TRABAJO PRACTICO Nº 9: FUNCIONES CUADRÁTICAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y RESOLUCION DE PROBLEMAS Ecuaciones Cuadráticas Toda función cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 ± 𝑏𝑥 ± 𝑐, donde a, b y c son (Llamados términos) números reales con a ≠ 0. Esta forma de escribir a la función cuadrática se denomina polinómica. En la ecuación cuadrática (también llamada de segundo grado) cada uno de sus términos tiene un nombre. 𝑎𝑥 2 es el término cuadrático 𝑏𝑥 es el término lineal 𝑐 es el término independiente Si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta. El gráfico de una función cuadrática está formado por puntos que pertenecen a una curva llamada parábola. A continuación la gráfica y sus elementos.

El eje de simetría representa la recta vertical simétrica con respecto a la parábola. Las raíces 1 y 2 (también llamadas ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0. Gráficamente, las raíces corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos determinar las raíces de una función cuadrática igualando a cero la función 𝑓(𝑥) = 0, y así obtendremos la siguiente ecuación cuadrática 𝑎𝑥 2 ± 𝑏𝑥 ± 𝑐 = 0 Para calcular las raíces se utiliza la siguiente fórmula:

𝑥1,2 =

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Nota: La fórmula que nos permite determinar las raíces de un polinomio de segundo grado fue deducida por el famoso matemático indio Bhaskaracharya, más conocido como Bhaskara

Página 1

Importante: Si la ecuación está incompleta se puede hallar las raíces sin necesidad de utilizar la ecuación de segundo grado: Ejemplo 1: −𝑥 2 + 3 = 0 (despejando x)

−𝑥 2 = −3 𝑥2 = 3 𝑥 = ±√3 → 𝑥1 = +√3

𝑦 𝑥2 = −√3

𝑥 2 − 5𝑥 = 0 (factorizando) 𝑥(𝑥 − 5) = 0 (𝑥 − 0)(𝑥 − 5) = 0 → 𝑥1 = 0

Ejemplo 2:

𝑦 𝑥2 = 5

Donde 𝑥1 , 𝑥2 son las raíces de la función cuadrática Veamos con un ejemplo como se resuelve con la ecuación de segundo grado una ecuación completa: Ejemplo 3:

2𝑥 2 + 3𝑥 − 5 = 0

𝑥1,2 =

→ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒

−3±√32 −4∙2∙(−5) 2∙2

−3±√9+40

→

4

𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑦 𝑐 = −5

(Remplazamos en la fórmula)

−3±√9+40 4

−3±7 4

→

→ 𝑥1 = 1

𝑦 𝑥2 = −

5 2

Para graficar la función se debe tomar en cuenta: las raíces (si existen), el eje se simetría, el vértice y la ordenada al origen. Por ejemplo para graficar la parábola del ejemplo 3 5 Según las raíces halladas la parábola corta en 𝑥1 = 1 𝑦 𝑥2 = − 2 El eje de simetría de una parábola puede determinarse mediante la siguiente expresión:

𝑥=

𝑥1 + 𝑥2 2

Donde 𝑥1 , 𝑥2 son las raíces de la función cuadrática

El vértice de la parábola está ubicado sobre el eje de simetría y es el único punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. A la coordenada x de este punto la llamaremos 𝑥𝑣 y a la y 𝑦𝑣 El vértice de la parábola vendrá dado por las siguientes coordenadas: 𝑣 = (𝑥𝑣 ; 𝑦𝑣 ). El 𝑥𝑣 se obtiene con la misma expresión de simetría

𝑥𝑣 = O por la siguiente expresión: 𝑥𝑣 =

−𝑏

𝑥1 + 𝑥2 2

2a

Una vez obtenido el valor 𝑥𝑣 podemos determinar 𝑦𝑣 evaluando la función cuadrática 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣 ) Para el ejemplo 3 el eje de simetría será: 5

Reemplazamos

𝑥=

1+(−2) 2

→

𝑥=−

3 4

Una vez obtenido el valor 𝑥𝑣 podemos determinar 𝑦𝑣 evaluando la función cuadrática 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣 ) Página 2

3 2

3

Entonces reemplazamos 𝑦𝑣 = 𝑓 (− )

3

→ 2 (− ) + 3 (− ) − 5 = 0 4 4

4

→ 𝑦𝑣 = −

49 8

Una vez obtenidos los datos se procede a realizar la gráfica.

Nota: Con el vértice podemos saber cuál es el valor máximo o mínimo de la función. Si se trata de una parábola cuyo término cuadrático 𝑎𝑥 2 es positivo entonces la parábola tiene la forma ∪ es decir que en (𝑥𝑣 ; 𝑦𝑣 ) tendremos un mínimo, por lo tanto la imagen de la función será (𝑦𝑣 ; +∞) Caso contrario si el término cuadrático es negativo entonces la parábola es de la forma ∩ es decir que en (𝑥𝑣 ; 𝑦𝑣 ) tendremos un máximo, por lo tanto la imagen será: (−∞; 𝑦𝑣 )

Importante: El término cuadrático nos indica si su vértice se ubica abajo o arriba. Según el signo de a, si es negativo entonces el vértice se ubica arriba ∩ (parábola negativa) y si es negativo el vértice se ubica abajo ∪ (parábola positiva) A continuación veremos un estudio completo de una función cuadrática por medio del ejemplo: Ejemplo 4: Hallar las raíces, vértice, ordenada al origen, dominio, imagen, crecimiento y decrecimiento de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 4𝑥 + 7 Las funciones cuadráticas tienen dominio en todos los reales 𝐷𝑓 = 𝑅 La ordenada al origen es 7 (lo determina el termino independiente de la función) Raíces: Igualamos la función a cero y procedemos a utilizar la ecuación cuadrática

