INSTITUTO TRÁNSITO DE MARÍA. MATEMÁTICA – 6 AÑO “A” Y “B” - 2015 GUÍA Nº 3:      

Logaritmos. Logaritmos decimales y logaritmos naturales. Uso de la calculadora. Propiedades de los logaritmos. Ecuaciones logarítmicas. Ecuaciones exponenciales.

Logaritmo Definición:

𝐥𝐨𝐠 𝒂(𝑵) = 𝑪

si y solo si

𝒂𝑪 = 𝑵

"a" 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑜. con { "𝑁" 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

 Se pronuncia: Logaritmo en base “a” de “N”  “a” se denomina “base del logaritmo” y es un número positivo y distinto de uno.  “N” se denomina “argumento del logaritmo” y es un número positivo.  Ejemplo: log 2 ( 8) = 3

(𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 23 = 8)

1) Calcular por definición: a) log 9 (1) = b) log 5 (25) = c) log 7 (7) = d) log 2 (0) = e) log 2 ( 8) = f)

log 25 ( 5) =

g) log 1 ( 3) = 3

h) log 3 ( 27) = i)

log 1 ( 64) =

j)

log 2 (0,5) =

2

k) log 2 ( 0,25) = l)

log12 ( 12) =

1

m) log 2 (2) = n) log √2 ( 2) = 1 3

o) log 9 ( ) = p) log10 ( 0,01) = q) log 5 ( 125) = r) log10 ( 10.000) = s) log 1 ( 16) = 4

8

t) log 2 (27) = 3

u) log 5 ( 1) = v) log √3 ( 9) = 1

w) log 5 (5) =

2) Calcular por definición: a) log 2 (√8) = 3

b) log 5 (√5) = 5

c) log 4 (√64) =

5

d) log 3 (√81) = e) log 3 (√27) = f)

4

log 6 (√216)= 1

3) Calcular por definición teniendo en cuenta que “b” es un número real positivo distinto de 1. a) log 𝑏 (𝑏) =

d) log 𝑏 (𝑏 2 ) =

b) log 𝑏 (1) =

e) log 𝑏 (√𝑏) =

1 𝑏

c) log 𝑏 ( ) =

f)

log √𝑏 (𝑏) =

 Uso de la calculadora.

4) Resolver utilizando la calculadora: a) log (202) =

e) ln(7) =

b) log (20) =

f)

c) log(2,02) =

g) ln(250) =

d) log(0,242) =

h) ln(0,25) =

 Propiedad cambio de base:

log 𝒂 (𝑁) =

ln(25) =

log𝒃 (𝑁) log𝒃 (𝑎)

Ejemplo: 

log 5 (18) =

log(18) log(5)



log 5 (18) =

ln(18) ln(5)

= 1,7958 …

= 1,7958 …

5) Resolver utilizando la calculadora: a) log 4 (100) =

e) log 2 (165) =

b) log 3 (10) =

f)

c) log 1 (7) =

g) log 3 (8,21) =

2

1

d) log 5 (8) =

log 5 (72) =

h) log15(0,25) =

2

 Otras propiedades del logaritmo: 

Logaritmo de un producto:

log 2 (4.16) = log 2 (4) + log 2 (16) = 2 + 4 = 6

Ejemplo:



Logaritmo de un cociente:

log 𝑎 (𝑃: 𝑄) = log 𝑎 (𝑃) − log 𝑎 (𝑄)

log 3 (81: 9) = log 3 (81) −log 3(9) = 4 − 2 = 2

Ejemplo:



log 𝑎 (𝑃. 𝑄) = log 𝑎 (𝑃) + log 𝑎 (𝑄)

Logaritmo de un potencia:

log 𝑎 (𝑃𝑛 ) = 𝑛. log 𝑎 (𝑃)

log 2 (84 ) = 4. log 2 (8) = 4 . 3 = 12

Ejemplo:

6) Resolver aplicando propiedades: a) log 2 (16.2.128) = b)

1 log 2 ( : 64) 32

c)

1 3 log 4 [( ) ] 64

5

1

e) log 6 (√ ) = 6

=

f)

=

log 3 (274 ) = 1 2

g) log 2 (16: ) =

4

d) log 5 (√125) =

h) log 3 (9.81) =

7) Resolver el ejercicio 2 aplicando propiedades. 8) Expresar como un solo logaritmo y luego resolver: 1 10

b) log 6 (3) +

9) Sabiendo que:

log6 (27) + 3

log 5 (𝑃) = 1,61

Calcular: a) log 5 (√𝑃. 𝑄) =

1 5

d) 3. log 5 (5) + log 5 ( ) −

log(𝐵) = 3

Calcular: a) log(𝐴. 𝐵2 )=

10) Sabiendo que:

c) [log 4 (32) −log 4(2)] =

log 6 (4) =

log(𝐴) = 2

2

1

a) 2. log 5 ( ) − 2. log 5 (2) + log 5 (16) =

log5 ( 3

1 ) 125

=

log(𝐶) = 4

c) log (

𝐵

b) log (√𝐶 3 ) =

𝐵3

√𝐴

. 𝐶) =

log 5 (𝑄) = 1,95 b) log 5 (𝑃2 . 𝑄 3 ) =

3

 Ecuaciones exponenciales

11) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales. a) 3𝑥−1 = 27 d) 2𝑥

1

2 −3

c) 3.4𝑥+1 = 96

e) 3𝑥−1 + 3𝑥+1 = 90

=4

g) 2𝑥+1 = 8 j)

1 𝑥

b) (2) = √8

f)

3𝑥−1 = 81

h) 4𝑥+3 = 4𝑥+2

i)

3𝑥−5 = 271−𝑥

k) 2𝑥+2 + 2𝑥−1 = 18

l)

4𝑥+1 + 2𝑥+3 = 320

𝑥−2

2

24𝑥−𝑥 = 8

4

 Ecuaciones logarítmicas.

12) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas. a) log 4 (𝑥 + 12) = 2

b) log 5 (𝑥 − 2) = −1

c) log(𝑥 2 − 3) = 0

d) log 𝑥+1(3) = 1

e) log 2 (𝑥) + log 2(3) = 4

f)

g) 3. log 4 (𝑥 + 2) − log 4(𝑥 + 2) = 1

h) log 4 (𝑥) + log 2(𝑥) = 6

2. log 1(𝑥 − 2) + log 1 (𝑥 − 2) = 4 8

8

 Distintos tipos de ecuaciones.

13) Clasificar cada una de las siguientes ecuaciones y luego resolver. a) 62𝑥−2 = 1

c)

1 𝑥 2

−

3𝑥−2 2

b) log 2 (𝑥 − 1) + 1 = log 2(𝑥 − 2) + log 2(7 − 𝑥) 1

= 4𝑥

e) log 2 (𝑥 + 1) + log 2(𝑥 − 1) = 3 g)

2 . (3𝑥 3

1

i)

3𝑥+3 = 27

− 6) − 2 . (𝑥 + 4) = 2 − 𝑥 1

d) 33𝑥−1 − 1 = 0 f)

2𝑥 2 − 1 = 7

h) log 2 (𝑥 − 1) + log 2(3) = log 2(𝑥 + 3) j)

10 − 8𝑥 + 7𝑥 2 = (3𝑥 − 2)2

4