INTRODUCCION A LA MATEMATICA 2018 - UNRN - TEVI - LOGARITMOS (extraído de Red Maestros de Maestros - Prof. Javier Olivares Alfaro) 1.DEFINICIÓN Y PARTES DE UN LOGARITMO: Se dice que: un logaritmo en base “a” de “b” es igual a “c” si y solo si “a” elevado a la potencia “c” es igual a “b”. Matemáticamente: loga (b) c a c b Por tanto, todo número positivo, N puede expresarse mediante potencia de base 10, es decir, encontrar un número p IN tal que N 10 p. Además, p log(N ), también se escribe: p log10 ( N ) Un logaritmo consta de una base que puede ser cualquier número Real. Cuando esta base se omite se sobreentiende que es diez, es decir:
log(N ) log10 ( N ) ,
Ejemplo: halla el logaritmo de 100 000 y de 0,01.
100.000 105 log(100.000) 5. 0,01 102 log(0,01) 2. Cuando hablamos de un logaritmo “neperiano”, nos referimos a aquél cuya base es el “número de euler”: e, es decir: loge ( N ) También se le llama logaritmo natural. Pero al ser un logaritmo especial, en vez de representarse por log e se representa de la siguiente forma:
ln(x)
2.PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: A la hora de efectuar operaciones con expresiones logarítmicas, debemos tener en cuenta que los cálculos recurren a las siguientes propiedades:
loga (n p) loga (n) loga ( p). n loga loga (n) loga ( p). p loga (n p ) p. loga (n). loga (a) 1 loga (1) 0 3.PRACTICO (resolveré siempre sin calculadora y sin tantear) I.- Calcula el valor de x en las siguientes expresiones aplicando definición y propiedades, sin tantear: 1) log2 x =3
2) log6 x =3
5) log5 x = 0
6) log 3
x2
2
a) log 2 (1) x 3
b) log1/ 3 (27) x
e) log x (5) 1 / 2
f ) log x (9 / 4) 2
i) log5 ( x) 2
l ) log5 (125) x 2
3) log2 x =4 7) log1
x 1
2
4) log4 x= 1 8) log 5
x3
2
c) log 4 (1 / 64) x
d ) logx (1 / 27) 3
g ) log5 ( x) 3
h) log1 / 2 ( x) 5
k ) logx2 (16) 4
j ) log2 ( x 2) 1
INTRODUCCION A LA MATEMATICA 2018 - UNRN - TEVI - LOGARITMOS (extraído de Red Maestros de Maestros - Prof. Javier Olivares Alfaro) II.- Aplicando las propiedades de los logaritmos, resuelve los siguientes ejercicios sin tantear: a) logb (b) + loga (a) = d)
logb bc logb (bc)
b) logc (1) +logb (bn )+logd (dn )= e) 3 logp (p4 )=
g) loga(ac) +logp (p3 )+ logb (b) – loga (C) =
h)
c)logb (1) · loga (a) = f)log a (a3 )+logb (b5 )=
logb 3 b logc 4 c
i)log (10)= j) log (100)= k) log (1000)= l) log (10000)= m) log (108 )= n) log (0,1)= ñ) log (0,01)=
o) log (0,001)=
p) log (0,0001)=
III,- Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrolla las siguientes expresiones. a) log (2ab)=
b) log
3a = 4
c) log
2a 2 3
d) log (a5 b4)=
2 ab 2 4
5a b c 3a 3 b j) log i) log = 2 xy c
x g) log h) log(2a b ) 2y
f) log ab
e) log
IV.- Aplicando las propiedades de los logaritmos, reduce a la mínima expresión a) log (a) +log (b) + log (c) = b) log (x) – log (y) =
c) 2 log (x) + 3 log (y)
1 1 d) log x log y e) log (a) – log (x) – log (y) = f)log (p) + log (q) – log ( r) – log (s)= 2 2 1 1 g) log (2) + log (3) +log (4) = h) log log16 log i) log (a2 )+ log (b) – log (a)= 2 4 V- Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando propiedades y definicion. a) log (x) + log (x+2) = log 3
b) log (x+5) = log (3x – 8)
c) log (x+3) + log (7) = log (x-3)
d) log (2) + log (x+3) = log (7)
Ecuaciones exponenciales. Resolver aplicando propiedades, sin tantear
a ) 32x 1
1 27
a ) 23x 2
1 8
a)33 X 243 a ) 33x 2
1 81
a) 2x+1 – 2x–3 + 2x = 23
b ) 3x 2 2 3x 3x 2 64
b) 5x 1 10 5x 2 2 5x 825
49
b)6 2 x1 216 b)
c)51 X 125 2