Los números enteros Objetivo específico Recordar algunas características del conjunto de los números enteros y de las operaciones de suma y multiplicación con enteros, para así enriquecer tu desempeño aritmético y poder acceder con mejores herramientas al estudio del Álgebra. ¡La mejor forma de aprender es hacer! En el transcurso de este subtema te presentamos ejemplos y situaciones que te ayudarán a entender las operaciones con números enteros. Después de una breve explicación, se incluyen preguntas o ejercicios para que vayas reforzando lo aprendido o incluso para que tú descubras en un ejemplo concreto, algún aspecto que vas a estudiar de manera general. ¡La mejor forma de aprender es hacer! También hay momentos de autoevaluación para que puedas saltarte actividades cuando ya poseas el conocimiento que se va a trabajar en alguna sección. El propio programa se encargará de llevarte a las secciones adecuadas para ti. ¡Adelante! Contesta las siguientes preguntas sobre características básicas del conjunto de los números enteros para que conozcas tu nivel de dominio. Si obtienes cinco aciertos, ya sabes lo correspondiente a esta sección y el programa te llevará a la siguiente, en la que se trabaja la suma de enteros. De no ser así, repasaremos juntos los elementos que te permitirán seguir avanzando.

Quiénes son los números enteros

En los temas anteriores revisamos el sistema de numeración decimal para repasar algunas características de la forma en que se escriben los números reales.También repasamos algunos aspectos de las operaciones aritméticas de números naturales. ¿Recuerdas que los naturales empiezan con el número uno y los demás se generan al sumar una unidad al anterior? Ahora iniciamos un repaso sobre el conjunto de los números enteros, que también es un subconjunto de los números reales.En los enteros, además de los naturales, agregamos el cero y los enteros negativos, por lo que sus elementos son: {- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2 , 3, 4, 5, } Ya sabes que la introducción del cero permitió construir sistemas de numeración posicional y su importancia es incuestionable, pero te preguntarás ¿por qué es necesario considerar los números con signo negativo? La necesidad de hacer distinciones

Veamos cómo utilizar los signos para representar éstas y otras situaciones. Algunas convenciones para asignar signos Para representar estas situaciones, donde además de la cantidad requerimos especificar antes y después, por debajo o por arriba de cero, ganancia o pérdida, goles a favor o en contra, aumento o disminución del peso, etcétera, podemos recurrir a los números con signo. Es decir, los números enteros nos ayudan a hacer distinciones de ciertas características. Observa los ejemplos de la siguiente tabla en los que se proporcionan algunas convenciones para la asignación de signos. Situación

Signo Negativo

Signo Positivo

Fechas en años

Antes de Cristo

Después de Cristo

Temperatura en °C

Bajo cero

Sobre cero

Goles anotados

En contra

A favor

Finanzas

Pérdidas

Ganancias

Control de peso

Disminución

Aumento

Transacciones bancarias

Retiros

Depósitos

¡Vamos al Everest! El relieve de nuestro planeta es otro aspecto en el que podemos utilizar números con signo para distinguir entre altitud y profundidad. Analiza la siguiente información:

El Everest, el pico más alto del mundo, se encuentra en la cordillera del Himalaya entre Nepal y el Tíbet a 8 848m sobre el nivel del mar, por el contrario, la Fosa de las Islas Marianas es el sitio más profundo del que se tiene conocimiento y se localiza en el oeste del océano Pacífico teniendo una profundidad de 11 520 m bajo el nivel del mar. Asignemos el cero al nivel del mar;

Representaciones gráficas donde se usa el orden de los enteros Al igual que los números naturales, los enteros también nos ayudan a ordenar sucesos, medidas, ubicaciones, rendimientos y otros rubros. Los naturales son insuficientes para señalar un orden cuando existe la necesidad de hacer una distinción como ya viste en los ejemplos previos. Veamos dos situaciones. Primer ejemplo. En Historia se utiliza lo que se denomina una línea del tiempo, como un recurso gráfico para ubicar diversos sucesos en función de la fecha en la que se llevaron a cabo.

Observa que junto con la fecha que señala cuándo sucedió un acontecimiento se incorporan dibujos y frases en la franja y también se colocan otros hechos. Esto ayuda a vislumbrar cuáles sucesos son simultáneos, anteriores o posteriores al que se está estudiando. Sin embargo, por los dibujos de diferente tamaño, no siempre es posible respetar el mismo espacio que se asigna a una cantidad fija de años transcurridos, ya que la línea del tiempo no es un instrumento de medida. Su objetivo radica en sintetizar con un diagrama el devenir de los acontecimientos y las posibles vinculaciones entre ellos. Lo que sí es indispensable es colocar las fechas en orden.

Ahora ¡Vamos a China! En las casillas de la siguiente franja, ubica los sucesos sobre la Cultura china que se dan en desorden. Arrastra con el ratón las fechas que aparecen en cada inciso al cuadro en el que consideres que deben estar ubicadas. Cultura china La Cultura china, al igual que la de Mesopotamia y Egipto, se desarrolla a orillas de un río. En el caso de China, es el Hoang-Ho, o río Amarillo. Se han encontrado restos del homo erectus cerca de Pekín, que se remontan a 4 600 años a.C. Hay pruebas fehacientes de la existencia de dos culturas con cerámica, la cultura Yangshao (3 950 a 1 700 a.C.) y la cultura de Longshan (2 000 a 1 850 a.C.). China permaneció aislada de occidente hasta el siglo XIV de nuestra era. Además de los datos que se proporcionan, los chinos inventaron el papel, poseen una riqueza de tradiciones y se han destacado en el conocimiento de la herbolaria y las artes marciales.

