establecen las ecuaciones de equilibrio dinámico al modelo estructural (Edificio + Aislador), donde se obtendrá un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas para los dos casos de comportamiento del aislador (lineal y no lineal) las cuales representarán el comportamiento dinámico del sistema en estudio. Para solucionar este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se utilizarán
los
conceptos de ecuación de estado y la aplicación de métodos de aproximación numérica mediante un algoritmo computacional que se desarrollará en la herramienta de cálculo MATLAB, así, en definitiva, se obtendrá la respuesta aproximada de la estructura en el tiempo para un registro sísmico de aceleración.
1.2
OBJETIVO Por lo anterior, el objetivo principal de esta
memoria de titulo es validar un
procedimiento simplificado de análisis sísmico de estructuras con aislación sísmica basal de comportamiento lineal y no lineal. Los buenos resultados que se obtengan permitirán realizar un buen prediseño y verificar el comportamiento de este tipo de estructuras, con el fin obtener diseños más eficientes y seguros.
1.3
METODOLOGÍA Se realizará un análisis sísmico plano
sobre 2 tipologías de edificios
estructuradas en base a muros de corte de 4 y 10 pisos de altura. Se obtendrán las respuestas dinámicas (amplitudes modales, desplazamiento de la base y de todo los niveles) de las estructuras planteadas para 5 registros sísmicos. Luego de obtenida la respuesta sísmica correspondiente, se procederá a validar este procedimiento realizando una comparación de los resultados obtenidos con los resultados proporcionados por el programa ETABS Nonlinear.
2
CAPÍTULO II: ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLADORES SÍSMICOS.
2.1 ANTECEDENTES GENERALES
El aislamiento sísmico es una técnica de diseño sismorresistente que consiste en introducir un elemento de apoyo de alta flexibilidad o baja resistencia que independiza a la estructura del movimiento que se propaga por el suelo donde ésta se funda. Los aisladores reducen notablemente la rigidez del sistema estructural, haciendo que el periodo fundamental de la estructura aislada sea mucho mayor que el de la misma estructura con base fija. Numerosos estudios teóricos, análisis numéricos y ensayos de laboratorio demuestran el excelente comportamiento que puede lograr este sistema de la protección de estructuras sometidas a eventos sísmicos moderados
y severos.
Entonces, es Importante destacar que el análisis dinámico de estos sistemas juega un rol fundamental en la evolución del desempeño deseado por el diseñador.
En este capitulo se presentan las bases fundamentales para el estudio del comportamiento sísmico de estructuras con aislación basal de comportamiento lineal y no lineal.
2.2 PRINCIPIOS DE LA AISLACIÓN SÍSMICA
Los principios en los cuales se basa el funcionamiento de la aislación sísmica son dos: En primer lugar, la flexibilización del sistema estructural o alargamiento del período, y en segundo lugar, el aumento del amortiguamiento.
La flexibilización o alargamiento del período fundamental de la estructura se logra a través de la introducción de un piso blando entre el suelo de fundación y la superestructura. Intuitivamente se reconoce que la rigidez lateral de este piso blando es mucho menor que la rigidez lateral de la superestructura, el sistema tenderá
a
deformarse sólo en la interfase de aislación, trasmitiendo bajos esfuerzos cortantes a la superestructura la que sufre un movimiento de bloque rígido, por ende sin deformación ni daño durante la respuesta sísmica. Por este motivo, el aislamiento de base es más recomendable en estructuras rígidas sobre terrenos firmes.
3
El aumento del amortiguamiento viene dado principalmente por el sistema de aislación utilizado. Este aumento de amortiguamiento busca reducir la demanda de deformaciones sobre el sistema de aislación y la superestructura
sin producir un
aumento sobre las aceleraciones de esta última (DE LA LLERA, 1998).
Como se muestra en la figura 2.2-1, el
hecho
de implementar aisladores
sísmicos en la base hace ventajoso el comportamiento de la estructura debido a que evita los efectos más dañinos que se pueden producir en la estructura a causa de los esfuerzos resultantes de los desplazamientos relativos entre pisos.
Figura 2.2-1 Comportamiento de una estructura de base fija y otra con base aislada.
2.3 TEORÍA DE LA AISLACIÓN SÍSMICA
Según los estudios realizados por Molinares y Barbad (BOZZO, 1996), la teoría lineal de aislación basal (NAEIM y KELLY, 1999) se puede utilizar como una herramienta efectiva al momento de analizar edificios con aisladores sísmicos, sobre todo en etapas de prediseño, debido a los supuestos que considera y que simplifican el problema. Entonces, para efectos de validar esta teoría lineal mediante el uso de un procedimiento simplificado, se considera el estudio de un modelo de un edificio de un piso con aisladores sísmicos de comportamiento lineal y no lineal. La idea es obtener la respuesta del sistema en tiempo discreto ante una solicitación sísmica. Por lo anterior, en esta sección se presentan las ecuaciones a solucionar que representan a la teoría lineal de aislación basal. 4
2.3.1 Teoría Lineal
La teoría lineal se representa mediante un modelo estructural de dos grados de libertad tal como se muestra en la figura 2.3.1-1. Donde m s representa a la masa de superestructura del edificio y mb a la masa de la base del edificio. La rigidez y el amortiguamiento de la estructura están representadas
por k s , cs y la rigidez y el
amortiguamiento del aislador por kb , cb (NAEIM y KELLY, 1999).
Figura 2.3.1-1 Esquema de un sistema con aislación basal de dos grados de libertad
Los desplazamientos absolutos de las dos masas son us y ub , pero es conveniente usar desplazamientos relativos, los cuales quedan definidos por:
vb = u b − u g
vs = us − ub
donde u g es el movimiento del suelo. Luego en términos de estos desplazamientos las ecuaciones de equilibrio dinámico del modelo de dos grados de libertad son: • Para la masa “ m s ”: .. ⎛ . . ⎞ m s u s + c s ⎜ u s − u b ⎟ + k s (u s − u b ) = 0 ⎝ ⎠ ..
..
.
..
ms v s + ms v b + cs v s + k s vs = − ms u g •
(2. 3. 1-1)
Para la masa “ mb ”: ..
..
.
..
..
ms u s + mb u b + cb vb + kb vb = 0 .
..
( ms + mb ) vb + ms v s + cb vb + kb vb = −(ms + mb ) u g 5
(2. 3. 1-2)
Las ecuaciones de equilibrio dinámico en forma matricial:
⎡M ⎢m ⎣ s
.. m s ⎤ ⎧⎪v b ⎫⎪ ⎡cb ⎨ .. ⎬ + m s ⎥⎦ ⎪v s ⎪ ⎢⎣ 0 ⎩ ⎭
. 0 ⎤ ⎧⎪v b ⎫⎪ ⎡k b ⎨. ⎬+ c s ⎥⎦ ⎪v s ⎪ ⎢⎣ 0 ⎩ ⎭
0 ⎤ ⎧vb ⎫ ⎡M ⎨ ⎬ = −⎢ ⎥ k s ⎦ ⎩v s ⎭ ⎣m s
m s ⎤ ⎧1⎫ .. ⎨ ⎬u g m s ⎥⎦ ⎩0⎭
(2. 3. 1-3)
Donde:
M = mb + ms Se asume los siguientes órdenes de magnitud de los parámetros estructurales:
1) mb < m s , pero del mismo orden de magnitud 2) ω s =
ks >> ω b = ms
3) Se define ε = 4) β b =
kb M
ωb y se asume que es del orden de magnitud de 10-2 ωs
cb c y β S = s son del mismo orden de magnitud de ε 2 Mω b 2mωs
Donde:
χ=
ms m = s ms + mb M
ωb =
kb M
βb =
cb 2 Mω b
ωs =
ks ms
βS =
cs 2mωs
Cuociente de masa total
(2. 3. 1-4)
Frecuencias nominales
(2. 3. 1-5)
Factores de amortiguamiento
(2. 3. 1-6)
En términos de estas expresiones, en definitiva las ecuaciones de movimiento son:
..
..
.
..
χ v s + vb + 2ω b β b vb + ω b2 vb = − u g ..
..
.
(2. 3.1-7a)
..
v s + v b + 2ω s β s v s + ω s2 v s = − u g
(2. 3.1-7b)
La solución de este sistema de ecuaciones se obtiene realizando un análisis modal suponiendo un problema de vibraciones libres sin amortiguamiento.
La ecuación característica para la frecuencia es:
(1 − χ )ω 4 − (ω s2 + ω b2 )ω 2 + ω b2ω s2 = 0 6
(2. 3.1-8)
Cuya solución es:
ω12 =
1 ⎧ 2 ⎫ 1 2 2 2 2 2 2⎤ 2 ⎡ 4 ω ω ω ω γω ω + − − + ( ) ⎨ b s b s b s ⎣⎢ ⎦⎥ ⎭⎬ 2 (1 − χ ) ⎩
1 ⎧ 2 ⎫ 1 2 2 2 2 2 2⎤ 2 ⎡ ω = ⎨ω b + ω s + ⎢⎣(ωb − ω s ) + 4γω b ω s ⎥⎦ ⎬ 2 (1 − χ ) ⎩ ⎭ 2 2
(2. 3.1-9)
El primer orden en ε (aplicando La formula del binomio) se tiene que:
ω12 = ω b2 (1 − χε )
ω 22 =
ω s2 (1 + χε ) 1− χ
(2. 3.1-10)
y sus formas modales respectivas
1 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ φ =⎨ 1 ⎬ ⎪− χ ⎡⎣1 − (1 − χ ) ε ⎤⎦ ⎪ ⎩ ⎭
⎧1 ⎫ φ =⎨ ⎬ ⎩ε ⎭ 1
2
(2. 3.1-11)
Las expresiones para los desplazamientos originales en coordenadas modales son:
vb = q1φb1 + q 2φb2
v s = q1φ s1 + q 2φ s2
(2. 3.1-12)
Donde q1 (t ) , q 2 (t ) son los desplazamientos dependientes del tiempo, si la excitación ..
del movimiento de la base, u g (t ) , es conocida, luego las componentes nodales según Kelly (NAEIM y KELLY, 1999):
q1 =
L1
ω1
q2 = −
t ..
ω βτ ∫ u ( t − τ )e sin(ω τ )dτ
L2
ω2
−
1 1
1
g
0
t ..
ω βτ ∫ u ( t − τ )e sin(ω τ )dτ 0
−
2 2
2
g
(2. 3. 1-13a) (2. 3. 1-13b)
Remplazando las componentes q1 (t ) , q 2 (t ) y los modos de vibrar en (2.3.1-12), se obtiene la respuesta relativas vb y v s del sistema de dos grados de libertad en tiempo ..
continuo para una excitación u g (t ) .
La respuesta aproximada en el tiempo de este modelo dinámico mediante un procedimiento numérico simplificado se obtiene realizando un análisis en tiempo discreto aplicando los conceptos de ecuación de estado. Para ejemplificar este tipo de análisis, en anexo A se presenta la respuesta del modelo de un edificio de un piso con aisladores sísmicos de comportamiento lineal y no lineal mediante un análisis plano, ..
frente a una excitación u g (t ) de tipo sinusoidal. 7
2.4 MODELOS QUE REPRESENTAN EL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE LA AISLACIÓN SÍSMICA
Los aisladores sísmicos requieren, en general de dispositivos que limiten los desplazamientos máximos horizontales dentro de límites aceptables de diseño. Por este motivo los dispositivos de comportamiento
lineal concentran los limites de
deformaciones en que en que incurren mediante el amortiguamiento que proporcionan y los dispositivos de comportamiento no lineal los controlan mediante las condiciones de no linealidad, además del alto amortiguamiento que proporcionan. No existe limiten claramente definidos de estos
desplazamientos aunque se consideran
aceptables entre 5-40 cm. para sismos severos y hasta el doble de dichos valores para sismos extremos.
2.4.1 Modelo Lineal
La fuerza f ejercida por el aislador en la base del edificio, se puede representar por un amortiguamiento cb y un coeficiente de rigidez k b , este sistema lineal equivalente permite una solución numérica simple del problema, debido a la fácil modelación matemática del amortiguamiento. (BOZZO, 1996; ORDOÑEZ, 1996; DE LA LLERA, 1998). .
f = cb q b + k b qb
(2.4.1-1)
qb
qb
kb
kb
Mb
cb
Mb
. Figura 2.4.1-1 Modelos dinámicos lineales Los dispositivos de aislación sísmica que generalmente incursionan en el rango lineal son los elastómeros de neopreno reforzado de alto y bajo amortiguamiento figura 2.4.1-2.
Placas de goma alternadas con placas de acero
Placas de acero para conexión
Placas de goma con aditivos alternadas con placas de acero
Placas de acero para conexión
Figura 2.4.1-2 Esquema de aisladores elastómericos de bajo y alto amortiguamiento 8
2.4.2 Modelo No Lineal
El incremento del período fundamental de un edificio lejos del período predominante de un sismo no garantiza plenamente
la protección de la estructura
debido a una posible resonancia con otras frecuencias naturales más altas. Además, diversos terremotos no muestran un período predominante claramente definido y varios picos espectrales
pueden inducir amplificaciones dinámicas. Por estos motivos se
necesitan elastómeros con alto amortiguamiento los cuales disipen energía (BOZZO, 1996). Un sistema que considerablemente
incrementa el amortiguamiento de las
conexiones es el elastómero reforzado con núcleo de plomo Figura 2.4.2-1:
Placas de goma alternadas con placas de acero Placas de acero para conexión
Cilindro de plomo
Figura 2.4.2-1 Esquema de aislador elastómero reforzado con núcleo de plomo En lo referente a los modelos dinámicos que representan el comportamiento no lineal de este dispositivo, existen dos que son utilizados para representar este tipo de comportamiento Figura 2.4.2-2: qb kb cb Mb
Figura 2.4.2-2 Modelo dinámico No lineal
2.4.2.1 Modelo Bilineal
El modelo Bilineal que representa el dispositivo de elastómero con núcleo de plomo, debido a que posee una relación constitutiva fuerza-deformación, producto de que la goma, que es lineal, trabaja en paralelo con comportamiento elastoplástico. (DE LA LLERA, 1998).
9
el plomo que tiene un
La figura 2.4.2.1-1 muestra una relación constitutiva medida en un aislador con corazón de plomo en que se observa claramente el comportamiento bilineal. (DE LA LLERA, 1998). Esta relación Bilineal es tradicionalmente representada por la expresión:
F = Qd + k f δ
F
Kf Fy Qd
Ki
δ Figura 2.4.2.1-1 Grafico F v/s δ modelo bilineal aislador
Donde:
k i = Rigidez Inicial asociada a la reacción del aislador frente a cargas de baja magnitud k f = Una rigidez post-fluencia asociada a la reacción del aislador frente a las cargas más altas del ciclo.
Qd = fuerza correspondiente a deformación nula. f y = Una carga de fluencia, con su correspondiente desplazamiento de fluencia δ y .
La curva de histéresis aproximada de la figura
2.4.2.1-2 representa a un modelo
bilineal. F
kf
Qd ki
D
keff
D
δ
Figura 2.4.2.1-2 Curva de histéresis modelo bilineal 10
2.4.2.2 Modelo Histerético de Wen
El modelo histerético de Wen (BOZZO, 1996; ORDOÑEZ, 1996; WEN,1976) se utiliza para una representación más precisa de un aislador de comportamiento no lineal en el cual se descompone la reacción elástoplastica en una componente directamente proporcional
al desplazamiento y otra dependiente de la variable Z ,
donde la fuerza de restauración f : f = α ki qb + (1 − α ) ki Z
(2.4.2.2-1)
donde α = k f k i es un parámetro que indica el grado de no linealidad del sistema (por ejemplo α = 1 representa un sistema lineal) y Z es un parámetro histerético que satisface a la ecuación diferencial no lineal de primer
orden (BOZZO, 1996;
ORDOÑEZ, 1996; WEN,1976): . ⎛ ⋅ ⎞ . n n −1 ⎜ ⎟ z = A qb − β qb z + γ qb z z ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ .
.
(2.4.2.2-2)
Los parámetros A, α , β , γ , n que aparecen en la Ec. 2.4.2.2-2 son números adimensionales que regulan cada una de las características del comportamiento del modelo y que en definitiva, representan los diferentes tipos de reacciones no lineales (BOZZO, 1996; ORDOÑEZ, 1996; PELDOZA, 2002; WEN, 1976):
A : Factor de escala general.
α
β ,γ n
: Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal. : Determinan la forma de la curva. : Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y la no lineal. La influencia que tienen los parámetros β , γ en la variable Z
se
puede
visualizar al trazar la gráfica de dicha variable versus el desplazamiento, con
una
solicitación externa de tipo periódica (sinusoidal a través del tiempo) que afecta a un oscilador
de un grado de libertad,
en el cual se incluye la fuerza restauradora
representada por el modelo de Wen. (ORDOÑEZ, 1996; PELDOZA, 2002).
