1. A partir de las funciones: y = sen x , y = cos x , y = ex , y = Ln x , e y = x² representar las siguientes funciones: x y = cos  i. 2 Solución. y = cos x Función periódica. T = x (rad) cos x

2π 2π ; ω ≡ Coeficiente de la x. T = = 2π ω 1 0 3π/2 π/2 π 0 1 0 −1

2π 1

2π x = 4π y = cos  : Periodo: T = 1 2   2 x Para representarla, recomiendo que se haga una tabla dando al argumento   los valores 2 x conocidos(0, π/2, π, 3π/2, 2π), a continuación se despeja x y se calcula cos  . 2 0 π/2 3π/2 2π π x/2 (rad) 0 2π 3π 4π π x (rad) 1 0 0 1 cos x/2 −1

x Se representa cos  frente a x. 2

ii. Solución. y = sen x

y = sen 2x

Función periódica. T = x (rad) sen x

2π 2π ; ω ≡ Coeficiente de la x. T = = 2π ω 1 0 π/2 3π/2 π 0 1 0 −1

2π 0

2π =π 2 Para representarla, recomiendo que se haga una tabla dando al argumento(2x) los valores conocidos(0, π/2, π, 3π/2, 2π), a continuación se despeja x y se calcula sen 2x.

y = sen 2x: Periodo: T =

2x (rad) x (rad) sen 2x

0 0 0

π/2 π/4 1

π π 0

3π/2 3π/4 −1

2π π 0

Se representa sen 2x frente a x.

iii.

π  y = −2 sen  2x +  4 

Solución. y = sen x. Función periódica. Se representa en el primer periodo.

T=

2π 2π ; ω ≡ Coeficiente de la x. T = =π 2 ω

π  Para representarla, recomiendo que se haga una tabla dando al argumento  2x +  los valores 4  conocidos(0, π/2, π, 3π/2, 2π), se despeja x, se seleccionan los que pertenezcan al intervalo del primer π  periodo [0, π] y a continuación se calcula − 2 sen  2x +  . 4  0 2π π 2x + π/4 π/2 3π / 2 x π/8 3π / 8 5π / 8 7π / 8 −π / 8 ∉ [0, π]

Además de los valores propuestos en la tabla, se darán los extremos del intervalo, para saber donde empieza y donde acaba. x 0 π/8 3π / 8 5π / 8 7π / 8 π 2x + π / 4 π/4 π/2 3π / 2 2π 9π / 4 π 1 0 0 −1 sen (2x + π / 4) 2 2 2 2 −2 · sen (2x + π / 4)

−2

π  Se representa x frente a − 2 sen  2x +  : 4 

0

2

0

iv. y = 2 − sen x Solución. Partiendo de la función y = sen x, por deformación y desplazamiento se obtiene la gráfica de la función pedida. y = sen x

Deformación. Al multiplicar la función por (−1), se gira la función respecto del eje OX.

Desplazamiento. Sumarle 2 a la función supone un desplazamiento vertical hacia arriba de dos unidades.

v.

y = 2 + cos x

Solución. Partiendo de la función y = cos x, se obtiene la gráfica de su valor absoluto girando en torno al eje OX los intervalos en los que la gráfica está dibujada por debajo del eje OX.

Sumar dos unidades al valor absoluto de cos x, es desplazar verticalmente la gráfica de la función dos unidades.

Para operar con la función, es necesario quitar el valor absoluto y expresar la función por intervalos. Para el primer periodo, la expresión de la función es:   π   3π   2 + cos x Sí x ∈ 0,  ∪  , 2π   2  2 y = f (x ) = 2 + cos x =  3 π π   2 − cos x Sí x∈ ,   2 2  vi. y = −2 ⋅ sen x Solución. Partiendo de la función y = sen x, se obtiene la gráfica de y = 2 sen x, multiplicando cada valor por dos, lo cual produce una deformación, aumentado la amplitud ó recorrido de la función.

Para representarla, recomiendo que se haga una tabla dando al argumento(x) los valores conocidos(0, π/2, π, 3π/2, 2π), a continuación se multiplican por 2 para obtener 2 sen x. 0 π/2 3π/2 2π π x (rad) 0 1 0 -1 0 sen x 0 2 0 0 2 sen x −2

Multiplicar la función por (−1), supone girar la gráfica de la función en torno al eje OX.

vii.

y = e x −1 − 1

Solución. Partiendo de la función elemental y = ex, se obtiene la gráfica de la función pedida por desplazamientos horizontal y vertical.

Características generales. Función continua y derivable en todo R con una asíntota horizontal en y = −1 hacia −∞. viii.

y = Ln (x + 2 ) − 1

Solución. Partiendo de la función elemental y = Ln x, se obtiene la gráfica de la función pedida por desplazamientos horizontal y vertical, y por deformación (valor absoluto).

Deformación de valor absoluto, la parte negativa de la gráfica se gira alrededor de OX.

− Ln(x + 2) − 1 Sí − 2 < x < −1 Expresión de la función: f (x ) =   Ln(x + 2 ) − 1 Sí x ≥ −1 Características generales. Función continua en su dominio de definición. Presenta un punto anguloso ó de vértice en x = −1, donde la función es continua y no derivable.

ix.

f (x ) = 1 − x 2 − 2

Solución. Se representa por desplazamientos y deformaciones a partir de la y = x2.

Desplazamiento vertical hacia arriba de una unidad. −x2 → −x2 +1

Desplazamiento vertical hacia abajo de dos unidades. | 1 −x2 | → | 1 −x2 | −2

Características generales. Función continua en toso R. Presenta puntos angulosos ó vértices en x = ±1, donde la función es continua pero no derivable.

2. Representar las siguientes funciones, expresándolas previamente sin el valor absoluto. i. f (x ) = x + x − 1 Solución. Una función con valores absolutos se transforma en una función por intervalos teniendo en cuenta los signos que toman las expresiones en valor absoluto. Si la expresión es positiva el valor absoluto no la modifica, si es negativa, el valor absoluto la transforma multiplicando por (−1). El estudio del signo de las expresiones, se hace en función de los ceros de estas. x = 0; x −1 = 0: x = 1

 − 1 ⋅ x + (− 1) ⋅ (x − 1) Si x ≤ 0  f (x ) = x + (− 1) ⋅ (x − 1) Si 0 < x < 1  x + (x − 1) Si x ≥ 1 

1 − 2 x Si x ≤ 0  =  1 Si 0 < x < 1  2 x − 1 Si x ≥ 1 

La representación es bastante sencilla ya que se trata de dos expresiones lineales y otra constante.

ii. f (x ) = E ( x ) Solución. Función elemental. A cada valor de x le hace corresponder la parte entera, por ejemplo: E(2´52) = 2

iii. Solución.

f (x ) = x − E( x )

iv. f (x ) = E( x ) − x Solución. Se obtiene de la anterior por deformación de signo (× −1), la gráfica gira en torno a OX

v.

f (x ) =

x 1+ x

Solución. Lo primero es cambiar el valor absoluto por una función por intervalos, teniendo en cuenta que x cambia el signo en cero. Si x < 0 ⇒ x = − x x :x = 0:  Si x ≥ 0 ⇒ x = x

Aplicando a la función propuesta:  x  x f (x ) = = 1 − x 1+ x  x 1 + x

si

x