Segundo ejemplo. En el estudio de fenómenos físicos, es indispensable elegir una unidad de medida, y con ella establecer una escala que debe permanecer sin alteración, ya sea en representaciones gráficas o en instrumentos de medición. Un ejemplo de ello es el termómetro. ¿Te imaginas las complicaciones para leer la temperatura si asignamos diferentes espacios entre un grado y otro, o bien si al colocar los números en las marcas estuvieran en desorden? Escala En un instrumento de medición, la escala es una serie de divisiones de igual tamaño asociadas a una unidad de medida. Puede incluir otras marcas para indicar a los múltiplos o submúltiplos de la unidad considerada. Por ejemplo, en el metro lineal tenemos marcas para indicar los decímetros, centímetros y milímetros.

¡Qué frío! Ordena de menor a mayor las siguientes temperaturas registradas en Europa en el invierno de 2005, y ubícalas en el dibujo de un termómetro circular para medir la temperatura del medio ambiente.

Ubicación de los números enteros en la recta real La recta de los números reales o recta numérica, es un modelo gráfico que nos permite visualizar cómo deben colocarse los números reales y en particular los enteros, sin importar que se refieran a temperaturas, años transcurridos, longitudes sobre o bajo el nivel del mar, ganancias o pérdidas, etc; por lo que se utiliza en diversas disciplinas de estudio. Muchos científicos la consideran la señal de máxima evolución del hombre, por las posibilidades de representación y de predicción que permite. La recta numérica consiste en una línea recta en la que: • Indicamos que hay un orden, de izquierda a derecha, al insertar la punta de una flecha en el extremo derecho. • Elegimos un punto en ella para colocar el cero. • Elegimos el tamaño del segmento que representará la unidad, y a partir de éste señalamos marcas equidistantes, tanto a la derecha como a la izquierda del cero.

• Los números positivos van a la derecha del cero, mientras que los negativos, a la izquierda. • Consideramos que a la derecha de cualquier número están los que son mayores que él, mientras que a la izquierda los que son menores. Con estos cinco aspectos en mente, nuestra recta numérica tiene la configuración siguiente: Equidistantes A igual distancia. Viene del sufijo equi que significa igual y de distantia que significa distancia.

Observa la representación de los números enteros en la recta real y contesta lo que se te pide:

Por cierto, ¿te has fijado que a los enteros positivos, es decir, a los naturales, no les hemos puesto el signo de mas (+); por ejemplo al 7, al 2 y al 8? Realmente no lo hemos necesitado para saber de qué número se hablaba. En Matemáticas si un número NO lleva signo, asumimos de entrada que es positivo. Esa convención nos ayuda a simplificar la escritura. El orden en los enteros Como te habrás podido dar cuenta, la ubicación de los enteros en la recta numérica o recta real nos ayuda a visualizar la forma en que están ordenados. Recuerda que de manera gráfica se estipula que el orden ascendente va de izquierda a derecha.

Así, de forma casi inmediata, podemos saber que cualquier número positivo es mayor que cero y que cualquier número negativo es menor que cero. Sin embargo, también es útil contar con otra forma de describir este hecho. En símbolos lo representamos como sigue: a > 0 (se lee: a es mayor que cero) cuando a es positivo b < 0 (se lee: b es menor que cero) cuando b es negativo Si a y b fueran longitudes asociadas al relieve de nuestro planeta, y asignáramos valores relacionados con este accidente geográfico (como el nivel del mar representa al cero del relieve) podremos convenir que: • Cualquier lugar cuya altitud sea mayor que el nivel del mar, tiene una altitud a positiva, es decir, a > 0.

• A cualquier sitio por debajo del nivel del mar, como es el caso de la Fosa de las Marianas, el número que le asignaremos, b, es negativo b < 0. Investiga cuál es la altitud de los siguientes sitios: la Ciudad de México, Holanda, Nueva Orleáns, Machu Picchu en Perú y el lugar donde vives. De acuerdo a esta convención, colócales el signo que les corresponda, y representa el hecho de que sea positivo o negativo con la notación adecuada. Por otra parte, una mayor altitud tiene ventajas y desventajas. Cuando te conectes vía Chat con tus compañeros, compartan sus resultados y además comenten sobre los beneficios e inconvenientes de la altitud de los lugares implicados, en relación con la salud y con los aparatos eléctricos. Comparación de números cuando ninguno de los dos es cero Primer caso. Comparación de dos enteros positivos distintos ¿Quién es más joven, tú o tu papá? En el caso de los enteros positivos (los naturales), su orden ya lo estudiaste y prácticamente desde pequeños sabemos distinguir cuándo un entero positivo es menor que otro (tu edad o la de tu papá). En Matemáticas, este hecho se formaliza de la siguiente manera:

Si a y b son dos enteros positivos distintos, sabemos que a < b cuando b - a > 0 Es decir, a es menor que b cuando la diferencia b - a es positiva

Es claro que si tú eres menor que tu papá, él es mayor que tú. En el recuadro siguiente se describe el caso análogo:

Si a y b son dos enteros positivos distintos, sabemos que a > b cuando a - b > 0 Es decir, a es mayor que b cuando la diferencia a - b es positiva

Segundo caso. Comparación de dos enteros negativos ¿Cómo comparamos dos enteros negativos distintos? Aunque no es tan evidente como con los positivos, también podemos llegar a una idea sencilla que sea posible simbolizar. Apoyémonos primero en la parte visual.

Observa cómo están colocados en la recta numérica. Toma dos enteros negativos distintos y reflexiona un par de minutos cuál de ellos es menor y cómo podríamos expresarlo de manera general. También te puede ayudar pensar en temperaturas bajo cero, en fechas antes de Cristo, o en alguna otra situación que te ayude a darle significado a los números negativos.