11
A modo de ejemplo en la figura 2.4.2.2-1 se puede visualizar el comportamiento histeretico que representan los parámetros β = 0.5 y γ = 0.5 . z 1.5
1.0
0.5
0.0 -6
-4
-2
0
2
4
6
x
-0.5
-1.0
β=0.5,γ=0.5 -1.5
Figura 2.4.2.2-1 Curva histerética de Z versus x con β = 0.5 y γ = 0.5 Con relación al parámetro n ∈
[1,+∞[
este controla la suavidad de las curvas
entre la zona inicial y la de influencia, entre más alto sea el valor utilizado, más dura es la curva de transición y mas cercano a 1 es el valor de Z , como se observa en la figura
2.4.2.2-2 (ORDÓÑEZ, 1996; WEN, 1976). Dado lo anterior, para eliminar
completamente la porción curva, se entiende que n → +∞ y que esto representa al modelo bilinial, aunque en la práctica se ha observado que solo es suficiente tomar valores del orden n >20 (COMPUTER AND STRUCTURES .CSI, 1997).
Z
1.0
0.8
n=1
0.6
n=2 n=5
0.4
n=50 0.2
0.0 0
1
2
3
Figura 2.4.2.2-2 Comportamiento de la variable z distintos valores de n . 12
4
5
6
X
con A = 1 , α = 0.6 , β = γ = 0.5 , y
Con respecto a los valores más comunes de los parámetros utilizados para la modelación de aisladores. los autores recomiendan A = 1 (BOZZO, 1996; CSl, 1997;
β y γ , BOZZO (1996) propone
ORDÓÑEZ, 1996). En relación a los parámetros
β = -0.54 y γ = 1.4. Para la mayoría de los autores el valor más representativo para estimar la curva de transición es n = 1 aunque en los programas SAP2000 Nonlinear y ETABS Nonlinear se utiliza una variante bidireccional del modelo, la cual fue propuesta por PARK el I. (1986). y que es equivalente a la fórmula de Wen pero con n = 2 (CSI, 1997; PELDOZA, 2002).
Los Programas SAP2000 Nonlinear y ETABS Nonlinear tienen incorporado el modelo de Wen como elemento no lineal mediante las siguientes relaciones de equivalencia: La relación no lineal fuerza-deformación o fuerza restauradora es:
f = rki d + (1 − r ) f y z
(2.4.2.2-3)
donde :
ki : rigidez Inicial d : deformación
f y : fuerza de fluencia
r : radio de fluencia z : variable histeretica donde −1 ≤ z ≤ 1 ,el valor inicial de z es cero y z se desarrolla según el siguiente ecuación diferencial:
k z= i fy .
(
e ⎧. ⎪d 1 − z ⎨. ⎪d ⎩
) dz > 0 .
.
(2.4.2.2-4)
dz < 0
Donde: e : es el parámetro de transición de la fase elástica a la inelástica ( igual a n )
La ecuación (2.4.2.2-4) es equivalente al modelo de Wen para A = 1 , β = 0.5 y
γ = 0.5 (Figura 2.4.2.2-1). 13
CAPÍTULO III: MODELO DINÁMICO PARA EDIFICIOS CON AISLADORES SÍSMICOS
3.1
GENERALIDADES
El Propósito de esta sección es dar a conocer el modelo matemático que se utilizará para estudiar el comportamiento dinámico de edificios con aisladores sísmicos, el cual se basa en la extensión de la teoría lineal para edificios de base aislada. Se presentarán las ecuaciones dinámicas para los dos modelos que se utilizan en nuestro estudio; edificio con aisladores de comportamiento lineal y edificio con aisladores de comportamiento no lineal. Los modelos en estudio consideran un análisis plano del edificio.
3.2
ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA DEFINIR EL COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA.
Se considera en esta sección el estudio de la respuesta sísmica de un edificio de cortante de varios pisos aislado en la base, con un grado de libertad por planta, y que se encuentra solicitado por un registro de aceleración como se indica en la Fig.3.2-1. Se analiza la respuesta numérica de un edificio con sistema de aislamiento en su base, considerando que la estructura tiene un comportamiento elástico lineal y que el aislador puede ser simulado usando un modelo lineal y uno no lineal (NAEIM y KELLY,1999).
mn
qi mi
qb üg
m1
ug
Base Aislador
mb
Fundación
Fig.3.2-1 Diagrama edificio aislado en la base y del modelo dinámico de la estructura
14
Para el modelo indicado se tiene:
u g : Excitación ó movimiento de terreno qb : Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio
q : Vector de desplazamiento de piso relativo a la base del edificio mb : Masa de la base del edificio
La ecuación de movimiento del edificio con respecto a la base es: ..
⋅⋅
.
⋅⋅
M q+ Cq+ Kq = −Mr (u g + q b )
(3.2-1)
en que
M
: Matriz de masa
C
: Matriz de amortiguamiento
K
: Matriz de rigidez
r
: Vector que acopla cada grado de libertad al movimiento del suelo. Para edificios de cortante, r = {1}nx1
Premultiplicando la ecuación
(3.2-1) por r t = (111....1) , se puede encontrar que la
fuerza de disipación y elástica ejercida por el edificio sobre la base es: ⋅⋅
.
⋅⋅
..
r t Cq+ r t Kq = −(r t Mr (u g + q b ) + r t M q)
(3.2-2)
luego la ecuación del movimiento para la base del edificio es:
..
..
..
..
..
mb (u g + q b ) + r t M (q + r u g + r q b ) + f = 0
(3.2-3)
en que f es la fuerza ejercida por el aislador a la base del edificio de masa mb (NAEIM y KELLY, 1999). La expresión que define esta fuerza depende del tipo de aislador usado, existiendo diferentes sistemas con sus
respectivos modelos matemáticos
(sección 2.4). Si se supone que la no linealidad se concentra sólo a nivel del aislador, la solución general de la ecuación (3.2-1) usando superposición modal es: j
q = ∑ φi yi
(3.2-4)
i =1
15
en que
φi : Modo de vibración yi : Amplitud modal j : Número de modos considerados en el análisis
luego la ecuación modal es ..
.
..
..
y i + 2ω i β i y i + ω i y i = − Li (u g + q b ) 2
(3.2-5)
en que ω i : es la frecuencia natural y está dada por:
Mφiωi 2 = Kφi
(3.2-6)
β i : Coeficiente de amortiguamiento Li : Factor de participación modal y está dado por: Li =
φit Mr φit Mφi
M i = φit Mφi
(3.2-7)
Donde:
M i : Masa Modal efectiva: Finalmente la ecuación del movimiento para la base del edificio se obtiene al reemplazar (3.2-4) en (3.2-3), esto es:
..
..
..
..
..
mb (u g + q b ) + r t M (∑ φi y i + r u g + r q b ) + f = 0
(3.2-8)
3.3 ECUACION DE MOVIMIENTO DEL AISLADOR COMO SISTEMA LINEAL
En la sección 2.4.1 se mencionan las cualidades del modelo y una de las más importantes es que este sistema permite obtener una solución numérica aproximada y simple para los aisladores que se utilicen en la base del edificio. kb
qb
cb
Fig. 3.3-1 Modelo dinámico lineal de los aisladores de la base del edificio
16
En este modelo la expresión de la fuerza debido al amortiguamiento y rigidez del de la base aislada es: .
f = cb q b + k b qb
(3.3-1)
en que
cb : Amortiguamiento equivalente de la base aislada kb : Rigidez equivalente de la base aislada qb : Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio
Luego la ecuación del movimiento para la base del edificio debido a una aceleración horizontal es: ..
..
..
..
..
.
mb (u g + q b ) + r t M (∑ φi y i + r u g + r q b ) + cb q b + kb qb = 0
(3.3-2)
Desarrollando las ecuaciones (3.2-5) y (3.3-2) se llega al siguiente sistema de ecuaciones.
..
..
.
..
Li q b + y i + 2ω i β i y i + ω i2 y i = − Li u g Li M i
∑m+m
..
..
.
(3.3-3) ..
y i + q b + 2 β bω b q b + ω b2 qb = − u g
(3.3-4)
cb m + mb
(3.3-5)
b
en que
ωb =
kb m + mb
2β bω b =
m = r t Mr = m1 + m2 + .... + mn
donde:
ωb : Frecuencia fundamental de la base aislada β b : Factor de amortiguamiento de la base aislada m : Masa total del edificio
Según la teoría lineal de aislamiento de base, se concluye en general que el edificio responde como una estructura prácticamente rígida, registrándose los máximos desplazamientos en la base del edificio. Por
lo tanto, como una aproximación
adecuada se puede asumir que el edificio vibra en el primer modo, obteniéndose las siguientes expresiones (para el modo i=1)(NAEIM y KELLY,1999):
17
..
..
.
..
L1 q b + y 1 + 2ω1 β 1 y 1 + ω12 y1 = − L1 u g
(3.3-6)
. .. L1 M 1 .. .. y 1 + q b + 2 β bω b q b + ω b2 qb = − u g m + mb
(3.3-7)
Luego al resolver las ecuaciones acopladas (3.3-6) y (3.3-7), se obtienen las amplitudes modales y1 (t ) y el desplazamiento de la base qb (NAEIM y KELLY,1999).
3.4 ECUACION DE MOVIMIENTO DEL AISLADOR COMO SISTEMA NO LINEAL
Dentro de los modelos no lineales presentados en la sección 2.4.1 para considerar fuerzas restitutivas no lineales que se presentan en el sistema, se ha elegido incluir el modelo histerético de Wen. Dicha elección se debe a que con esta ecuación es posible simular variadas respuestas elastoplásticas como así también bilineales o lineales (BOZZO, 1996; ORDÓÑEZ, 1996; WEN, 1976; PELDOZA, 2002).
El modelo dinámico con sus componentes se indica en la figura 3.4-1 kb
cb qb
Z
Figura 3.4.1 Modelo dinámico no lineal para los aisladores de la base del edificio
En este modelo dinámico no lineal la relación que representa al sistema está dada por la expresión:
f = αk b qb + (1 − α )k b Z (t )
(3.4-1)
en que Z (t ) es la componente histerética dada por la ecuación no lineal de primer orden. . ⎛ ⋅ . n ⎜ Z = A qb − ⎜ β qb Z + γ qb Z ⎜ ⎝ .
.
18
n −1
⎞ ⎟ Z⎟ ⎟ ⎠
(3.4-2)
en que
kb : Rigidez equivalente de la base aislada qb : Desplazamiento relativo entre la fundación y la base del edificio cb : Amortiguamiento equivalente de la base aislada A, α , β , γ , n son parámetros adimensionales de la ecuación de Wen:
A : Factor de escala general
α : Razón de proporción
entre la fuerza lineal y la no lineal, factor de
endurecimiento
β , γ : Determinan la forma de la curva. n : Número entero que controla la suavidad de la transición de la fase lineal a la
fase inelástica
Luego la ecuación del movimiento para la base del edificio debido a una aceleración horizontal es:
..
..
..
..
..
.
mb (u g + q b ) + r t M (∑ φi y i + r u g + r q b ) + cb q b + α kb qb + (1− α ) kb Z (t ) = 0
(3.4-3)
Asumiendo que la estructura vibra en el primer modo, se obtienen finalmente las siguientes expresiones para el sistema dinámico:
..
..
.
..
L1 q b + y 1 + 2ω1 β 1 y 1 + ω12 y1 = − L1 u g qb + 2 β b ω b qb + αω b2 q b + (1 − α )ω b2 Z + ..
.
. ⎛ ⋅ . n ⎜ Z = A qb − ⎜ β qb Z + γ qb Z ⎜ ⎝ .
.
n −1
(3.4-4) .. L1 M 1 .. y1 = − u g m + mb
⎞ ⎟ Z⎟ ⎟ ⎠
Para α = 1 tenemos el modelo lineal planteado con anterioridad
19
(3.4-5)
(3.4-6)
CAPÍTULO IV: MÉTODOS APROXIMADOS PARA EL CÁLCULO DE FRECUENCIA Y MODO DE VIBRAR FUNDAMENTAL
4.1 INTRODUCCIÓN
En el
modelo de análisis dinámico de edificios con aisladores sísmicos se
plantea, en definitiva, un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas que se debe solucionar, el cual considera la frecuencia y modo fundamental de vibrar del modelo con base fija.
Debido a la necesidad de contar con estos parámetros dinámicos y de
estudiar la influencia de éstos en las ecuaciones del modelo, se utilizan métodos aproximados. Aunque la validez del modelo se obtiene con los parámetros dinámicos exactos.
4.2 MÉTODOS APROXIMADOS
El análisis sísmico de edificios mediante el método de superposición modal requiere la obtención de los modos normales de vibrar a partir del problema de valores propios
Kφ = ω 2Mφ
(4.2-1)
La dificultad que se presenta al resolver esta ecuación para sistemas estructurales de gran envergadura es la cantidad de operaciones numéricas involucradas, lo que hace computacionalmente
costoso determinar los valores y
vectores propios.
Los métodos aproximados son particularmente útiles para un modelo determinado de estructuras que presentan ciertas características propias. De acuerdo a estas características que simplifican el trabajo, se pueden obtener resultados más eficientes y no tan engorrosos al momento de interpretar el comportamiento dinámico de la estructura.
El edificio debe cumplir con las siguientes características: • que toda la masa de la estructura esté concentrada al nivel de los pisos. • que la deformación de la estructura sea independiente de las fuerzas axiales
presentes en las columnas.
20
La primera condición transforma el problema de un sistema con un número infinito de grados de libertad
(debido a la masa uniformemente distribuida), a un
sistema que tiene solamente tantos grados de libertad como números de masa concentradas a nivel de los pisos. La segunda condición establece que las vigas en los pisos permanezcan horizontales durante el movimiento de la estructura.
4.2.1 Método Aproximado de Rayleigh-Ritz
El método de Rayleigh-Ritz es un método aproximado para obtener frecuencias modales y algunas formas modales de estructuras, el cual es aplicable a sistemas de un gran número de grados de libertad. Esta es una extensión del método Rayleigh sugerido por W. Ritz en 1909. Originalmente desarrollado para sistemas elásticos con masa distribuida (CHOPRA, 2001).
Este método consiste en reducir artificialmente el
número de grados de libertad. Se pueden elegir unas pocas configuraciones deformadas o vectores Ritz, {ψ } , de la estructura que representen las posibilidades más significativas de deformarse del sistema. Para que el método sea ventajoso deben satisfacer las condiciones de apoyo. Formando una matriz con estas formas como columnas, [ψ ] , análogamente a la matriz modal, se puede efectuar la transformación.
{u} = [ψ ]{B}
(4.2.1-1)
y calcular los valores máximos de las energías potenciales y cinemática durante la vibración libre, similarmente a los métodos para sistemas de un grado de libertad :
E.P.max = E.C.max =
1 1 T T T {B} [ψ ] [ K ][ψ ]{B} = {B} 2 2
⎡^⎤ ⎢⎣ K ⎥⎦ { B}
1 2 1 T T T w {Z } [ψ ] [ M ][ψ ]{ B} = ω 2 { B} 2 2
⎡ ^ ⎤ ⎢⎣ M ⎥⎦ { B}
(4.2.1 -2)
Igualando estas cantidades y aplicando el principio de Rayleigh que establece que el valor de la frecuencia es estacionario para pequeñas variaciones de las coordenadas modales,
{Z },
entorno a los valores normales, resulta un problema de valores
característicos similar a (4.2.-1) pero de un orden inferior: ^ ⎡⎡ ^ ⎤ ⎤⎤ 2 ⎡ − K ω M {B} = {0} ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎣ ⎥⎦ ⎦⎥ ⎣
21
(4.2.1-3)
Resolviendo este problema se obtienen los valores de las coordenadas modales
{B}n
asociadas a los modos normales correspondientes a cada frecuencia, ωn .
{φ }n = [ψ ]{B}n
(4.2.1-4)
De esta manera, se obtiene una estimación aproximada de un número reducido de formas modales, pero resolviendo un problema de valores característicos mucho menor. Vale la pena notar que si la matriz de masa original era diagonal, esta propiedad no se conserva en la reducción de tamaño del problema (RUIZ, 1974).
