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UNIDAD Nº 9: ARCOS Y CABLES. Sistemas lineales de eje curvo. Esfuerzos característicos en Arcos. Esfuerzos de tracción en cables de pequeña y gran curvatura. Introducción. En la presente unidad se analizan estructuras conformadas por barras de eje curvo. Se estudian sistemas de alma llena (estructuras solicitada por flexión ,esfuerzo de corte y esfuerzo axil) como así también tipologías estructurales particulares como resultan ser los arcos y cables.

Relaciones diferenciales para las barras de eje curvo.

Rz=0 → H(z) + dH(z) - H(z) + qz(z).dz=0 Ry=0 → V(z) + dV(z) - V(z) + qy(z).dz=0 2

MG2=0→M(z)+dM(Z)-M(z)-V(z).dz+H(z).dY(z)+qy(z).dz /2-qz(z).dz.dY(z)/2=0 Operando con estas expresiones y recordando el concepto de infinitésimo de orden superior se arriba a las relaciones diferenciales válidas para barras de eje curvo que a continuación se expresan:

2

Como se puede observar las relaciones diferenciales refieren a las fuerzas internas V y H. En lo que sigue se relaciona estas fuerzas con el esfuerzo de corte y el esfuerzo normal. Es decir :

Q(z) = V(z).cosα(z) - H(z).senα(z) N(z) = V(z).senα(z) + H(z).cosα(z) Q(z)=[ V(z)-H(z).tgα(z) ] .cosα(z) y se tiene en cuenta la expresión: dM(z)/dz=V(z) - H(z).Y’(z) ,dado que Y’(z)= tgα(z) resulta

Si ahora el esfuerzo de corte se expresa como finalmente:

Q(z)=(dM(z)/dz).cosα(z)

Definición geométrica del eje curvo de una barra. En el presente trabajo se analizan estructuras conformadas por barras de eje curvo parabólico. En dicho caso la expresión matemática que lo describe es la que surge del análisis que a continuación se desarrolla:

3

Si se parte de la expresión : Y(z)= a continuación se indican:

a .z

Si z=0→ Y(z)=0

2

+

b .z + c y se plantean las condiciones de borde que

Si z=L/2 → Y(z)=f

Si z=L → Y(z)=0

Operando resulta:

Y(z) = (- 4.f /L2).( Z2 - L.Z) Derivando se obtiene:

Y’(z) = tgα(z) = (- 4.f /L2).( 2.Z - L) Finalmente:

α(z) = arc tg (- 4.f /L2).( 2.Z - L)

SISTEMAS DE ALMA LLENA. Se analiza una viga simplemente apoyada de eje curvo parabólico, sometida a la acción de fuerza específica uniforme por unidad de longitud horizontal y dirigida verticalmente hacia abajo.Es decir:

1-Definición geométrica del eje curvo. 2

Y(z) = (- 4.f /L2).( Z2 - L.Z) = (0.1875 1/m) x ( Z – 8m x Z) α(z) = arc tg (- 4.f /L2).( 2.Z - L) = arc tg (0.1875 1/m) x ( 2 x Z – 8m)

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Operando se obtiene el siguiente cuadro resumen:

z (m) Y(z)(m) α(z)(º) sen α(z) cos α(z) 0 0.00 -56.31 -0.8320 0.5547 2 -2.25 -36.87 -0.6000 0.8000 4 -3.00 0.00 0.0000 1.0000 6 -2.25 36.87 0.6000 0.8000 8 0.00 56.31 0.8320 0.5547 2-Cálculo de reacciones de vínculo externo. Planteando ecuaciones de equilibrio en la forma conocida se obtiene:

3-Determinación de las funciones H(z), V(z) ,M(z) ,Q(z) y N(z). 3.1- H(z) = 0 3.2- V(z) = - ( - 120Kn + 30Kn/m x Z )

→ V(z) = 120Kn - 30Kn/m x Z 2

3.3- M(z) = - [ - 120Kn x Z + (30Kn/m x Z /2 )]