El menor es el más lejano Probablemente pensaste en frases como las siguientes: "Un número negativo es menor que otro si está a su izquierda" o bien, "cuando tengo dos números negativos distintos, el menor es el que está más alejado del cero". Ambas son correctas. La primera la estipulamos para ubicar los números en la recta real. La segunda nos habla de "lejanía" respecto al cero. No obstante, en las dos seguimos dependiendo de la recta numérica. Exploremos la idea de "lejanía" de la segunda frase, que involucra el concepto de distancia en la recta numérica. Seguramente encontraremos formas alternativas (qué podamos representar con símbolos) para determinar cuándo un número negativo es menor que otro. Los números simétricos

Observa de nuevo la recta numérica. Sitúate en el cero y contesta para ti mismo en cada caso: a) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 7 y cuántos del 0 al - 7? b) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 3 y cuántos del 0 al - 3? c) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 5 y cuántos del 0 al - 5? d) ¿Qué observas en general para cada una de estas parejas de números? Podemos pensar el número de "pasos" que hay desde el cero a cualquier número entero, como su distancia al origen (el cero). Con esta aclaración, lo que seguramente observaste en la pregunta del inciso d) es algo como lo siguiente: Cada una de esas parejas de números, por ejemplo 7 y - 7, tienen la misma distancia al origen, pero en direcciones opuestas (derecha o izquierda).

Por esa razón, se dice que 7 y - 7 son opuestos uno del otro. Eso sucede con cualquier otra pareja de números cuya única diferencia sea el signo. Podemos escribirlo de manera general como sigue:

Cabe resaltar que: - Si es positivo n, su opuesto es negativo -n. - Si es negativo - n, su opuesto n es positivo. Valor absoluto de un número Una forma de calcular la distancia de un número entero al cero u origen de la recta real, sin tener que calcular el número de "pasos", consiste en obtener su valor absoluto, es decir, asignar el valor que representa ese número sin importarnos en qué dirección está. El valor absoluto de un número a se representa como |a| y nos indica la distancia que hay del número a al cero. Así, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de - 3 es también 3, ya que ambos se encuentran a tres "pasos" del cero. En símbolos tenemos: |3| = 3 y |-3| = 3 Para otros números, se tiene una situación análoga: Nota: Recuerda que la notación que vas a manejar a lo largo del curso para cantidades grandes es: 1_000 o sea con un espacio 1 000. Por ejemplo: |1 000| = 1 000 y |-1 000| = 1 000 ¡ya no tenemos que contar 1 000 sobre la recta numérica! El valor absoluto para saber cuál es mayor Con el valor absoluto podemos además reescribir la segunda frase que se tenía para comparar dos números enteros distintos de la siguiente manera: Frase original: "Cuando tengo dos enteros negativos distintos, el menor es el que está más alejado del cero" Frase reformulada: "Cuando tengo dos enteros negativos distintos, el menor es aquél cuya distancia al cero es mayor" Esta última idea la podemos simbolizar de la siguiente manera:

Si a y b son dos enteros negativos distintos, a < b cuando |a| > |b|

Seguramente te preguntarás para qué escribir con símbolos una idea que era tan clara. Gran parte del poder de aplicación de la Matemática radica precisamente en la posibilidad de utilizar símbolos para representar muy diversas situaciones. Ello permite además efectuar operaciones con esos símbolos. Descarga el archivo en Word para que, ya en tu computadora, coloques en cada recuadro la letra que corresponde a la opción correcta. Una vez contestado envíalo a tu asesor. Inventario de lo aprendido Segunda sección Operaciones de suma y resta con números enteros Las operaciones con números enteros son muy similares a las que repasaste con los números naturales. Lo único nuevo es que tenemos que tomar en cuenta el signo. Empezaremos por la SUMA. Realiza las siguientes sumas de enteros para que sepas qué tan eficiente eres.

SUMA DE ENTEROS CON SIGNO. PRIMERA PARTE Empezaremos con ejemplos sencillos. En este caso, sumaremos solamente DOS números enteros. La siguiente actividad te ayudará para que tú mismo descubras cómo sumar números enteros con el signo. Para esta actividad utilizaremos bandas de colores (azules y rojas) en las que se señala determinado número de casillas. Por lo tanto hay bandas (o tiras) de varios tamaños. Reglas para los movimientos de las bandas • Las bandas azules siempre se desplazan hacia la derecha. • Las bandas rojas siempre se desplazan hacia la izquierda. • Dos bandas del mismo color se colocan una justo después de la otra. • Dos bandas de colores diferentes. Como se desplazan en sentidos contrarios, se enciman. • Cuando dos bandas se enciman, las casillas superpuestas se neutralizan mutuamente, es decir ya no cuentan.

Cada número n estará representado por una banda con n casillas. Los positivos con bandas de color azul. Los negativos, por medio de bandas de color rojo.

Juguemos con las bandas Utiliza el recurso de las bandas para calcular las siguientes sumas. Recuerda siempre: • Arrastrar la banda menor hacia la mayor. • Las del mismo color se juntan. • Las de colores distintos se enciman.

Sumemos sin las bandas Seguramente ya te quedó claro el mecanismo de la suma y estás listo para hacer ejercicios de sumas sin el recurso de las bandas. Usaremos de nuevo los colores con los números para que adquieras más maestría. Realiza las siguientes sumas.

Sinteticemos cómo se suman los enteros ¡Ya sabes sumar dos números enteros con signo! Sin embargo, ¿cómo explicarías la regla que aprendiste para sumarlos? Antes de pasar a la suma de más de dos números con signo, es conveniente hacer un alto en el camino y escribir una síntesis del procedimiento para sumar enteros, sin el apoyo visual de las bandas de colores.

SUMA DE ENTEROS Caso 1. Para sumar enteros a y b con signos iguales: • Sumamos sus valores absolutos |a| + |b| • El signo de la suma es el signo común Caso 2. Para sumar enteros a y b con signos distintos: • Vemos cuál de ellos tiene mayor valor absoluto (está más alejado del 0). Supongamos que sea a • Restamos sus valores absolutos en este orden |a| - |b| • Al resultado le asignamos el signo de a

Relaciona lo que está escrito con lo que hacías con las bandas. Esa imagen visual de las bandas te podrá ser muy útil si en algún momento posterior tienes dudas de cómo efectuar una suma que involucra signos. Situaciones donde hay sumas de enteros Con frecuencia se pueden hacer preguntas como las que se presentan a continuación, en las que intervienen sumas de enteros. Ya estás preparado para contestarlas. Recuerda primero asignar un signo a cada número involucrado, según sea el caso, antes de efectuar la suma correspondiente. Siempre es conveniente que una vez encontrado el resultado, lo refieras al contexto del que partiste. ¡Adelante!

