COLEGIO JOSEFINO SANTÍSIMA TRINIDAD DEPARTAMENTE DE FÍSICA Profesor Javier E. Jiménez C.

Choques Elásticos Apuntes de Clases Se produce un choque elástico cuando los cuerpos chocan y no se pierde energía en el choque. Es decir, en los choques elásticos se conserva la energía. (Atento con esto porque es el concepto fundamental de choque elástico). En los choques elásticos los cuerpos no quedan pegados después del choque. Se separan y se va cada uno por su lado; es decir, chocan y rebotan. Fíjate como es el asunto: Inicialmente los objetos se acercan con velocidades iniciales V0A y V0B. Después chocan y salen con otras velocidades finales VfA y VfB. 1. Los cuerpos están por chocar:

2. Los cuerpos chocan:

3. Rebotan y cada uno se va para su lado:

Lo importante es lo siguiente: si el cuerpo A tiene inicialmente cierta velocidad, quiere decir que tiene energía cinética. La energía cinética inicial del cuerpo A vale: K iA =

Lo mismo ocurre para el cuerpo B: K iB =

1 mB viB 2 2

1 mAviA 2 2

Supón que en un caso particular haces el cálculo de K iA = para el otro objeto: K iB =

1 mAviA 2 y obtienes 30 [J]. Luego haces lo mismo 2

1 mB viB 2 y obtienes 40 [J]. 2

Eso quiere decir que la energía cinética inicial de todo el sistema vale 70 joules. De acuerdo al principio de conservación de energía, la energía del sistema después del choque también será 70 [J]. Importante: La conservación de la energía no quiere decir que después del choque el cuerpo A va a seguir teniendo 30 joules y el cuerpo B va a seguir teniendo 40 joules. Ambos cuerpos cambiarán sus energías individuales y cada una podría tener cualquier valor, pero la suma tiene que seguir siendo 70 [J]. ¿Cómo reconocer si un choque es plástico (inelástico) o elástico? Muy fácil. Dado un problema que involucra una colisión, si el choque es elástico, el enunciado tiene que aclarar que los cuerpos chocan de manera tal que no se pierde energía en el choque. Hay otras maneras que uno tiene de diferenciar un choque plástico de uno elástico. Por ejemplo, en la gran mayoría de los choques plásticos los cuerpos quedan pegados después del choque. En cambio en los choques elásticos los cuerpos se separan después del choque. En realidad estas 2 cosas no prueban del todo que un choque sea plástico o elástico. Sin embargo, en la mayoría de los casos es así. Conservación de la cantidad de movimiento (momentum) en los choques elásticos. En los choques elásticos no se conserva solamente la energía. También se conserva la cantidad de movimiento. Pero tú ya sabes que la cantidad de movimiento se conserva en cualquier tipo de choque, sea plástico o elástico.

⎡ kg m ⎤ , ⎣ s ⎥⎦

Esto quiere decir que si antes del choque el sistema tiene una cantidad de movimiento de piS = 50 ⎢

⎡ kg m ⎤ . ⎣ s ⎥⎦

después del choque también tiene que tener una cantidad de movimiento de p fS = 50 ⎢

Es decir, la suma de las cantidades de movimiento antes del choque tiene que ser igual a la suma de las cantidades de movimiento después del choque. Este planteo es el mismo que se hace cuando el choque es plástico. Importante: No olvides que para calcular la cantidad de movimiento de los cuerpos es necesario considerar el sentido en el cual se desplazan. Recuerda que convencionalmente hemos establecido que los objetos que se mueven hacia la derecha (en el dibujo) tienen velocidades positivas y los objetos que se mueven hacia la izquierda (en el dibujo) tienen velocidades negativas.

Supongamos que tengo el siguiente choque elástico.

Situación Inicial

Situación Final

Para resolver este tipo de situaciones se hace lo siguiente: 1. Se plantea la conservación de la cantidad de movimiento. Es decir, se plantea que la cantidad de movimiento total antes del choque tiene que ser igual a la cantidad de movimiento total después del choque.

piS = p fS A la larga este planteo conduce a una ecuación de este tipo:

mAviA + mB viB = mAv fA + mB v fB 2.