𝑥1,2 =

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

reemplazamos a,b y c

Obtenemos las dos raíces

𝑥1 = −3,12

Para el vértice usamos la fórmula: 𝑥𝑣 =

−𝑏 2a

𝑦

4±√(−4)2 −4(−2)7 2(−2)

=

4±√16+56 −4

𝑥2 = 1,12 reemplazamos a y b 𝑥𝑣 =

4 2(−2)

=

4±8,48 −4

= −1

Para hallar Yv reemplazamos Xv en la función: 𝑓(−1) = −2(−1)2 − 4(−1) + 7 Por lo tanto el vértice será: 𝑣 = (−1; 9)

𝑥𝑣 = −1 𝑦𝑣 = 9 Página 3

Con el vértice obtenemos el punto máximo por tratarse de una parábola cóncava hacia abajo ∩ por lo tanto la imagen será: 𝐼𝑓 = (−∞; 9) Teniendo el vértice también podemos hallar el intervalo de crecimiento y decrecimiento. Al ser una parábola negativa el crecimiento será de (−∞; −1) y el decrecimiento (−1; +∞) La gráfica resultante de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 4𝑥 + 7 es la siguiente:

Podría ocurrir que la función no corte el eje X o que lo alcance en un único punto.

Verifiquemos las gráficas resolviendo cada una de las ecuaciones cuadráticas usando la fórmula: Ejemplo 4:

𝑥 2 − 2𝑥 + 3 = 0 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 = 1 𝑏 = −2 𝑦 𝑐 = 3

Reemplazamos en la fórmula 𝑥1,2 =

2±√(−2)2 −4∙1∙3 2∙1

→

2±√4−12 2

→

2±√−8 2

Nota: Al tener una base negativa de una raíz de exponente par no será posible obtener raíces reales, por lo tanto la parábola no corta el eje X

Ejercicios: Página 4

1)

Realizar gráficos aproximados de las siguientes parábolas tomando en cuenta los siguientes datos como referencia: a) b) c) d) e)

2)

Vértice en (0;0), es positiva Vértice en (2;1) es negativa y una de sus raíces se ubica en 0 Vértice en (2;-2) y sus raíces están en 0 y 4. Vértice en (0;-3) y una de sus raíces está en 1,5 Vértice en (-1;-4) intersección con el eje y en -3 y una de las raíces en -3

Usando una tabla de valores X Y graficar las siguientes funciones cuadráticas: a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 e) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 1

b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 1 d) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2 + 1 f) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 2)2 − 1

3)

Del ejercicio anterior indicar en cada caso el dominio y la imagen

4)

Sabiendo que la curva a) es x2 escribir cada ecuación cuadrática de las demás curvas:

5)

Del ejercicio anterior indicar en cada caso la positividad, negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento.

6)

Para cada una de las siguientes funciones de segundo grado, hallar el vértice, las intersecciones con los ejes X e Y, escribirla en forma factorizada y graficar, indicando dominio, imagen e intervalos de crecimiento, positividad y negatividad:

7)

a)

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 6

b)

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5

c)

𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 8𝑥 + 15

d)

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 11

e)

𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥

f)

𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 3𝑥 + 4

Reconstruir las cuatro ecuaciones de las siguientes parábolas. Página 5

8) 3) Un pub abre y cierra cuando todos los clientes se han ido. A partir de registros mensuales

se obtuvo una función que permite modelizar el número de personas que hay en el pub X horas después de su apertura, la misma es: P(x) = 60x − 10x2 a) Determinar el dominio y la imagen de P para este problema. b) Hallar el número máximo de personas que van a pub una determinada noche e indicar en qué horario se produce la máxima asistencia de clientes. c) Si queremos ir al pub cuando haya al menos 50 personas, ¿a qué hora tendríamos que ir? d) Si queremos estar sentados y el pub sólo tiene capacidad para 80 personas sentadas, ¿a partir de qué hora ya estamos seguros que no conseguiremos sillas? e) Graficar la función. 9) Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida desde

el suelo en metros, en función del tiempo, medido en segundos, se calcula a través de la siguiente fórmula: h(t) = −5t2 + 20t a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace? b) ¿Después de cuánto tiempo cae la pelota al suelo? c) ¿Cómo se contestan las preguntas anteriores si la pelota se lanza a 25mts del suelo? 10) Encontrar los puntos de intersección si existen y graficar.

a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 6𝑥 + 3 ;

𝑔(𝑥) = −3𝑥 + 18

b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 3 ; c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 ;

𝑔(𝑥) = −𝑥 2 + 6𝑥 − 5 2 𝑔(𝑥) = 5 𝑥 − 4 1

11) Hallar las coordenadas del vértice de una parábola cuya imagen es el intervalo (−∞; ) y 2

cuyas raíces son 0 y 4. 12) Hallar los valores de b tales que la parábola f(x) = x2 + bx + 4 corte al eje x. 13) Hallar el valor de b para que la parábola f(x) = 3x2 + bx + 1 corte al eje x en un solo punto. 14) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 2

a) 𝑥 2 − 25 = 0

9

2

c) 𝑥 − 4𝑥 = 56 − 14𝑥 1

1

e) 3𝑥 2 − = 𝑥 2

5

2

2

3

2

5

15

b) 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 2 +

1 2

g) ( − 2𝑥) + (𝑥 − ) = 𝑥 2 2 2

2

d) 2𝑥 + 3𝑥 = 7𝑥 + 4 f) (3𝑥 + 3)(−1 + 𝑥) = 2(𝑥 + 1) h)

(𝑥−3)2 4

+

(𝑥+1)2 2

−

49 12

=

(𝑥−1)(𝑥+2) 6

Página 6