Suma de enteros con signo. Segunda parte ¿Crees que la situación se complique mucho cuando tengas que sumar varios enteros con signo? Si TODOS son positivos o TODOS son negativos, es muy simple, ya que es similar a sumar naturales. Sólo hay que cuidarse de poner al resultado final el signo + o el signo - respectivamente. Te preguntarás, ¿y si hay positivos y negativos? En Matemáticas es frecuente usar la siguiente estrategia: "Cuando te encuentres en una situación nueva o más difícil, busca la manera de convertirla a otra que ya conoces o que es más sencilla" ¿Se te ocurre cómo? Reflexiona un momento.

Tómate unos minutos para reflexionar antes de continuar. ¿Listo? Una forma de simplificar la tarea Por las propiedades que viste de la suma en números naturales, que de hecho también se cumplen en los enteros, podemos asociarlos como nos sea conveniente y también intercambiarlos de lugar. Así que una manera de simplificar la nueva situación consiste en:

Veamos un ejemplo: - 3 + 4 + 6 + ( - 5 ) + ( - 3 ) + 8 + ( - 11 ) = 18 + ( - 22 ) = - 4 ¿Listo para practicar? Pongamos esta idea en práctica Realiza los siguientes ejercicios. En los tres primeros retos te seguimos apoyando visualmente con los colores. En los demás, sólo ten cuidado en distinguir su signo. Te pedimos que pongas primero el resultado de la suma de los positivos y después la de los negativos, sólo para facilitar la ejecución del programa al identificar las respuestas correctas. ¡Suerte!

Resta de enteros Quizás supones que te esperan muchos minutos más frente a la computadora para aprender a restar enteros. No es así. De hecho al aprender a sumar ya hiciste restas sin darte cuenta. Trabajamos la suma para incorporar varios conceptos de los enteros que son de utilidad incluso en el manejo del álgebra, y a la vez para propiciar que lo revisado tuviera un significado para ti. Esto te ayudará a avanzar mucho más rápido en las secciones que faltan. Ya sabes calcular restas con números naturales. También sabes sumar enteros con signo. ¿Cómo efectuar restas cuando los números tienen signos positivo y negativo? Muy sencillo: ¡Para restar, sólo hay que sumar el número opuesto! ¿Por qué? La resta es la operación inversa de la suma, y el opuesto de un número es su inverso aditivo, como ya habíamos mencionado. Veamos los siguientes ejemplos:

Observa que el primer ejemplo se remite a la resta en números naturales. Puedes omitir el uso del opuesto y hacer el cálculo directamente. Con la práctica también podrás calcular directamente restas como las de los tres últimos ejemplos. Realiza los siguientes ejercicios. Aplica lo que previamente has aprendido de la suma y lo que acabas de aprender de la resta.

Tercera sección Multiplicación de enteros Resuelve los siguientes ejercicios sobre multiplicación de enteros para que conozcas tu desempeño. Si obtienes seis o siete aciertos, podrás omitir las actividades de esta última sección relativa a números enteros. El programa te llevará directo al tema de los números racionales. En caso contrario, revisaremos juntos cómo multiplicar enteros. Puedes utilizar una calculadora. Coloca el resultado final en la segunda columna:

Actividad de exploración ¿Te gusta el futbol? Imagínate la siguiente situación

En el Estadio Olímpico Universitario de la UNAM, se va a realizar el duelo Pumas contra América. Por la rivalidad entre estos dos equipos de la ciudad de México, se agotan las 60 000 localidades. Hay boletos de $70.00 en la planta alta y de $130.00 en la planta baja. A los trabajadores universitarios les obsequian boletos, lo que representa una pérdida para el patronato equivalente al precio del boleto. Se regalan 10 000 boletos: 8 000 de la planta alta y 2 000 de la planta baja. Los aficionados que no trabajan en la UNAM pagan su boleto. Se destinan $30.00 de cada boleto para sufragar diversos gastos, por lo que la ganancia por persona representa $30.00 menos del precio del boleto. Se venden 30 000 boletos de planta alta y 20 000 de planta baja. ¿Cuánto se recaudará en ese partido? Busquemos una forma de manejar tanta información. Organizando la información Cuando se proporciona mucha información en un problema, siempre es bueno organizarla para entender mejor lo que requerimos hacer. Una forma de hacerlo, en este caso, es separar las diversas opciones en una tabla de dos entradas: pérdidas y ganancias en las columnas, diferentes precios en los renglones. ¿Cómo calculamos lo que gana o pierde el patronato universitario en cada caso? Bueno, hay que multiplicar el número de boletos regalados por el precio con signo negativo en el caso de pérdida; y para el dinero recaudado de la venta, multiplicamos los boletos vendidos por la ganancia que se obtiene de cada uno. Arrastra las cantidades que se encuentran debajo del cuadro, hasta colocarlas en la casilla que les corresponda.

Calculando pérdidas y ganancias parciales El total recaudado en el partido, considerando ganancias y pérdidas, lo podemos obtener sumando el total de pérdidas, casilla A, con el total de ganancias, casilla B. Arrastra las dos expresiones que se encuentran en la parte inferior del cuadro hasta el espacio correspondiente.

