Análisis Matemático II – TPN3 Instituto de Formación Superior Nro 808 - Rawson Profesorado de Matemática 1) A partir de la siguiente gráfica, calcular cada una de las integrales definidas utilizando formulas geométricas.

2) Calcular el área comprendida bajo la curva f (x )=

ln x entre los valores de x = 1 y x = e x

7

3) Explicar por que es

1 dx x 1

3

ln 7

4) Resolver la integral 3e

2x

dx

2

4) Hallar: a) el área de la región determinada por la función f(x) = sen x, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = π / 4 y x = − π/4.Graficar b) Superponer a dicha grafica la función g(x) = Cos(x). Encontrar los puntos de intersección con la función anterior en el intervalo *0,2π+. Hallar el área total encerrada por la funciones dentro de un periodo. 5) A las nueve de la mañana surge un rumor en una ciudad que se difundía un ritmo de e2t +1000 personas/hora. Sabiendo que t representa el número de horas transcurridas desde la aparición del rumor, calcular el número de personas que lo habrían oído entre las diez y las doce de la mañana.

6) Sea la función:

a) Representar gráficamente b) Calcular el área encerrada por la curva, el eje “x” y las rectas x=2 y x= -2 7) Dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) = 3 − 2x, se pide: a) Representar gráficamente en un mismo par de ejes y calcular el área encerrada. b) Calcular la primitiva de la función [f(x). g(x)] que pasa por (−1, 7). 8) Encontrar el área encerrada por las gráficas de la f(x) = x2 + 2 , x = - 2 , y = - x – 2 y la recta tangente a la gráfica de f que pasa por el punto (2 , 6). Representar gráficamente la región dada. 5

9) Calcular 3

dx x

2

5x 6

, indicando la metodología utilizada.

Análisis Matemático II – TPN3 10) Resolver 4 de las siguientes integrales definidas. Representar gráficamente dos de las que no han tenido la virtud de ser seleccionadas. 5 11 4 4 dx 2 3 2 a) ( x 9 x)dx b) ( x x 8)dx c) d) 2 x 3dx 2 3 1 2 1 (3 5 x) 6

e) 2

3

3

dx

2

f)

4x 1

g)

9 x dx 0

2

9x 2

36

h)

dx

[2 x Sin(2 x)]dx /4

4

4

11) Evaluar al siguiente integral:

/2

dx

x dx . Comparar con

xdx 4

4

12) Enunciar y demostrar el primer y segundo teorema fundamental del cálculo. 13) Utilizando el primer teorema fundamental del cálculo hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones. x

a) g(x) = (t

x2

x 2

8

2

1) dt b) g(u) = Cos(u )du

c) g(x) =

Sen (t )dt

d) g(t) =

2

1

1

1 4

x

14) Encontrar una función f tal que g(x) =

5t 1

1 u

2

du 1

x

f (t )dt

x.e 2 x

0

e t f (t )dt 0

15) Dada la función f(x) como en la siguiente gráfica, encontrar la función G(x) tal que: x

G(x) =

f (t )dt . Graficar y verificar que G(x) es continua. 1

16) Dada la función f(x) como en la siguiente gráfica, x

encontrar la función G(x) =

f (t )dt . Graficar y verificar 1

que cumple con el teorema fundamental del cálculo.

17) Resolver, mediante integrales, las siguientes situaciones: a) Superficie de un círculo de radio 2 y centro en (1,0) b) Superficie encerrada entre y= x2 e y = x c) Superficie encerrada por y = x.ex e y = 2x 3

d) la longitud del arco desde el origen hasta el punto (4,8) de la curva y = x 2 e) la longitud de arco de y= ex desde x = 1 hasta x = 2 f) el volumen de un cono de altura h y radio de la base r g) el volumen generado por la región acotada por f(x) = x girando alrededor del eje x. en el intervalo [2,5].

Análisis Matemático II – TPN3 18) Plantear las condiciones para que una función sea integrable. Aplicarlas al análisis de la función signo en el intervalo [-2,2]. 19) A continuación se extraen de un libro de FÍSICA reconocido algunas deducciones de fórmulas desarrolladas a partir de la aplicación del concepto de integral definida. Responder las preguntas planteadas en cada caso, esquematizar gráficamente cada situación y preparar algunas deducciones más para la presentación oral del Trabajo Práctico.

a) ¿Qué representan dp y dy? b) ¿Qué sentido tiene el signo (-) de la segunda integral? c) A los efectos de la integración, como se comporta el ρg? d) ¿Cómo podría haber empezado este razonamiento antes de aplicar el proceso de integración a ambos miembros?

1) ¿Qué representa la ecuación 9) ¿Cuál de las variables es la independiente? 2) ¿De qué tipo de movimiento estamos hablando?¿Cómo se dan cuenta? 3) ¿Es habitual encontrar (en libros de texto de Física) a v(t) expresado de otra manera?¿Cómo? 4) ¿Qué representa xo?