El suceso del método de Rayleigh-Ritz depende de cómo
una buena
combinación lineal de los vectores, puede aproximar los modos naturales de vibración. Así es importante que los vectores Ritz sean seleccionados juiciosamente (CHOPRA, 2001). Para estructuras que son complejas
existe una
vía para la selección de
vectores Ritz el cual se basa en un procedimiento iterativo que presentamos a continuación:
4.2.1.1 Método de aproximación de Vectores Ritz dependiente de cargas externas
Se desea determinar los vectores Ritz apropiados para el análisis de una estructura sujeta a fuerzas dinámicas externas:
p(t) = sp(t )
(4.2.1.1-1)
La distribución espacial de las fuerzas definidas por el vector s no varia con el tiempo, y la dependencia del tiempo de todas las fuerzas es dada por la misma función escalar p(t ) . Usando el vector s , se presenta un procedimiento para generar una secuencia de los vectores ortonormales de Ritz. El primer vector de Ritz ψ 1 se define como los desplazamientos estáticos debido a las fuerzas aplicadas s . Se determina solucionando:
ky 1 = s
(4.2.1.1-2)
El vector y 1 es normalizado con respecto a la masa total; como:
ψ1 =
(y
y1
T 1
22
My 1 )
12
(4.2.1.1-3)
El segundo vector de Ritz ψ 2 se determina de los desplazamientos estáticos y 2 debido a las fuerzas aplicadas dadas por la distribución de la fuerza de inercia asociada al primer vector de Ritz ψ 1 . El vector y 2 se obtiene de: κy 2 = Mψ 1
(4.2.1.1-4)
El vector y 2 en general contiene un componente del vector anterior, ψ 1 . Puede por lo tanto ser expresada como: ^
y 2 = ψ 2 + a12ψ 1
(4.2.1.1-5)
^
Donde ψ 2 es un vector que no contiene el vector anterior y a12ψ 1 es el componente ^
del vector anterior presente en y 2 . El vector ψ 2 es ortogonal y por lo tanto linealmente independiente de, ψ 1 . El coeficiente a12 es determinado premultiplicando ambos lados la Eq.(4.2.1.1-5) Por ψ 1T M
para obtener:
ψ 1T My2 = ψ 1T Mψ 2 + a12 (ψ 1T Mψ 1 ) ^
^
^
Observe que ψ 1T Mψ 2 = 0 por definición de ψ 2 , y ψ 1T Mψ 1 = 1 de Eq. (4.2.1.1-3) Así:
a12 = ψ 1T Myn
(4.2.1.1-6)
^
El vector ψ 2 es determinado por: ^
ψ 2 = y 2 − a12ψ 1
(4.2.1.1-7)
^
Donde
a12 se obtiene de Eq. (4.2.1.1-6). Finalmente, se normaliza el vector ψ 2 de
modo que sea ortonormal con respecto a la masa, obtenemos el segundo vector Ritz: ^
ψ2 =
ψ2 12
^ ⎞ ⎛ ^T ⎜ψ 2 Mψ 2 ⎟ ⎝ ⎠
Generalizando este procedimiento a la obtención de n vectores
(4.2.1.1-8)
de Ritz, la
secuencia de vectores ψ 1 ,ψ 2 ,.........,ψ j es mutuamente ortonormal con respecto a la masa y por lo tanto satisface el requisito independencia lineal del método de Rayleigh Ritz. 23
El procedimiento de ortogonalización de las Eqs. (4.2.1.1-6) y (4.2.1.1-7) debe formarse teóricamente con la ortogonalización con respecto a la masa del nuevo vector con respecto a todos los vectores anteriores, la puesta en práctica real en
la
computadora de este método puede ser dificultada por los problemas de la perdida de ortogonalización debido a los errores numéricos de redondeo.
Para superar estas dificultades, el procedimiento se modifica de la siguiente manera: ^
Después del calcular ain de Ec. (4.2.1.1-6), un vector mejoradoψ n se calcula de Ec. (4.2.1.1-7), que es usado en vez de y n en Ec. (4.2.1.1-6) para calcular el siguiente
ain . Incluyendo esta modificación, el procedimiento para generar vectores Ritz dependientes de cargas se resume en la tabla
(4.2.1.1-1) (CHOPRA, A. 2001).
TABLA 4.2.1.1-1 Generación vectores Ritz dependientes de cargas externas ________________________________________________________________ 1.-Determinación del primer vector, ψ 1 a) Se obtiene y1 resolviendo ky 1 = s . b) Normalizando y 1 : ψ 1 =
y1
( y My ) T 1
12
1
2.-Determinación de los vectores adicionales, ψ n , n = 2,3,......, j. a) Se obtiene y n resolviendo: ky n = Mψ n −1 b) Ortogonalizando y n con respecto a los vectores ψ 1 ,ψ 2 ,.........,ψ n −1 anteriores, repitiendo los pasos siguientes para i = 1,2,......, n − 1. : •
ain = ψ iT My n
•
ψ n = y n − ainψ i
•
yn = ψ n
^
^
^
^
c) Normalizando ψ n : ψ n =
ψn 12
^ ⎞ ⎛ ^T ψ ψ M ⎜ n n⎟ ⎝ ⎠
________________________________________________________________
24
4.2.2 Método Aproximado de Polinomios Ortogonales Basado en el Método de Cruz y Chopra.
E. Cruz y A. Chopra
proponen un método para aproximar los modos
fundamentales de vibrar de estructuras mediante un análisis plano del edificio (CRUZ y CHOPRA,1985). Éste se basa en los parámetros globales de la estructura y consiste en obtener los modos mediante polinomios de aproximación, los cuales presentan
el
problema de que no son ortogonales con respecto a la matriz de masa y de rigidez. Esta falencia del método planteado por Cruz y Chopra se soluciona en
estudios
posteriores obteniendo como resultado expresiones que tienen esta característica propia de los vectores que forman la matriz de modos de vibrar en la solución de un problema dinámico (GUTIÉRREZ, 1998).
Se considera un primer modo aproximado como:
⎛h ⎞ φ j1 = ⎜⎜ j ⎟⎟ ⎝H⎠
δ
j = 1, 2, 3,……n
(4.2.2-1)
Donde:
h j : es la altura del piso j sobre la base
H : es la altura total del edificio.
δ es un parámetro que se ha correlacionado con el tipo de estructura y relacionado con la razón de rigidez de la estructura ρ que es un parámetro global definido por Newmark y que esta dado por:
∑ EI / L ∑ EI / L b
ρ=
b
vigas
c
(4.2.2-2)
c
columnas
y que representa una razón de rigideces viga-columna. Newmark, y también Cruz y Chopra definen este parámetro en la mitad de la altura del edificio, pero también se puede extender a todo el edificio. En el método de Cruz y Chopra, se calcula este parámetro
a través de regresiones con el modo exacto de 5 casos de edificios
modelados como marcos planos con diferentes razones de rigidez y distintas alturas (CRUZ y CHOPRA,1985; GUTIÉRREZ, 1998). (figura 4.2.2-1). 25
Caso 2
Caso 1 5
20
Estructuras Uniformes mj=m Ib=4 ρ I
4
19
Ic=I
3
18
2
2
1
1
Caso3
Caso 4
Caso 5
Nivel
mj
Ib
Ic
mj
Ib
Ic
mj
Ib
Ic
5
m
2 ρI
0 .5 I
0 .5 m
2 ρI
0 .5 I
0.3m
1.2 ρI
0 .3 I
4
m
3 ρI
0.75 I
0.75m
3 ρI
0.75 I
0.3m
1.2 ρI
0 .3 I
3
m
4 ρI
I
m
4 ρI
I
0.3m
1.2 ρI
0 .3 I
2
m
5ρI
1.25 I
1.25m
5ρI
1.25 I
m
4 ρI
I
1
m
6 ρI
1 .5 I
1 .5 m
6 ρI
1 .5 I
m
4 ρI
I
Figura 4.2.2-1 Definición de los casos según Cruz y Chopra De este modo es posible determinar el parámetro δ mediante la siguiente tabla: Tabla N° 1: Valor de δ según tipo de estructura y ρ según Cruz y Chopra Caso
ρ =0
ρ = 0.05
ρ = 0.125
ρ = 0.5
ρ=2
ρ =∞
1
1.745
1.379
1.232
1.034
0.892
0.798
2
1.814
1.188
1.092
0.982
0.911
0.864
3
1.848
1.585
1.455
1.277
1.155
1.078
4
1.815
1.507
1.360
1.162
1.028
0.942
5
1.950
1.699
1.590
1.425
1.299
1.215
Se considera un segundo modo de vibrar de la forma: ⎛ h ⎞⎛
h ⎞
φ j 2 = ⎜⎜ j ⎟⎟⎜⎜1 − j ⎟⎟ ⎝ H ⎠⎝ H 2 ⎠
(4.2.2-3)
que depende del parámetro H 2 . Como se espera que sea un modo de vibrar debe cumplir:
φ1t Mφ2 = 0 26
(4.2.2-4)
Dado que el modelo utilizado para el edificio es de masas concentradas en los pisos, la matriz de masas M es una matriz diagonal que tiene la masa concentrada del piso en cada elemento de la diagonal, por lo que es una matriz fácil de calcular. m j es la masa concentrada del piso j . De este modo la matriz M queda definida por: ⎡ m1 ⎢0 ⎢ M = ⎢ M ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣
K
0 O
mj O 0
K
0⎤ M ⎥⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ mn ⎥⎦
(4.2.2-5)
Remplazando en la ecuación (4.2.2-4) las ecuaciones (4.2.2-1) y (4.2.2-3) se obtiene: ⎛h ⎞ ∑j m j ⎜⎜ Hj ⎟⎟ ⎝ ⎠
δ
h ⎞ ⎛ h j ⎞⎛ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜1 − j ⎟⎟ = 0 ⎝ H ⎠⎝ H 2 ⎠
(4.2.2-6)
De esta ecuación se despeja el parámetro H 2 : n
H2 =
∑ m hδ j =1 n
j
∑m h j =1
j
+2
j
(4.2.2-7) δ +1 j
Este parámetro sólo depende de δ y no de H que es la altura del edificio.
Esta misma formulación se utiliza para encontrar los modos superiores, agregándose parámetros según el modo que se trate. Luego de obtener los modos se deben calcular las frecuencias y los periodos de vibrar, en este caso se puede utilizar el cuociente de Rayleigh:
ω12 =
φ1t Kφ1 φ1t Mφ1
(4.2.2-8)
4.2.3 Estimación de la Matriz de Rigidez de Edificios con Muros de Corte
Para resolver el problema dinámico de edificios mediante métodos aproximados como es el caso de los métodos de vectores Ritz (Ec. 4.2.1-3) y de
Cruz
y
Chopra (Ec. 4.2.2-8) planteados en la sección 4.2.1 y 4.2.2, se necesita la matriz de rigidez lateral del edificio. Para estructuras compuestas por muros existen relaciones de flexibilidad producto de análisis estáticos, las cuales se representan mediante la matriz F donde La matriz de rigidez K se obtiene de K = F -1 . 27
Para la figura 4.2.3-1 se obtiene cada término α ij de la matriz F mediante la siguiente relación de flexibilidad:
h 2j hi ⎛ hj L2 ⎜ α ij = + 1− 2 EI ⎜⎝ 3hi 2hi h j
⎞ ⎟ con h j ≤ hi ⎟ ⎠
(4.2.3-1)
hi
hj
L
Figura 4.2.3-1 Muro de n grados de Libertad 4.3 ESTIMADOR DEL ERROR
El error que utilizaremos para comparar los modos aproximados planteados en la sección 4.2 con el modo exacto será:
⎛ n 2⎞ ⎜ ∑ (φik − xik ) ⎟ ⎠ Ek = ⎝ i =1 1 ⎛ n 2⎞ 2 ⎜ ∑ φik ⎟ ⎝ i =1 ⎠
´1
2
k = 1, 2,3
Está expresión corresponde al cuociente de la norma euclediana error
(4.3-1)
del vector
y el modo fundamental exacto . Pero, como se han normalizado todos lo modos
la norma euclediana del modo fundamental exacto será siempre igual a la unidad. De este modo el error queda definido por:
⎛ n 2⎞ Ek = ⎜ ∑ (φik − xik ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠
28
1
2
k = 1, 2,3
(4.3-2)
CAPÍTULO V: RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ASOCIADO AL MODELO DINÁMICO
5.1 GENERALIDADES
En este capítulo se presentan los principales conceptos que aparecen en el análisis dinámico, utilizando la representación del modelo mediante una ecuación estado. Luego de plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que representa este modelo dinámico a ecuación de estado, el problema radica en la solución de esta ecuación estado que en definitiva es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, para lo cual existen métodos analíticos, pero muchas veces resulta ineludible recurrir a métodos numéricos, debido a la complejidad de alcanzar una solución exacta y a la idea de plantear una solución simple del problema.
5.2 RESPUESTA DE MODELOS DINÁMICOS MEDIANTE EL USO DE ECUACIÓN ESTADO 5.2.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
En primer lugar, se debe transformar el sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden para aplicar el concepto de ecuación de estado, es decir:
Considérese una ecuación diferencial de un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior: ⎛ d nx dx d 2 x d n −1 x ⎞ = f ⎜⎜ t , x, , 2 ,......, n −1 ⎟⎟ dt dx dx n dx ⎠ ⎝
para x ∈ [a, b]
(5.1.2-1)
Esta ecuación diferencial ordinaria involucra a la función x y a las n primeras derivadas, puesto que la derivada n-ésima depende, según una función conocida x y las n – 1 primeras derivadas. Para que la ecuación anterior tenga una solución única son necesarias n condiciones adicionales sobre la función incógnita. Como sabemos, estas condiciones adicionales se llaman condiciones iniciales si están dadas en un mismo punto del intervalo [a, b] . 29
Un caso habitual de condiciones iniciales es aquel en que la función x y las n - 1 primeras derivadas tengan valores prescritos conocidos α0, α1, α2,.........,αn-1 en el extremo a del intervalo:
x( a ) = α 1 ;
dx(a ) d 2 x(a ) d n −1 x = α2; = α 3 ;...........; = αn dt dt dt
(5.1.2-2)
Entonces, si se complementa la ecuación diferencial ordinaria con las condiciones iniciales anteriores, se obtiene un problema de valor inicial. Partiendo de la información que se tiene de la función x en el punto
t=a
debemos integrar la
ecuación diferencial ordinaria para hallar la evolución de la función y en todo el intervalo [a, b] .
Por otro lado, sabemos que una ecuación diferencial ordinaria de orden n puede ser transformada en un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con n funciones incógnitas. Es decir, que podemos reducir el orden de las derivadas a costa de aumentar el número de incógnitas.
En nuestro caso, esta transformación es necesaria puesto que las técnicas numéricas que aplicaremos están diseñadas para resolver problemas de primer orden.
La idea básica de la transformación es tratar explícitamente como funciones incógnita a las n – 1 primeras derivadas de la función x (CHAPRA y CANALE,1988).
Esto puede expresarse como:
x1 ≡ x dx dx1 = dt dt d 2 x dx x3 ≡ 2 = 2 dt dt . x2 ≡
xn ≡
(5.1.2-3)
d n x dxn −1 = dt n dt
Con la ayuda de las ecuaciones anteriores la ecuación diferencial ordinaria original puede escribirse como:
d xn = f ( t , x1 , x2 , x3 ,......, xn ) dt 30
para x ∈ [a, b]
(5.1.2-4)
Queda claro que, en definitiva, solo hemos hecho un cambio de notación. Si tomamos esta última ecuación y la combinamos con las (5.2.1-3) se obtiene: ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ n ⎥ dx d x ⎥ xn = n −1 ≡ n dt dt ⎥ ⎥ dxn = f ( t , x1 , x2 , x3 ,......, xn ) ⎥ dt ⎦
dx1 dx ≡ dt dt dx2 d 2 x x3 = ≡ 2 dt dt : x2 =
x1 ( a ) = x ( a ) = α 0 dx ( a ) = α1 dt d 2 x1 x3 ( a ) = 2 ( a ) = α 2 dt : x2 ( a ) =
con
xn ( a ) =
d n-1 x ( a ) = α n−1 dt n-1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
(5.1.2-5)
Luego de realizada la transformación en todas las ecuaciones del sistema de EDO de orden superior, en definitiva, se obtiene un sistema EDO de primer orden y que representa el problema de valor inicial siguiente:
dx1 = f 1 (t , x1 , x 2 ,..., x n ) dt dx 2 = f 2 (t , x1 , x 2 ,..., x n ) dt .
x1 (t o ) = α 1 x 2 (t o ) = α 2 con
. dx n = f n (t , x1 , x 2 ,...., x n ) dt
. . . x n (t o ) = α n
(5.1.2-6)
La solución del sistema (5.1.2-6) son funciones derivables x1 (t ) , x 2 (t ) , …, x n (t ) tales que cuando t , x1 (t ) , x 2 (t ) ,…, x n (t ) se sustituyen en f1 (t , x1 , x 2 ,..., x n ) , .
f 2 (t , x1 , x 2 ,...., x n ) y
.