Calculando las ganancias del partido

Cuando nosotros hacemos una venta, es claro que para calcular nuestras ganancias, tenemos que restar las pérdidas al total recaudado. Es lo mismo que haremos en el caso del partido. Pero como ya vimos, restar equivale a sumar cuando al sustraendo le asignamos signo negativo. Así a - a = a + (-a), ¿recuerdas? En el caso del partido entre Pumas y América, lo que tenemos es: Ganancia : 40 (30 000) + 100 (20 000) + ( -70 (8 000)+( -130 )(2 000)) Ahora sólo hay que efectuar los productos y sumas indicados: Ganancia: G = 1 200 000 + 2 000 000 + ( -560 000 - 260 000 ) G = 3 200 000 + ( -820 000 ). Esta suma, ¡ya la sabes hacer! G = 2 380 000 pesos ¿Te fijaste que tuvimos que realizar multiplicaciones con enteros con signo? La idea fue tan natural que pudimos hacerlo antes de conocer las reglas que existen para ello. Tomemos dos de las multiplicaciones que realizamos y reflexionemos en lo que hicimos: a) 40 (30 000) = 1 200 000 b) -70 (8 000) = -560 000 Nos fue claro que lo que recibimos por boleto ( 40 pesos ), al multiplicarlo por el número de boletos es dinero que percibimos, es decir el resultado es positivo. Mientras que al multiplicar los setenta pesos que perdemos por boleto regalado ( -70 pesos ) por el total de boletos regalados de ese precio, tenemos una pérdida y por lo tanto el signo del resultado debe ser negativo. ¿Estás de acuerdo? Revísalo de nuevo si lo requieres para que pasemos a ver las reglas de los signos para la multiplicación. La reglas de los signos en la multiplicación de enteros Esperamos que este ejemplo te ayude a comprender mejor las reglas de los signos que se utilizan para multiplicar enteros con signo.

Como puedes ver las reglas rescatan lo que hicimos en el problema de calcular las ganancias para el partido Pumas vs. América. Cuando ambos números eran positivos (signos iguales) nuestro resultado así lo fue. Cuando tuvimos uno positivo y uno negativo (signos distintos), nuestro resultado fue negativo. Los matemáticos tienen una demostración de que así se cumple en todos los casos, por ello las conocemos como reglas. Para aprender, lo importante es que recuerdes un ejemplo en que las reglas tengan un significado para ti. Esperamos que te sirva el que te presentamos, busca o inventa tú otros ejemplos en los que los signos te sirvan para hacer distinciones. Ahora revisemos con más cuidado la primera regla. En ella se habla de dos números con el mismo signo. Ya vimos que esto es muy claro cuando ambos son positivos. De hecho es la multiplicación que se realiza con números naturales y que nos enseñan a multiplicar en la primaria. Pero, ¿qué sucede si los dos números son negativos? La regla nos dice que el resultado debe ser positivo, ¿por qué? Reflexiona un momento y acompáñanos a ver por qué. Dos negativos nos dan positivo

La multiplicación de enteros es de hecho una suma abreviada. ¿Recuerdas la idea del opuesto de un número entero? n y -n son números opuestos. Con ella, podemos explicar por qué al multiplicar dos enteros negativos el resultado es positivo. Veamos: tomemos dos números positivos a y b. Sus opuestos, son negativos. • Ya sabemos que (a)(-b) = -ab. Es decir el resultado es negativo. • ¿Qué signo debe tener su opuesto? ¡Claro! Debe ser positivo, es decir ab es positivo. • Pero como (a)(-b ) = - ab. El opuesto de - ab es también el opuesto de (a)(-b ). Es decir: -(a)(-b ) = ab Y ¡ya tenemos que el producto de dos negativos es positivo! Veamos algunos ejemplos: • ( 34 )( -12 )= -408 • ( -15 )( 23 ) = -345 • ( 25 )( 52 ) = 1300 • ( -123 )( -20 ) = 2460 • ( 42 )( -17 ) = -714 Ahora realiza tú los siguientes ejercicios. En los cuatro primeros te apoyamos con colores, en los dos restantes identifica bien si ambos tienen el mismo signo o los dos son de signo diferente.

¿Y la división de enteros? Ya revisamos las operaciones de suma, resta y multiplicación de números enteros con signo. En todas ellas, el resultado es de nuevo un número entero. ¿Te acuerdas de la propiedad de cerradura? En el caso de la división ésta NO se cumple, ya que al dividir dos enteros el resultado NO siempre es un entero, como podemos ver en los siguientes ejemplos.

Este tipo de números, llamados números racionales, los estudiarás en la siguiente sección del programa. Decimales ¿No te parece que utilizar moneditas de 5, 10, 20 y 50 centavos es una lata? Eso de estar contando moneditas, y luego para cargarlas en la bolsa, son tan pequeñas que si no tienes cuidado, ¡hasta te rompen

las bolsa del pantalón! Si bien es cierto que es una lata utilizarlas, también es cierto que no dejan de ser dinero y que tienen gran valor. En la Ciudad de México hay aproximadamente 1 000 000 de monedas de centavos en circulación.

Pero aun así, ¿sabes que el cambio que no recibes en el supermercado, e incluso las propinas, significa una gran ganancia para estas tiendas? Por eso cuando vas de compras es común encontrar productos que incluyen centavos en su precio.

La forma de sumar y restar es muy similar, ¿te diste cuenta? La clave esta en alinear el punto decimal y colocar la misma cantidad de decimales a las cifras. Por último, realizaremos la operación correspondiente. El costo de entrada a un parque recreativo es el siguiente: Niños (0-12 años) $20.00 Adolescentes (13-17 años) $ 45.50 Adultos (18-50 años) $82.50 Personas mayores (más de 50 años) $20.50 Georgina y Carolina van juntas a la escuela. Son buenas amigas y ocasionalmente salen juntas con sus respectivas familias. En esta ocasión la salida será al parque recreativo. Georgina tiene 15 años e irá con su mamá de 48 años y su papá de 51 años y su hermana que tiene 10 años. Carolina también tiene 15 años; sus papás tienen 49 años los dos.