(1)

Se plantea la conservación de la energía.

Es decir, se plantea que la energía total antes del choque tiene que ser igual a la energía total después del choque

EiS = E fS Este planteo conduce a una ecuación de este tipo:

1 1 1 1 mAviA 2 + mB viB 2 = mAv fA 2 + mB v fB 2 2 2 2 2 Observa que sólo consideramos la energía cinética, porque suponemos que la energía potencial de los objetos se ha mantenido sin cambios (ya que, en general, la colisión se produce sobre un plano). La ecuación anterior se puede reducir con algo de matemática a una expresión más sencilla, escrita sólo en términos de las velocidades de los cuerpos. El desarrollo que permite obtener esta expresión se encuentra en el anexo de este documento (trata de comprenderlo matemáticamente, aunque para nuestros fines físicos no será relevante dominar el procedimiento). La ecuación reducida es:

viA − viB = −(v fA − v fB )

(2)

Y se puede interpretar del siguiente modo: las velocidades relativas entre los cuerpos antes y después del choque tienen igual magnitud, pero sentido opuesto. Este planteo, el de conservación de la energía es nuevo comparado con un choque plástico. En el choque plástico solo la cantidad de movimiento se conserva. Ahora hay que plantear 2 cosas: conservación de la cantidad de movimiento y conservación de la energía.

3. Se resuelven las ecuaciones. El problema entonces consiste en resolver simultáneamente las ecuaciones (1) y (2). Generalmente, las incógnitas del problema son las velocidades iniciales o finales. El problema tiene solución si solo hay dos incógnitas. Es decir, se trata de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Ejemplos 1. El cuerpo A de masa 10 kg viene con velocidad 20 m/s y choca al cuerpo B de masa 5 kg que inicialmente se encuentra detenido. Los cuerpos chocan y rebotan. Calcular las velocidades de cada cuerpo después de la colisión. Supón que no se pierde energía en el choque. Bueno, vemos que se trata de un choque elástico porque el problema aclara que se conserva la energía durante la colisión. Antes del choque:

Después del choque lo que tenemos es esto:

Como sistema de referencia establecemos dos convenciones: • Las velocidades cuyo sentido es hacia la derecha en el dibujo son positivas. • La energía potencial gravitatoria es cero a nivel de la superficie donde se produce el movimiento. Entonces planteamos la conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la energía. Veamos. a. Conservación de la cantidad de movimiento.

mAviA + mB viB = mAv fA + mB v fB En este caso la velocidad inicial de B es cero. Así que reemplazando por los datos queda:

⎡m⎤ 10 [ kg ] × 20 ⎢ ⎥ + 0 = 10 [ kg ] v fA + 5[ kg ] v fB ⎣s⎦

(1)

b. Conservación de la energía.

1 1 1 1 mAviA 2 + mB viB 2 = mAv fA 2 + mB v fB 2 2 2 2 2 Pero podemos hacer uso de nuestra ecuación reducida:

viA − viB = −(v fA − v fB )

Así que reemplazando los datos queda:

⎡m⎤ 20 ⎢ ⎥ − 0 = −(v fA − v fB ) ⎣s⎦

(2)

Por lo tanto, tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Estas ecuaciones son:

⎡m⎤ 10 [ kg ] × 20 ⎢ ⎥ + 0 = 10 [ kg ] v fA + 5[ kg ] v fB ⎣s⎦ ⎡m⎤ 20 ⎢ ⎥ − 0 = −(v fA − v fB ) ⎣s⎦

(1)

(2)

Para resolver el sistema conviene despejar v fA de la 1ª ecuación y reemplazarlo en la 2ª.