→ M(z) = 120Kn x Z - 15Kn/m x Z2

3.4- Q(z) = (dM(z)/dz).cos α(z) → Q(z) = (120Kn - 30Kn/m x Z) .cos α(z) 3.5- N(z) = V(z).sen α(z) +H(z).cos α(z) → N(z) = (120Kn - 30Kn/m x Z) .sen α(z)

En este caso el cuadro resumen es el que se muestra:

z (m) H(z)(Kn)

V(z)(Kn)

M(z)(Knm)

Q(z)(Kn)

N(z)(Kn)

0

0

120

0

66.57

- 99.84

2

0

60

180

48.00

- 36.00

4

0

0

240

0.00

0.00

6

0

- 60

180

- 48.00

- 36.00

8

0

-120

0

- 66.57

- 99.84

5

4-Trazado de diagramas de características.

ARCOS

Se denomina arco a la estructura conformada por barras de eje curvo y solicitada en sus infinitas secciones transversales por esfuerzo normal de compresión. Se admite la existencia de momento flexor siempre que, en acción conjunta con el esfuerzo normal, origine compresión en la totalidad de la altura de cada una de las secciones transversales. La aparición de esfuerzo de tracción en la altura de la sección transversal hace que la estructura abandone el concepto de arco y se transforme simplemente en una estructura de alma llena.

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A continuación se analizan casos habituales:

a-Arco de tres articulaciones de eje curvo parabólico, sometido a la acción de fuerza específica uniforme por unidad de longitud horizontal y dirigida verticalmente hacia abajo.

1-Definición geométrica del eje curvo. Es idéntica al caso de alma llena. En consecuencia , los resultados anteriormente obtenidos se utilizan en el presente desarrollo. 2-Cálculo de reacciones de vínculo externo. Planteando ecuaciones de equilibrio en la forma conocida se obtiene:

3-Determinación de las funciones H(z), V(z) ,M(z) ,Q(z) y N(z). 3.1- H(z) = - 80 Kn 3.2- V(z) = - ( - 120Kn + 30Kn/m x Z )

→ V(z) = 120Kn - 30Kn/m x Z 2

3.3- M(z) = - [ - 120Kn x Z + (30Kn/m x Z /2 ) + 80 Kn x a ] Como

a = - Y(z)

2

= - (0.1875 1/m) x ( Z – 8m x Z) resulta entonces: 2

M(z) = - (- 120Kn x Z + 15Kn/m x Z

- 15Kn/m x Z2 + 120Kn x Z ) =0

M(z) = 0 para todo Z

7

3.4- Q(z) = (dM(z)/dz).cos α(z) → Q(z) = 0 para todo Z 3.5- N(z) = V(z).sen α(z) +H(z).cos α(z) N(z) = (120Kn - 30Kn/m x Z) .sen α(z) - 80Kn .cos α(z) A continuación se desarrolla el cuadro resumen:

z (m) H(z)(Kn)

V(z)(Kn)

M(z)(Knm)

Q(z)(Kn)

N(z)(Kn)

0

-80

120

0

0

- 144.22

2

-80

60

0

0

- 100.00

4

-80

0

0

0

-80.00

6

-80

- 60

0

0

- 100.00

8

-80

-120

0

0

- 144.22

4-Trazado de diagramas de características.

b-Arco de tres articulaciones de eje curvo parabólico, sometido a la acción de fuerza específica lineal por unidad de longitud horizontal y dirigida verticalmente hacia abajo.

8

En este caso no es posible definir una única función para la fuerza específica. Por dicho motivo y con el fin de simplificar el análisis se hace uso del concepto de simetría estructural y de carga que permite, estudiando la mitad de la estructura, obtener resultados para la estructura completa. El medio esquema estructural a resolver es el que se muestra:

1-Definición geométrica del eje curvo. 2

Y(z) = (- 4.f /L2).( Z2 - L.Z) = (0.1875 1/m) x ( Z – 8m x Z) α(z) = arc tg (- 4.f /L2).( 2.Z - L) = arc tg (0.1875 1/m) x ( 2 x Z – 8m) Operando se obtiene el siguiente cuadro resumen:

z (m) Y(z)(m) α(z)(º) sen α(z) cos α(z) 0.00 0.00 -56.31 -0.8320 0.5547 1.00 -1.31 -48.37 -0.7474 0.6644 1.33 -1.67 -45.00 -0.7071 0.7071 2.00 -2.25 -36.87 -0.6000 0.8000 2.80 -2.73 -24.23 -0.4104 0.9119 4.00 -3.00 0.00 0.0000 1.0000 2-Cálculo de reacciones de vínculo externo. Planteando ecuaciones de equilibrio en la forma conocida se obtiene:

9

3-Determinación de las funciones H(z), V(z) ,M(z) ,Q(z) y N(z). 3.1- H(z) = - 26.67Kn 2

3.2- V(z) = - [ - 60Kn + (30Kn/m x Z/2 ) + (7.5Kn/m ) x (4m - Z) x Z/2 ] 2

2

V(z) = 60Kn - 30Kn/m x Z + 3.75 Kn/m x Z 2

2

2

3.3- M(z) = -[ - 60Kn x Z + (30Kn/m x 2 x Z /6 ) + (7.5Kn/m ) x (4m - Z) x Z /6 + 26.67 Kn x a ] Como

a = - Y(z) = - (0.1875 1/m) x ( Z 2 – 8m x Z) 2

M(z) = - (- 20Kn x Z + 10Kn/m x Z M(z) = 20Kn x Z

resulta entonces:

- 1.25Kn/m2 x Z3 )

- 10Kn/m x Z2

2

3

+ 1.25Kn/m x Z

El análisis en búsqueda de máximos de la función momento flexor es el que sigue: dM(z)/dz = 20Kn

- 20Kn/m x Z

2

2

+ 3.75Kn/m x Z =0

La expresión que precede se anula en z=1.33m y z=4.00m.En z=4.00m la función presenta un mínimo (Mmin=0) y en z=1.33m la función presenta un máximo (Mmax=11.85Knm). 2

2

3.4- Q(z) = (dM(z)/dz).cos α(z) → Q(z) =( 20Kn - 20Kn/m x Z + 3.75Kn/m x Z ) .cos α(z) 3.5- N(z) = V(z).sen α(z) +H(z).cos α(z) 2

2

N(z) = (60Kn - 30Kn/m x Z + 3.75Kn/m x Z ) .sen α(z) – 26.67Kn .cos α(z)

El cuadro resumen es el que se muestra:

z (m) H(z)(Kn)

V(z)(Kn)

M(z)(Knm)

Q(z)(Kn)

N(z)(Kn)

0.00

-26.67

60.00

0.00

11.10

- 64.71

1.00

-26.67

33.75

11.25

2.49

- 42.95

1.33

-26.67

26.67

11.85

0.00

-37.72

2.00

-26.67

15.00

10.00

-4.00

- 30.34

2.80

-26.67

5.40

5.00

-6.00

- 26.54

4.00

-26.67

0.00

0.00

0.00

- 26.67

10

4-Trazado de diagramas de características. El trazado de diagramas de características se desarrolla para la estructura completa.

c-Arco de tres articulaciones de eje curvo parabólico, sometido a la acción de fuerza específica uniforme por unidad de longitud de arco y dirigida verticalmente hacia abajo.

En este caso se hace necesario conocer la longitud del arco para determinar la resultante de carga. Con el objeto de no complicar matemáticamente la resolución del problema, a continuación se transforma la fuerza específica por unidad de longitud de arco en fuerza específica por unidad de longitud horizontal y luego se indica como se puede resolver el sistema en forma aproximada.

