El esquema de Newton-Raphson para problemas unidimensionales

Dr. Alejo O. Sfriso Universidad de Buenos Aires SRK Consulting (Argentina) AOSA

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El esquema de Newton-Rapshon

El esquema de Newton-Raphson

Sea el problema no lineal Se parte de un estado convergido Se impone un incremento de def. El problema es hallar 𝑝'() que cumpla

𝑝 = 𝐾 𝑝 · 𝜖& 𝑝' = 𝐾 𝑝' · 𝜖&' 𝜖&'() = 𝜖&' + Δ𝜖& 𝑝'() = 𝐾 𝑝'() · 𝜖&'()

Se plantea la forma implícita

𝐹 𝑝 = 𝑝 − 𝐾 𝑝 · 𝜖&'() = 0

Por teorema de Taylor

𝐹 𝑝/() = 𝐹 𝑝/ +

De donde se despeja

Δ𝑝 =

41 25 01⁄02

01 3 02 /

Δ𝑝 = 0

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Se actualiza 𝑝/() = 𝑝/ + Δ𝑝 y se itera hasta convergencia 2

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El esquema de Newton-Rapshon

Cómo funciona

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El esquema de Newton-Rapshon

Cómo se arregla (bisección)

• Se eligen topes ridículamente lejanos

pmin

pn

pmax

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El esquema de Newton-Rapshon

Cómo se arregla (bisección)

• Se eligen topes ridículamente lejanos • Se resuelve N-R

pmin

p( ) 1

pn

pmax

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El esquema de Newton-Rapshon

Cómo se arregla (bisección)

• Se eligen topes ridículamente lejanos • Se resuelve N-R • Si la presión cae fuera de los topes, se ignora el resultado y se adopta un promedio de los topes

pmin

pn

p( ) 1

pmax

p( ) 1

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El esquema de Newton-Rapshon

Cómo se arregla (bisección)

• Se eligen topes ridículamente lejanos • Se resuelve N-R • Si la presión cae fuera de los topes, se ignora el resultado y se adopta un promedio de los topes • En función del valor de F se corrigen los topes pmin

p( ) = pmax 1

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El esquema de Newton-Rapshon

Cómo se arregla (bisección)

El reducido radio de convergencia de NR originó el desarrollo de decenas de métodos de integración La combinación N-R con bisección es muy robusta, aunque no es la más eficiente en la mayoría de los casos Sin bisección no converge aún para un p0 razonable

Con bisección converge en pocos pasos aunque p0 sea extremo

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