.
f n (t , x1 , x 2 ,...., x n ) el resultado es igual a la derivada x1 , x 2 ,…., x n ,
respectivamente (MATHEWS y KURTIS, 1999), es decir :
.
x1 (t o ) = α 1
x1 = f 1 (t , x1 , x 2 ,..., x n )
x 2 (t o ) = α 2
.
x 2 = f 2 (t , x1 , x 2 ,..., x n ) con
. . .
x n = f n (t , x1 , x 2 ,...., x n )
31
. . . x n (t o ) = α n
(5.1.2-7)
5.2.2 Conceptos de Ecuación Estado de un Sistema Dinámico
Definiciones:
a) Variables de estado: es el conjunto de variables que determinan el estado de un sistema (x1 , x 2 ,......, x n ) .
b) Vector de estado: vector de “n” componentes son las variables de estado
c) Espacio de Estado: espacio n dimensional cuyos ejes coordenados representan los valores numéricos de las variables de estado x1 , x 2 ,...., x n .
Los modelos en espacio (figura 5.2.2-1) de estado describen el comportamiento del sistema para
cualquier t ≥ t o
conocidos el vector de estado ( n condiciones
iniciales) en el instante inicial ( t = t o ) y la entrada (solicitación sísmica) al sistema para
t ≥ t o . La salida se representa por las variables de estado.
Figura 5.2.2-1 El comportamiento ó estado se describe por un conjunto de n ecuaciones diferenciales de primer orden como lo expresa la ecuación (5.1.2-7), escritas en función de variables de estado.
.
xi (t ) = fi ( x1 (t ),........., xn (t ); u (t ); t )
i = 1....n
(5.2.2-1)
Estas ecuaciones diferenciales se pueden representar en notación compacta dando la siguiente ecuación diferencial vectorial del sistema. .
X (t ) = f ( X (t ), u (t ), t )
(5.2.2-2)
.
X (t ) = FX (t ) + Gu (t )
32
(5.2.2-3)
Donde: X t = ( x1
x2 .... xn ) = vector de estado del sistema ó variables de estado (nx1)
F = matriz cuadrada del sistema de orden (nxn) G = matriz de influencia del input de orden (nx1)
u (t ) = función escalar en el tiempo que representa la señal de entrada t = variable independiente (tiempo)
El problema (5.2.2-2), en el cual se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales y se conoce el valor inicial de la solución, se denomina "problema de Cauchy" o "problema del valor inicial". Lo que se busca, entonces, es una solución w = w(t ) que satisfaga la condición inicial w(to ) = α o .
En los problemas lineales y estacionarios siempre es posible encontrar una expresión analítica para la solución de (5.2.2-2). Desafortunadamente no ocurre lo mismo en el caso no-lineal, donde la mayor parte de las veces es imposible hallar la solución de (5.2.2-2) por métodos analíticos y debe recurrirse a métodos numéricos. Sin embargo, aún en el caso lineal, es de interés disponer de métodos que permitan computar de manera rápida y eficiente la solución de (5.2.2-2), principalmente en problemas de gran magnitud. 5.2.3 Métodos Numéricos
Los métodos numéricos para el estudio del comportamiento de sistemas dinámicos han cobrado fuerza en los últimos años por varias razones. Probablemente la más importante, es que puede accederse a computadoras altamente eficientes a un costo cada vez más bajo, lo que permite su uso para la resolución de problemas altamente complejos.
Una segunda razón, es que los métodos numéricos son en muchos casos la única alternativa posible para la resolución de los frecuentes problemas no lineales muchas veces intratables analíticamente debido a la gran complejidad que presentan. Por otra parte, los problemas lineales continúan creciendo en magnitud, requiriendo un mayor esfuerzo para su solución. Discutiremos aquí la solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO's) o ecuaciones de estado (EE) a través de la aplicación de métodos numéricos.
33
Podemos encontrar una solución numérica del sistema EDO o EE (5.2.2-2) para un sistema 2x2 en un intervalo dado a ≤ t ≤ b considerando los diferenciales:
dx = f1 ( x1 (t ), x2 (t ), t )dt
El
método de Euler
dx = f 2 ( x1 (t ), x2 (t ), t )dt
y
(5.2.3-1)
para resolver este problema es fácil de formular:
Sustituyendo en (5.2.3-1) los diferenciales por incrementos dt = tk +1 − tk , dx = x1( k +1) − x1k y dx = x2( k +1) − x2 k obtenemos:
x1( k +1) − x1k ≈ f1 ( x1k , x2 k , tk ) ( tk +1 − tk )
(5.2.3-2)
x2( k +1) − x2 k ≈ f 2 ( x1k , x2 k , tk ) ( tk +1 − tk )
representando la variable continua de tiempo t a través de una secuencia de puntos discretos tk , k = 1, 2,......., n . Estos puntos se encuentran usualmente espaciados a intervalos iguales h . Dividiendo el intervalo en N subintervalos de anchura h = ( b − a ) N y usando en (5.2.3-2) los puntos tk +1 = tk + h como nodos, obtenemos las fórmulas recursivas del método de Euler
tk +1 = tk + h x1( k +1) = xk + hf1 ( tk , x1k , x2 k )
(5.2.3-3)
x2( k +1) = xk + hf 2 ( tk , x1k , x2 k ) para k = 0,1,.......N − 1
Para conseguir un grado de precisión razonable para sistemas de ecuaciones lineales y no lineales y de mayor dimensión, es necesario utilizar métodos orden mayor como los de Runge-Kutta (MATHEWS y KURTIS, 1999). 5.2.3.1 Método de Runge – Kutta de Cuarto Orden
De las infinitas versiones de los métodos de Runge – Kutta el de cuarto orden es el más utilizado. Partiendo de la ecuación general y haciendo n = 4 tenemos:
xi +1 = xi + (a1 ⋅ k1 + a 2 ⋅ k 2 + a3 ⋅ k 3 + a 4 ⋅ k 4 ) ⋅ h
34
(5.2.3.1-1)
Como resultado de un desarrollo algebraico usando la serie de Taylor se llega a un número de ecuaciones inferior a la cantidad de incógnitas por lo que deben especificarse con antelación los valores de algunas de ellas con el fin de establecer todos los parámetros restantes.
La forma de uso más común, de todas las infinitas posibilidades, es la que se denomina método de Runge – Kutta clásico de cuarto orden (CHAPRA y CANALE, 1988). La expresión resultante es:
xi +1 = xi +
Donde:
1 ⋅ (k1 + 2 ⋅ k 2 + 2 ⋅ k 3 + k 4 ) ⋅ h 6
(5.2.3.1-2)
k1 = f (t i , xi ) 1 1 ⎞ ⎛ k 2 = f ⎜ t i + ⋅ h, xi + ⋅ k1 ⋅ h ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 1 1 ⎞ ⎛ k 3 = f ⎜ t i + ⋅ h, xi + ⋅ k 2 ⋅ h ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ k 4 = f (t i + h, xi + k 3 ⋅ h )
(5.2.3.1-3 a-d)
Observe que el método RK de cuarto orden se puede aplicar a sistemas de ecuaciones diferenciales de tal manera que (BURDEN R.; J. D. FAIRES. 1998): x j +1 = x j +
h ⋅ (k1, j + 2 ⋅ k 2, j + 2 ⋅ k 3, j + k 4, j ) con j = 1,2,...., n 6
k1, j = f j (t , x1 , x 2 ,...., x n ) k1,1 k1, 2 k1,n ⎞ ⎛ h ⎟⎟ , x2 + ,...., x n + k 2, j = f j ⎜⎜ t + , x1 + 2 2 2 2 ⎠ ⎝ k 2, 2 k 2,n ⎛ h 1 k 3, j = f j ⎜⎜ t + , x1 + ⋅ k 2,1 , x 2 + ,...., x n + 2 2 2 ⎝ 2 k 4, j = f j (t + h, x1 + k 3,1 , x 2 + k 3, 2 ,...., x n + k 3,n )
35
⎞ ⎟⎟ ⎠
y cuyo algoritmo es:
Para aproximar la solución del sistema de n-ésimo orden de los problemas de valor inicial de primer orden (BURDEN R.; J. D. FAIRES. 1998):
x j = f j (t , x1 , x 2 ,..., x n ), a ≤ t ≤ b, con x j (a) = α j .
para j = 1,2,....., n
en ( N + 1) números uniformemente espaciados en el intervalo [a, b] :
ENTRADA extremos a, b ; número de ecuaciones n; entero N ; condiciones iniciales
α 1 ,...., α n . SALIDA aproximaciones w j a x j (t ) en los ( N + 1) valores de t . Paso 1
Tome h = (b − a) / N ; t = a
Paso 2
j = 1,2,....., n tome
Paso 3 SALIDA (t , w1 , w2 ,...., wn ). Paso 4 Para i = 1, 2,....., N haga pasos 5-11. Paso 5 Para j = 1,2,...., n tome k1, j = hf j (t , w1 , w2 ,...., wn )
Paso 6 Para j = 1,2,...., n tome k1,1 k1, 2 k1,n ⎞ ⎛ h ⎟ k 2, j = hf j ⎜⎜ t + , w1 + , w2 + ,...., wn + 2 2 2 ⎟⎠ ⎝ 2
Paso 7 Para j = 1,2,...., n tome k 2,1 k 2, 2 k 2,n ⎞ ⎛ h ⎟ k 3, j = hf j ⎜⎜ t + , w1 + , w2 + ,...., wn + 2 2 2 ⎟⎠ ⎝ 2
Paso 8 Para j = 1,2,...., n tome k 4, j = hf j (t + h, w1 + k 3,1 , w2 + k 3, 2 ,...., wn + k 3,n )
Paso 9 Para j = 1,2,...., n tome w j +1 = w j +
1 (k1, j + 2k 2, j + 2k 3, j + k 4, j ) 6
Paso 10 Tome t = a + ih Paso 11 SALIDA (t , w1 , w2 ,...., wn ). Paso 12 PARE.
36
5.3
SOLUCIÓN DEL MODELO DINÁMICO CONSIDERANDO EL AISLADOR DE
COMPORTAMIENTO LINEAL
5.3.1 Obtención de la ecuación de estado para el modelo matemático edificio más aislador.
De las ecuaciones (3.3-6) y (3.3-7) se obtienen las ecuaciones de equilibrio dinámico del modelo en el rango lineal:
..
..
.
..
L1 q b + y 1 + 2ω1 β 1 y 1 + ω12 y1 = − L1 u g
(5.3.1 -1)
. .. L1 M 1 .. .. y 1 + q b + 2 β bω b q b + ω b2 qb = − u g m + mb
(5.3.1 -2)
Considerando el siguiente cambio de variables:
.
.
x1 = qb
⇒
x1 = qb
x 3 = y1
⇒
x 3 = y1
.
.
.
.
..
.
.
.
..
,
x 2 = x1 = qb ⇒ x 2 = qb
,
x 4 = x 3 = y1 ⇒ x 4 = y1
.
Realizamos la reducción a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden de 4 ecuaciones y 4 incógnitas.
.
x1 = x 2 .
(5.3.1 -3)
−ωb2 x1 − 2ωb β b x2 +
x2 =
L1M 1 2 LM ω1 x3 + 2ω1β1 1 1 x4 .. m + mb m + mb − ug 2 L1 M 1 1− m + mb
(5.3.1-4)
.
x 3 = x4 .
x4 =
(5.3.1-5)
ω b2 L1 x1 + 2ω b β b L1 x 2 − ω12 x3 − 2ω1 β 1x 4
(5.3.1-6)
L2 M 1− 1 1 m + mb
Cuyas condiciones Iniciales: x1 (a) = qb (a) = α o
x 2 (a ) = qb (a) = α 1 con t ∈ [a, b ]
x 3 (a) = y1 (a) = α 2
x 4 (a ) = y1 (a) = α 3
.
.
37
(5.3.1-7)
Por lo tanto la ecuación de estado en forma matricial: ⎡ L12 M 1 0 1 − ⎢ ⎧ ⎫ m + mb ⎢ ⎪ x1 ⎪ ⎢ 2 ⎪. ⎪ −2ωb βb ⎢ −ωb 1 ⎪ x2 ⎪ ⎨ . ⎬= 2 ⎢ ⎪ x3 ⎪ 1 − L1 M 1 ⎢ ⎪. ⎪ m + mb ⎢ 0 0 ⎪x ⎪ ⎢ ⎩ 4⎭ ⎢ω L ⎣ b 1 2ωb βb L1
0
.
⎤ ⎥ ⎥ ⎧ x ⎫ ⎧0 ⎫ 1 L1M 1 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2ω1β1 ⎥ ⎪ x2 ⎪ ⎪1 ⎪ .. m + mb ⎥ ⎨ ⎬ − ⎨ ⎬ u g x3 0 L12 M 1 ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 1− ⎥ x ⎩0 ⎭ m + mb ⎥ ⎩ 4 ⎭ −2ω1β1 ⎥⎦ 0
L1M 1 2 ω1 m + mb 0 −ω12
(5.3.1-8)
En definitiva, La ecuación (5.3.1-8) es la ecuación de estado del modelo dinámico que representa el comportamiento de un edificio con aisladores sísmicos lineales. La solución o respuesta del sistema en el tiempo una entrada a definir, se obtiene mediante un algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo MATLAB en donde se aplica el método numérico de Runge-Kutta de cuarto orden.
5.4 SOLUCIÓN
DEL MODELO DINÁMICO CONSIDERANDO EL AISLADOR DE
COMPORTAMIENTO NO LINEAL
5.4.1 Obtención de la ecuación de estado para el modelo matemático edificio más aislador.
Las ecuaciones de equilibrio dinámico del sistema obtenidas de (3.4-4), (3.4-5), (3.4-6) son:
..
..
.
..
L1 q b + y1 + 2ω1β1 y1 + ω12 y1 = − L1 u g ..
(5.4.1-1)
.
qb + 2 βbωb qb + αωb2 qb + (1 − α ) ωb2 Z + . ⎛ ⋅ . n ⎜ Z = A qb − ⎜ β qb Z + γ qb Z ⎜ ⎝ .
.
n −1
.. L1M 1 .. y1 = − u g m + mb
(5.4.1-2)
⎞ ⎟ Z⎟ ⎟ ⎠
(5.4.1-3)
Considerando el siguiente cambio de variables: .
.
x1 = qb
⇒
x1 = qb
x 3 = y1
⇒
x 3 = y1
x5 = Z
⇒
x5 = Z
.
.
.
.
.
..
.
.
.
..
,
x 2 = u 1 = qb ⇒ x 2 = qb
,
x 4 = x 3 = y1 ⇒ x 4 = y1
.
.
38
Realizamos la reducción a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden de 4 ecuaciones y 4 incógnitas. .
x1 = x 2
(5.4.1-4)
−αωb2 x1 − 2ωb β b x2 +
.
x2 =
L1M 1 2 LM ω1 x3 + 2ω1β1 1 1 x4 − (1 − α )ωb2 x5 .. m + mb m + mb − ug 2 L1 M 1 1− m + mb
(5.4.1-5)
.
x 3 = x4 .
x4 =
.
(5.4.1-6)
αωb2 L1 x1 + 2ωb βb L1 x2 − ω12 x3 − 2ω1β 1 x4 + (1 − α )ωb2 L1 x5
(5.4.1-7)
L2 M 1− 1 1 m + mb
(
x 5 = Ax 2 − β x 2 x5 + γ x 2 x5 n
n −1
x5
)
(5.4.1-8)
Cuyas condiciones Iniciales: x1 (a ) = qb (a ) = α o
x 2 (a ) = qb (a) = α 1 con t ∈ [a, b]
x 3 (a) = y1 (a) = α 2
x 4 (a ) = y1 (a) = α 3
.
.
(5.4.1-9)
x 5 (a) = Z (a) = α 4
Por lo tanto la ecuación de estado del sistema queda de la siguiente forma: ⎡ ⎤ ⎛ L12 M1 ⎞ 1 − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ x2 ⎝ m + mb ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . ⎧ ⎫ L M L M ⎢ ⎥ 2 2 2 1 1 1 1 ω1 x3 + 2ω1β1 x4 − (1 − α ) ωb x5 ⎥ −αωb x1 − 2ωb βb x2 + ⎪ x1 ⎪ ⎢ ⎧0⎫ m + mb m + mb ⎪.⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ x ⎪ 2⎪ ⎢ ⎥ ⎪1⎪ .. 1 ⎪.⎪ ⎢ ⎥ − ⎪⎨0⎪⎬ u ⎨ x3 ⎬ = 2 ⎛ L12 M1 ⎞ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ g L M x4 1− ⎪ . ⎪ 1− 1 1 ⎜ ⎟ ⎥ ⎪0⎪ ⎪x ⎪ m + mb ⎢⎢ ⎝ m + mb ⎠ 4 ⎥ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ . ⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎪x ⎪ ⎢ ⎥ ⎩ 5⎭ αωb2 L1x1 + 2ωb βb L1x2 − ω12 x3 − 2ω1β1x4 + (1 − α ) ωb2 L1x5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ n n−1 ⎢ ⎥ Ax2 − β x2 x5 + γ x2 x5 x5 ⎣ ⎦
(
(5.4.1-10)
)
En definitiva, La ecuación (5.4.1-10) es la ecuación de estado del modelo dinámico que representa el comportamiento de un edificio con aisladores sísmicos no lineales. La solución o respuesta del sistema en el tiempo una entrada a definir, se obtiene mediante un algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo MATLAB en donde se aplica el método numérico de Runge-Kutta de cuarto orden. 39
CAPÍTULO VI: PRESENTACIÓN Y METODOLOGIA DE ANÁLISIS DE LOS MODELOS ESTRUCTURALES
En este capítulo se presentan los modelos estructurales que se utilizaron en nuestro estudio para la validación del procedimiento numérico simplificado planteado en los capitulo anteriores, cuyo algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo MATLAB se presentan en anexo C, además se muestra la metodología de análisis utilizada en nuestro estudio.
