Elementos de mecánica del continuo
Dr. Alejo O. Sfriso Universidad de Buenos Aires SRK Consulting (Argentina) AOSA
materias.fi.uba.ar/6408 latam.srk.com www.aosa.com.ar
[email protected] [email protected] [email protected]
Mecánica del continuo
Deformación infinitesimal
El desplazamiento total de un cuerpo tiene dos componentes • Desplazamiento rígido u, θ • Deformación La consecuencia mecánica sólo depende de la deformación
𝜖" = 𝜖' =
𝑎−𝑟 𝑟 𝑏−𝑟 𝑟
θ
a
r u
b
2
1
Mecánica del continuo
Deformación infinitesimal
El desplazamiento u es un campo vectorial La deformación infinitesimal 𝜖 es un campo tensorial de segundo orden simétrico ⎧ ∂u1 ⎪ T ∂x1 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎪ ε= ⎜ + ⎟=⎨ 2 ⎝ ∂x ∂x ⎠ ⎪ 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 2 ⎪ 2 ⎜⎝ ∂x + ∂x ⎟⎠ 2 1 ⎩
∂u1 ∂x1 1 ⎛ ∂u1 ∂u2 ⎞ ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ + ⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂x2 ∂x1 ⎠ ⎪ ⎪ ∂u2 ∂x2 ⎬→ ⎨ ∂u2 ⎪ ⎪ 1 ⎛ ∂u1 ∂u2 ⎞ ⎪ ⎪ 2 ⎜⎝ ∂x + ∂x ⎟⎠ ∂x2 2 1 ⎭ ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
u
3
∂u1 ∂ ⎡⎣1.5 + 0.1xy ⎤⎦ = = 0.1y ∂x1 ∂x
Ejemplo ⎧⎪ 1.5 + 0.1xy ⎫⎪ u ⎡⎣ x, y ⎤⎦ = x − x = ⎨ ⎬ ⎪⎩ 0.5 + 0.1xy ⎪⎭ ⎧⎪ 1.5 + 0.1x0.5x0.4 ⎫⎪ ⎧⎪ 1.52 ⎫⎪ u ⎡⎣0.5,0.4 ⎤⎦ = ⎨ ⎬= ⎨ ⎬ ⎪⎩ 0.5 + 0.1x0.5x0.4 ⎪⎭ ⎪⎩ 0.52 ⎪⎭
Mecánica del continuo
end
ini
⎧ ∂u1 1 ⎛ ∂u1 ∂u2 ⎞ ⎪ + ∂x1 2 ⎜⎝ ∂x2 ∂x1 ⎟⎠ ⎪ ε ⎡⎣ x, y ⎤⎦ = ⎨ ∂u2 ⎪ 1 ⎛ ∂u1 ∂u2 ⎞ ⎪ 2 ⎜⎝ ∂x + ∂x ⎟⎠ ∂x2 2 1 ⎩ ⎪⎧ 0.04 0.045 ⎪⎫ ε ⎡⎣0.5,0.4 ⎤⎦ = ⎨ ⎬ ⎩⎪ 0.045 0.05 ⎭⎪
∂u1 ∂ ⎡⎣1.5 + 0.1xy ⎤⎦ = = 0.1x ∂x2 ∂y ∂u2 ∂ ⎡⎣0.5 + 0.1xy ⎤⎦ = = 0.1y ∂x1 ∂x ∂u2 ∂ ⎡⎣0.5 + 0.1xy ⎤⎦ = = 0.1x ∂x2 ∂y
⎫ ⎪ ⎧ 0.1y 0.05( x + y ) ⎪ ⎪ ⎬= ⎨ 0.1x ⎪ ⎪⎩ 0.05( x + y ) ⎪ ⎭
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
4
2
Mecánica del continuo
Compatibilidad ⎧ ∂ 2 ε yy ∂ 2 ε zz ∂ 2 ε yz ⎪ S xx = + −2 =0 2 2 ∂ y ∂z ∂z ∂y ⎪ ⎪ ∂ 2 ε zz ∂ 2 ε xx ∂ 2 ε xz ⎪ S yy = + −2 =0 2 2 ⎪ ∂x ∂z ∂x ∂z ⎪ 2 2 ∂ ε xy ∂ 2 ε xx ∂ ε yy ⎪ S zz = + −2 =0 ⎪ ∂x ∂ y ∂ y2 ∂x 2 ⎪ × (ε × 𝑆 S== ∇𝛻× 𝛻∇·) 𝜖= 0 → ⎨ ∂ 2 ε zz ∂ ⎛ ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy ⎞ ⎪ S xy = − + + − =0 ∂x ∂ y ∂z ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟⎠ ⎪ ⎪ ∂ 2 ε yy ∂ ⎛ ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy ⎞ ⎪ Compatible ⎪ S xz = − ∂x ∂z + ∂ y ⎜ ∂x − ∂ y + ∂z ⎟ = 0 ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎪ ∂ ε xx ∂ ⎛ ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy ⎞ ⎪ S yz = − + − + + =0 ∂ y ∂z ∂x ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟⎠ ⎪ ⎩
Compatibilidad: el cuerpo deformado no tiene superposiciones ni grietas
Forma original
No compatible
5
Mecánica del continuo
Tensión
Un cuerpo puede estar sometido a fuerzas • De masa: peso propio, inercia • Superficiales: actuantes en el contorno del cuerpo Puede calcularse la acción total t en cualquier parte del cuerpo limitada por el plano de normal n Se define el tensor de tensiones σ tal que 𝑡 =𝝈·𝑛
t
n
6
3
Mecánica del continuo
Estados planos
Estado plano de tensiones (como una chapa)
𝜎1̇ = 𝜏51 = 𝜏61 = 0
Estado plano deformaciones (como una presa)
𝜖1̇ = 𝜖51 = 𝜖61 = 0
Estado axilsimétrico (como un pilote)
𝜖8̇ = 𝑢̇ ⁄𝑟 | 𝜖58 = 𝜖68 = 0
Estos estados planos son los únicos que pueden resolverse en modelos 2D 7
Mecánica del continuo
Modelos 2D vs 3D
En este modelo • El tabique de frente es 2D • Los anclajes son 3D (y son apoyo del tabique que por tanto es 3D) • La excavación es 2D • La carga puede ser 2D La tensión del terreno es realista excepto en la zona de los bulbos de anclaje
8
4