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Para la transformación se parte de la siguiente igualdad:

qy(z).dz= qy(s).ds Operando:

ds=(dz2 + dy2)0.5=[(1 + (dy/dz)2)0.5].dz Finalmente:

qy(z) = qy(s).(1 + (dy/dz)2)0.5 Bajo la consideración que precede la estructura a resolver es la que se muestra:

Con buena aproximación y del lado de la seguridad (pues se incrementa la resultante de carga) si se considera variación lineal de la fuerza específica (línea punteada) es posible entonces el siguiente planteo:

Consecuentemente el caso c puede ser resuelto en forma aproximada como suma de los casos a y b. Si la relación f/L es pequeña entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en cada punto será también pequeña, implicando que la carga especifica por unidad de longitud horizontal es aproximadamente igual a la carga especifica por unidad de longitud de arco.

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d-Arco de tres articulaciones de eje curvo parabólico, sometido a la acción de fuerza concentrada aplicada en su clave y dirigida verticalmente hacia abajo.

Haciendo uso del concepto de simetría estructural y de carga ,el medio esquema estructural a resolver es el que se muestra:

1-Definición geométrica del eje curvo. 2

Y(z) = (- 4.f /L2).( Z2 - L.Z) = (0.1875 1/m) x ( Z – 8m x Z) α(z) = arc tg (- 4.f /L2).( 2.Z - L) = arc tg (0.1875 1/m) x ( 2 x Z – 8m) Operando se obtiene el siguiente cuadro resumen:

z (m) Y(z)(m) α(z)(º) sen α(z) cos α(z) 0.00 0.00 -56.31 -0.8320 0.5547 1.00 -1.31 -48.37 -0.7474 0.6644 2.00 -2.25 -36.87 -0.6000 0.8000 3.00 -2.81 -20.56 -0.3511 0.9363 4.00 -3.00 0.00 0.0000 1.0000

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2-Cálculo de reacciones de vínculo externo. Planteando ecuaciones de equilibrio en la forma conocida se obtiene:

3-Determinación de las funciones H(z), V(z) ,M(z) ,Q(z) y N(z). 3.1- H(z) = - 33.33Kn 3.2- V(z) = - (- 25Kn)

V(z) = 25Kn

3.3- M(z) = -( - 25Kn x Z + 33.33Kn x a ) Como

a = - Y(z) = - (0.1875 1/m) x ( Z 2 – 8m x Z)

M(z) = - (- 25Kn x Z

- 6.25Kn/m x Z2

resulta entonces:

+ 50Kn x Z ) 2

M(z) = - 25Kn x Z + 6.25Kn/m x Z

El análisis en búsqueda de máximos de la función momento flexor es el que sigue: dM(z)/dz = - 25Kn + 12.5Kn/m x Z=0 La expresión que precede se anula en z=2m resultando Mmax= - 25.00Knm.

3.4- Q(z) = (dM(z)/dz).cos α(z) → Q(z) =(- 25Kn + 12.5Kn/m x Z ) .cos α(z)

3.5- N(z) = V(z).sen α(z) +H(z).cos α(z) → N(z) = 25Kn .sen α(z) - 33.33Kn .cos α(z)

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El cuadro resumen es el que se muestra:

z (m) H(z)(Kn)

V(z)(Kn)

M(z)(Knm)

Q(z)(Kn)

N(z)(Kn)

0.00

-33.33

25.00

0.00

-13.87

- 39.29

1.00

-33.33

25.00

-18.75

-8.31

- 40.83

2.00

-33.33

25.00

-25.00

0.00

- 41.67

3.00

-33.33

25.00

-18.75

11.70

- 39.98

4.00

-33.33

25.00

0.00

25.00

- 33.33

4-Trazado de diagramas de características. El trazado de diagramas de características se desarrolla para la estructura completa.

Comentarios finales. 1-Si bien para el presente desarrollo se utilizó el eje curvo parabólico, podría haberse utilizado otro tipo de curva como por ejemplo la circunferencial. En dicho caso se hubiera modificado la definición geométrica del eje curvo pero no los procedimientos. 2-Si se tiene en cuenta que una curva es una poligonal de infinito número de lados, uno de los procedimientos posibles de aplicar para la resolución de estructuras conformadas por barras de eje curvo, es el reemplazo de dicho eje por una poligonal conformada por barras de eje recto. La precisión en los resultados dependerá de la cantidad de lados que tenga dicha poligonal.