6.1
CARACTERÍSTICAS:
6.1.1 Estructuración
Los modelos que hemos considerado para nuestro estudio se han estructurado de acuerdo a las siguientes características: -
Simetría simple y doble en planta.
-
Continuidad en los elementos estructurales verticales.
-
Sin cambios de rigidez con la altura.
-
Ejes de Vigas Coincidentes con ejes de Pilares.
6.1.2 Propiedades Mecánicas H.A.:
-
La Resistencia a la compresión del concreto de fc’=250 kg/cm² (H-30)
-
Módulo de elasticidad del concreto es 238752 Kg/cm².
-
Módulo de Corte 99480 Kg/cm².
-
Peso Específico del concreto 2500 kg/m³.
6.1.3 Masa Sísmica:
Para el cálculo de masas sísmicas se tiene: Sobrecarga: q piso = 0.8 T/m² qtecho = 0.4 T/m²
Donde: Ms = Mpp + 50% SC
6.1.4 Modelación y Análisis
El modelo dinámico que utilizamos
tiene validez
en modelos con masas
concentradas y en movimientos unidireccionales planos, por lo tanto, no representa el comportamiento tridimensional del edificio. 40
6.2 MODELOS ESTRUCTURALES
6.2.1 EDIFICIO Nº1
6.2.1.1
Parámetros del Edificio
Se cálculo el comportamiento de un edificio de 4 pisos y otro de 10 pisos de Hormigón Armado estructurado en base a muros de 20 cm. de espesor, vigas de 20/60 cm, losas de 15 cm de espesor y pilares 30cmx30cm, con una altura de piso de 2.5 m cuya distribución en planta se muestra en la Figura 6.2.1.1 -1
Figura 6.2.1.1-1 Planta Estructural Edificio Nº1
6.2.1.2
Parámetros de los Aisladores Sísmicos
Para el análisis sísmico se consideró 2 diferentes dispositivos de aislación sísmica, cuyas propiedades son las siguientes:
Caso Nº1: Aisladores de comportamiento Lineal
1.- Rigidez equivalente de la base Aislada k b = 34 Ton cm 2.- Masa de la base aislada
mb = 0.36
41
Ton ⋅ seg 2 cm
3.- Amortiguación equivalente viscoelástica: a) cb = 1.5 Ton ⋅ seg cm edificio de 4 pisos b) cb = 2.2 Ton ⋅ seg cm edificio de 10 pisos con un factor de amortiguamiento β b =10% (usado normalmente para análisis y diseño). Además, para ver la influencia del amortiguamiento en la respuesta, se analizó para un factor de β b = 5%, debido a que es un valor habitual para aisladores de comportamiento lineal de bajo amortiguamiento.
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal.
1.- Rigidez equivalente de la base aislada k b (Inicial) = 34 Ton cm 2.- Masa del aislador
mb =0.36 Ton ⋅ seg cm
3.- Amortiguación equivalente viscoelástica a) cb = 1.5 Ton ⋅ seg cm edificio de 4 pisos b) cb = 2.2 Ton ⋅ seg cm edificio de 10 pisos con un factor de amortiguamiento β b =10% (usado normalmente para análisis y diseño). Además, para ver la influencia del amortiguamiento en la respuesta, se analizó para un factor de β b = 15%, debido a que es un valor habitual para aisladores de comportamiento No lineal de alto amortiguamiento. 4.- Razón de rigidez de post- fluencia α = 0.6 5.- Factor de escala A =1 6.- Parámetro de forma β =0.5 7.- Parámetro de forma γ =0.5 8.- Parámetro de transición n = 2
6.2.2 EDIFICIO Nº 2 6.2.2.1
Parámetros del Edificio
Se cálculo el comportamiento de un edificio de 4 pisos y otro de 10 pisos de Hormigón Armado estructurado en base a muros de 20 cm. de espesor, vigas de 20/60 cm y losas de 15 cm, con una altura de piso de 2.5 m cuya distribución en planta se muestra en la Figura 6.2.2.1-1
42
Figura 6.2.2.1-1 Planta Estructural Edificio Nº2 6.2.2.2
Parámetros de los Aisladores Sísmicos
Para análisis sísmico se consideraron 2 dispositivos de aislación sísmica diferentes, cuyas propiedades son las siguientes:
Caso Nº1: Aisladores de comportamiento Lineal
1.- Rigidez equivalente de la base aislada k b = 48 Ton cm 2.- Masa de la base aislada
mb = 0.35 Ton ⋅ seg cm
3.- Amortiguación equivalente viscoelástica a) cb = 1.8 Ton ⋅ seg cm edificio de 4 pisos b) cb = 2.7 Ton ⋅ seg cm edificio de 10 pisos con un factor de amortiguamiento β b =10% (usado normalmente para análisis y diseño). Además, para ver la influencia del amortiguamiento en la respuesta, se analizó para un factor de β b = 5%, debido a que es un valor habitual para aisladores de comportamiento lineal de bajo amortiguamiento. 43
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal, modelo de Wen 1.- Rigidez equivalente de la base aislada k b (Inicial) = 48 Ton cm 2.- Masa de la base aislada mb = 0.35 Ton ⋅ seg cm 3.- Amortiguación equivalente viscoelástica a) cb = 1.8 Ton ⋅ seg cm edificio de 4 pisos b) cb = 2.7 Ton ⋅ seg cm edificio de 10 pisos con factor de amortiguamiento β b =10% (usado normalmente para análisis y diseño). Además, para ver la influencia del amortiguamiento en la respuesta, se analizó para un factor de β b = 15%, debido a que es un valor habitual para aisladores de comportamiento No lineal de alto amortiguamiento. 4.- Razón de rigidez de post- fluencia α = 0.5 5.- Factor de escala A =1 6.- Parámetro de forma β =0.5 7.- Parámetro de forma γ =0.5 8.- Parámetro de transición n = 2 9.- Numero de aisladores = 24
6.3 METODOLOGIA DE ANÁLISIS
6.3.1 Análisis de Modelos Estructurales con base Fija
Debido a la Necesidad de obtener los parámetros dinámicos de los modelos pero con base fija, se valida el uso de métodos aproximados, por lo tanto, se realiza análisis dinámicos para los Edificios Nº1 y Nº2 de 4 y 10 pisos con base fija para obtener la frecuencia fundamental y modo fundamental de vibrar mediante los métodos planteados en el capitulo IV: 1.- Análisis plano en dirección X y en dirección Y con el método aproximado de Rayleigh Ritz. 2.- Análisis plano en dirección X y en dirección Y con método aproximado de E. Cruz y A. Chopra.
6.3.2 Análisis de los modelos Estructurales con Aislación Basal
Se consideran las
solicitaciones sísmicas para el estudio, de
una serie de
terremotos, de acuerdo, a los distintos tamaños de paso de los registros de aceleración, todo esto ,con el fin, de ver la influencia en la respuesta de los modelos estructurales con aislación basal planteados, de tal manera de validar el procedimiento simplificado. 44
6.3.2.1 Solicitaciones Sísmicas
En este estudio se emplean registros obtenidos de cinco terremotos ocurridos en distintas partes del mundo. Estos terremotos son: •
Terremoto de Chile del 3 marzo de 1985 (magnitud 7.8). Se empleó el registro
de LLolleo, componente N10E, con aceleración máxima igual a 657.27 cm s 2 .
Figura 6.3.2.2 Registro de LLolleo expresado cm s 2 .
•
Terremoto de Northridge del 17 enero de 1994 (magnitud 6.7) Se empleó el
registro de Santa Mónica, componente 90º, con aceleración máxima igual a 865.965 cm s 2 . Northridge 1000 750
a(cm/seg2)
500 250 0 -250
0
10
20
30
40
50
-500 -750 -1000
Tiempo (seg)
Figura 6.3.2.3 Registro de Estación Santa Mónica expresado en cm s 2 . 45
60
•
Terremoto de Loma Prieta de 17 de octubre de 1989 (magnitud 7.1) se empleó
el registro de de Corralitos Eureka Canyon, componente 90º, con aceleración máxima igual a 469.384 cm s 2 .
Loma Prieta 600
a (cm/seg2)
400
200
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-200
-400 Tiempo (seg)
Figura 6.3.2.4 Registro de Corralitos Eureka Canyon expresado en cm s 2 .
•
Terremoto de Hyogo-Ken-Nambu (Kobe) del 17 de enero de 1995 (magnitud 7.2)
se empleó el registro obtenido en la ciudad de Kobe, en el Observatorio JMA, componente Norte Sur, con una aceleración máxima de 817.86 cm s 2 .
Kobe 800 600
a (cm/seg 2)
400 200 0 -200
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-400 -600 -800 -1000
Tiempo (seg)
Figura 6.3.2.5 Registro de JMA Kobe expresado en cm s 2 . 46
45
50
•
Terremoto de Takochi-oki (Hachinohe) del 16 de mayo de 1968 (magnitud 7.9)
se empleo el registro obtenido en la ciudad de Hachinohe, en el Observatorio JMA, componente Norte Sur, con una aceleración máxima de 225 cm s 2 .
Hachinohe 300
a (cm/seg2)
200
100
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-100
-200
Tiempo (seg)
Figura 6.3.2-6 Registro de Hachinohe expresado en cm s 2 .
6.3.2.2 Tipo de Análisis
Se analizaron los modelos estructurales con base aislada mediante el procedimiento simplificado con las propiedades dinámicas con base fija (frecuencia y modo fundamental)
obtenidas en forma exacta del programa ETABS Nonlinear. Esto
es con motivo de validar la exactitud real del método numérico simplificado utilizado en nuestro estudio. • Edificio Nº1 de 4 y 10 Pisos
1.- Análisis plano en dirección X para el registro de Llolleo. con un paso de tiempo ∆t = 0.005 y 116.43 seg. de duración (23286 pasos).
2- Análisis plano en dirección X para el registro de Northridge (Santa Mónica City Hall) con un paso de tiempo ∆t = 0.02 seg. y 59.98 seg. de duración (3000 pasos).
3- Análisis plano en dirección X para el registro de Loma Prieta (Corralitos Eureka Canyon) con un paso de tiempo ∆t = 0.02 y 39.98 seg. de duración (2000 pasos).
4.- Análisis plano en dirección X para el registro de Hyogo-Ken-Nambu (Kobe) con un paso de tiempo ∆t = 0.02 y 49.98 seg. de duración (2500 pasos). 47
5.- Análisis plano en dirección X Para el Registro Takochi-oki (Hachinohe) con un paso de tiempo ∆t = 0.01 y 35.99 seg. de duración (3600 pasos). • Edificio Nº2 de 4 y 10 Pisos
1.- Análisis plano en dirección Y para el registro de Llolleo con un paso de tiempo ∆t = 0.005 y 116.43 seg. de duración (23286 pasos).
2- Análisis plano en dirección Y para el registro de Northridge (Santa Mónica City Hall) con un paso de tiempo ∆t = 0.02 seg. y 59.98 seg. de duración (3000 pasos).
3- Análisis plano en dirección Y para el registro de Loma Prieta (Corralitos Eureka Canyon) con un paso de tiempo ∆t = 0.02 y 39.98 seg. de duración (2000 pasos).
4.- Análisis plano en dirección Y para el registro de Hyogo-Ken-Nambu (Kobe) con un paso de tiempo ∆t = 0.02 y 49.98 seg. de duración (2500 pasos).
5.- Análisis plano en dirección Y para el registro Takochi-oki (Hachinohe) con un paso de tiempo ∆t = 0.01 y 35.99 seg. de duración (3600 pasos).
Además, para ver la influencia de los parámetros dinámicos aproximados (modo fundamental y frecuencia fundamental) de los modelos con base fija, calculados anteriormente, en el comportamiento dinámico de los edificios con aisladores sísmicos, se realizó el siguiente análisis: • Edificio Nº1 de 4 y 10 Pisos
1.- Análisis plano en dirección X para el registro de Llolleo con un paso de tiempo ∆t = 0.005 y 116.43 seg. de duración (23286 pasos).
2- Análisis plano en dirección X para el registro de Northridge (Santa Mónica City Hall) con un paso de tiempo ∆t = 0.02 seg. y 59.98 seg. de duración (3000 pasos). • Edificio Nº2 de 4 y 10 Pisos
1.- Análisis plano en dirección Y para el registro de Llolleo con un paso de tiempo ∆t = 0.005 y 116.43 seg. de duración (23286 pasos).
2- Análisis plano en dirección Y para el registro de Northridge (Santa Mónica City Hall) con un paso de tiempo ∆t = 0.02 seg. y 59.98 seg. de duración (3000 pasos). 48
CAPÍTULO VII: PRESENTACIÓN Y COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS
Una vez implementados los algoritmos que definen los procedimientos simplificados de análisis de edificios con base aislada en la herramienta de cálculo MATLAB, éstos se aplican en los modelos estructurales escogidos, sometidos a las solicitaciones sísmicas correspondientes. Paralelamente, las mismas estructuras fueron analizadas
mediante el programa de análisis ETABS Nonlinear versión 8.2.7; los
resultados obtenidos mediante ambos programas se presentan gráficamente para su comparación.
7.1 RESULTADOS ANÁLISIS DINÁMICO EDIFICIO CON BASE FIJA
Se presentan los resultados de los parámetros dinámicos (modo fundamental y frecuencia fundamental) de los modelos con base fija analizados en forma plana e independiente en las direcciones X e Y, obtenidos mediante los métodos aproximados, estos se comparan con los resultados obtenidos por ETABS Nonlinear.
7.1.1 Modo Fundamental y Frecuencia Fundamental Edificio Nº1 EDIFICIO METODO DE R. RITZ Nº 1 Modo 1º ω (r/s) Τ (s) 4 pisos 50.87 0.12 0.215 Dirección X 0.579 1.006 1.426 4 pisos 33.91 0.18 0.194 Dirección Y 0.560 1.001 1.446 10pisos 9.97 0.63 0.022 Dirección X 0.074 0.149 0.244 0.355 0.476 0.605 0.738 0.873 1.007 10 pisos 6.47 0.97 0.021 Dirección Y 0.071 0.146 0.242 0.352 0.475 0.604 0.738 0.874 1.009
METODO DE CRUZ Y CHOPRA Modo 1º ω (r/s) Τ (s) 55.61 0.11 0.138 0.464 0.941 1.554 36.59 0.17 0.138 0.464 0.941 1.554 10.71 0.59 0.019 0.065 0.131 0.217 0.320 0.439 0.575 0.726 0.891 1.071 6.96 0.90 0.019 0.065 0.131 0.217 0.320 0.439 0.575 0.726 0.891 1.071
49
ω (r/s) 74.25
57.29
17.99
14.31
ETABS Τ (s) Modo 1º 0.08 0.260 0.635 1.022 1.362 0.11 0.254 0.631 1.023 1.365 0.35 0.032 0.092 0.173 0.271 0.381 0.498 0.618 0.738 0.856 0.970 0.44 0.032 0.094 0.178 0.277 0.387 0.502 0.620 0.738 0.852 0.961
50
7.1.2 Modo Fundamental y Frecuencia Fundamental Edificio Nº2
EDIFICIO Nº 2 4 pisos Dirección X
4 pisos Dirección Y
10 pisos Dirección X
10 pisos Dirección Y
METODO DE R. RITZ Modo 1 ω (r/s) Τ(s) 34.7 0.18 0.204 0.574 1.016 1.458 45.45 0.13 0.205 0.575 1.016 1.457 6.67 0.94 0.022 0.073 0.149 0.246 0.358 0.481 0.613 0.748 0.885 1.022 8.78 0.71 0.022 0.073 0.150 0.246 0.358 0.482 0.613 0.748 0.885 1.022
METODO DE CRUZ Y CHOPRA Modo 1 ω (r/s) Τ(s) 37.6 0.17 0.140 0.470 0.953 1.574 49.29 0.13 0.140 0.470 0.953 1.574 7.17 0.88 0.020 0.065 0.133 0.219 0.324 0.445 0.583 0.736 0.904 1.086 9.43 0.67 0.020 0.065 0.133 0.219 0.324 0.445 0.583 0.736 0.904 1.086
51
ETABS Τ(s) Modo 1 0.12 0.266 0.655 1.044 1.363 58.33 0.11 0.222 0.603 1.027 1.424 16.05 0.39 0.043 0.119 0.214 0.321 0.432 0.542 0.647 0.745 0.834 0.914 14.21 0.44 0.029 0.090 0.175 0.276 0.389 0.508 0.629 0.749 0.865 0.978
ω (r/s) 54.32
Nº de Pisos
EDIFICIO Nº 2 Modo 1 Dirección X
Modo 1 Dirección Y
4 Pisos
Error M. Ritz Error C y Ch
0.0469
0.0469
0.3209
0.2289
0.1926
0.0644
0.2823
0.1322
10 Pisos
Error M. Ritz Error C y Ch
52
7.2 RESULTADOS ANALISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO EDIFICIOS CON BASE AISLADA
Ante la necesidad de comparar los resultados del procedimiento simplificado con los resultados obtenidos por el programa de análisis ETABS Nonlinear para validar el método, en definitiva, se presentan los desplazamientos de la base y de todos los niveles relativos a la fundación, tal como se muestra en la Figura 7.2-1.
