Trabajo Práctico Nº 9 (jueves 15/5/14) INCREMENTOS - DERIVADA

∆y si ∆x 1-2) f(x) = 2 x + 1, x 0 = 2 ∧ ∆x = 0,01 ∆y f(x + ∆x) - f(x) = ∆x ∆x 2(x + ∆x) + 1 - (2 x + 1) 2 x + 2∆x + 1 - 2 x - 1) = = ∆x ∆x ∆y 2∆x = =2 ∆x ∆x 1-6) f(x) = x 3 − 2, cuando x varía de 2 a 4 x0=2 ∆ x = 4 -2 = 2

1- Calcule

∆y f(x + ∆x) - f(x) = ∆x ∆x ∆y (x + ∆x) 3 − 2 − (x 3 − 2 ) = ∆x ∆x ∆y (2 + 2) 3 − 2 − (2 3 − 2 ) 64 − 2 − 6 = = = 28 ∆x 2 2 2- Demuestre aplicando la definición de derivada. Dé los dominios de f y f`’. 2-3) Si f(x) =

f ' (x ) = lim

h →0

= lim

h →0

= lim

h →0

= lim

1 x2

⇒ f ' (x ) = −

f(x + h) - f(x) h 1 1 - 2 2 (x + h) x

x 2 − (x + h) 2 = lim

(x + h) 2 ⋅ x 2 h h ⋅ (−2x − h) (x + h) 2 ⋅ x 2 h

= lim

b) ∃ f +´ ( x 0 ) => SI

∃ f ´ ( x 0 ) => NO

d) Dom f(x) = Dom f’(x) ii)

] ∀ x ∈ [x , b )

f ' (x ) > 0 ∀ x ∈ (a, x 0 0

h

− 2x − h − 2x = 4 2 ⋅x x

h →0 (x + h) 2

2 x3

f ' (x ) < 0

(x + h) 2 ⋅ x 2

h →0

i) Diga si a) ∃ f -´ ( x 0 ) => SI c)

= h − 2xh − h 2

= lim

33-1)

(x + h) 2 ⋅ x 2

h →0 h 2 2 x − x − 2xh − h 2

h →0

f ' (x ) = −

2 x3

3-4)

i) Diga si a) ∃ f -´ ( x 0 ) => SI b) ∃ f +´ ( x 0 ) => SI c)

∃ f ´ ( x 0 ) => NO Porque en la gráfica se observa que la pendiente de la recta tangente a la curva para el punto de abscisa x 0 es vertical lo que asegura que su pendiente no está definida.

d) Dom f(x) ≠ Dom f’(x) ii)

f ' (x ) > 0 ∀ x ∈ (a, x 0 ) U (x 0 , b ) 4- Esboce la gráfica de una función f tal que: 4-4) sea derivable en ( a , b ) excepto en x0 y x1 ( a < x0 < x1 < b ) O

O

a

x0

x1

b

x

y º

. º

º a

x0

x1

b

x

5- Grafique y analice si la función es derivable en el punto de abscisa x0 5-1)

si x < 2 3x - 1 f(x) =  2 x − x + 3 si x ≥ 2

en x0 = 2

y

6 5 4

La función no es derivable en el punto p(2,5). Existen las derivadas laterales por izquierda y por derecha pero son distintas.

3 2 1 -2

-1

1 -1

2

3

4

x

-2 5-3) f(x) = x + 2

en x 0 = 0 y f(x) no es derivable en p(0,2), porque no presenta tangente única en ese punto. 21X

6- Determine los valores de a y b para que f sea derivable en el punto de abscisa x 0

ax + b 2 2x − 1

si x < 2 en x0 = 2 si x ≥ 2

6-2) f(x) = 

Si la función es derivable en p(2,7) entonces f -´ ( x 0 ) = f +´ ( x 0 )

f-´ ( x 0 ) = a   ⇒ a = 4⋅2 f +´ ( x 0 ) = 4 x  a=8 p (2, 7) ∈ f(x) ⇒ 7 = 8.2 + b b = -9 9- Derive: 9-2) f(x) =

9-5) f(x) =

x5 a+b

a 3

−

x2 a -b

t

−

t

f ´ (x) =

−x

5 ⋅ x4 a+b

−

2⋅x −1 a-b

= a ⋅ t -1/3 − t 1/2 ⋅ t −1 ⋅ t 2/3 = a ⋅ t -1/3 − t -7/6

3

t⋅ t

2

 1  7  1 a 7 1 f ´ ( x ) = a ⋅  −  t -4/3 −  −  t -13/6 =  −  ⋅ + ⋅  3  6  3  3 t 4  6  6 t 13 1  1 a 7 f ´ (x) =  −  ⋅ + ⋅ 4 2 3  3 t 6 t ⋅6 t 9-8) f(n) =

,

f (n) = f , (n) = f , (n) =

e n ⋅ cos n tn

(e

n

⋅ cos n ) ⋅ t n − (e n ⋅ cos n )⋅ (t n ) '

'

(t )

n 2

=

[(e

n

e n ⋅ (cos n - sen n ) ⋅ t n − e n ⋅ cos n ⋅ t n ⋅ ln t

(t )

n 2

e n ⋅ [cos n - sen n − cos n ⋅ lnt ] tn

]

⋅ cos n ) − (e n ⋅ sen n ) ⋅ t n − (e n ⋅ cos n )⋅ (t n ⋅ ln t )

(t )

n 2

=

e n ⋅ (cos n - sen n ) − e n ⋅ cos n ⋅ ln t tn

=

=

9-10) f(m) = m ⋅ arc sen m f , (m) = arc sen m + m ⋅

(

1 1 − m2

)

9-15) f(t) = a t ⋅ ln t + ln x ⋅ arc cos t 1 1  f , (t) =  a t lna ⋅ ln t + a t ⋅  ⋅ arc cos t − (a t ⋅ ln t + ln x )⋅ t 1− t2 