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TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: MATRICES ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. – AÑO: 2010

1) Dadas las siguientes matrices:

5 − 2 1 A = 12 4 2  0 3 0 2 5  F = 5 0  8 10

4  B =  1  − 2

− 5 1  G=   − 4 0

C = [− 1 0 3]

 H = − 9 0 

1 − 2 3   E = 1  1 5 2 

2 − 1 D=  10 3  1 − 1 0 1 − 4 0 2 M = 0 0 − 9 3   1 8 − 5

0 0  1 3 N= 0 2   2 9

− 8 − 4  − 3  0

a) Indicar el tamaño de cada una. Indicar cuáles son cuadradas, cuáles vector columna y cuáles vector fila. b) Hallar la transpuesta de cada matriz. c) Sumar y restar las matrices, en los casos que sea posible.

1 A , − 5 F , 3 D , 7C − 3 H . 2 e) Hallar A ⋅ B, B ⋅ A, A ⋅ C , B ⋅ C , F ⋅ D, D ⋅ F , E ⋅ F , M ⋅ N , N ⋅ M , en los casos que sea posible. d) Hallar

2) a) Construir dos matrices triangulares superiores de orden 3 y sumarlas. b) Construir dos matrices triangulares inferiores de orden 4 y restarlas. c) Construir una matriz de orden 3 cuya diagonal principal sean todos 2, y tal que ∀i ≠ j : a1 j = 1 , a 2 j = −

2 y 5

a3 j = 0 . d) Construir una matriz de 4x3 tal que a13 = a 42 = −9 , a 21 = a 31 = 2 , a 33 = 1 y las demás entradas sean 0. e) Escribir las matrices cero de orden 2 y 3, y las matrices identidad de orden 2, 3 y 4. f) Una matriz es simétrica si A t = A . Construir dos matrices simétricas de orden 3 y 4. 3) Una empresa aérea vende pasajes aéreos a tres destinos A, B y C, a dos precios: turista y primera. Las siguientes tablas muestran las ventas que ha tenido en los meses de enero y febrero pasados: MES DE ENERO DESTINO A DESTINO B DESTINO C

PRIMERA $3750 $1560 $2985

TURISTA $8935 $7500 $15540

PRIMERA $2480 $1040 $2010

TURISTA $7635 $4800 $9980

MES DE FEBRERO DESTINO A DESTINO B DESTINO C

a) Construya dos matrices E (enero) y F (febrero) que representen estos datos. b) Construya una matriz que represente los ingresos totales en ambos meses para las clases primera y turista.

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4) El comercio entre tres países P1, P2 y P3 durante 2007 (en millones de dólares) está dado por la matriz A = a ij en donde a ij representa las exportaciones del país i al país j .

[ ]

0 16 20 A = 17 0 22 21 14 0  Al año siguiente, el comercio entre los mismos tres países está dado por la matriz B .

0 17 19  B = 18 0 20 24 16 0 a) ¿Qué significan las entradas a 23 , b12 y b21 ? ¿Qué países incrementaron sus exportaciones de un año a otro? b) Escriba una matriz que represente el comercio total entre los tres países en los dos años. c) Si utiliza la conversión 1dólar = 3,80 ARS, escriba la matriz que representa el comercio total entre los tres países en pesos argentinos. 5) Los precios de un hotel son los siguientes: habitación single: $75, doble: $120, triple: $150. a) Construya una matriz A compuesta por los precios del hotel. b) Si el desayuno cuesta $8 por persona, construya una matriz B compuesta por los precios con desayuno. c) Si en temporada alta los precios se incrementan un 20%, construya dos matrices C y D compuestas por los nuevos precios con y sin desayuno. d) ¿Es cierto que C = 1,2 ⋅ A y D = 1,2 ⋅ B ? ¿Por qué? 6) Un comerciante de televisores usados tiene 5 televisores de 26”, ocho de 20”, cuatro de 18” y diez de 12”. Los televisores de 26” se venden a 450$ cada uno, los de 20” en 350$, los de 18” en 300$ y los de 12” en 150$. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de dos matrices. 7) Una agencia de turismo realiza 4 excursiones, las cuales tienen los siguientes costos por pasajero: Costo por pax