Fig.7.2-1 Edificio aislado en la base con los desplazamientos c/r a eje de fundación qb : Desplazamiento de la base relativo a la fundación del edificio y1 (t ) : Amplitudes nodales
qan = φ1 y1 (t ) + qb : Desplazamientos de piso relativos a la fundación del edificio qtt = ( qb , qa1, qa 2 ,....., qan ) : Vector de estado que representa la respuesta del edificio
Los resultados se presentan gráficamente para su comparación, considerando, solo los pisos más representativos de los modelos analizados. Además, en anexo E se presentan algunos resultados tabulados. En Tabla 7.2-1 se presenta un resumen de los desplazamientos máximos y errores absolutos máximos (valor Etabs-valor aproximado) obtenidos de todos los registros analizados para un factor de amortiguamiento de la base aislada de β b =10%. Además en Tabla 7.2-2 se presenta el resumen de resultados obtenidos para análisis de modelos con aisladores sísmicos con factores de amortiguamiento de la base aislada de β b =5% para caso lineal y β b =15% para caso no lineal. 53
7.2.1 Edificio Nº1 Registro de LLolleo: Edificio de 4 Pisos : Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
54
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
55
Edificio de 10 Pisos : Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
56
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
57
Registro de Northridge: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
58
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
59
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
60
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
61
Registro de Loma Prieta: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
62
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
63
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
64
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
65
Registro de Kobe: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
66
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
67
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
68
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
69
Registro de Hachinohe: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
70
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
71
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
72
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
73
7.2.2 Edificio Nº2 Registro de LLolleo: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
74
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
75
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
76
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
77
Registro de Northridge: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal:
78
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
79
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
80
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
81
Registro de Loma Prieta: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
82
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
83
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
84
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
85
Registro de Kobe: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal:
86
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal:
87
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
88
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
89
Registro de Hachinohe: Edificio de 4 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
90
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
91
Edificio de 10 Pisos: Caso Nº1: Aisladores de Comportamiento Lineal
92
Caso Nº2: Aisladores de Comportamiento No Lineal
93
94
7.3 RESULTADOS ANALISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO EDIFICIOS CON BASE AISLADA CON PARAMETROS DINAMICOS APROXIMADOS
Para ver la influencia de los parámetros dinámicos de los modelos estructurales con base fija calculados con métodos aproximados en los modelos con base aislada, se realizó el análisis para los registros sísmicos de Llolleo y Northridge.
Los principales resultados se resumen en la tabla 7.3-1 y en anexo D se presentan gráficamente.
95
96
CAPÍTULO VIII: COMENTARIOS Y CONCLUSIONES FINALES
En general, analizando los principales resultados del problema con respecto a los desplazamientos calculados para los distintos modelos utilizados, se puede apreciar que las aproximaciones obtenidas
mediante el procedimiento simplificado no
presentaron diferencias muy significativas en relación a los resultados obtenidos con ETABS Nonlinear, es decir, la magnitud del error es de un orden razonable para una etapa de prediseño. Los mayores errores de aproximación se obtuvieron en el análisis del edificio Nº1 de 4 y 10 pisos con base aislada para los registros sísmicos de Kobe, Northridge y Loma Prieta (tamaño de paso 0.02 seg.). El método de Runge Kutta de 4º orden disminuye su precisión para tamaño de pasos mayores debido a que aumenta el error de truncamiento del paso y más aun si resuelve sistemas donde existen ecuaciones que son no lineales. Con relación al sismo de Llolleo de tamaño de paso menor (0.005 seg.), existieron algunos errores de aproximación debido a que al utilizar un tamaño de paso muy pequeño (lo que sabemos, mejora la precisión del algoritmo), aumenta el error de redondeo del método numérico, por este motivo se alcanzó una solución optima del paso de integración que minimiza los efectos combinados de ambos errores con el sismo de hachinoe de tamaño de paso 0.01 seg. Por lo dicho anteriormente y en referencia a la
exactitud de los modelos
utilizados en los aisladores sísmicos, se puede decir que debido a la solución numérica simple del modelo lineal, en los pasos de tiempo definidos, se obtuvieron resultados de mejor calidad con este modelo, pero esto no resta importancia a la buena calidad de las aproximaciones que se obtuvieron con el modelo no lineal de Wen. Además, al comparar las respuestas de los aisladores sísmicos de comportamiento lineal y no lineal en el tiempo (para un factor de amortiguamiento 10%) son considerablemente distintas aunque con algunos registros sísmicos los valores máximos son muy cercanos, esto concuerda con lo planteado por Molinares y Barbat (BOZZO, 1996). En relación a las aproximaciones de los parámetros dinámicos (modo y frecuencia fundamental) de los modelos con base fija mediante métodos aproximados, son de buena calidad solo en el modo fundamental, alcanzando una mayor exactitud con el método de Rayleigh Ritz, con respecto al periodo y frecuencia fundamental se presentó una magnitud de error mayor, esto es debido a que la estimación, mediante relaciones de flexibilidad, de la rigidez de los edificios que se utilizó no es muy precisa para los modelos tridimensionales analizados, esto se puede observar al comparar los resultados de los dos edificios analizados, alcanzando una mayor precisión en las aproximaciones para el edificio Nº2 con un análisis en la dirección Y, debido a que los muros están mayormente orientados en esta dirección . 97
Por lo anterior, las aproximaciones del método obtenidas utilizando los parámetros dinámicos (modo y frecuencia fundamental) de los modelos con base fija mediante métodos aproximados presentaron un aumento en la magnitud del error en la respuesta de los edificios con base aislada, esto es debido a que la influencia del periodo y
frecuencia fundamental es importante, pero no así el modo o la forma
fundamental, incluso, si se considera el primer modo de forma lineal,
las
aproximaciones del procedimiento numérico simplificado no se alteran demasiado . Por lo mismo, se obtuvieron resultados con menos errores con el método de Cruz y Chopra debido a que el periodo y frecuencia fundamental obtenida con este método fue más cercano al exacto. Por lo tanto, los parámetros dinámicos no inciden en el modelo de tal forma de perder el orden de magnitud con relación a los resultados exactos, si no que solamente hacen perder precisión al modelo al momento de utilizar métodos aproximados. Entonces, el procedimiento simplificado
es valido para los distintos
comportamientos no lineales que a través del tiempo representan los aisladores sísmicos mediante el uso de la ecuación de Wen y para el modelo lineal que además representa la ecuación de wen ( α = 1 ) , esto es por la buena calidad de las aproximaciones que se obtuvieron, incluso utilizando métodos aproximados para la obtención de parámetros dinámicos (modo y frecuencia fundamental) necesarios para la aplicación del modelo. En definitiva, la validación del método simplificado planteada en nuestro estudio para un movimiento plano de edificios de varios pisos es
prueba suficiente para
analizar y resolver estructuras con aisladores sísmicos. El modelo es eficiente debido a que no
requiere de una gran cantidad de datos de entrada, esto
tiene efectos
positivos en el sentido que la posibilidad de cometer errores en el proceso de ingreso de datos disminuye, así como se permite, en poco tiempo, probar diferentes soluciones de estructuración del edificio y ver cuales serán las propiedades mecánicas mas efectivas para el dispositivo de aislación sísmica a utilizar, todo esto con el fin de determinar la solución mas óptima desde el punto de vista del comportamiento sismorresistente de edificios
aislados.
Por
lo
dicho
anteriormente,
el
procedimiento
de
predimensionamiento pasa a ser entonces un proceso bastante simple y muy importante, especialmente para el profesional que no cuenta con mucha experiencia. Por lo tanto, los resultados de este procedimiento simplificado deben ser usados solo para controlar y verificar los resultados de los "análisis exactos", pues solamente son indicadores del orden de magnitud de los resultados exactos.
98
BIBLIOGRAFÍA
BOZZO, L. 1996. Análisis de edificios con sistemas de aislamiento de base. En: BARBAT, A.; L. AGUIAR, eds. Ingeniería de estructuras. Escuela superior politécnica del ejército. Quito, Ecuador. 1(1): 17-38
BURDEN R.; J. D. FAIRES. 1998. Análisis Numérico. 6ª Edición, International Thomson Editores.
COMPUTER AND STRUCTURES, INC. 1997. SAP2000 integrated finite element analysis and design of structures; basic analysis reference. Berkeley, California, EE.UU., vol. 1.
CHAPRA,S.; R. CANALE. 1988. Métodos numéricos para ingenieros con aplicaciones en computadores personales. Ciudad de México, Mc Graw-Hill Interamericana. 639 p.
CHOPRA, A. 2001. Dynamic of Structures. Theory and Applications to Earthquake Engineering. New Jersey. Prentice Hall. Englewood Cliffs.
CRUZ, E.; A. CHOPRA. A. 1985. Simplified methods of analysis for earthquake resistant design of
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100
ANEXOS
Como fuente adicional se presentan algunos resultados tabulados y gráficos de nuestro estudio, además de los programas desarrollados en el
lenguaje de la
herramienta de calculo MATLAB.
ANEXO A: Análisis modelo dinámico de edificio de dos grados de libertad con aislación basal. Se presenta procedimiento numérico simplificado para el análisis dinámico de edificios con 2 grados de libertad. Primero
se obtienen las ecuaciones de estado,
provenientes de la teoría lineal, para los dos casos de comportamiento de la base aislada, las cuales se resuelven aplicando método numérico de Runge Kutta de cuarto orden mediante algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo MATLAB.
Se
muestran lo resultados gráficamente y tabulados para su comparación con los resultados obtenidos del programa ETABS nonlinear.
ANEXO B:
Programas en lenguaje Matlab de análisis de modelo dinámico de
edificios con base fija mediante métodos aproximados. Se presentan los algoritmos desarrollados en la herramienta de cálculo MATLAB. Para los dos métodos aproximados utilizados. Método de Cruz y Chopra y método de Ritz
ANEXO
C:
Programa en lenguaje Matlab de método simplificado de análisis de
edificios con aisladores sísmicos. Se presenta algoritmo desarrollado en la herramienta de cálculo MATLAB para el análisis de edificios con aisladores sísmicos.
ANEXO D: Resultados Análisis de respuesta en el tiempo edificios con base aislada considerando parámetros dinámicos aproximados Se presentan resultados gráficos obtenidos de los registros de Llolleo y Northridge de los análisis de edificios con aisladores sísmicos donde se considera el uso de los parámetros dinámicos mediante métodos aproximados.
ANEXO E: Resultados tabulados de análisis de respuesta en el tiempo edificios con base aislada. Se presentan los resultados tabulados obtenidos de los registros de Llolleo, Northridge y Kobe para la los 2 modelos estructurales con base aislada. 101
ANEXO A: ANÁLISIS MODELO DINÁMICO DE EDIFICIO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD CON AISLACION BASAL.
A.1.- MODELO DINÁMICO DE EDIFICIO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD CON AISLACION BASAL.
Considerando el eje de fundación como nuestro punto de referencia es decir u g =0 Se tiene las expresiones en coordenadas relativas: vb = u b
vs = us − ub
Entonces, las ecuaciones que representan el modelo dinámico del edificio con aisladores sísmicos de comportamiento lineal son: ..
..
.
..
ms v s + ms v b + c s v s + k s v s = −ms u g
(ms + mb ) v b + ms v s + cb v b + k b vb ..
..
.
..
= − ( m s + mb ) u g
Y las ecuaciones que representan el modelo dinámico del edificio con aisladores sísmicos de comportamiento no lineal son: ..
..
.
..
m v s + m v b + c v s + k s v s = −m u g
(m + mb ) v b + m v s + cb v b + k b vb + (1 − α )k b Z = −(m + mb ) u g ..
..
.
..
Aplicando el procedimiento planteado en capitulo V para la resolución de los sistemas de los modelos planteados se tiene:
A.1.1.-
Ecuación de Estado de modelo dinámico de edificio de un piso con
aislación basal de comportamiento Lineal. ⎧ . ⎫ ⎡ 0 ⎪ x.1 ⎪ ⎢ k b ⎪⎪ x ⎪⎪ ⎢ m − M s 2 ⎨ . ⎬=⎢ 0 ⎢ ⎪ x3 ⎪ − kb ⎪ . ⎪ ⎢ ⎪⎩ x 4 ⎪⎭ ⎢⎣ m s − M
1 cb ms − M 0 − cb ms − M
0 − ks ms − M 0 k k − ms − M ms
102
0 ⎤ −c ⎥ ⎧ x1 ⎫ ⎧0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ m s − M ⎥ ⎪ x 2 ⎪ ⎪1⎪ .. ⎥⎨ ⎬ − ⎨ ⎬ u g 1 0 ⎥ x3 c c ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎪0⎪ − m s − M m s ⎥⎦ ⎩ 4 ⎭ ⎩ ⎭
.
.
donde x1 = vb , x 2 = vb , x3 = v s , x 4 = v s
A.1.2.-
Ecuación de Estado de modelo dinámico de edificio de un piso con
aislacion basal de comportamiento No Lineal. x2 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ (1 − α )k b αk b cb c k ⎥ x5 x4 + x3 − x2 − x1 + ⎧. ⎫ ⎢ ⎥ ⎧0⎫ ⎢ x ms − M ms − M ms − M ms − M ms − M ⎪ .1 ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪x ⎪ ⎥ ⎪1⎪ .. ⎪⎪ .2 ⎪⎪ ⎢ ⎢ ⎥ − ⎪0⎪ u x 4 ⎨ x3 ⎬ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ g ⎪. ⎪ ⎢ ⎥ ⎪0⎪ ⎪x 4 ⎪ ⎢ αk ⎛ k ⎛ c (1 − α )k b ⎥ ⎪⎪0⎪⎪ cb k ⎞ c⎞ b ⎪. ⎪ ⎢ − ⎟⎟ x3 + ⎜⎜ − ⎟⎟ x 4 + x1 − x 2 + ⎜⎜ x5 ⎥ ⎩ ⎭ ⎪⎩ x5 ⎪⎭ ms − M ms − M ms − M ⎥ ⎝ m s −M m s ⎠ ⎝ ms − M m ⎠ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ n n −1 Ax2 − βx 2 x5 + γ x 2 x5 x5 ⎦⎥ ⎣⎢
(
.
)
.
donde x1 = vb , x 2 = vb , x3 = v s , x 4 = v s
Para obtener la solución de la ecuaciones de estado planteadas o respuesta en tiempo discreto se aplico método numérico de Runge Kutta de 4º orden mediante un programa desarrollado en la herramienta de calculo MATLAB.
A.2 EJEMPLO DESARROLLADO
A.2.1.- Parámetros de Edificio de un piso
Se calculó el comportamiento de un edificio de un piso de hormigón armado estructurado en base a pilares de 30x30 cm. de espesor, vigas de 20/80 cm, losas de 15 cm de espesor (Figura A.2.1-1).