Carolina y Georgina quedaron fascinadas con el parque recreativo, así que le propusieron a la maestra de la escuela que organizara una excursión al parque. A la maestra le pareció una buena idea, de manera que organizó la excursión. Ella envió mensajes a los padres de familia, para saber a cuántos alumnos les darían permiso de ir al parque. El día de la excursión llegaron sólo 35 alumnos, del grupo de Carolina y Georgina, con edades de entre 14 y 16 años. Aprovechando que había algunos asientos libres en el camión que los trasladó, hubo 3 mamás de los alumnos que también iban, además de la profesora. Las mamás y la profesora tienen edades entre 45 y 50 años. Si pagan en conjunto todas las entradas, ¿cuanto pagarán?

Fíjate como la multiplicación de números decimales la podemos realizar como una multiplicación de números enteros, que es algo que ya conocemos, de manera que las operaciones matemáticas se pueden simplificar o al menos hacerlas de manera más eficiente, con conceptos que ya conocemos. Un carpintero desea construir un comedor a escala, o sea pequeño, para una maqueta. El comedor consta de 6 sillas y una mesa rectangular con 6 patas. Para la elaboración del comedor, requiere cortar tiras de palos redondos. Requiere 2 tiras de 8 cm y 2 más de 4.5 cm para la base de la mesa. Las patas de la mesa son de 3.5 cm. Las patas delanteras de las sillas miden 2.5 cm cada una, y las patas traseras de la silla deben medir 4.5 cm, también debe cortar 4 tiras de 1.5 cm para la base de las sillas. Si requiere comprar una tira redonda para acabar su trabajo, ¿de qué medida debe comprar la tira de madera para todo el comedor? En la herramienta el carpintero ha encontrado una tira que mide 26.8 cm, él considera utilizar éste pedazo de tira en el comedor, entonces ahora debe comprar una tira de menor medida, ¿podrías indicarle al carpintero la medida de la tira que necesita para la construcción del comedor?

Las divisas forman un elemento económico muy importante en nuestro país. Resulta que la entrada de divisas al país ayuda a mantener la estabilidad económica de México. Una forma de obtener divisas es por medio del turismo, otra es la importación de productos mexicanos y la más mencionada en los medios de comunicación es la cantidad de dólares que envían los mexicanos, que se encuentran en otros países. ¿Te has fijado que en las noticias, periódicos o programas de radio, casi siempre informan acerca del valor del dólar, tanto a la compra como a la venta? La compra es cuando tú tienes dólares y los vendes al banco o casa de cambio, etc. Ellos dicen qué precio están dispuestos a pagar por esos dólares que tú ofreces. La cantidad que se refiere a la venta indica la cantidad en pesos mexicanos que debes pagar por un dólar. La diferencia entre la compra y la venta es significativa, sobre todo cuando hablamos de una gran cantidad de divisas. He ahí la ganancia que se tiene de las divisas. Bien, ahora queremos saber cómo hacer los cambios de divisas. Es importante que indiquemos la fecha, ya que el precio del dólar depende de muchos factores, y por lo mismo varía todos los días, aunque hay ocasiones en las que la variación no es notable. Sólo es cuestión de centavos, aunque como lo hemos estado mencionando desde el inicio de esta unidad, algunos centavos pueden hacer la diferencia, pero sólo se observa en cantidades mayores. Consideremos el precio del dólar americano el día 10 de Abril del 2006. El 10 de Abril encontramos la compra en una bolsa de valores a $10.59, y a la venta $11.03. Esta cotización es obtenida de Internet, y puede haber variaciones incluso en instituciones bancarias el mismo día. Pero para este ejercicio consideraremos esta información. Paco nació en Morelia, Michoacán y tiene 5 años viviendo en El Paso, Texas. En vacaciones de Semana Santa, viajó a México para visitar a sus abuelos, que aún viven en Morelia. Resulta que se le hizo tarde, y con el tiempo contado no tuvo oportunidad de cambiar los dólares. Por supuesto ya en territorio mexicano hay que pagar en pesos. Paco va al banco y desea cambiar 380.00 dólares a pesos mexicanos, ¿cuánto dinero le darán en pesos mexicanos? Al terminar las vacaciones quiere cambiar sus pesos a dólares; la tasa de cambio es la misma. Si a Paco le sobraron $900.00 pesos:

Al realizar una división con números decimales es importante que el divisor (el número que está fuera de la casita) esté expresado como número entero. El dividendo (el número que esta dentro de la casita) puede ser un número entero o un número decimal. Por ejemplo, si el divisor es 1.2 y el dividendo 652.25, para convertir el divisor en entero, lo podemos multiplicar por 10, ya que eso implicará que se recorra el punto decimal una posición hacia la derecha. Sin embargo, para no alterar la división, es importante multiplicar también el dividendo. De manera que:

Bien, ahora que el divisor es entero, se realiza el procedimiento de la división igual que en las operaciones con números enteros. Es importante mencionar que si el dividendo es decimal, sólo hay que subir el punto decimal cuando se escribe el cociente.

La división puede continuar según la cantidad de números decimales que requieras como solución. Por lo tanto la solución del ejercicio original es 652.25/1.2=543.5 En el ejemplo anterior multiplicamos por 10 al divisor para convertirlo en entero. En realidad lo que estamos haciendo es recorrer el punto decimal, de manera que si multiplicamos por 100, recorreremos dos unidades el punto decimal; si multiplicamos por 1 000, recorreremos 3 unidades el punto decimal. Fíjate como la cantidad de 0 en el múltiplo es la cantidad de posiciones que recorremos el punto. Eso implica que si ya se acabaron los números, entonces hay que agregar ceros a la derecha del número. 1.2X10=12 1.2X100=120. Como ya no hay número se agregó un cero. 1.2X1 000=1 200. Como sólo hay 1 número después del punto decimal, hay que agregar dos ceros para que sean las 3 posiciones que mencionamos anteriormente. Realiza las divisiones en tu cuaderno y relaciona las respuestas correctas escribiendo en el paréntesis la letra que corresponda al resultado.