Puerto Blest $ 118

Isla Victoria $ 105

Cerro Tronador $ 130

Siete Lagos $ 145

Para el próximo verano, la cantidad de reservas para realizar estas excursiones es la siguiente: Puerto Blest Isla Victoria Cerro Tronador Siete Lagos

Noviembre/10 5 3 8 5

Diciembre/10 15 23 20 18

Enero/11 9 14 18 15

Febrero/11 9 12 7 6

Mediante la multiplicación matricial, halle el costo total que tendrá la empresa por mes. 8) Un turista regresó de Europa con la siguientes monedas extranjeras: 10 euros, 20 libras, 12 coronas dinamarquesas y 35 francos suizos. El equivalente de estas monedas en pesos es: un euro vale 5.42, una libra vale 6.31, una corona vale 0.73 y 1 franco suizo vale 3.54. Hallar, trabajando con matrices, el valor en pesos de las monedas extranjeras del turista. 9) Un hotel tiene habitaciones single, doble y triple, nivel standard. Si en el mes de enero se ocuparon 30, 20 y 15 respectivamente, a un precio de 80, 120 y 150, calcule el ingreso total mensual del hotelero. Si en febrero se produjo un aumento del 5%, en los precios y la ocupación se mantuvo constante ¿cuál fue el ingreso de febrero? 10) Un fabricante que elabora dos artículos, sillas y escritorios, desea fabricar 12 sillas y 20 escritorios. La fabricación de sillas requiere, por unidad, 12 unidades de madera, 0.5 botella de barniz y 6 horas/hombre. Los escritorios requieren, también por unidad, 25 unidades de madera, 2 botellas de barniz y 20 horas/hombre. Los costos de tales requerimientos son: madera $6 por unidad; barniz: $18 por unidad y 1 hora/hombre $15 por unidad. Aplicar el cálculo matricial para obtener el costo de elaboración de 12 sillas y 20 escritorios.

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11) Una agencia de viajes vende 4 tipos de excursiones (A, B, C y D), con y sin descuentos estudiantiles. Las matrices de venta , para los meses de julio y agosto son:

10 5 7 9  con descuento J=    6 7 5 12 sin descuento A B C D

 0 20 10 5  con descuento A=   10 5 7 12 sin descuento A

B

C

D

a) ¿Cuántas excursiones de cada tipo se vendieron en los dos meses? b) Si la agencia tiene dos oficinas y en la segunda se vendió el doble que en la primera durante los dos meses, ¿cuántas excursiones de cada tipo se vendieron? 12) Un kiosco vende 1500 gaseosas, 700 jugos y 1400 dulces por semana. Los precios de venta unitarios son $1.65; $0.80 y $2.50 respectivamente. A su vez, los costos unitarios son $1.1; $0.50 y $1.80. Obtener ingreso, costo y beneficio total. 13) Hallar las inversas de las siguientes matrices mediante la definición:

1 4  A=  2 7

6 − 4  B=  − 3 2 

14) Hallar las inversas de las siguientes matrices mediante el método de Gauss:

1 2 3  A = 2 5 3 1 0 8 

1 6 4  B = 2 4 − 1 − 1 2 5 

3 4 − 1  C = 1 0 3  2 5 − 4

Respuestas

1) a) A es de 3x3, B de 3x1, C de 1x3, D de 2x2, E de 2x3, F de 3x2, G de 2x2, H de 1x3, M de 4x4, N de 4x2. A, D, G y M son cuadradas. B es vector columna. C y H son vectores fila. 1  1  5 12 0  − 1 2 2 10     b) AT = − 2 4 3 B T = [ 4 1 − 2] C T = 0  DT =  E T = − 2 1  − 1 3 3 1 2 0  3  5       1 0 1  1  − 9   1 0 9 2 5 8  T  − 5 − 4 T   T − 1 − 4 0 8  N T =  0 FT =  G = H = 0 M =        0 0 0 − 9 − 5 5 0 10 1 − 8 − 4 − 3 0 2      0 3 2 2  3  c) C + H = [− 10 0 11 / 3] ; C − H = [8 0 7 / 3] ; H − C = [− 8 0 − 7 / 3] 2   − 3 0 7 − 2 − 7 D+G =  ; D−G =  ; G−D=    3 3 6 14 − 14 − 3 1 5 1 − 2 − 10 − 25  2   1   ; 3D = 6 − 3 ; 7C − 3H = [20 0 19] d) A = 6 2 1  ; − 5F = − 25 0 30 9    2     − 40 − 50 3 0 0 2   − 1 − 4   16 − 4 0 − 12 54 13  23 8  1 32 70         e) A ⋅ B = 48 ; B ⋅ C = − 1 0 − 3 ; F ⋅ D = 10 − 5 ; E ⋅ F =  ;M ⋅N =        18 27  2 92 105  3  2 116 22 0 − 6    26 − 25

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3 2 5 1 2    2) a) Por ejemplo: P = 0 4 1 y Q = 0 1    0 0 1  0 0 3 0 0 0  1 8 5 0 0    y V = 1 b) Por ejemplo: U =  2 0 1 0  5    1 1 2 − 2 1 2   0 0 2 − 5 0  2 0   c) 1 2 0  d)   2 0    2 2 1 − 0 − 9 5  

1 8  2 0 1 1 2

 4 4 6  
P+Q = 0 5 9   0 0 3  0 0 4  9 0 0
U + V =  7 2 0   3 1  2

4

0 6 0 0  1 3 0   3 5 − 1 0 0

− 9 1 0 0 0  1 0 0   0 0 0    1 0 ; 0 1 0 ; 0 e)  ; 0 0 0 ;         1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0     0 0  

0 0 0 1 0 0 0 1 0  0 0 1

2 9 − 2 1 3 1 7  2 0 4 − 1   f) Por ej: J = 1 4 8 y K =    9 4 1 12  7 8 5   − 2 − 1 12 3  3750 8935  2480 7635 6230 16570        3) E = 1560 7500 ; F = 1040 4800 ; TOTALES = E + F = 2600 12300       2985 15540 2010 9980 4995 25520 4) a) a 23 = 22 significa que las exportaciones del país 2 al país 3 durante 2007 fueron de 22 mill. de dólares. a12 = 17 significa que las exportaciones del país 1 al país 2 durante 2008 fueron de 17 mill. de dólares. a 21 = 18 significa que las exportaciones del país 2 al país 1 durante 2008 fueron de 18 mill. de dólares. 0 33 39  0 125,4 148,2    b) A + B = 35 0 44 c) 3,80 ⋅ ( A + B) = 133 0 167,2     45 30 0 171 114 0  5) a) A = [75 120 150] b) B = [83 136 174] c) C = [90 144 180] ; D = [99,6 163,2 208,8] 450 350   = 7750 7) En nov/10 2670$, en dic/10 9395$, en enero/11 7047$ y en feb/11 4102$. 6) [5 8 4 10] ⋅  300    150  8) $313.06

9) I enero= $7050

10 25 11) Agencia 1 =  16 12 12) Itotal= $6535

17 14 12 24

Ctotal= $4520

I febrero= $7402,5 30 75 Agencia 1y 2 =   48 36

10) Ctotal= $11772 51 42  36 72

Btotal= $2015

3 / 2 − 11 / 10 − 6 / 5 − 40 16 9   − 7 4 − 1 13) A =  ; B no tiene inv. 14) A −1 = 13 − 5 − 3 ; B no tiene inv.; C = − 1 1 1      2 − 1    −1

5 − 2 − 1 

− 1 / 2 7 / 10

2/5 