Figura A.2.1-1 Edificio un Piso 103
A.2.2 Parámetros Aisladores Sísmicos Para el análisis sísmico se consideró dos diferentes dispositivos de aislación sísmica, cuyas propiedades son las siguientes:
A.2.2.1
Caso Nº1: Aislador de comportamiento Lineal
1.- Rigidez Equivalente de la Base Aislada k b = 7.6 Ton cm 2.- Rigidez del Edificio k s = 47.54 Ton cm 3.- Masa de la base Aislada
mb = 0.4 Ton ⋅ seg 2 cm
4.- Masa del Edificio = ms = 0.4 Ton ⋅ seg 2 cm 5.- Amortiguación Equivalente viscoelástica cb =0.493 Ton ⋅ seg cm con un factor de amortiguamiento β b =10% 6.- Amortiguación Equivalente viscoelástica edificio c =0 Ton ⋅ seg cm 7.- Numero de Aisladores = 4
A.2.2.2 Caso Nº2: Aislador de Comportamiento No Lineal aplicando modelo de Wen. 1.- Rigidez Equivalente de la Base Aislada k b (Inicial) = 7.6 Ton cm 2.- Rigidez del Edificio k s = 47.54 Ton cm 3.- Masa de la base aislada
mb = 0.4 Ton ⋅ seg 2 cm
4.- Masa del Edificio = ms = 0.4 Ton ⋅ seg 2 cm 5.- Amortiguación equivalente viscoelástica cb = 0.493 Ton ⋅ seg cm con un factor de amortiguamiento β b =10% 6.- Amortiguación Equivalente viscoelástica edificio c =0 Ton ⋅ seg cm 7.- Razón de Rigidez de post- fluencia α = 0.6 8.- Factor de Escala A =1 9.- Parámetro de Forma β =0.5 10.- Parámetro de Forma γ =0.5 11.- Parámetro de transición n = 2 12.- Numero de Aisladores = 4
A.2.3 Solicitación Sísmica El análisis dinámico se realizó con la siguiente solicitación sísmica: - Aceleración basal en u g = 200 sen(3πt ) cm s 2 , con un paso de tiempo ∆t = 0.01 seg. La ..
duración de la solicitación es de 20 segundos (2000 pasos) en dirección X. 104
A.2.4 Resultados Obtenidos: Los resultados se presentan en coordenadas absolutas para poder compáralos con los obtenidos por los programa ETABS nonlinear Desplazamiento de la base: ub = vb Desplazamiento del Piso: us = vb + vs Caso 1: Aislador de Comportamiento Lineal
T (seg.) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 . . . . . 10.50 10.51 10.52 10.53 10.54 10.55 10.56 10.57 10.58 10.59 10.60 10.61 10.62 10.63 . . . 19.88 19.89 19.90 19.91 19.92 19.93 19.94 19.95 19.96 19.97 19.98 19.99 20.00
M.SIMPLIFICADO D. Base D. Piso (cm.) (cm.) 0.0000 0.0000 -0.0003 -0.0003 -0.0025 -0.0025 -0.0084 -0.0084 -0.0197 -0.0200 -0.0382 -0.0388 -0.0654 -0.0668 -0.1028 -0.1054 -0.1517 -0.1562 -0.2134 -0.2207 -0.2890 -0.3001 -0.3792 -0.3955 -0.4850 -0.5079 -0.6067 -0.6381 . . . . . . . . . . -2.4233 -2.7324 -2.4180 -2.7082 -2.3918 -2.6606 -2.3450 -2.5902 -2.2783 -2.4978 -2.1921 -2.3841 -2.0875 -2.2503 -1.9654 -2.0978 -1.8269 -1.9278 -1.6734 -1.7421 -1.5062 -1.5424 -1.3271 -1.3305 -1.1375 -1.1084 -0.9394 -0.8781 . . . . . . -2.0962 -2.2806 -1.9863 -2.1418 -1.8588 -1.9839 -1.7148 -1.8083 -1.5555 -1.6166 -1.3823 -1.4106 -1.1968 -1.1919 -1.0007 -0.9626 -0.7956 -0.7247 -0.5833 -0.4802 -0.3658 -0.2314 -0.1450 0.0195 0.0773 0.2704
ETABS D. Base D. Piso (cm.) (cm.) 0.0000 0.0000 -0.0003 -0.0003 -0.0025 -0.0025 -0.0084 -0.0084 -0.0198 -0.0198 -0.0384 -0.0385 -0.0659 -0.0662 -0.1038 -0.1043 -0.1535 -0.1544 -0.2163 -0.2179 -0.2932 -0.2960 -0.3853 -0.3896 -0.4933 -0.4999 -0.6179 -0.6274 . . . . . . . . . . -2.4067 -2.7131 -2.3921 -2.6972 -2.3568 -2.6579 -2.3013 -2.5957 -2.2262 -2.5112 -2.1320 -2.4053 -2.0199 -2.2791 -1.8908 -2.1337 -1.7461 -1.9705 -1.5869 -1.7910 -1.4150 -1.5970 -1.2317 -1.3903 -1.0389 -1.1726 -0.8383 -0.9462 . . . . . . -2.0459 -2.3122 -1.9284 -2.1807 -1.7937 -2.0297 -1.6431 -1.8608 -1.4779 -1.6752 -1.2995 -1.4748 -1.1095 -1.2612 -0.9097 -1.0364 -0.7017 -0.8023 -0.4874 -0.5610 -0.2687 -0.3146 -0.0475 -0.0654 0.1742 0.1845
105
ERROR ABSOLUTO Base Piso (cm.) (cm.) 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0001 -0.0003 0.0003 -0.0006 0.0006 -0.0011 0.0011 -0.0018 0.0018 -0.0028 0.0028 -0.0042 0.0041 -0.0061 0.0058 -0.0083 0.0080 -0.0112 0.0107 . . . . . . . . . . 0.0166 0.0193 0.0259 0.0110 0.0350 0.0027 0.0437 -0.0055 0.0522 -0.0134 0.0601 -0.0212 0.0676 -0.0288 0.0746 -0.0359 0.0808 -0.0427 0.0865 -0.0489 0.0913 -0.0546 0.0954 -0.0598 0.0986 -0.0642 0.1011 -0.0681 . . . . . . 0.0503 -0.0316 0.0579 -0.0389 0.0651 -0.0458 0.0717 -0.0525 0.0776 -0.0586 0.0828 -0.0642 0.0873 -0.0693 0.0910 -0.0738 0.0939 -0.0776 0.0960 -0.0807 0.0971 -0.0832 0.0975 -0.0849 0.0969 -0.0859
Caso 2: Aislador de Comportamiento No Lineal
T (seg.) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 . . . . . 10.50 10.51 10.52 10.53 10.54 10.55 10.56 10.57 10.58 10.59 10.60 10.61 10.62 10.63 . . . . . 19.88 19.89 19.90 19.91 19.92 19.93 19.94 19.95 19.96 19.97 19.98 19.99 20.00
M.SIMPLIFICADO D. Base (cm.) 0.0000 -0.0003 -0.0025 -0.0084 -0.0197 -0.0382 -0.0654 -0.1028 -0.1517 -0.2134 -0.2890 -0.3792 -0.4850 -0.6068 . . . . . -2.2333 -2.2213 -2.1886 -2.1356 -2.0628 -1.9707 -1.8603 -1.7326 -1.5888 -1.4302 -1.2583 -1.0748 -0.8813 -0.6797 . . . . . -2.0777 -1.9685 -1.8418 -1.6985 -1.5401 -1.3680 -1.1838 -0.9892 -0.7859 -0.5758 -0.3608 -0.1428 0.0763
D. Piso (cm.) 0.0000 -0.0003 -0.0025 -0.0084 -0.0200 -0.0388 -0.0668 -0.1054 -0.1562 -0.2207 -0.3001 -0.3955 -0.5079 -0.6381 . . . . . -2.4478 -2.4127 -2.3553 -2.2763 -2.1765 -2.0567 -1.9181 -1.7620 -1.5897 -1.4028 -1.2031 -0.9922 -0.7722 -0.5449 . . . . . -1.9344 -1.7965 -1.6406 -1.4682 -1.2806 -1.0797 -0.8671 -0.6447 -0.4145 -0.1785 0.0613 0.3026 0.5434
ETABS D. Base (cm.) 0.0000 -0.0003 -0.0025 -0.0084 -0.0199 -0.0386 -0.0663 -0.1045 -0.1545 -0.2177 -0.2952 -0.3880 -0.4969 -0.6224 . . . . . -2.3506 -2.3385 -2.3056 -2.2521 -2.1785 -2.0855 -1.9740 -1.8451 -1.6999 -1.5398 -1.3664 -1.1812 -0.9860 -0.7826 . . . . . -2.1051 -1.9963 -1.8696 -1.7261 -1.5671 -1.3942 -1.2088 -1.0126 -0.8076 -0.5955 -0.3782 -0.1578 0.0639
D. Piso (cm.) 0.0000 -0.0003 -0.0025 -0.0084 -0.0200 -0.0388 -0.0667 -0.1053 -0.1562 -0.2207 -0.3001 -0.3957 -0.5083 -0.6389 . . . . . -2.6563 -2.6278 -2.5760 -2.5014 -2.4047 -2.2867 -2.1485 -1.9913 -1.8167 -1.6261 -1.4213 -1.2041 -0.9764 -0.7404 . . . . . -2.3034 -2.1663 -2.0099 -1.8358 -1.6453 -1.4403 -1.2224 -0.9937 -0.7562 -0.5119 -0.2631 -0.0118 0.2396
106
ERROR ABSOLUTO Base (cm.) 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0002 -0.0005 -0.0010 -0.0017 -0.0028 -0.0043 -0.0063 -0.0088 -0.0119 -0.0155 . . . . . -0.1173 -0.1172 -0.1170 -0.1165 -0.1157 -0.1148 -0.1137 -0.1125 -0.1111 -0.1096 -0.1081 -0.1064 -0.1047 -0.1029 . . . . . -0.0274 -0.0278 -0.0278 -0.0276 -0.0270 -0.0261 -0.0250 -0.0235 -0.0217 -0.0197 -0.0175 -0.0150 -0.0124
Piso (cm.) 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0002 -0.0004 -0.0008 . . . . . -0.2085 -0.2151 -0.2207 -0.2251 -0.2282 -0.2300 -0.2304 -0.2293 -0.2270 -0.2233 -0.2182 -0.2119 -0.2043 -0.1955 . . . . . -0.3690 -0.3698 -0.3693 -0.3676 -0.3647 -0.3606 -0.3553 -0.3490 -0.3417 -0.3335 -0.3244 -0.3144 -0.3038
CASO Nº1: EDIFICIO DE 2GL CON AISLADORES DE COMPORTAMIENTO LINEAL
107
CASO Nº2: EDIFICIO DE 2GL CON AISLADORES DE COMPORTAMIENTO NO LINEAL
108
A.3 PROGRAMA EN LENGUAJE MATLAB
A.3.1.- Programa Principal: % Programa:"piso1k4wenA.m" % : Método Simplificado para análisis Dinámico de un Edificio de 2 gdl % con aisladores sísmicos de comportamiento Lineal y No Lineal. %: Aplicación de Ecuación de estado y Método numérico de Runge Kutta de 4º Orden % Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas y que representan el modelo dinámico. % se incorpora Ecuación de Wen que representa la no linealidad del modelo.
clear global mb ms kb k cb c a alfa beta gama n %Datos de Entrada:
%Parámetros Edificio de un piso: E=238.752;
% Modulo de Elasticidad T/cm^2
G=5*E/12;
% Modulo de Corte T/cm^2
hp=250;
% Altura del Piso cm
a=30;
% Dimensión Pilar cm
b=30;
% Dimensión Pilar cm
Ap=5*a*b/6;
% Área Pilar cm^2
Ip=a*b^3/12;
% Inercia Pilar cm^4
kp=(12*E*Ip*G*Ap)/(hp*(hp^2*G*Ap+12*E*Ip));
% Rigidez Pilar T/cm
ms=0.4;
% Masa de edificio 1 piso
T*s^2/cm
k=4*kp;
% Rigidez de edificio 1 Piso
T/cm
factor =0;
% factor de amortiguamiento Edificio
c=0;
% Amortiguamiento Edificio 1 piso
T*s/cm
%Parámetros Base Aislada: mb =0.4;
% Masa de la base aislada
T*s^2/cm
kb =7.6;
% Rigidez Equivalente de la Base Aislada
T/cm
factorb =0.1;
% Factor de amortiguamiento Base Aislada
cb= factorb*kb*(mb+ms)); % Amortiguamiento Equivalente Base Aislada T*s/cm
%Parámetros de wen: a=1;
% Factor de escala general.
alfa =0.6;
% Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal. (Caso Lineal alfa=1)
beta =0.5;
% Determina la forma de la curva.
gama =0.5;
% Determina la forma de la curva.
n=2;
% Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y la no lineal.
yo=[0 0 0 0 0]; % condiciones iniciales to=0;
% tiempo inicial
tf=20;
% tiempo Final
109
%Solución de la Ecuación de Estado "piso1k4wenB.m" mediante Runge Kutta de 4º Orden "rks4.m" [t,y]=rks4('piso1k4wenB',to,tf,yo,500);
%Resultados:
%Desplazamientos vb =y(:,1);
% desplazamiento de la base del edificio relativo a la fundación
vs =y(:,3);
% desplazamiento del piso del edificio relativo a la base
ub = vb;
% desplazamiento absoluto de la base del edificio
us = vb+vs; % desplazamiento absoluto del piso del edificio u = [ub us]; % desplazamientos absolutos del edificio
%gráficamente
figure(1) %Desplazamiento de la Base aislada del edificio con respecto a la fundación. Plot (t,ub),grid,xlabel('Tiempo t'),ylabel('ub') title('Desplazamiento de la Base del Edificio de un piso con A. Basal de Comportamiento No Lineal');
figure(2) %Desplazamiento del piso del edificio con respecto a la fundación. plot(t,us),grid,xlabel('Tiempo t'),ylabel('us') title('Desplazamiento del 1º Nivel del Edificio de un piso con A. Basal de Comportamiento No Lineal');
figure(3) plot(t,u),grid,xlabel('Tiempo t'),ylabel('u con respecto a la fundación') title('Respuesta en el Tiempo de Edificio de 1 piso con A. Basal de Comportamiento No Lineal');
A.3.2.- Function A: Ecuación de Estado a Solucionar. %Programa "piso1k4wenB.m" % Sistema de Ecuación diferencial de primer orden o Ecuación de % Estado que representa el comportamiento dinámico del edificio de 2 gdl % con aisladores sísmicos en su base de comportamiento no lineal frente a una Solicitación Sismica.
function A=piso1k4wenB(t,y) global mb ms kb k cb c a alfa beta gama n A=[y(2),... (alfa*kb*y(1)+cb*y(2)-k*y(3)-c*y(4)+(1-alfa)*kb*y(5))/(-mb)-200*sin(3*pi*t),... y(4),... -(k*y(3)+c*y(4))/ms-(alfa*kb*y(1)-k*y(3)+cb*y(2)-c*y(4)+(1-alfa)*kb*y(5))/(-mb),... a*y(2)-beta*y(2)*(abs(y(5)))^n-gama*abs(y(2))*(abs(y(5)))^(n-1)*y(5)];
110
ANEXO B: PROGRAMAS EN LENGUAJE MATLAB DE ANÁLISIS DEL MODELO DINÁMICO DE EDIFICIOS CON BASE FIJA MEDIANTE METODOS APROXIMADOS B.1 PROGRAMA EN LENGUAJE MATLAB MÉTODO APROXIMADO DE RAYLEIGH RITZ. % Programa: "MRitz" % Método Aproximado de Rayleigh Ritz, usando los Vectores de Ritz dependientes de cargas externas, % para el Calculo de Modo y Frecuencia Fundamental de vibrar de edificios de n grados de Libertad.