Cuando hablamos del procedimiento para convertir decimales a enteros, multiplicábamos por 10. ¿Sabes por qué por 10? Porque la numeración que utilizamos es decimal, es decir, consta de 10 dígitos (0 al 9) y su base es 10. La numeración está agrupada en conjuntos de 10, o sea, del 0 al 9 hay 10 números, del 10 al 19 hay 10 números, del 20 al 29 hay 10 dígitos, y así sucesivamente. Una propiedad de los múltiplos de 10 es que siempre terminan en 0. Veamos algunos ejemplos:

10X10=100 10X10X10=1 000 10X10X10X10=10 000 Fíjate en la primera multiplicación: son 2 veces el número 10 y hay 2 ceros en el resultado. En la segunda hay 3 números 10 y hay 3 ceros en el resultado. Finalmente hay 4 veces el 10, y 4 ceros en el resultado. Si multiplico 6 veces el 10, ¿cuántos ceros habrá en el resultado?

Pero antes de continuar quisiera decirte que a los múltiplos de 10 también los podemos escribir como potencias, es decir, escribir un 10 como base; para indicar que lo que vamos a multiplicar son números 10 y un exponente que indica el número de veces que multiplicamos el 10. 10²=10X10=100 10³=10X10X10=1 000 104=10X10X10X10=10 000 106=10X10X10X10X10X10=1 000 000 Ahora, con esta nueva notación, podemos escribir: 124 000 000=124X10X10X10X10X10X10=124X106 Esta es una forma de escribir números muy grandes de manera abreviada, y se conoce como notación científica. Lo que en realidad estamos haciendo es indicar que después del 4 hay que recorrer el punto decimal hacia la derecha 6 posiciones. En este caso los decimales son ceros, y también por eso podemos hacer este tipo de notaciones, o sea, los ceros después del punto decimal pueden o no ir, y no alteran el resultado.

Fíjate que el exponente indica el número de posiciones que debemos recorrer el punto. Cuando el punto no está escrito, se entiende que éste se encuentra después del último número. Además, el exponente es positivo. Pero, ¿qué pasaría si el exponente es negativo? ¿Hacia dónde debemos recorrer el punto?

Fíjate que aunque no aparezca el punto después del 524, se maneja como si estuviera después del 4. Entonces es después de esa posición que se comienza a contar hacia la izquierda el número que corresponde al exponente.

Escribe el número que corresponde a la notación científica:

Números racionales Seguro has comido una pizza. Quizá una hawaiana, tal vez de champiñones con queso o de pepperoni. Según la cantidad de personas, algunas veces falta y en ocasiones hay personas a las que les toca doble rebanada. A veces pensamos que eso no es justo, porque todos queremos comer la misma cantidad. En las pizzerías normalmente cortan las pizzas en 8 rebanadas.

En una fracción tenemos dos componentes:

El denominador es un número entero que nos indica la cantidad de partes en las que vamos a dividir un objeto conocido como unidad. El denominador nunca es cero. El numerador es un número entero que indica la cantidad de elementos que vamos a utilizar de un objeto dividido. Por ejemplo:

En una fiesta se compraron 4 pizzas medianas. Al final de la fiesta, sobraron algunas rebanadas y decidieron juntar las rebanadas en una sola caja. En la primera, sobraron 2 rebanadas; en la segunda pizza quedo sólo 1 rebanada; en la tercera caja había 3 rebanadas y en la última caja también sobraron 3 rebanadas. Juntaron las rebanadas sobrantes en una caja.

Para sumar fracciones hay dos procedimientos: a) Cuando las fracciones tienen el mismo denominador. Suma los numeradores y coloca el resultado en el numerador. En el denominador escribes el mismo denominador que tienen las fracciones. Resuelve la siguiente suma:

b) Multiplica el numerador y el denominador de la primera fracción, cada uno por el denominador de la segunda fracción y luego multiplica el numerador y el denominador de la segunda fracción, cada uno por el denominador de la primera fracción. Debes obtener una suma de fracciones con el mismo denominador. Sólo tienes que sumar los numeradores. Hazlo con las siguientes fracciones:

Ahora que ya sabes hacer sumas de fracciones te invitamos a resolver algunas operaciones. Relaciona los siguientes recuadros. En la parte izquierda se encuentra la suma de fracciones (indicado con letras) y en la parte derecha, la solución de la operación (con números).Escribe el número de la solución en el rectángulo de cada inciso y después presiona "revisar respuesta". Aparecerá una línea uniendo la pareja que elegiste. Escribe con cuidado tus respuestas.

Para realizar una resta de fracciones, se utiliza el mismo procedimiento de la suma. Ahora sólo hay que restar los numeradores. Por ejemplo:

Cuando hacemos una resta, hay que fijarnos en los términos que la componen. El término de mayor valor numérico nos indicará el signo del resultado. Como se observa en el ejemplo positivo, el resultado también es positivo

.

Utilicemos este conocimiento para resolver un problema que tiene Fernanda.

, y como

es

Fernanda acaba de comprar un celular en una promoción, y en la compra del teléfono le obsequian 200 pesos de tiempo aire. En lo que se tardó en llamadas con sus amigos para informarles del número de celular se gastó 1/4 del crédito que tenía. Después, su hermano le pidió prestado el teléfono y se tardó algunos minutos. Cuando el hermano de Fernanda le entregó el celular, ya se había gastado una quinta parte del crédito original.

A continuación hay 8 rectángulos con las mismas dimensiones. Los primeros 4 están etiquetados con letras. Estos rectángulos representan fracciones. Los últimos cuatro están etiquetados con números e indican la solución de operaciones hechas con los 4 primeros. Debes realizar la operación que se te solicita y escribir la solución en los espacios superiores derechos. Por ejemplo: la primera operación dice c - a. Recuerda, cada rectángulo etiquetado con letras del alfabeto representa una fracción, entonces, debes restar la fracción que representa el inciso a) del inciso c). El resultado está representado en los rectángulos sombreados en naranja y etiquetados con número.