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CABLES

Pertenecen a la presente clasificación la estructuras cuya posición final es consecuencia del estado de cargas que las solicita. La respuesta en esfuerzos internos es exclusivamente mediante tracción. Consecuentemente, resolver este tipo de estructuras consiste en: 1-Determinar como varía el esfuerzo interno de tracción. 2-Conocer su posición final. A continuación se grafican algunos ejemplos sencillos:

En forma práctica la flecha ( f ) se adopta en función del proyecto (por ejemplo para permitir determinada altura libre reglamentaria por debajo del cable).

A continuación se desarrollan dos casos de uso habitual en la práctica de la Ingeniería Civil.

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a-Cable

con apoyos a distinta altura sometido a la acción de fuerza específica uniforme por unidad de longitud horizontal y dirigida verticalmente hacia abajo.

1-Determinación de reacciones de vínculo externo

Rz=0 → HA-HB=0 Ry=0 → -VA-VB+20000Kn=0 MXA=0→ HB.25m - VB.400m + 4000000Knm=0 Recordando que por definición en la estructura que se analiza solo se generan esfuerzos internos de tracción, es posible obtener la cuarta ecuación reflejando la condición de momento flexor nulo en la sección C (sección geométricamente definida). Recorriendo la estructura de izquierda a derecha resulta:

MC=0→ VA.200m - HA.50m - 1000000Knm=0 Finalmente resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

HA= HB=16000Kn

VA=9000Kn

VB=11000Kn

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2-Determinación de la posición final del cable. Se parte de la estructura sometida al sistema de fuerzas en equilibrio. Es decir:

A continuación se plantea la condición de momento flexor nulo en cualquier sección de la estructura. Entonces recorriendo la estructura de derecha a izquierda resulta: 2

MD=0→ - [-11000Kn.z +16000Kn. Y(z) + (50Kn/m).z /2 ]=0 Operando surge la expresión que define la posición final del cable:

Y(z) = - 1.5625x10-3 /m x z2 + 0.6875 x z A partir de la expresión que precede y haciendo uso del análisis matemático es posible definir los siguientes parámetros geométricos:

Ymáx = 75.625m

en

z=220m

α(z) = arc tg [(- 3.125 x 10-3/m) x z + 0.6875] Operando con las expresiones anteriores se obtiene el siguiente cuadro resumen:

z (m) 0.0 100.0 200.0 220.0 300.0 400.0

Y(z)(m) α(z)(º) sen α(z) cos α(z) 0.000 34.50 0.5665 0.8240 53.125 20.56 0.3511 0.9363 75.000 3.58 0.0624 0.9980 75.625 0.00 0.0000 1.0000 65.625 -14.04 -0.2425 0.9701 25.000 -29.36 -0.4903 0.8716

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3-Determinación de las funciones H(z), V(z) y N(z). 3.1- H(z) = - ( - 16000Kn )

H(z) =16000Kn

3.2- V(z) = - ( - 11000Kn + 50Kn/m x Z ) V(z) = 11000Kn - 50Kn/m x Z 3.3- N(z) = V(z).sen α(z) +H(z).cos α(z) N(z) = (11000Kn - 50Kn/m x Z) .sen α(z) +16000Kn .cos α(z)

El cuadro resumen es el que se muestra:

z (m) H(z)(Kn) V(z)(Kn) N(z)(Kn) 0.0

16000

11000

19415

100.0

16000

6000

17087

200.0

16000

1000

16030

220.0

16000

0

16000

300.0

16000

- 4000

16491

400.0

16000

- 9000

18358

4-Trazado de diagramas de características. Teniendo presente que el cable solo desarrolla esfuerzos internos de tracción, el diagrama correspondiente es el que a continuación se muestra:

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b-Cable con apoyos a distinta altura sometido a la acción de fuerza específica uniforme por unidad de longitud de cable y dirigida verticalmente hacia abajo.

