Unidad 1 - Trabajo Práctico 2 Potenciación en los Reales. Definición: la potenciación es una operación, que denotamos mediante la expresión x n , donde “x” es la base y “n” el exponente. La que definimos así: xn x x x x , donde x 0, n 0 n veces
Se sabe que toda buena definición, debe indicar el dominio de trabajo de sus elementos. La base “x” puede ser cualquier real, pero no el Cero. Existen diversos motivos para que la base real no sea cero. x Uno de ellos es que 00 no está definido; otro es, que no se admite . En general, no se puede dividir 0 por “0”. El exponente “n”, debe ser un número cardinal, ya que en la definición hablamos de “veces”. Usted estará pensando y preguntándose, ¿Qué pasa con las potencias de Exponentes Negativos? Ah! La Matemática, mediante propiedades que se concluyen de la definición, prueba que es equivalente a una potencia de exponente positivo. Lo que explicaremos más adelante en las Propiedades. Ejemplos ilustrativos: a) 43 4 4 4 64 b)
25 2 2 2 2 2 32 24 24 2 2 2 2 2 2 2 2 16 16 4
2 2 2 2 16 2 c) 3 3 3 3 81 3 2
3 3 9 3 d) 4 4 16 4
Propiedades o Teoremas de las Potencias. 1. Multiplicación de potencias de igual base: la base se debe elevar, a la suma de los exponentes. xn xm xn m
Ejemplos de ésta Propiedad:
a) x3 x5 x3 5 x8 b) y 4a 3b 5c y3a 2b 7c y 4a 3b 5c 3a 2b 7c y 7a b 2c 2. División de potencias de igual base: la base se debe elevar, a la diferencia de los exponentes (en el orden establecido). xn xm xn m ; xm 0
Ejemplos de ésta Propiedad:
a) x8 x6 x8 6 x 2 b) y a b c y3a 2b 5c y c) a2m 3n a m n a
a b c 3a 2b 5c
2m 3n m n
y 2a 3b 6c
a2m 3n m n a m 4n 1
3. Multiplicación de potencias de igual exponente: el producto de las bases, se debe elevar al exponente común. x n y n x y n
Ejemplos de ésta Propiedad:
a) 24 34 24 2 3 24 124 20736
3 3 3 3 8 3 8 3 8 2 b) 27 4 9 4 9 3 4. División de potencias de igual exponente: el cuociente respectivo entre las bases, se debe elevar al exponente común.
xn x n y y
n
; yn 0
Ejemplos de ésta Propiedad:
3 8 a) 83 43 23 8 4 4 4 4 4 4 81 4 8 4 8 4 9 3 b) 16 3 9 3 9 3 8 2 5. Potencia de exponente cero: todo real distinto de cero, cuyo exponente sea cero, es igual a uno (1). x0 1 ; x 0
Ejemplos de ésta Propiedad:
a) 30 20 1 1 2 b)
2 0 10 1 1 0
6. Potencia de exponente negativo: toda potencia (de base no nula) de exponente negativo, es equivalente a otra donde la base es la inversa mutiplicativa, pero su exponente es positivo. x n
1 1 n ; x 0 xn x
Ejemplos de ésta Propiedad:
2 1 1 a) 3 2 9 3 2 1 5 1 b) 20 2 2 1 1 4 4 2
Observación:
a b
n
n b ; a 0 a
2
7. Potencia de una potencia: la base se eleva al producto de los exponentes.
x n
m
xn m
Ejemplos de ésta Propiedad:
3 2 a) a 2 a3 a6 a6 2a6 2 b) 23
1
3 2 1 2 26 64
8. Signo de una potencia: emplearemos en esta oportunidad, el lenguaje verbal para explicar esta propiedad: “Cualquier potencia de base positiva, siempre es positiva; y una potencia sólo será negativa, cuando la base sea negativa y su exponente en valor absoluto, sea impar. x 2n x 2n x 2n 1 x 2n 1
a)
x 0,n
Ejemplos de ésta Propiedad:
23 52 8 25 17
b) 32 17 43 9 1 64 9 1 64 72 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1) Determine el valor de los siguientes ejercicios, utilizando propiedades de potencias: a) 5 9 54 5 2 5 b) 34 32 3
3 3 2 35 c) 3 4 5 6 2 2 3 3 d) 1 3 2 2 3 3 8 13 3 3 5 5 e) 9 12 3 3 5 5
f)
4 2 43 56 4 58 49 5 3 52 4 45 52 57
3
2 5 53 93 52 94 57 g) 3 4 3 92 53 92 98 54 h) 32 5 3 3 5 52 3 45
16 1 23 3 1 2 4 i) 2 7 3 4 j)
18 2 36 18 3 2 4 6 2
k)
27 2 9 4 253 15 81 4
Radicación en los Reales. Definición: la radicación es una operación inversa a la exponenciación (Potenciación). La que definimos así: n x a a n x ; donde el índice n
La cantidad Subradical “x” es un Real, pero si “n” es par, entonces su valor se restringe sólo a los Reales mayores o iguales a cero ( x 0 ). El signo , se llama radical; cuando un radical, no tenga índice se asumirá que él es 2 y se deberá leer “Raíz cuadrada o simplemente Raíz”. Ejemplos ilustrativos: a)
81 9
b) 3 64 4 c) 4 625 5
Propiedades o Teoremas de las Raíces. 1. Raíz de un producto:
n x y n x n y
Ejemplos de ésta Propiedad:
a)
9 36 9 36 3 6 18
b)
20 4 5 4 5 2 5
c)
12x5 4 3 x 4 x 4 3 x 4 x 2 x 2 3x
4
2. Multiplicación de raíces de igual índice:
n x n y n x y
Ejemplos de ésta Propiedad:
a)
5 20 5 20 100 10
b)
2a 8a 2a 8a 16a 2 4a
c) 3 5 2 3 5 2 3
52
3 5 2 22 3 5 4 1
52
3. Raíz de un cuociente: n
a)
x nx ; y0 y ny
64 49
Ejemplos de ésta Propiedad:
64 8 49 7
3 27 x6 27 x6 3x 2 b) 3 125y9 3 125y9 5 y3 4. División de raíces de igual índice: nx ny
a)
b)
3 54 32
n
3
x ; y0 y
Ejemplos de ésta Propiedad:
54 3 27 3 2
18c7 4 2cd
18c7 9c6 3c3 4 4 2cd d d2
5. Raíz de una potencia: este teorema es práctico, cuando la raíz de la base es un número racional, es decir, la expresión n x es exacta.
n m n m x x a)
b)
Ejemplos de ésta Propiedad:
3 4 3 4 8 8 24 16
0,36 3
0,36
3
36 100
3
3 3 125 6 5 27 10 3
5
6. Transformación de una potencia a raíz:
x
m
n
n m x
Ejemplos de ésta Propiedad: evaluar las siguientes expresiones (dar valor numérico)
2 2 3 a) 27 3 272 3 27 32 9
1 0 , 5 b) 100 100 2 100 10 3 3 3 3 16 2 1 4 4 53 125 c) 0,0016 10000 10 5 7. Raíz de una raíz:
nm
x nm x
Ejemplos de ésta Propiedad:
a) 3 5 6 5 b)
3 2
32 2 4 18 . En este ejemplo, fue necesario sacar el factor 3 que estaba entre ambas
raíces y para ello, lo introducimos en el radical siguiente: x n y n x n y
2 , elevando al cuadrado, aplicando la relación
2) Efectúe las siguientes operaciones de suma y resta, con raíces: a) 3 2 2 8 3 48 b)
3 3 18 2 27
c) 12 50 3 75 2 5 20 d) 2 8 2 45 3 20 50 5 32 2 5 e) 9 48 5 8 2 300 13 128 5 243 15 50 f)
75 4 32 9 3 5 48 3 27 2 98
g) 5 12 x 3 27 x 10 75x h)
98ab2 48a 2b 243a 2b 72ab2 3) Simplifique y exprese en la forma más reducida las siguientes expresiones, utilizando propiedades de raíces:
a) 4 x 6 xy 2 y
6
3 3 b) 3 ab ab2 a 2b c) 5 p 4q p5 q 2 q5 p 2q3 d) e)
5 2 5 2 a b b a a b b a 4 2 4 2
f) g)
2
2
3 3 2
h) 3 3 5 3 2 3 3 5 3 2 i)
j)
3
k)
l)
pq pq
2
x 4 y 3 x 4 y
63 48 225 98 7 5 3 2
15a 12
14a 2 2a 6a
7
