En expresiones que contengan un radical de la forma n )x(f un cambio típico seria f(x) = tn. • En expresiones que contengan radicales del tipo n )x(f , m )x(f ...
Integración por cambio de variable Consiste en cambiar la variable x por una expresión en función de otra variable de forma que la integral resultante sea más sencilla. Cuando se realiza el cambio de variable se debe cambiar también el diferencial. x = ϕ( t ) f ( x )·dx = = f (ϕ( t ) ) ⋅ ϕ' ( t )·dt dx = ϕ' ( t )·dt
∫
∫
La función ϕ se debe elegir de tal manera, que el segundo miembro de la expresión anterior tome una forma más adecuada para la integración. Ejemplo: x + 2 = t3 dx 3·t 2 ⋅ dt 3·t 2 = diferenciando = = ⋅ dt 3 3 1+ t 1+ 3 x + 2 2 1 t + dx = 3·t ⋅ dt Mediante el cambio de variable se consigue cambiar la expresión irracional por otra racional, más sencilla de integrar.
∫
∫
∫
Para resolver la integral racional se descompone la expresión en un cociente más resto dividido por divisor 3·t 2 3 = 3·t − 3 + 1+ t 1+ t sustituyendo en la integral 3·t 2 3 3t 2 − 3t + 3·Ln 1 + t + C ⋅ dt = 3·t − 3 + ⋅ dt = 1+ t 1+ t 2 una vez resuelta la integral se deshace el cambio
∫
∫
x + 2 = t3 ⇒ t = 3 x + 2 dx
3
∫ 1 + 3 x + 2 = 2 ⋅3 (x + 2)
2
− 3 ⋅ 3 x + 2 + 3·Ln 1 + 3 x + 2 + C
Algunos cambios de variable típicos. •
En expresiones que contengan un radical de la forma
•
En expresiones que contengan radicales del tipo
n
f ( x ) un cambio típico seria f(x) = tn.
n
m f (x)
f (x) ,
, ... un cambio típico seria
m.c.m. de los índices
f(x)=t •
.
En expresiones de la forma
a 2 − x 2 el cambio seria x = a·sen t
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 x = a ⋅ sent : a − x = a − a sen t = a 1 − sen t = a cos t = a ⋅ cos t dx = a ⋅ cos t ⋅ dt
•
En expresiones de la forma
x 2 − a 2 el cambio seria x = a·sec t
1 x 2 − a 2 = a 2 ⋅ sec 2 t − a 2 = a 2 − 1 = a 2 tg 2 t = a ⋅ tg (t ) 2 cos t x = a ⋅ sec t : sen (t ) dx = a ⋅ ⋅ dt cos 2 t
•
En expresiones de la forma
x 2 + a 2 el cambio seria x = a·tg t
2 x 2 + a 2 = a 2 ⋅ tg 2 t + a 2 = a 2 sen t + 1 = 2 cos t x = a ⋅ tg(t ) : dt dx = a ⋅ cos 2 t