En este caso no es posible partir del cálculo de reacciones de vínculo externo, dado que la resultante de carga es función de la longitud del cable y para definir dicha longitud es necesario determinar la posición final del mismo, la cuál inicialmente no se conoce. Por este motivo se desarrolla a continuación una estrategia diferente al caso a para la resolución del problema. Partiendo del claro concepto de nulidad de esfuerzo de corte en las infinitas secciones del cable resulta el siguiente planteo:

Q(z)=V(z).cosα(z) - H(z).senα(z)=0 → V(z)=Y’(z).H(z) (1) Derivando respecto de z la expresión (1) resulta:

V’(z)=Y’’(z).H(z) +Y’(z).H’(z) (2) Recordando las relaciones diferenciales para las barras de eje curvo:

V’(z)= - qy(z) (3)

H’(z)= - qz(z) (4)

Reemplazando las expresiones (3) y (4) en la expresión (2) se obtiene:

- qy(z)=Y’’(z) . H(z) +Y’(z) . (- qz(z)) (5) En el caso que se analiza resulta:

qz(z)=0 → H’(z)=0 → H(z) = H = constante (6) Además se sabe que:

qy(z) = qy(s).(1 + (Y’(z))2)0.5

20

Dado que en el caso que se analiza escribirse:

qy(s)=q=constante,

la última expresión puede

qy(z) = q.(1 + (Y’(z))2)0.5 (7) Reemplazando (6) y (7) en (5) y operando se obtiene finalmente:

La expresión que precede es la ecuación diferencial de la catenaria .Se entiende por catenaria la curva que describe la posición final de una cadena de eslabones colgada entre dos puntos fijos y sometida a su peso propio. Finalmente la solución a la ecuación diferencial planteada es la función que a continuación se expresa y que lógicamente representa a la curva catenaria (la resolución detallada de la ecuación diferencial se encuentra al final del presente trabajo en el apéndice)

Y(z) = - (H/q) x cos hip [(q/H) x (Z + C1)]

+ C2

Donde:

{

}

C1 = (H/q) x arg sen hip [(- q x d)/(2 x H x sen hip (q x L / 2 x H))] - (L/2) C2 = (H/q) x cos hip (q x C1/ H) Con las expresiones obtenidas se procede a resolver el problema planteado. A efectos comparativos se adopta como valor de H el obtenido en el caso a . Es decir H=16000Kn.

1-Determinación de la posición final del cable.

C1 =(16000Kn/50Kn/m) x {arg sen hip [(- 50Kn/m x 25m)/(2 x 16000Kn x sen hip (50Kn/m x 400m / 2 x 16000Kn))] } - (200m)

C1 = - 218.744m C2 =(16000Kn/50Kn/m) x cos hip ( - 50Kn/m x 218.744m/16000Kn)

C2 = 397.721m

21

Y(z) = - (16000Kn/50Kn/m) x cos hip [(50Kn/m/16000Kn) x (Z – 218.744m)] + 397.721m

Y(z)= - 320m x cos hip [3.125x10 -3 1/m x (Z – 218.744m)] + 397.721m Determinación de Ymáx

Y’(z) = - sen hip [3.125x10-3 1/m x (Z – 218.744m)] Y’(z) =0 → Z = 218.744m Ymáx = 77.721m Determinación de α(z)

α(z) = arc tg Y’(z) α(z) = arc tg {- sen hip [3.125x10-3 1/m x (Z – 218.744m)] } Operando con las expresiones anteriores se obtiene el siguiente cuadro resumen:

z (m) 0.000 100.000 200.000 218.744 300.000 400.000

Y(z)(m) Y’(z)(-) α(z)(º) sen α(z) cos α(z) 0.000 0.7381 36.43 0.5938 0.8046 55.435 0.3796 20.79 0.3549 0.9349 77.172 0.0586 3.35 0.0584 0.9983 77.721 0.0000 0.00 0.0000 1.0000 67.349 -0.2567 -14.40 -0.2487 0.9686 25.000 -0.5972 -30.84 -0.5126 0.8586

2-Determinación de las funciones H(z), V(z) y N(z). 2.1- H(z)=H=16000Kn

2.2- V(z) =Y’(z).H(z)