Ahora el problema dice que hay que hacer la operación correspondiente:

Patricia y Juan son hermanos y su papá les heredó un terreno. Ellos no saben cuál es la dimensión del terreno, aunque saben que la base está dividida en 6 partes iguales y la altura está dividida en 3 partes iguales. El papá de Juan y Patricia les ha asignado una parte del terreno para que ellos construyan. Como Patricia es mayor que Juan, decidió que a ella le corresponde un poco más de terreno, como se muestra en la figura.

Como Juan se quejó de la distribución del terreno, propuso la siguiente:

Hasta ahora repasamos como sumar, restar y multiplicar fracciones. ¿Te parece si ahora recordamos como dividir fracciones? Para realizar una división de fracciones se utiliza el "producto cruzado"; multiplicando el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. El resultado de esta multiplicación es el numerador de la fracción resultante. Ahora el denominador de la primera fracción se multiplica por el numerador de la segunda fracción y el resultado es el denominador de la solución.

Veamos un ejemplo de este procedimiento:

¿Estás de acuerdo que hacer una división se podría relacionar con la idea repartir?

Resuelve los siguientes ejercicios

Nota: Para representar las fracciones utiliza el símbolo de división (Ejemplo 2/3)

Esta última pregunta es importante porque rescata la observación que hicimos. Cuando defines las partes de una fracción, el denominador nunca será 0, es incorrecto hablar que podemos dividir entre 0. Esta información debes almacenarla en tu memoria porque seguramente te será de utilidad en cursos posteriores. Te queremos ofrecer alternativas para facilitar los cálculos matemáticos, por eso escribimos lo siguiente. Otra forma de hacer una división de fracciones es multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción. Primero recordemos que el recíproco de una fracción se obtiene al intercambiar el numerador con el denominador. Es decir, lo que había en el denominador ahora será numerador y el numerador pasará al denominador. Por ejemplo:

Si una fracción es

su recíproco es

. El recíproco de

.

Primero resolvemos una división con el método que conocemos:

Ahora resolveremos la misma división utilizando el recíproco de

y realizamos la multiplicación:

Este procedimiento puede ser útil y fácil de recordar, pero cualquiera que utilices es correcto: la idea es que tengas opciones para resolver problemas. Utiliza el método del recíproco para resolver las siguientes divisiones:

¿Te gustan los retos? Te proponemos uno que seguramente te hará pensar un rato.

Reto1 Reto: ¡Felicidades! Si aceptaste el reto debes ser una persona tenaz.

Un cuadrado mágico contiene las fracciones

. Arrastra y coloca las fracciones en

cada cuadro de manera que la suma de las hileras horizontales, verticales y diagonales sumen

.

Para realizar el cuadrado mágico arrastra las fracciones a las casillas que desees. Cuando hayas arrastrado todas las fracciones presiona el recuadro suma; aparecerá el resultado de la suma. En caso de que el resultado sea incorrecto selecciona "borrar" y podrás comenzar de nuevo. Puedes presentar este reto hasta en 3 ocasiones. Te recomendamos que primero hagas los cálculos en tu cuaderno.

Si no te interesa resolver el reto entonces te platicaremos de las simplificaciones. Cuando hacemos operaciones con fracciones podemos facilitar los cálculos matemáticos si sabemos simplificar fracciones. Seguramente sabes que

lo podemos simplificar como

. Porque

.

El proceso de simplificación es en si una forma de escribir un mismo valor de modo diferente. Si resolvemos que

obtendremos lo mismo que si dividimos

es una forma mas simple de escribir

esto es, ambos valen 2, por lo que podemos decir

, o que es una simplificación de la fracción.

La vía para simplificar una fracción parte explicarse de modo sencillo. La idea es dividir un mismo entero, cuidando que los resultados de estas dos divisiones sean ambos enteros y con residuo cero.

En nuestro ejemplo residuo cero.

.Es claro que

tanto

como arrojan resultados enteros y de

Utilizando el proceso de simplificación ayúdanos a resolver lo siguiente:

Coloca las fracciones en los recuadros que correspondan de acuerdo a su simplificación. Sólo tienes 3 oportunidades para resolver correctamente. Te recomendamos que realices las operaciones en tu cuaderno antes de contestar.

Después de tantos cálculos, sólo queremos darte una pista para verificar tus operaciones... Seguro que ha pasado que cuando haces muchas operaciones y llegas a una respuesta no sabes si es correcta. A veces es difícil observar los errores, sobre todo cuando no tienes una manera de comparar tus respuestas. Por eso te vamos a hablar de un procedimiento que te ayudará a verificar que la simplificación de una fracción sea correcta. Lo que debes hacer es dividir la fracción original entre la fracción simplificada. Si el resultado de esta división es 1 entonces tu simplificación es correcta. Para observar este procedimiento veamos un ejemplo utilizando uno de los ejercicios que acabamos de resolver. De acuerdo a nuestros cálculos dijimos que Llamaremos X al resultado de la división:

.

Como ya sabemos resolver divisiones podemos usar el método del recíproco de 1/3 colocándolo como 3/1.

Sabemos que la multiplicación es numerador por numerador y denominador por denominador.

Efectivamente nuestro resultado es correcto.Sabemos que dos fracciones en la que una es una simplificaron de la otra son, en esencia, del mismo valor. ¿Qué se obtiene al dividir dos cantidades iguales?

Una división entre dos cantidades iguales es siempre 1. Por lo tanto, al dividir una fracción entre una simplificación de sí (o a la inversa), realmente estamos dividiendo dos cantidades iguales. De ahí que nuestro método de comprobación de simplificación de fracciones nos pida dividirlas y comprobar que el resultado sea 1.