%Calculo frecuencia de vibrar y 1ºmodo de vibrar de edificio con base fija
clear all global mb m Kb wb w1 M1 L1 cb c1
%1.- Calculo de la Matriz de Rigidez del Edificio
E=238.752;
% Modulo de Elasticidad T/cm^2
G=5*E/12;
% Modulo de Corte T/cm^2
n=4;
% Numero de Pisos del Edificio
hm=250;
% Altura del Piso cm
% Muro 1 L1=600;
% Largo muro 1 cm
e1=20;
% Espesor del muro cm
I1=e1*L1^3/12;
% Inercia muro 1 cm^4
for i=1:n for j=1:i hi=i*hm; hj=j*hm; F1(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I1))*(1-hj/(3*hi)+L1^2/(2*hi*hj)); F1(j,i)=F1(i,j); end end F1;
% F1 = Matriz de Flexibilidad de un muro 1 cm/T
Km1=inv(F1);
% Km1 = Matriz de Rigidez del muro 1 T/cm
% Muro 2 L2=20;
% Largo muro 2 cm
e2=560;
% Espesor del muro cm
I2=e2*L2^3/12;
% Inercia muro 2 cm^4
111
for i=1:n for j=1:i hi=i*hm; hj=j*hm; F2(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I2))*(1-hj/(3*hi)+L2^2/(2*hi*hj)); F2(j,i)=F2(i,j); end end F2;
% F2 = Matriz de Flexibilidad de un muro 2 cm/T
Km2=inv(F2);
% Km2 = Matriz de Rigidez del muro 2 T/cm
% Muro 3 L3=20;
% Largo muro 3 cm
e3=280;
% espesor del muro cm
I3=e3*L3^3/12;
% Inercia muro 3 cm^4
for i=1:n for j=1:i hi=i*hm; hj=j*hm; F3(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I3))*(1-hj/(3*hi)+L3^2/(2*hi*hj)); F3(j,i)=F3(i,j); end end F3;
% F3 = Matriz de Flexibilidad de un muro 3 cm/T
Km3=inv(F3);
% Km3 = Matriz de Rigidez del muro 3 Edificio T/cm
% Pilar hp=250;
% Altura del Piso cm
a=30;
% Dimension Pilar cm
b=30;
% Dimensión Pilar cm
Ap=5*a*b/6;
% Area Pilar cm^2
Ip=a*b^3/12;
% Inercia Pilar cm^4
kp=(12*E*Ip*G*Ap)/(hp*(hp^2*G*Ap+12*E*Ip)); %Rigidez Pilar T/cm
Kpilar=kp*[2 -1 0 0; -1 2 -1 0; 0 1 2 -1; 0 0 -1 1]; N1=6;
% N1= Numero de Muros 1 del Edificio en la dirección correspondiente
N2=2;
% N2= Numero de Muros 2 del Edificio en la dirección correspondiente
N3=4;
% N3= Numero de Muros 3 del Edificio en la dirección correspondiente
Np=0;
% Np= Numero de Pilares del Edificio en la dirección correspondiente
112
K=N1*Km1+N2*Km2+N3*Km3+Np*Kpilar;
% K = Matriz de Rigidez del Edificio T/cm
M=[0.3536 0.0000 0.0000 0.0000; 0.0000
0.3536 0.0000 0.0000; % M = Matriz de Masa del edificio T*s^2/cm
0.0000
0.0000 0.3536 0.0000;
0.0000
0.0000 0.0000 0.2501];
%2.-Generación de Vectores Ritz dependientes de cargas externas [m,n]=size(M); S=M*ones(n,1);
% S = Vector de Carga Externa
y1=inv(K)*S; v1=y1/(y1'*M*y1)^0.5;
% v= Vectores de Ritz 1
y2=inv(K)*M*v1; a12=v1'*M*y2; f2=y2-a12*v1; v2=f2/(f2'*M*f2)^0.5;
% v= Vectores de Ritz 2
v=[v1 v2];
% v= Vectores de Ritz
%3.-solucion del problema de valores propios de orden menor r1=v'*K*v; r2=v'*M*v; [Z1,Z2]=eig(r1,r2); w1=sqrt(Z2(1,1));
% Frecuencia Fundamental de Vibrar de Edificio con base fija
T=2*pi/w1;
% Periodo Fundamental de Vibrar de Edificio con base fija
ZZ=1*v*Z1; modo1=ZZ(:,1);
% 1ºModo de Vibrar de Edificio con base fija
Ymodo=[0;250;500;750;1000]; Xmodo=[0;ZZ(1,1);ZZ(2,1);ZZ(3,1);ZZ(4,1)]; plot(abs(Xmodo),Ymodo);grid,xlabel('Xmodo'),ylabel('Y modo')
113
B.2 PROGRAMA EN LENGUAJE MATLAB MÉTODO DE E. CRUZ Y A. CHOPRA %Programa:"MCruzyChopra.m" %
: Método Aproximado de E.Cruz Y A. Chopra para el Cálculo de Modo y Frecuencia Fundamental
%
de Vibrar de Edificios de n Grados de Libertad.
%Calculo frecuencia de vibrar y 1ºmodo de vibrar de edificio con base fija clear all global mb m Kb wb w1 M1 L1 cb c1 %Cálculo de la Matriz de Rigidez del Edificio E=238.752;
% Modulo de Elasticidad T/cm^2
G=5*E/12;
% Modulo de Corte T/cm^2
n=4;
% Numero de Pisos del Edificio
hm=250;
% Altura del Piso cm
% Muro 1 L1=600;
% Largo muro 1 cm
e1=20;
% Espesor del muro cm
I1=e1*L1^3/12;
% Inercia muro 1 cm^4
for i=1:n for j=1:i hi=i*hm; hj=j*hm; F1(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I1))*(1-hj/(3*hi)+L1^2/(2*hi*hj)); F1(j,i)=F1(i,j); end end F1;
% F1 = Matriz de Flexibilidad de un muro 1 cm/T
Km1=inv(F1);
% Km1 = Matriz de Rigidez del muro 1 T/cm
% Muro 2 L2=20;
% Largo muro 2 cm
e2=560;
% Espesor del muro cm
I2=e1*L2^3/12;
% Inercia muro 2 cm^4
for i=1:n for j=1:i hi=i*hm; hj=j*hm; F2(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I2))*(1-hj/(3*hi)+L2^2/(2*hi*hj)); F2(j,i)=F2(i,j); end end
114
F2;
% F2 = Matriz de Flexibilidad de un muro 2 cm/T
Km2=inv(F2);
% Km2 = Matriz de Rigidez del muro 2 T/cm
% Muro 3 L3=20;
% Largo muro 3 cm
e3=280;
% espesor del muro cm
I3=e1*L3^3/12;
% Inercia muro 3 cm^4
for i=1:n for j=1:i hi=i*hm; hj=j*hm; F3(i,j)=hj^2*hi/(2*(E*I3))*(1-hj/(3*hi)+L3^2/(2*hi*hj)); F3(j,i)=F3(i,j); end end F3;
% F3 = Matriz de Flexibilidad de un muro 3 cm/T
Km3=inv(F3);
% Km3 = Matriz de Rigidez del muro 3 Edificio T/cm
% Pilar hp=250;
% Altura del Piso cm
a=30;
% Dimensión Pilar cm
b=30;
% Dimensión Pilar cm
Ap=5*a*b/6;
% Area Pilar cm^2
Ip=a*b^3/12;
% Inercia Pilar cm^4
kp=(12*E*Ip*G*Ap)/(hp*(hp^2*G*Ap+12*E*Ip)); %Rigidez Pilar T/cm
Kpilar = kp*[2 -1 0 0; -1 2 -1 0; 0 1 2 -1; 0 0 -1 1];
N1=6;
% N1= Numero de Muros 1 del Edificio en la dirección correspondiente
N2=2;
% N2= Numero de Muros 2 del Edificio en la dirección correspondiente
N3=4;
% N3= Numero de Muros 3 del Edificio en la dirección correspondiente
Np=0;
% Np= Numero de Pilares del Edificio en la dirección correspondiente
K=N1*Km1+N2*Km2+N3*Km3+Np*Kpilar;
% K = Matriz de Rigidez del Edificio T/cm
115
% M = Matriz de Masa del Edificio T*s^2/cm
M=[0.3536 0.0000 0.0000 0.0000; 0.0000 0.3536 0.0000 0.0000; 0.0000 0.0000 0.3536 0.0000; 0.0000 0.0000 0.0000 0.2501];
[m,n]=size(M); S=M*ones(n,1);
% S = Vector de Masas del Edificio T*s^2/cm
H=[250;500;750;1000];
% H = Vector de Alturas de piso cm
ht=H(4,1);
% ht = Altura de Edificio cm
delta=1.745;
% parámetro que se ha correlacionado con el tipo de estructura y relacionado % con la razón de rigidez de la estructura.
Z1=(H/ht).^delta; r1=Z1'*K*Z1; r2=Z1'*M*Z1; MN1=Z1/(r2)^0.5;
% 1ºModo de Vibrar de Edificio con base fija
w1=sqrt(r1/r2);
% Frecuencia Fundamental de Vibrar de Edificio con base fija rad/seg
T1=2*pi/w1;
% Periodo Fundamental de Vibrar
Ymodo=[0;250;500;750;1000]; Xmodo=[0;MN1(1,1);MN1(2,1);MN1(3,1);MN1(4,1)]; plot(abs(Xmodo),Ymodo);grid,xlabel('Xmodo'),ylabel('Y modo')
116
ANEXO C: PROGRAMA EN LENGUAJE MATLAB DE MÉTODO SIMPLIFICADO DE ANÁLISIS DE EDIFICIOS CON AISLADORES SÍSMICOS
C.1 PROGRAMA EN LENGUAJE MATLAB
C.1.1.- Programa Principal: %Programa:"MSEASNL.m" % : Método Simplificado para análisis Dinámico de Edificios % con aisladores sísmicos de comportamiento No lineal. % : Aplicación de Ecuación de estado y Método numérico de Runge Kutta de 4º Orden % Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas y que representan el modelo dinámico. % se incorpora Ecuación de Wen que representa la no linealidad del modelo. %
**************************************************
%
*
%
* L1*qb+y1+2w1b1*y1+w1^2*y1=- L1*ug
*
%
* .
*
%
* qb +2Bbwb*qb+alfa*wb^2*qb+(1-alfa)*wb^2*Z+L1M1*y1/(m+mb)=-ug *
%
* .
%
* Z =A*qb-(beta*qb^(abs(Z))^2 +gama*(abs (qb))*(abs(Z))^(n-1)*Z
*
%
*
*
%
**************************************************
.. ..
.
.
.
..
..
.
*
..
.
*
% clear all global mb m Kb wb w1 M1 L1 cb c1 alfa beta gama coefa n
%1.-Datos de Entrada: % Parametros del Edificio: M=[0.3536 0.0000 0.0000 0.0000; % Matriz de Masa del Edificio T*s^2/cm 0.0000 0.3536 0.0000 0.0000; 0.0000 0.0000 0.3536 0.0000; 0.0000 0.0000 0.0000 0.2501]; [m,n]=size(M); T1=0.08462;
% Periodo Fundamental del edificio con Base Fija seg
w1=2*pi/T1;
% Frecuencia Natural de Vibrar de Edificio con base fija rad /seg
ZZ=[0.2626; 0.6345; 1.0220;
% 1º Modo de Vibrar de Edificio con base fija
1.3620]; m=1.3108;
% Masa Total Edificio
T*s^2/cm
face=0;
% Factor de amortiguamiento Edificio
c1=2*face*w1*m;
% Amortiguamiento Edificio
117
T*s/cm
M1=ZZ'*M*ZZ;
% Masa Modal efectiva
T*s^2/cm
L1=ZZ'*M*ones(n,1)/M1;
% Factor de participación modal de Edificio con base fija
%Parámetros Base Aislada: mb=0.3616;
% Masa total de la Base Aislada
T*s^2/cm
Kb=1.7*20;
% Rigidez Equivalente de la Base Aislada
T/cm
wb=sqrt(Kb/(m+mb));
% Frecuencia Natural de la base aislada
rad/seg
Tb=2*pi/wb;
% Periodo de la base aislada
seg
facb=0.1;
% Factor de amortiguamiento
cb=2*facb*wb*(m+mb);
% Amortiguamiento Equivalente Base Aislada T*s/cm
% Parametros de Forma adimensionales del Modelo de Wen alfa=0.6;
% Razón de proporción entre la fuerza lineal y la fuerza no lineal.
beta=0.5;
% Determina la forma de la curva.
gama=0.5;
% Determina la forma de la curva.
coefa=1;
% Factor de escala general.
n=2;
% Regula la suavidad de la transición entre la región lineal y la no lineal.
%Solucion de la Ecuacion de Estado "EDENL.m" mediante Runge Kutta de 4ºorden "rks4.m" to=0;
% Tiempo Inicial
seg
tf=116.43;
% Tiempo Final
seg
yo=[0 0 0 0 0];
% Vector de Condiciones Iniciales
[t,x]=rks4('EDENL',to,tf,yo,23286);
%2.- Resultados: %Desplazamiento de la Base aislada del edificio relativo a la fundación . qb=x(:,1);
%Desplazamientos de cada Nivel del Edificio relativos a la Base q1=x(:,3)*ZZ(1,1); q2=x(:,3)*ZZ(2,1); q3=x(:,3)*ZZ(3,1); q4=x(:,3)*ZZ(4,1);
%Desplazamientos de cada Nivel del Edificio c/r a la fundación qa1=x(:,3)*ZZ(1,1)+x(:,1); qa2=x(:,3)*ZZ(2,1)+x(:,1); qa3=x(:,3)*ZZ(3,1)+x(:,1); qa4=x(:,3)*ZZ(4,1)+x(:,1);
% Vector de Estado que Representa la Respuesta Del Edificio q=[qb qa1 qa2 qa3 qa4];
118
% Gráficamente:
%Desplazamiento de la Base aislada del edificio relativo a la fundación. figure(1) plot(t,qb);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('qb(cm)') title('Desp. de la Base del Edificio con Aisladores Sismicos de Comportamiento No Lineal(MSEASNL)');
figure(2) %Desplazamientos de cada Nivel del Edificio c/r a la fundación subplot(4,1,1),plot(t,qa1);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('qa1 (cm)') title('Desp. de cada Nivel del Edificio con Aisladores Sismicos de Comportamiento NoLineal(MSEASNL)'); subplot(4,1,2),plot(t,qa2);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('qa2 (cm)') subplot(4,1,3),plot(t,qa3);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('qa3 (cm)') subplot(4,1,4),plot(t,qa4);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('qa4 (cm)')
figure(3) % Vector de Estado que Representa la Respuesta Del Edificio plot(t,q);grid,xlabel('Tiempo (t)'),ylabel('Desplazamiento q (cm)') title('Respuesta en el Tiempo del Edificio con A. Basal de Comportamiento No Lineal (MSEASNL)');
C.1.2.- Function A: Ecuación de Estado a Solucionar. %EDENL.m %Sistema de Ecuación diferencial de primer orden o Ecuación de Estado que representa el comportamiento %dinamico del edificio con aisladores sismicos en su base de comportamiento no lineal frente a una Solicitación Sismica.
function A=EDENL(t,x) global mb m Kb wb w1 M1 L1 cb c1 alfa beta gama coefa n A=[x(2),(-alfa*wb^2*x(1)-cb*x(2)/(m+mb)+L1*M1*w1^2*x(3)/(m+mb)+c1*L1*M1*x(4)/(m*(m+mb))-... (1-alfa)*wb^2*x(5))/(1-L1^2*M1/(m+mb))-fed(t),x(4),(alfa*wb^2*L1*x(1)+cb*L1... *x(2)/(m+mb)-w1^2*x(3)-c1*x(4)/m+(1-alfa)*wb^2*L1*x(5))/(1-L1^2*M1/(m+mb)),coefa... *x(2)-beta*x(2)*(abs(x(5)))^2-gama*abs(x(2))*(abs(x(5)))^(n-1)*x(5)];
119
C.1.3.- Function [T,Z]: Método Numérico de Runge Kutta 4º. %Programa "rks4.m" %Método de Runge-Kutta de Orden N=4 para Sistemas. %Construcción de Aproximaciones a la Solución del Sistema de Ecuaciones Diferenciales %
x1(t)=f1(t,x1(t),......,xn(t))
%
.
%
xn(t)=fn(t,x1(t),......,xn(t))
%con x1(a)= alfa1,......,xn(a)=alfa n en el intervalo [a,b]
function [T,Z]=rks4(F,a,b,Za,M) %Datos % - F es la función, almacenada como una % cadena de caracteres o 'F' % - a y b son los extremos derecho e izquierdo % del intervalo % - Z=[x1(a)...xn(a)] es la condición inicial % - M es el número de pasos
% Resultado % - T el vector de los nodos % - Z = [x1(a)...xn(a)]; donde xk(t) es la aproximación % a la k-ésima variable dependiente h=(b-a)/M; T=zeros(1,M+1); Z=zeros(M+1,length(Za)); T=a:h:b; Z(1,:)=Za;
for j=1:M k1=h*feval(F,T(j),Z(j,:)); k2=h*feval(F,T(j)+h/2,Z(j,:)+k1/2); k3=h*feval(F,T(j)+h/2,Z(j,:)+k2/2); k4=h*feval(F,T(j)+h,Z(j,:)+k3); Z(j+1,:)=Z(j,:)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end
120
C.1.4.- Function fed (t): Ingreso de Solicitación Sísmica %SISMO Northridge Componente 90º (Santa Monica) 1994. function f=fed(t) F= [ 0.000 2.321 0.020 1.647 0.040 0.854 0.060 -0.188 0.080 -1.492 0.100 -0.155 0.120 1.559 0.140 1.468 0.160 1.468 0.180 0.234 0.200 -1.725 0.220 -0.507 0.240 0.331 0.260 0.014 0.280 1.031 .
.
.
.
.
.
.
.
59.800 -1.544 59.820 -1.543 59.840 -1.556 59.860 -1.688 59.880 -1.233 59.900 -1.169 59.920 -0.384 59.940 -0.754 59.960 -0.135 59.980 -0.678]; n=length(F); if(t>F(n,1)) f=0; end
for i=1:n-1 if((t>=F(i,1))&(t