→

V(z) = Y’(z).16000Kn

2.3- N(z) = V(z).sen α(z) +H(z).cos α(z) N(z) = Y’(z).16000Kn .sen α(z) +16000Kn .cos α(z)

22

El cuadro resumen es el que se muestra:

z (m)

H(z)(Kn) V(z)(Kn) N(z)(Kn)

0.000

16000

11810

19886

100.000

16000

6074

17114

200.000

16000

938

16028

218.744

16000

0

16000

300.000

16000

- 4107

16519

400.000

16000

- 9555

18635

Del análisis de los valores de V(z) es simple deducir las reacciones de vínculo externo VA y VB . 3-Trazado de diagramas de características. Teniendo presente que el cable solo desarrolla esfuerzos internos de tracción, el diagrama correspondiente es el que a continuación se muestra:

QUEDA A CRITERIO DEL LECTOR COMPARAR LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN LOS CASOS a Y b PRECEDENTEMENTE DESARROLLADOS.

23

APENDICE Resolución de la ecuación diferencial de la catenaria.

Se parte de efectuar un cambio de variable llamando

u =Y’(z) entonces du/dz =Y’’(z) .

De esta forma la ecuación diferencial se puede volver a escribir como sigue:

du/dz = (- q/H) x (1 + u2)0.5 → du/(1 + u2)0.5 = (- q/H) x dz Integrando la última expresión en forma indefinida resulta:

ln [ u + (1 + u2)0.5 ] = (- q/H) x ( z + C1) Operando:

u + (1 + u2)0.5 = e (1 + u2)0.5 = e

u=

-u

[e (- q/H) x (Z+C1) - u]2

2

e (- 2

1+u =

e (- 2

2.u.e

(- q/H) x (Z+C1)

2

1+u =

1=

(- q/H) x (Z+C1)

q/H) x (Z+C1)

q/H) x (Z+C1)

(- q/H) x (Z+C1)

– 2.u.e

– 2.u.e =e

(-q/H) x (Z+C1)

(- q/H) x (Z+C1)

(- 2q/H) x (Z+C1)

–1

[e (- 2q/H) x (Z+C1) – 1] /[2.e (- q/H) x (Z+C1)]

Multiplicando y dividiendo la última expresión por

u=

+ u2

e(

q/H) x (Z+C1)

resulta:

(e (-q/H) x (Z+C1) – e (q/H) x (Z+C1))/2 → u = - sen hip [(q/H) x (Z + C1)]

Como u =Y’(z),integrando entonces en forma indefinida la última expresión se obtiene la expresión de la curva denominada catenaria. Es decir:

Y(z) = - (H/q) x cos hip [(q/H) x (Z + C1)]

+ C2

24

Determinación de las constantes de integración C1 y C2. Si z=0 → Y(z)=0

0 = - (H/q) x cos hip [(q/H) x C1]

+ C2 → C2 = (H/q) x cos hip

[(q/H) x C1]

Si z=L → Y(z)=d

d = - (H/q) x cos hip [(q/H) x ( L + C1)]

+ C2

Reemplazando C2 por la expresión obtenida más arriba y reordenando términos resulta:

d = (H/q) x cos hip [(q/H) x C1] - (H/q) x cos hip [(q/H) x( L + C1)] (q x d / H) = cos hip [(q/H) x C1] - cos hip [(q/H) x( L + C1)] Por propiedad del coseno hiperbólico resulta:

cos hip A - cos hip B= 2 x sen hip [(A + B)/2] x sen hip [(A - B)/2] Entonces:

(q x d / H) =2 x sen hip [(q x C1/H) + (q x L /2.H)] x sen hip [- (q x L /2.H)] Como además:

sen hip (- F)= - sen hip (F) La expresión anterior se puede escribir como sigue:

(- q x d / 2.H) / sen hip (q x L /2.H)= sen hip [(q /H) x (C1 + L /2)] Finalmente:

{

}

C1 = (H/q) x arg sen hip [(- q x d)/(2 x H x sen hip (q x L / 2 x H))] - (L/2)