⎡ m⎤ 10 [ kg ] v fA = 200 ⎢ kg ⎥ − 5 [ kg ] v fB ⎣ s⎦ ⎡m⎤ v fA = 20 ⎢ ⎥ − 0,5v fB ⎣s⎦ Reemplazamos esto en la ecuación (2) y queda :

⎡m⎤ ⎡m⎤ 20 ⎢ ⎥ = −(20 ⎢ ⎥ − 0,5v fB − v fB ) ⎣s⎦ ⎣s⎦ ⎡m⎤ ⎡m⎤ 20 ⎢ ⎥ = −20 ⎢ ⎥ + 1,5v fB ) ⎣s⎦ ⎣s⎦ ⎡m⎤ ⎡m⎤ 20 ⎢ ⎥ + 20 ⎢ ⎥ s ⎣s⎦ v fB = ⎣ ⎦ 1,5 40 ⎡ m ⎤ v fB = 1,5 ⎢⎣ s ⎥⎦ ⎡m⎤ v fB = 26, 67 ⎢ ⎥ ⎣s⎦ Esta es la velocidad que tiene el objeto B después del choque. El signo positivo indica que esta velocidad va hacia la derecha. Reemplazando esta velocidad en cualquiera de las 2 ecuaciones que teníamos al principio, obtenemos la velocidad del cuerpo A. Se encuentra que:

⎡m⎤ v fA = 6, 67 ⎢ ⎥ ⎣s⎦ Ojo. La velocidad final del cuerpo A después del choque es positiva. Eso significa que A también se mueve hacia la derecha después del choque. Puede parecer que la velocidad final de A tendría que haber dado hacia la izquierda (como estaba indicado en el dibujo), pero no es así. No siempre nuestra intuición opera correctamente desde un punto de vista físico.

2. El carrito de la figura de masa mA = 3 kg que se mueve con velocidad inicial v0A = 4 m/s golpea contra el péndulo B de masa mB = 5 kg y longitud 1 m. Como resultado de la interacción, el péndulo se aparta un angulo α de su posicion de equilibrio. Calcula la altura que alcanza la masa mB del péndulo si el choque es elástico.

3 kg

Situación Inicial

Situación Final

En realidad, el ejercicio plantea dos problemas en uno. Primero consideramos el choque elástico representado en las figuras anteriores. Después vemos qué pasa con el movimiento del péndulo por sí solo. Tenemos que empezar por calcular la velocidad con la que sale la bola B justo después del choque. Para eso tenemos que plantear un choque elástico. Las ecuaciones se escriben igual que en el ejemplo anterior. La velocidad de B después del choque resulta ser:

⎡m⎤ v fB = 3 ⎢ ⎥ ⎣s⎦ Por otra parte, la velocidad final para el cuerpo A después del choque da

⎡m⎤ v fA = −1 ⎢ ⎥ ⎣s⎦ Conclusión: después del choque la bola del péndulo se empieza a mover con una velocidad de 3 m/s hacia la derecha. ¿Hasta qué altura llega un objeto que viene con esa velocidad? Para responder a la pregunta, aplicamos nuevamente el principio de conservación de la energía. Esto sería como un nuevo problema que tenemos que considerar. Si después del choque la energía mecánica se conserva, esto quiere decir que la energía mecánica al principio tiene que ser igual a la energía mecánica al final.

Estado Inicial

Estado Final

Entonces, por el principio de conservación de energía:

E A = EB

1 1 mB ghA + mB v A 2 = mB gh + mB vB 2 2 2

En este caso, hA = 0 . Además, el péndulo alcanza su máxima altura (h) cuando vB = 0 . Reemplazando los datos tenemos: 2

1 ⎛ ⎡m⎤⎞ ⎡m⎤ 5 [ kg ] × ⎜ 3 ⎢ ⎥ ⎟ = 5 [ kg ] × 10 ⎢ 2 ⎥ × h 2 ⎣s ⎦ ⎝ ⎣ s ⎦⎠ 2

9 ⎡m⎤ ⎡m⎤ 10 = ⎢⎣ s 2 ⎥⎦ × h 2 ⎢⎣ s ⎥⎦ De modo que la altura que el péndulo alcanza es:

h = 0, 45 [ m ]