TRABAJO PRÁCTICO Nº 10: Restricción presupuestaria. Extremos Condicionados. Multiplicadores de Lagrange. ASIGNATURA: MATEMATICA II (Administr., Turismo, Hotelería) – AÑO: 2014 1) Suponga que un consumidor tiene una renta de 100 U.M. y puede elegir entre dos bienes de consumo: A y B, cuyos precios son, respectivamente, 1 U.M. y 2 U.M. a) hallar el vector de precios; b) escribir la expresión de la ecuación presupuestaria de tres maneras diferentes (implícita, explícita y segmentaria); c) representarla; d) ¿la combinación (50;25) pertenece a la recta balance? Explicar el significado económico de esta combinación; e) Ídem inciso d) para el punto (15;35). Rta: b) ecuación implícita: 100 = x+2y. 2) Suponga que el consumidor del problema anterior ahora puede elegir entre los dos bienes anteriores y un tercer bien C, cuyo precio es 4 U.M. a) hallar el nuevo vector de precios; b) escribir la nueva ecuación presupuestaria; c) graficar; d) Encontrar una combinación para la cual el consumidor gasta todo su dinero consumiendo un poco de cada bien.; e) Idem anterior consumiendo sólo el bien A y B; Idem anterior consumiendo sólo el bien C. 3) ¿Cuáles serán los dos números naturales x e y tales que su producto sea 100 y su suma sea la mínima posible? Rta: x=10 , y=10. 2 2 2 4) Encontrar los extremos relativos de la función w = x + y + z sujeta a la restricción de que x, y, z

deben satisfacer que x − y + 2 z = 6 . Resolver este ejercicio: a) transformando la función dada en una función de dos variables y, b) por el método de los multiplicadores de Lagrange. Rta: la función tiene un mínimo en (1; –1;2). 5) Sean x e y las cantidades de dos productos que produce una fábrica, con la siguiente función de costo de producción conjunta: C(x, y) = 18 x2 + 9 y2. Si se desea producir 54 unidades en total, entre ambos productos, determine las cantidades x e y que minimizarán el costo. Rta: Costo Mínimo en x= 18; y = 36. 6) Una función de utilidad está dada por la expresión U = f ( x, y ) = 10 x + 27 y + 4 xy . Si la restricción presupuestaria es 2 x + 3 y = 18 , hallar las cantidades que maximizan la utilidad, y el valor de esa utilidad máxima. Rta: x=3 , y=4 , Umáx=186. 7) La función de producción de una empresa es

q ( x; y ) = 12 x + 20 y − x 2 − 2 y 2

siendo

C ( x; y ) = 4 x + 8 y . Obtener la máxima producción posible si se tiene disponible para los insumos 88 U.M. Rta: qmáx = 74. 8) Una función de producción está dada por q = x ⋅ y donde x e y son las cantidades de los insumos cuyos precios unitarios son 1 U.M. y 2 U.M., respectivamente. Existe un costo fijo de 100 U.M. Determinar: a) la máxima producción que puede obtenerse con un costo total de 124 UM. b) El mínimo costo al que puede obtenerse una producción de 12 unidades. Rta: a) x=12; y=6 =>q=8,5. b) costo mínimo= 134 U.M. 3

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9) La función de producción de una empresa P( L; K ) = 80 L4 K 4 , en donde L y K representan el número de unidades de mano de obra y capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra representa un costo de $60 y cada unidad de capital $200, mientras que la empresa dispone de $40000 destinados a producción. Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange determinar el nro de unid. de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear para obtener una producción máxima, y a cuanto asciende esa prod. máx. Rta: K=L=40000/260=153,846; Pmax = 12307,68. 10) Si la función de producción es: Q(x ,y)= x2 + 3 xy - 6 x , donde x e y son las cantidades de dos insumos. Encuentre x e y que maximizan la producción cuando: x + y = 40. Producción máxima en x= 28,5; y=11,5. 11) Optimice la función de producción de Cobb-Douglas generalizada: Q = K0.4 L0.5, dada la restricción del presupuesto a 108 unidades monetarias cuando los precios de los insumos son PK=3 y PL=4. Producción máxima en L= 15; K=16.